结构动力学第五章数值方法剖析
数值计算方法在工程结构仿真中的应用
数值计算方法在工程结构仿真中的应用第一章：引言数值计算方法是一种利用计算机进行数学计算和仿真的技术方法。
在过去的几十年里，数值计算方法在工程结构仿真方面得到了广泛应用。
本文将着重探讨数值计算方法在工程结构仿真中的应用，包括数值求解方法、分析模型、优化方法等。
第二章：数值求解方法数值求解方法是数值计算方法的核心。
在工程结构仿真中，常用的数值求解方法包括有限元方法、边界元方法和网格方法。
有限元方法是一种基于微分方程的数值求解方法，广泛应用于弹性力学、热传导等领域。
边界元方法是一种基于边界条件的数值求解方法，广泛应用于电磁、声学等领域。
网格方法则是一种基于离散化的数值求解方法，广泛应用于流体力学、结构力学等领域。
第三章：分析模型分析模型是工程结构仿真中的重要组成部分。
合理的分析模型可以提高仿真结果的精度和可靠性。
在工程结构仿真中，常用的分析模型包括线性模型、非线性模型、动力学模型等。
线性模型适用于高度规律的结构，而非线性模型则适用于存在变形和特殊情况的结构。
动力学模型则适用于受外部载荷影响的结构。
第四章：优化方法优化方法是工程结构仿真中的关键环节。
通过选择合适的优化方法，可以在保证结构的安全性和稳定性的前提下，达到最优结构的目的。
常见的优化方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些方法在工程结构设计中被广泛应用。
第五章：实例分析实例分析是本文的重点，通过实例分析可以更好地了解数值计算方法在工程结构仿真中的应用。
下面以桥梁设计为例进行分析。
桥梁是典型的工程结构，其安全性和稳定性对交通运输及其相关事业的发展至关重要。
在桥梁设计过程中，需要进行力学分析和优化设计，而数值计算方法则是解决这些问题的核心技术。
通过数值计算方法，可以得到桥梁的受力状态、应力分布、变形情况等重要参数，从而为优化设计提供理论基础。
同时，优化设计也可以通过数值计算方法进行验证和评估，从而确保设计合理性和安全性。
第六章：总结本文主要探讨了数值计算方法在工程结构仿真中的应用，包括数值求解方法、分析模型、优化方法等。
结构动力学第五章
i = 0 ,1,2 ,L
而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 • 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要 求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相 当于放松了对运动变量的约束。
采用等时间步长离散时，ti = iΔ t ,i = 1,2 ,3, L
&& & mui + cui + kui = Pi
• 根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两 大类：
– 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求 解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正 比，例如Newmark-β 法、Wilson -θ 法。 – 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求 解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如 中心差分方法（无阻尼时）。 • 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积 分法—中心差分法和Newmark-β 法，同时也介绍Wilson -θ 法，最后介绍非线性问题分析方法。
5.2 分段解析法 （Piecewise Exact Method）
分段解析法对外荷载进行离散化处 理，假设在ti≤t≤t i+1时段内 P
实际荷载
P(τ ) = Pi + α iτ
Pi+1 Pi
插值荷载：P(τ)
α i = ( Pi +1 − Pi )/Δti
如果荷载P( t )采用计算机采样，即 离散数值采样，则以上定义可认为 是“精确”的。 • 分段解析法一般适用于单自由度体系动 力反应分析，对于多自由度体系，有时 可以采用等效方法在满足一定近似的条 件下将多自由度体系化为单自由度问题 进行分析，这时 也可以采用分段解析 法完成体系的动力反应分析。
结构动力响应数值计算方法对比分析
结构动力响应数值计算方法对比分析作者：李涵来源：《青年生活》2019年第21期摘要：中心差分法、纽马克法、威尔逊-法是结构动力学中常用的三种方法，为了系统的比较其优缺性，本文针对一个双自由度的体系，首先根据已知条件计算出振动微分方程，运用Matlab计算出可求出12个步长内相应的位移值，即精确解。
然后分别运用中心差分法，纽马克法，威尔逊-法求出其近似解;最后通过三种方法的近似解与精确解相对比，进而分析出三种计算方法的优缺性，为结构动力计算提供依据。
