【初中数学】人教版八年级数学上册13.4最短路径问题ppt课件
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初中数学 人教版八年级上册13.4最短路径问题课件(共18张PPT)
Ｎ B
2020/8/2
9
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等 于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ 作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
A
A1
M
N
B
2020/8/2
10
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
2020/8/2
11
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一 个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直 线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题 我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥 的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时， 根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸， 即可得出桥的位置．
2020/8/2
B
·
A
·
l C
B′
6
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC'，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′ ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′
AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
2020/8/2
9
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等 于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ 作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
A
A1
M
N
B
2020/8/2
10
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
2020/8/2
11
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一 个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直 线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题 我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥 的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时， 根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸， 即可得出桥的位置．
2020/8/2
B
·
A
·
l C
B′
6
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC'，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′ ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′
AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
人教版数学初中八年级上册13.4课题《学习最短路径问题》PPT课件
▪ 问题2 A和B两地在一条河的两岸，现在要 在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A 到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直。）
A
a M
N
b
B
▪ 分析：可以动点，MN垂直于直线b，交 直线a于点M，这样问题可以转化为：
▪ 当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
▪ 由于河宽固定，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
▪ 当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
▪ 根据问题1的知识，请同学们： ▪ 1、自主探究， ▪ 2、同学讨论， ▪ 3、对照课本， ▪ 找出不足，解决问题。
▪ 归纳：
▪
在解决最短路径问题时，我们通常利
用轴对称、平移等变化把已知问题转化为
容易解决的问题，从而作出最短路径的选 择。
▪ 小结：
▪ 本节课同学们学到了哪些知识？还有哪 些困惑？
▪ 那么我们如何才能把同则的两点变成异则 的两点呢？
▪ 如果能把点B或A移到L的另一则B′或A′处， 同时对直线上的任一点C，都保持CB=CB′， 就可以了。
▪ 你能利用轴对称找到符合条件的B′点吗？
B A
B A
C 点C 即为所求
你能证明为什么点C即为所求吗？
B′
▪ 证明：在L上另取一点C′，连接AC′,BC′,B′C′, ▪ ∵AC′+BC′=AC′+B′C′ ▪ 在△AB′C′中 ▪ AC′+BC′＞AB′(两边之和大于第三边） ▪ ∴点C即为所求。
复习：
▪ 我们以前学过哪些知识能说明线段最短？
1，两点间线段最短
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
人教版初中八年级数学上册13.4最短路径问题ppt课件
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
（4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之 间线段最短”加以解决。
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
（4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之 间线段最短”加以解决。
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
人教版八年级上册数学课件13.4课题学习最短路径问题(共21张PPT)
．
课堂回顾：本节课你复习了什么内容？通过本节课复 习，你有何收获？
探求平面内最短路径的主要原理有以下两种： 一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最 短”，求平面内折线的最短路径的最短路径通常 用轴对称变换、平移变换、旋转变换转化为“两 点之间的线段”。立体图形上的最短路径问题常 需借助平面展开图转化为平面问题。
5、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，
用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则
丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
6、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C
为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点
不重合）两点间的最短距离为
13.4 课题学习 最短路径问 题
问题情景
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l的P点饮马， 然后到B 地．P在何处可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线．
·B
A·Leabharlann l这样做的理由是什么？
知识回顾
探求平面内最短路径的主要原理有以下两 种：一是“垂线段最短”，二是“两点之 间，线段最短”，求平面内折线的最短路 径的最短路径通常用轴对称变换、平移变 换、旋转变换转化为“两点之间的线段”。 立体图形上的最短路径问题常需借助平面 展开图转化为平面问题。
某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的 AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆 满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？
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（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、 A两点的位置上，
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验. 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
A
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，
A1
连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
M
Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
根据：
两点之间线段最短.
(二)一次轴对称：
两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮 水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
(二)一次轴对称：
两点在一条直线同侧
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：
一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
(三)二次轴对称：
一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
（4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之 间线段最短”加以解决。
反
思
我的收获；
是
进
步 的
我的疑惑；
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通
过怎样的途径去研究它？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
将军饮马问题：
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山 大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军 专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸
如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分 别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河岸垂直）
思维方法
沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ
点至Ａ１ 点，沿垂直于第二条河岸 方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建 桥MN和PQ.
A A1
最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为 AA1+A1B1+BB1.
M
N P
Q
B
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
O
B'
(五)造桥选址问题
两点在一条河两侧
例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？ （假定河的两岸是平行的直线，图假定任选位置造桥ＭＮ，连接A ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下 最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么 障碍呢？
Ｍ
Ｎ B
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
!
子古 搬有 桥愚 ，公 呵移 呵山
， 今 有 学
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱA Ｂ．
桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍 无法直接利用“两点之间，线段最短”解 决问题，只有利用平移变换转移到两侧或 同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都 平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑 球？
C
B N
M A
O
（四）二次轴对称：
例4变式：
两点在两相交直线内部
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
(2)连结A'和B'，交OM 于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.
D
A.'. .C
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中
马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
P
A ---P--- B.
B
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。