抽象函数定义域的求法

抽象函数的定义域
一．已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定
义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解
x
的范围，即为
)]([x g f 的定义域。

二：已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定
义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由
b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

三：已知复合函数
[()]f g x 的定义域，求
[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得
()x f 的定
义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

四：已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例 1.已知函数()f x 的定义域为[]15
-，，求(35)f x -的定义域．
分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和
()f u 构成
的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，
由于()f x 与
()f u 是同一个函数，因此这里是已知
15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．
解：()f x Q 的定义域为
[]15
-，，
1355x ∴--≤≤410
33x ∴≤≤，．
故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
例2.已知函数的定义域是，求的定义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有
，即
函数的定义域由
确定
函数的定义域是
例3.若函数f (x +1)的定义域为[－2
1，2]，求f (x 2)
的定义域．
分析：已知f (x +1)的定义域为[－2
1，2]，x 满足－
21
≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后
f (x 2
)的定义域由f (x )的定义域可得．
解：先求f (x )的定义域：
由题意知－2
1≤x ≤2，则2
1＜x ＋1＜3，即f (x )的定
义域为[2
1，3]，
再求f[h(x)] 的定义域：
∴
2
1＜x2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x＜3．
∴f(x2)的定义域是{x|－3＜x＜－2
2或2
2
＜x＜
3}．
练习
1. 设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

分析：做法与例题1相同。

解：（1）由已知有，解得
故的定义域为
（2）由已知，得，解得
故的定义域为
2、已知函数的定义域为
，则的定义域为________。

分析：做法与例题2相同。

解：由，得
所以，故填
3、已知函数
的定义域为
，
则y=f(3x-5)的定义域为________。

分析：做法与例题3相同。

解：由，得
所以，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x
≤2.
4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求
y=f ()31
()31-++x f x 定义域。

分析：做法与例题4相同。

解 ：由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的
交集.
列出不等式组,3231343
13
231
13101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤
≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )3
1()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.。