第5章误差

设有一函数
y f ( x1, x 2 , x n )
式中—xi为可以直接观测的值，y为函数值。
设对各个相互独立的自变量xi分别进行了k次观测，其 平均值分别是li ，而相应的中误差分别是mi ，且记
( f x
i
)
x
i
li

f
i
则当k足够大时，可以推导出：
m y f1 m 1 f 2 m 2 f n m n
根据高斯推导的偶然误差概率密度函数, 的分布可 以用下图表示。 由图可见，偶然误差概率密度函数中的参数σ 反映 着误差分布的密集或离散程度，即反映其离散度的大小， 可以作为衡量精度的指标： σ 越小，偶然误差分布越集 中，则测量精确度越高（如图中曲线Ⅰ）； σ 越大，偶 然误差分布越分散，则测量精确度越低（如图中曲线 Ⅱ）。
m
x

m n
y
1 n
( x1 x 2 x n )
1 n
则
f1 f 2 f n
mx

n
fi mi
2 2
i 1
1 2 m 2 n ( ) m n n
右图是根据上式得到的 算术平均值的中误差与观测 次数的关系曲线。右图表明， 增加观测次数可以提高算术 平均值的精度，例如，假定 单次观测中误差为1.0，则10 次观测平均值的中误差将减 到0.316。但右图同时显示， 当观测次数达到一定数值后 （如n=10），再增加观测次 数提高观测精度的效果就不 太明显了。
m

i n
2
求观测中误差无法实施。
以下讨论在无真值条件下有关参数的计算问题。 设某未知量的真值为X，对它进行了一组等精度观测， 观测值分别为 ： l , l , l 1 2 n 相应的真误差为： 1 , 2 , n 则：
1 l1 X
2 l2 X
求算术平均值、观测值的中误差及算术平均值的中误差。 解：高差平均值

L
n
li
i 1
=1.251m
n
n
观测值中误差
m

vi
2
i 1
( n 1)
Байду номын сангаас
=0.0022m
平均值中误差
mx m n
v
i 1
n
2 i
n ( n 1)
=0.0007m
本 章 结 束
… …
v n ln L
将上述各式两端相加得：

n
vi
i 1

n
li n L
i 1
由于算数平均值

L
n
li
i 1
，则可得到：
n
v
i 1
n
i
0
由上式可知，一组观测值的改正数代数和应为零，利 用这一特性可以检核计算过程是否正确。
5.4.3、用改正数计算中误差
运用误差理论可以证明，观测值的中误差m是
5.1.2、偶然误差(random error)
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若 误差出现的符号和大小均不一定，或者说误差的来源尚没 有被人们认识到，则这种误差称为偶然误差。例如，测量 中的估读误差等。 大量的测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性： (1) 在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者 说，超出该限值的误差出现的概率趋近于零； (2) 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； (3) 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； (4) 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值， 随着观测次数的无限增加而趋于零，即
K D往 D返 D平均
从实质上看，上式的计算结果是“较差率”，而非“相 对误差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。
特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。
5.2.3、极限误差
偶然误差的第一特性表明，在一定的观测条件下，偶 然误差的绝对值不超过一定的界限。如果观测值的误差超 过了这个界限，则被认为观测有错，应舍去重测，这个限 值称为极限误差或容许误差（allowance error）。误差理论 表明，在实际观测中，绝对值大于一倍中误差的偶然误差 出现的概率为30%；绝对值大于二倍中误差的偶然误差出 现的概率为5%；而绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现 的概率仅为0.3%.根据上述结果，工程测量中可取二倍中 误差作为偶然误差的限值，即Δ限=2m。 当对测量结果要求宽松时，也可取三倍中误差作为偶 然误差的限值。一般认为，大于三倍中误差的偶然误差是 不可接受的，应舍去重测。
2 2 2 2 2 2
2
上式就是误差传递的一般公式，在误差理论中占有重 要地位 。
【例5.3.1】设在三角形ABC中，直接观测∠A，∠B ，且已
知其中误差分别为mA=±3〞， mB=±4〞 。当由∠A，∠B
的观测值计算∠C大小时，相应的中误差mC等于多少？ 解：建立函数关系 则
f1
y 1 8 0 x1 x 2
e
2
2
上式表明，偶然误差 的出现服从标准正态分布 (右图)，这就为偶然误差的 处理奠定坚实的理论基础。 测量实践中可以根据偶然误 差的特性合理地处理观测数 据，以减少偶然误差对测量 成果的影响。
5.2 观测值精度评价指标
在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对 应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值， 都具有同样的精度；然而，在不同的观测条件下，对同一 量所进行的观测必然具有不同的精度。 下面介绍几种常用的衡量精度的指标。
5.3 误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进
行观测，而需要由其它一些直接观测量按照一定的函数
关系计算出来，而这些作为自变量的直接观测值是包含 测量误差的，这必然引起函数值的误差。 本节讨论自变量误差和函数值误差间的关系。根 据自变量的误差来分析确定函数值的误差，这种函数关
系的定律即称为误差传播定律。
5.2.1、中误差
设对某一未知量进行了n次等精度观 测，未知量的真值为X，其观测值为l1、 l2、……、ln，相应的真误差为：
1 l1 X
n ln X
… …
2 l2 X
则定义该组观测值的方差D为:
D
lim
n

