2015年浙江省绍兴市绍兴县鉴湖中学高考数学模拟试卷(理科)

2015年浙江省绍兴市绍兴县鉴湖中学高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A.[0，1）B.（-1，1]C.[-1，1）D.（-1，0]【答案】A【解析】解：由N中的不等式变形得：x（x-1）≤0，解得：0≤x≤1，即N=[0，1]，∵M=（-1，1），∴M∩N=[0，1）．故选：A．求出N中不等式的解集确定出N，求出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若函数f（x）（x∈R）是奇函数，则（）A.函数f（x2）是奇函数B.函数[f（x）]2是奇函数C.函数f（x）•x2是奇函数D.函数f（x）+x2是奇函数【答案】C【解析】解：f（（-x）2）=f（x2），则函数f（x2）是偶函数，故A错误，[f（-x）]2=[-f（x）]2，则函数[f（x）]2是偶函数，故B错误，函数f（-x）•（-x）2=-f（x）•x2，则函数f（x）•x2是奇函数，故C正确，f（-x）+（-x）2≠f（x）+x2，且f（-x）+（-x）2≠-f（x）-x2，则函数f（x）+x2是奇函数错误，故D错误，故选：C根据函数奇偶性的定义进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．3.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A.35πcm3B.cm3C.70πcm3D.cm3【答案】D【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，球的半径与圆台的上底面半径均为4cm，故半球的体积为：××π×43=cm3，圆台的上底面半径为2cm，高为3cm，故圆台的体积为：π（42+4×2+22）×3=cm3，故组合体的体积V=+=cm3，故选：D由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，分别计算半球与圆台的体积，相加可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（-），则实数λ的值为（）A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】B【解析】解：向量，，，，若，=（2λ+3，3），=（-1，-1）则：（2λ+3）（-1）+3（-1）=0，解得λ=-3．故选：B．直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可．本题考查向量垂直的充要条件的应用，基本知识的考查．5.已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，-1），∵点C也在直线y=a（x-3）上，∴-1=-2a，解得a=．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A.[15，20]B.[12，25]C.[10，30]D.[20，30]【答案】C【解析】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40-x，∴x（40-x）≥300，解得10≤x≤30．故选C．设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40-x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．7.已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A.-1B.5-4C.6-2D.【答案】B【解析】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|-3-1=-4=-4=5-4．故选：B．求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8.设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】B【解析】解：b1=2a1-c1且b1＞c1，∴2a1-c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1-a1=2a1-c1-a1=a1-c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1-c1＜a1，∴2a1-c1-c1＜a1，∴2c1＞a1，∴＞，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1-2a n=（b n+c n-2a n），∴b n+c n-2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1-c n+1=，∴=a1-b n，∴b n+1-a1=，∴b n-a1=，∴，c n=2a1-b n=，∴[][]=[-]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．由a n+1=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1-2a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1-c n+1=，得b n-c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．9.设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A.[1，e]B.[e-1-1，1]C.[1，e+1]D.[e-1-1，e+1]【答案】A【解析】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[-1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确故选A考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错10.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=′′设BP′=x，则CP′=20-x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20-x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=，若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，则tanθ的最大值是．在直角三角形ABC中，由AB与AC的长，利用勾股定理求出BC的长，过P作PP′⊥BC，交BC于点P′，连接AP′，利用锐角三角函数定义表示出tanθ=′′，设BP′=m，则CP′=20-m，利用锐角三角函数定义表示出PP′，利用勾股定理表示出AP′，表示出tanθ，即可确定出tanθ的值．此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+3，则a5= ______ ．【答案】13【解析】解：由数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+3，可知数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a5=a1+（5-1）d=1+4×3=13．