关键词：动力计算、中心差分法、纽马克法、威尔逊-法1、动力体系概况2、精确解推导针对该双自由度体系，理论推导出系统的位移表达式，通过代入各时刻周期得出位移在各时刻的具体数值，即位移精确解。
对位移方程求一阶导数得出速度方程，求二阶导数求出加速度方程。
代入各时刻的周期值，通过Matlab计算得出位移、速度、加速度的数值如下：3、三种数值计算方法3.1、中心差分法中心差分法是基于用有限差分代替位移对时间的求导，对位移一阶求导得到速度，对位移二阶求导得加速度。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.2、纽马克法纽马克-β法是一种将线性加速度方法普遍化的方法。
通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
3.3威尔逊-法通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。
4、近似解与精确解对比分析从上述结构的位移、速度、加速度可以看出，三种方法都能大致表示该体系大体运动趋势，并且误差较小。
其中，在描述物体位移时，中心差分法较后两种方法更为精确。
然而在描述速度和加速度时，中心差分法表现出了较大的误差，而纽马克和威尔逊法则能更详尽的表征物体速度和加速度。
5、结论中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法均是结构动力计算中的常用方法。
本文针对具体的计算实例，分别计算出三种方法的动力响应结果，并与精确解进行对比。
经过分析，中心差分法能更精确的表示物体位移响应，而纽马克和威尔逊法在表征物体速度和加速度方面相较于中心差分法更为精确，三种方法，各有其优缺点，应视具体情况采用相应的计算方法。
08结构动力学数值分析方法.pdf
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
于开平-结构动力学第十五讲
xt t
( xt t xt ) (1 ) xt (1 )txt t 2
K K a0 M a1C
将它们同时代入第三个方程，只剩下待求时刻的位移，整理得 Kxt t Qt t
Qt t Qt M (a6 xt a2 xt a3 xt ) C (a1 xt a4 xt a5 xt )
x(t ) lim
x(t t ) x(t ) xt t xt t 0 t t
1 x x x x xt t t t t t t 2 t t
x(t ) lim
x(t ) x(t t ) xt xt t t 0 t t
2.3 纽马克方法(Newmark method)
对待求的下一时刻的位移、速度和加速度在当前时刻������进行泰勒展开
1 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) t 3 x (t ) O(t 4 ) 2 6 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) O(t 3 ) 2 x (t t ) x (t ) x (tn ) O(t ) x(t t ) x(t ) tx (t ) O(t 2 ) t
(2) 确定初始值
x 0 , x 0 , x0
x0 = M 1 (Q (0) Cx0 - Kx0 )
1 1 2
(3) 选择时步长∆������ , 使它满足∆������ < ∆������������������ = ������������ /������(������������ 为系统的最小周期)
结 构 动 力 学
第五章 结构动力学中常用的数值算法
结构动力学数值算法
K xn1 Qn1
参数不同选取包含着三个经典算法
1）
1 2
，
1 4
Newmark 平均加速度法， 梯形公式
2）
1 2
，
1 6
Newmark 线加速度法
3）
1 2
，
0
中心差分法
纽马克法的解题步骤
初始值计算
（1）形成系统矩阵 K，M 和 C
（2）定初始值
x0
，
.
x0
，
..
x0
。
（3）选择时间步长 t ，参数 、 （按上页选）。
其中 A1，A2，A3 为该矩阵的三个特征向量，分 别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的 行列式，分别表达如下：
A1
18
6
32 2
3 2
(2 2
32
6)
2
32
A2
42
32 3 62 2 18 (2 2 6)
12
A3
6
6
2 32 (2 2
2 2
6)
3
32
此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将
（2）求解 t t 时刻的位移
(LDLT )xtt Qtt
（3）计算 t t 时刻的加速度和速度
..
.
..
xtt a0 (xtt xt ) a2 xt a3 xt
.
.
..