n
2 i
以上式为基础，数理统计理论可以证明： D
5.1.1、系统误差（systemic error）
对某量进行一系列观测，如误差出现的符号和大小均 相同或按一定的规律变化，或者说误差的成因是预先已知 的，则这种误差就称为系统误差。 系统误差具有积累性，无法用多次观测取平均的方 法消除，对测量结果的影响很大。但是，由于系统误差 的符号和大小有一定的规律，可以用以下方法进行处理： （1）、用计算的方法加以改正。 （2）、用一定的观测程序加以消除。 （3）、将系统误差限制在工程实践允许范围内。
5.1 测量误差分类
测量误差（error）的产生，主要是由于仪器不可能绝 对准确，观测者的鉴别能力有限，观测是在一定的外界条 件(如风力，温度、气压、照度等)下进行的。通常把仪器、 观测者和外界条件三个方面综合起来，称为观测条件。观 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等 精度观测（equal observations），观测条件不同的各次观 测称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误。例如，读数错误 或记录错误等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许 出现的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量，对角度 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。
算术平均值的中误差与观测次数
因此，不能仅依靠增加观测次数来提高测量成果的精度， 而必须使用精度较高的仪器，提高观测技能，在良好的外界 条件下进行观测等。
5.4
无真值条件下的最大似然值
5.4.1、最大似然值（maximum likelihood value）
在工程实践中，经常遇到的情况是某一未知量无法 得到其真值，则用式
n ln X
… …
将上述各式求和，等号两边再同除以n，得：

n

i
i 1


n
li X
i 1
n
n
设L为算术平均值，则有

L
n
i X
i 1
n
根据偶然误差的第四条特性，当观测次数足够大时，有
n
lim L X
从上式可以看出，当观测次数足够大时，观测值的算 术平均值就趋向于未知量的真值。当n为有限时，则说算术 平均值 L 是真值 X 的“最大似然值”，也称为似真值。

m
n
vi
2
i 1
( n 1)
相应地，算术平均值的中误差为
mx
m n


n
vi
2
i 1
n ( n 1)
[例5.4.1]用水准仪对A、B两点高差（以m为单位）进行10 次观测的结果如下： +1.254 +1.247 +1.253 +1.251 +1.250 +1.250 +1.248 +1.249 +1.252 +1.251
lim

n
i
0
高斯（Gauss, Carl Friedrish 1777~1855，德国数学家， 天文学家，物理学家，在实验数据处理方面，发展了概率统 计中的误差理论，发明最小二乘法，引入高斯误差曲线）根 据偶然误差的四个特性，推导出偶然误差分布的概率密度函 数为：