2021年高三入学摸底考试理科数学

2021年高三入学摸底考试理科数学一 选择题1.是虚数单位，若集合=，0，1，则（ ）A ．B ．C ．D ． ∈答案：A2.△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大的内角为A ．150°B ．135°C ．120°D ．60°答案：A3.对于一切实数&当变化时，所有二次函数.的函数值恒为非负实数，则的最小值是（ ）A.2B. 3C.D.答案：B4.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（ ）答案：B5.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ） A.(3, 7) B.(9, 25)C. (9, 49)D. (13, 49)答案：D6.已知0,60,||3||,cos ,a b c a c b a a b ++==<>且与的夹角为则等于 （ ）A．B．C．D．答案：D7.正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则AB两点的球面距为（）A． B． C． D．答案：B8.已知数列为等差数列,为其前项和,且,则（）A．25 B．27 C．50 D．54答案：B9.有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有（）A．36种 B．12种 C．60种 D． 48种答案：C10.已知，若的必要条件是，则之间的关系是（A）（B）（C）（D）答案：A11.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A. n=0B. n=1C.n=2D. n=4答案：C12.设函数若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的范围是A (2,4)B [3,4]C D答案：B二填空题13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.答案：14.设函数．若有唯一的零点（），则实数a＝．答案：415.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8，6),则D 点的坐标为___________.答案：（0，-2）16.下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。

②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。

答案：③④ 三 解答题17.已知向量（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为，若,求 的取值范围.答案：解：（1）33// cos sin 0 tan =44a b x x x ∴+=∴- …………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++…………6分 （2）由正弦定理得可得，所以…………………9分1()4cos(2))642f x A x ππ++=+-所以--------------------12分18.（本小题满分12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.答案：解（Ⅰ）由分组内的频数是4，频率是0.1知，，所以因为频数之和为，所以，.---4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以----------6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. -------------8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b ，15种情况，---------------------------10分而两人都在内只能是一种，所以所求概率为----12分19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且，为PC 的中点.（Ⅰ）求证：平面AEC ； （Ⅱ）求二面角的余弦值.答案：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，， （2分） （Ⅰ）设平面AEC 的一个法向量为，∵，A PCBDEF∴由 得，令，得 (4分) 又 ∴， （5分） ，平面AEC ∴平面AEC （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为，又为平面ACD 的法向量， （8分） 而， （11分）故二面角的余弦值为 （12分）20.已知数列{}满足)(222*213221N n n a a a a n n ∈=++++-⑴求数列{}的通项公式； ⑵求数列{}的前.答案：解（1）设数列的前n 项和为,则……………2分)(121,12,1212,2*111N n n n n n n T n T T a n n n n ∈-=⎩⎨⎧=≥-=⎩⎨⎧=≥-=∴-- …………………………………………6分 （2）由 ①②……………………………8分 由②-①得，………………………．．……10分…………………………………………………………．．12分 21.（本题满分12分） 已知函数，设函数． （1）求证：函数必有零点 （2）若在上是减函数，求实数的取值范围； （3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：解：21()()=(2)3.()()0f x g x x m x m f x g x --+-+--=（）证明：令 22=(2)4(3)(4)0m m m ∆---=-≥ 则恒成立.-----------------------------------2分---------3分2()()1=(2)2.f x g x x m x m ---+-+-(2)解：G(x)= ==(4(2)(2)(6).m m m ∆--=--2令G(x)0，则m-2)206=(2)20m x m x m ∆≤≤≤-+-+-≤当时，即2时,G(x)恒成立，所以----------------------------------------------------------4分因为在[-1，0]是减函数，所以，解得；所以 当，因为在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且 对称轴--------------------------------------------------------------------------5分 所以 或 解得 所以综上所述，实数m的取值范围是；-------------------------------------7分4(2)(4mb⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪≤≤⎩2G(a)=a所以G(b)=am-2)a----------------------------------------------------------8分---------------------------10分2.±±因为a,b均为整数，所以b-2=1或b-2=.⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎩a=3a=-1a=2a=0解得,或,或,或b=3b=1b=4b=0--------------------12分22.（本题满分14分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，，（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则，得……………2分设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分另解：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线， 作轴于，则由抛物线的定义得， 所以2212121AHAF MF AF AM -=-=62527222221=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=AF AF，得，所以c ＝1，所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分…………8分…………10分…………12分…………14分29571 7383 玃36268 8DAC 趬39394 99E2 駢25721 6479 摹]27338 6ACA 櫊37077 90D5 郕30017 7541 畁c39309 998D 馍D28762 705A 灚24744 60A8 您+26892 690C 椌。