..
xtt xt a6 xt a7 xtt
5.1.2 威尔逊- 法的解题步骤 1. 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C
如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称 算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。
判断方法：放大矩阵的谱半径小于等于 1 成立的 充分条件是
结构动力学中的计算方法与理论研究
结构动力学中的计算方法与理论研究结构动力学是指针对建筑物、桥梁、管道等工程结构的振动响应进行研究的一门学科。
为了准确地评估工程结构的动态响应和安全性能，结构动力学需要运用先进的计算方法和理论模型进行分析和预测。
本文就结构动力学中的计算方法和理论研究进行讨论。
一、计算方法1.有限元方法有限元方法是结构动力学中最常用的计算方法之一。
其基本思想是将复杂的结构分割成许多小的单元，用局部刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵来描述单元的力学行为，并将每个单元的行为都表示为一组矩阵方程。
然后通过组装这些矩阵方程，构建整个结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，并通过求解本征值问题来得出结构的振动特性。
2.有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为代数方程的数值解法。
其基本思想是对微分算子进行差分近似，从而得出代数方程。
在结构动力学中，有限差分法通常用于分析地震、风荷载等外部载荷引起的结构响应。
其主要优势在于可以精确地捕捉高频响应。
3.边界元法边界元法是一种将运动方程表述为积分方程的数值解法。
其基本思想是在结构的表面上进行离散，用高斯积分计算出数据点处的贡献，从而得到整个结构的响应。
边界元法在计算上更加高效，且对于三维结构的分析具有一定的优势。
二、理论研究1.构件级别的分析构件级别的结构动力学研究旨在揭示单个结构构件的振动响应，从而为整个结构的分析和设计提供理论依据。
近年来，数值模拟和实验测试相结合的方法被广泛应用于构件级别的研究，从而得出更准确的结构响应特性。
2.模态分析模态分析是一种将结构的自由振动分解成一系列特定振型的方法。
通过模态分析，可以得出不同振型对应的固有频率、振型形态和振幅等信息。
模态分析在诸多领域均有广泛应用，包括军事、航空、汽车、海洋等。
3.非线性动力学非线性动力学是指在考虑结构非线性行为（如材料的非线性、面积变化等）的情况下进行结构动力学分析的方法。
非线性动力学研究是结构动力学研究的前沿领域之一，其应用范围包括地震、风荷载、过载等。
结构动力学方程的数值解法研究
韩爱红等 ： 结构动力学方程的数值解法研究
要】 本文介绍 了求 解结 构动力学方程 的数 值积分方 法 ， 主要包括 ： 线性 加速度 法 、 Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ一０法 、 Ｎ ｅ ｗ —
ｍａ ｒ ｋ一口法 、 中心差分法 、 Ｈ ｏ ｕ ｂ ｏ ｈ法 和精 细积分法 ； 论述 了各 种数值 积分 方法 的基 本原 理 、 稳 定性 和适 用 范围 ； 通 过算例 ， 指 出了各种数值积分方法 的优 缺点 ， 证实 了精细积 分法 在计算 精度 和在长步 长 、 长时 问内 中保 持稳定性
值积分方法 就是 把结 构动 力 学方 程在 时 域 内进行 离
散， 用 相邻 时刻 已知的 位移 、 速 度 和加速 度来 求解 该
时刻 的加速度 、 速 度和位移 。如何将该 时刻 的速 度和
加速度用相邻时刻 的参数来 线性组 合 ， 就导 致 了各种 不同 的数值积分方 法” ， 如线性 加速度 法 、 Ｗｉ ｌ ｓ ｏ ｎ～ ０法 、 Ｎ ｅ ｗ ａ ｒ ｋ —Ｂ法 、 中心差 分法和 Ｈ ｏ ｕ ｂ ｏ ｈ法 ， 这 些方
印 等和 Ｒ ｏ ｓ ｔ ａ ｍ ｉ Ｓ 等 研究 了结 构动 力 响应并 行 分 析系统 ， 大大提高 了求解 的速度 。
１ 数 值 积分 方 法
结 构动力学方程为 ： ［ ］ ｛ ／ ／ ｝＋［ Ｃ ］ ｛ ｕ ｝＋［ Ｋ］ ｛ ｕ ｝＝ ｛ Ｆ｝ （ １ ） 其 中， Ｍ， Ｋ， Ｃ为结构 的质量矩 阵 、 刚度 矩 阵和阻 尼矩阵 ， Ｆ为外部激 励 。一般情 况下 ， 由于 ， Ｋ， Ｃ矩 阵较大 ， 结构动力学方程 很难求 得解 析解 ， 因此 ， 数 值 积分法成 为 了求解 结 构动 力学 方 程 的主要 途径 。数
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5．2．2 算法的稳定性分析 稳定性定义：设 i , i 1,2m 为放大矩阵 A 的特征 值， 则 maxi 定义为 A 的谱半径， 若特征值互异， 则 1 的算法是稳定的，但若有重特征根，则要求 1。 如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称 算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。 判断方法：放大矩阵的谱半径小于等于 1 成立的 充分条件是 1 2 A1 A2 0 1 2 A1 A2 0 1 A 0 2
其中 A1，A2，A3 为该矩阵的三个特征向量，分 别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的 行列式，分别表达如下：
18 6 3 2 3 2 3 2 2 3 2 A1 2 2 2 ( 6) 4 2 3 2 3 6 2 2 18 12 A2 2 2 ( 6) 6 6 2 3 2 2 2 3 3 2 A3 2 2 ( 6)
C (a1 xt 2 xt a3 xt )
. ..