故答案为13．由已知可得数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．本题主要考查等差数列的定义和通项公式的应用，属于基础题．12.函数f（x）=的定义域为______ ．【答案】（1，1+e）【解析】解：要使函数有意义，需满足＞＞，即＞＜解得1＜x＜1+e故答案为：（1，1+e）．令分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0，得到不等式组，求出x的范围写出区间形式．本题主要考查函数定义域的求法，同时考查对数的性质，属于基础题．13.已知函数f（x）=，＜，，若f（f（0））=4a，则实数a= ______ ．【答案】2【解析】解：∵f（0）=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，所以a=2故答案为：2．本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（0）的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a的一元一次方程，解方程即可得到a值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．14.将函数f（x）=sin（x-）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为______ ．【答案】【解析】解：将函数f（x）=sin（x-）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x-）图象；再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），可得函数y=sin[2（x+φ）-]=sin（2x+2φ-）的图象，再根据y=sin（2x+2φ-）为偶函数，可得2φ-=kπ+，k∈z，即φ=+，则φ的最小值为，故答案为：．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数为y=sin（2x+2φ-），再根据y=sin（2x+2φ-）为偶函数，可得2φ-=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．15.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S4≥10，a3≤3，a4≥3，则a7的取值范围为______ ．【答案】[3，7]【解析】解：因为S4≥10，a3≤3，a4≥3，所以，即，由第二、三个式子可得，d≥0，所以a7≥3d+3≥3；由第一、二个式子得，解得d≤1，所以a7≤3+4d≤7；所以3≤a7≤7．故答案为：[3，7]．分析：先将给的条件都用a7和公差d的表示出来，构造出关于a7和d的不等式组，通过化简求出a7的范围．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，求解的关键是用d和a7将所给的条件表示出来，在求解不等式；同时考查了基本量思想，以及化归思想．16.已知点M（4，0），点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x-2）2+y2=1上运动，则的最小值是______ ．【答案】4【解析】解：如下图，设圆心为F，则F为抛物线y2=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=-2，设P（x，y），由抛物线的定义：|PF|=x+2，要使最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|==；∴，令x+3=t（t≥3），则x=t-3，∴，当t=5时取“=“；∴的最小值是．故答案为：4．设圆心为F，则容易知道F为抛物线y2=8x的焦点，并且最小时，PM经过圆心F，设P（x，y），则：|PM|2=（x-4）2+y2=（x-4）2+8x=x2+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以，求的最小值即可．考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方程，利用基本不等式：a+b，＞求函数的最值．17.在三角形ABC中，AB=2，，，点D、E分别在边AC，BC上，且，则的最大值为______ ．【答案】-【解析】解：△ABC中，由余弦定理，得cos A=，设=λ，（0＜λ＜1），则，，∴，，∴，=-4+3×+=-，y=-，故（7+y）λ2+（2y+1）λ+1+y=0，设f（x）=（7+y）λ2+（2y+1）λ+1+y，∴＜＜＞＞，∴λ≤-，故答案为：．首先，根据余弦定理，得到A的余弦值，然后，根据共线条件并结合平面向量基本定理，求解．本题重点考查了平面的概念、运算和平面向量基本定理等知识，属于中档题．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos A=bcos C+ccos B．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cos B-sin C的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC中，2acos A=bcos C+ccos B，∴由正弦定理===2R得：a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，∴2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B，即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sin A，∴2sin A cos A-sin A=0，∴sin A（2cos A-1）=0，而sin A≠0，∴cos A=，又A∈（0，π）∴A=…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=-B，故cos B-sin C=cos B-sin（-B）=cos B-[sin cos B-cos sin B]=cos B-cos B+（-）sin B=-cos B-sin B=-sin（B+），∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴-1≤-sin（B+）＜-．∴cos B-sin C的取值范围是[-1，-）…14分【解析】（Ⅰ）由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cos A=，从而可求得A的大小；（Ⅱ）由C=-B，再结合辅助角公式即可求得cos B-sin C的取值范围．本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．19.如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求CF的长．【答案】解：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q．∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1，得∠AQF=30°．即异面直线EF与BC所成角为30°．（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．∵ABCD为矩形，∴CD⊥DF，∴DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=．在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，∴GH=．在直角△DGH中，DG=，GH=，得DH=2．∵cos∠DHG==，得x=，∴AB=．∵AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1，∴AF=AD=DF=2，∴CF===．【解析】（Ⅰ）延长AD，FE交于Q，由已知得∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，由此能求出异面直线EF与BC所成角．（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF，AB⊥DG，CD⊥DF，从而DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．由此能求出CF．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=-上．（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；（2）求•的取值范围．【答案】解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=-上，∴A点的横坐标为-1，代入椭圆方程+y2=1，解得y=±，故点A（-1，）或点A（-1，-）．∴线段AB的中点M（-，+）或（-，-）．（2）由于F1（-1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=-，点A（-，-）、B（-，），求得•=．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（-，m），A（x1，y1），B（x2，y2），由可得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，∴-1=-4mk，即k=，故AB的方程为y-m=（x+），即y=x+①．再把①代入椭圆方程+y2=1，可得x2+x+•=0．由判别式△=1-＞0，可得0＜m2＜．∴x1+x2=-1，x1•x2=，y1•y2=（•x1+）（x2+），∴•=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=x1•x2+y1•y2-（x1+x2）+1=．令t=1+8m2，则1＜t＜8，∴•==[3t+]．再根据[3t+]在（1，）上单调递减，在（，8）上单调递增求得[3t+]的范围为[，）．综上可得，[3t+]的范围为[，）．【解析】（1）先求得A点的横坐标为-1，代入椭圆方程+y2=1，解得y的值，可得A的纵坐标，再根据中点公式求得M的坐标．（2）当AB垂直于x轴时，易得•的值．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（-，m），由可得k=，可得AB的方程为y=x+①．把①代入椭圆方程化简利用韦达定理，由判别式大于零，求得m2的范围，化简•为．令t=1+8m2，则1＜t＜8，再根据函数的单调性求得•=[3t+]的范围．本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．21.设数列a1，a2，…，a2015满足性质P：a1+a2+a3+…+a2015=0，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=1．（Ⅰ）（ⅰ）若a1，a2，…，a2015是等差数列，求a n；（ⅱ）是否存在具有性质P的等比数列a1，a2，…，a2015？（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）（ⅰ）解：设等差数列a1，a2，…，a2015的公差为d，则．由题意得，所以a1+1007d=0，即a1008=0．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=0与性质P矛盾；当d＞0时，由，a1008=0，得d=，．所以，，，．当d＜0时，由，a1008=0，得，．所以，，，．综上所述，或，，，．（ⅱ）解：设a1，a2，…，a2015是公比为q的等比数列，则当q=1时，a1=a2=…=a2015，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=|a1+a2+a3+…+a2015|=0，与性质P矛盾．当q≠1时．与性质P矛盾．因此不存在满足性质P的等比数列a1，a2，…，a2015．（Ⅱ）证明：由条件知，必有ai＞0，也必有aj＜0（i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j）．设，，，为所有ai中大于0的数，，，，为所有ai中小于0的数．由条件得a i1+a i2+…+a il=，a j1+a j2+…+a jm=-．所以===．∴．【解析】（Ⅰ）（ⅰ）由题意得，从而a1008=0，由此结合已知条件能求出a n；（ⅱ）当q=1时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2015|=|a1+a2+a3+…+a2015|=0．当q≠1时，．由此能求出不存在满足性质P的等比数列．（Ⅱ）由条件知，必有ai＞0，也必有aj＜0（i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j），由条件得a i1+a i2+…+a il=，a j1+a j2+…+a jm=-．由此能证明．本题考查数列的通项公式的求法，考查是否存在具有性质P的等比数列的判断与求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．22.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．【答案】证明：（1）令F（x）=f（x）-x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x1）（x-x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，即x＜f（x）．x1-f（x）=x1-[x+F（x）]=x1-x+a（x1-x）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]因为＜＜＜＜所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．得x1-f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以＜．【解析】（1）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f（x），然后作差x1-f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．。