（2）求解 t t 时刻的位移
( LDL ) xt t Rt t
T
（3）计算在 t t 时刻的加速度、速度和位移
xt t a4 ( xt t xt ) a5 xt a6 xt
..
.
h 2 (6 3 2 2 2 2 ) 3 2 2 2 h(6 3 3 / 2) 6 2 3 3 2 2 6)
D ( 2 2 6)
放大矩阵 A 的特征多项式为：
det(A I ) 3 2 A12 A2 A3 0
例 5－1 分析 Newmak 方法、 Wilson- 方法的稳定性 解： 将 Newmak 方法放大矩阵特征量代入稳定性 分析表达式
1 2 ( ) 0 2
2
( ) (1 2 ) 1 0 2
2
1 6 2 0 , 2 显然，当 2 2 ， 6 (2 1) 0 2 2 算法无条件稳定。 12 ( 1 6 6 ) 0 对 Wilson- 方法有 (4 3 1 6 2 ) 2 24 12 0 4 (2 2 1 3 ) 0
1 1 A1 traceA ( A11 A22 ) A det A A A A A 11 22 12 21 , 2 2 2
对 Newmak 方法有：
v 1 2 [1 (2 1) ( ) ] 2 4 A1 D
1 2 [1 (2 2) ( ) ] 2 A2 D
..
xt t xt a7 ( xt t xt ) xt t xt txt a8 ( xt t xt )
5． 2 结构动力响应数值算法性能分析 算法数值计算结果如何评价，针对不同的结 构动力响应计算问题应该如何选择更合适的算法 等是非常重要的问题。这就需要深入研究算法的 数值计算性能，也就是算法的计算精度、稳定性 等。 对线性结构动力学问题，已经有证明对整个 多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由 度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对 单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中 阻尼均假设为比例阻尼。
结 构 动 力 学
第五章 结构动力学数值算法
主讲教师：于开平
哈尔滨工业大学航天学院
5.1 结构动力学中常用数值方法
. .. M x C x Kx F (t ) x(0) x0 . x(0) v0
基本思想：首先给定待求时间长度 T， t [0, T ] ， 在其中取一系列离散点（i=0,1,…,n） ，我们不去求 x(t)，只求 x(ti ) 即可，即给出待求响应在各离散时 刻的近似值。两个离散时刻间隔称为步长，步长可 以相同（等步长） ，也可以不同（变步长） 。
T T
T T 2 x , hv 有的也 定义为 k k 或 xk , hvk , h ak
yk
yk 1 xk 1 , xk , xk m
对自由振动情况有
yn A y0
n
显然计算的第 n 步的值与 A 直接有关。 例如，Newmak 方法：
A A Ad
1 h At 2 h
计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类 1） 针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法， 中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。 2）直接基于二阶动力学方程发展的方法 对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类 1）模态迭加 2）直接积分 模态迭加方法， 比较常用， 但如下情况通常使用 直接积分方法（即求解之前不进行模态分析） i) 非比例阻尼，非线性情况。 ii) 有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间 较短，模态迭加计算量太大。
对 3 3 的放大矩阵
1 2 A1 2 A2 A3 0 3 2 A1 A2 3 A3 0 3 2 A1 A2 3 A3 0 1 2 A A A 0 1 2 3 1 A2 A3 (2 A1 A3 ) 0
通过变换将速度和加速度用位移表示，代入运动方 程，只剩 n+1 时刻位移一个未知数，得法 1 1 1） Newmark 平均加速度法， 2， 4 梯形公式 1 1 2） Newmark 线加速度法 2， 6 1 3） 中心差分法 2 ， 0
（2）求解 t t 时刻的位移
( LDL ) xt t Qt t
T
（3）计算 t t 时刻的加速度和速度
xt t a0 ( xt t xt ) a2 xt a3 xt
..
.
..
xt t xt a6 xt a7 xt t
.
.
..
上两式是关于算法自由参数 , 的不等式，由它可 以判断算法是否无条件稳定，若不是，将给出稳定 条件。
算法数值稳定性的物理解释： 物理上，对一个无阻尼或者有阻尼自由振动系 统，系统的能量随着时间不应该增加，有阻尼情况 还应该减小。 因此 , 一个数值方法的计算结果也不应该放大 初始能量，如果经过若干步的数值计算以后，计算 结果远比初始条件大，那就是数值算法本身计算是 不稳定的。
Newmark 类方法
1 2 1 3 x(tn 1 ) x(tn ) t x(tn ) t x(tn ) t x (tn ) O( t 4 ) 1） 2 6 . . .. 1 2 ... x(tn 1 ) x(tn ) t x(tn ) t x(tn ) O(t 3 ) 2） 2
.
1）可以直接略去高阶项 2）用变权来调节
1 xn 1 xn txn [( ) xn xn 1 ]t 2 2
xn1 xn [(1 ) xn xn1 ]t
然后假设在 tn 1 时刻近似满足运动方程
Mxn1 Cxn1 Kxn1 Fn1
2 x ( t ) x ( t ) t x ( t ) O ( t ) n n 3） n1 .. .. ...
x(tn1 ) x(tn ) x(tn ) O(t ) 由 3）得 代入 1） ，2）得 t
...
..
..
t 2 .. t 2 .. x(tn1 ) x(tn ) t x(tn ) x(tn ) x(tn 1 ) O(t 4 ) 3 6 . . t .. t .. x(tn 1 ) x(tn ) x(tn ) x(tn 1 ) O(t 3 ) 2 2
,
其中 h 为时间步长，
h, D 1 2
2
Wilson- 方法，放大矩阵为：
( 3 1) 2 6 1 A 3 D 2 6
h(6 2 3 2 ) ( 2 ( 2 3) 6) 6h
5.2.1 算法用于结构动力学方程的有限差分表示
2x 2 x f (t ) x
以下算法的性能分析， 均将算法用于这个方程。 分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式
y k 1 Ayk Lk
A 为放大矩阵或称逼近算子， 为载荷逼近算子。
Lk
yk xk , xk 1 , xk m1
t
a4
a0
a5
a2
（4）形成等效刚度
K
K K a0 M a1C
（5）将等效刚度进行三角分解
K LDLT
2.对每一个时间步长 （1）计算 t t 时刻的等效载荷
. ..
Rt t Qt (Qt t Qt ) M (a0 xt a2 xt 2 xt )
纽马克法的解题步骤 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C （2）定初始值 x0 ，
x0 ，
.
x0 。
..
（3）选择时间步长 t ，参数 、 （按上页选） 。 1 a0 a t 2 ， 1 t 并计算积分常数: t 1 a3 1 a4 1 a5 ( 2) 2 2 ， ，
此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将 方程中的速度和加速度项消去，可得数值算法关于 位移的差分方程，例如 Newmak 方法，有 1 2 2 (1 2 ) xn 1 2[1 (2 1) ( ) ] xn 2 4
1 2 [1 (2 2) ( ) ]xn 1 0 2
..
5.1.2 威尔逊- 法的解题步骤 1. 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C （2）定初始值 x0 ， x 0 ， x 0 。 （3）选择时间步长，并计算积分常数
.
..