高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差习题课件新人教A版选修2_
高中数学第二章随机变量及其分布全章素养整合课件新人教A版选修23
解析：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击 中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为 P＝C15×23×134＋135， 所以所求的概率为 1－P＝1－C15×23×134＋135＝223423.
(2)当 ξ＝4 时，记事件为 A， P(A)＝C13×23×132×23＝247， 当 ξ＝5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)＝C14×23×133＋134＝19， 所以所求概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝247＋19＝277.
解析：(1)记事件 A1 为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球”， A2 为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球”， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖”， 则 B 表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”． 由题意 A1 与 A2 相互独立，则 A 1 与 A 2 相互独立，且 B ＝ A 1·A 2， 因为 P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12， 所以 P( B )＝P( A 1·A 2)＝1－25·1－12＝130， 故所求事件的概率 P(B)＝1－P( B )＝1－130＝170.
[例 2] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影 响，求前三局比赛甲队领先的概率． [解析] 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则： P(A)＝0.63＝0.216； P(B)＝C23×0.62×0.4＝0.432， ∴前三局比赛甲队领先的概率为 P(A)＋P(B)＝0.648.
X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的均值 E(X1)＝6，求 a，b 的值；
2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修
－1.5)2×15＝2.75.
[变条件]在本例条件下，若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11， 试求 a，b 的值． 解：由 D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及 E(ξ) ＝1.5，D(ξ)＝2.75，得 2.75a2＝11，1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b ＝－2 或 a＝－2，b＝4.
求离散型随机变量的方差的步骤 (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列． (4)利用公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 求出随机变 量的期望 E(X)． (5)代入公式 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－ E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn 求出方差 D(X)． (6)代入公式 σ(X)＝ D（X）求出随机变量的标准差 σ.
第二章 随机变量及其分布
2．3.2 离散型随机变量的方差
第二章 随机变量及其分布
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的 概念． 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些 实际问题． 3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的 方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义： 设离散型随机变量 X 的分布列为
【解】 (1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布，且 ξ～B(6， 13)， 故 E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×(1－13)＝43. (2)由已知 η＝30ξ， 故 E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
正确认识二项分布及在解题中的应用 (1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离 散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和 方差，以简化问题的解答过程． (2)对于二项分布公式 E(X)＝np 和 D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．
高中数学2-3-2 离散型随机变量的方差 名师公开课市级获奖课件(人教A版选修2-3)
0.2 0.3 0.2 0.1
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
2 ( x － E ( X )) 则 i 描述了 x (i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的
i
偏离程度，而 D(X)＝
i＝1
xi－EX2pi
n
为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度． 我 们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变 量 X 的 标准差．
[答案]
[ 解析 ]
B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
B
∵ X ～ B(10,0.6) ，∴ E(X) ＝ 10×0.6 ＝ 6 ， D(X) ＝
10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
建模应用引路
方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比实验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 A， 另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组． 设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差优质课件
• 『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布 方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
• 2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n， 差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而 杂的计算过程．
• 〔跟踪练习2〕
• 某运动员投篮命中率为0.6．
• (1)求1次投篮命中次数ξ的期望与方差；
• 由二项分布期望与方差的计算公式知，E(η)＝5 D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2．
命题方向3 ⇨方差的实际应用
典例 3 (2018·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击 互独立的随机变量 ξ 与 η，且 ξ，η 的分布列为：
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求 a，b 的值；
又 E(Y)＝aE(X)＋b，所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4，∴ab＝＝2－2或ab
『规律总结』 1.求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤：
理解X的意义，写出X可能取的全部值 ↓
写出X取每个值的概率 ↓
写出X的分布列 ↓
由均值的定义求出EX ↓
n
而 D(X)＝ xi－EX2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随 i＝1
值 E(X)的__平__均___偏__离__程__度___.我们称 D(X)为随机变量 X 的方差 DX为随机变量 X 的__标__准__差____．
• 2．离散型随机变量与样本相比较，随机数变学期量望的 ____________的含义相当于样本均值，随机变 同值，概相率当于各个不同样本点，随机变量取各 ________相当于各个样本点在刻画样本方差时
2019_2020学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修2_3
1．下面说法中正确的是( ) A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平 均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平 【答案】D
2．已知 ξ 的分布列为
【解题探究】(1)根据所给图数出 y＜60 的人数，再除以 50
就是概率；(2)由图可知 A，C 两人的指标 x＞1.7，根据超几何
分布写出分布列，并求数学期望；(3)方差表示数据的离散程度，
波动越大，方差越大．
【解析】(1)由图知在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小 于 60 的有 15 人，
1．已知 X 的分布列为X－101
P
1 2
1
1
3
6
求：(1)E(X)，D(X)；
(2)设 Y＝2X＋3，求 E(Y)，D(Y)．
【解析】(1)E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59. (2)E(Y)＝2E(X)＋3＝73，D(Y)＝4D(X)＝290.
()
A．0.2
B．0.8
C．0.196
D．0.804
【答案】C
3.(2019 年佛山期末)已知离散型随机变量 X 的分布列如下，则 D(X)=( )
X
0
2
4
P
1 4
1 2
1 4
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】E(X)=0×14+2×12+4×14=2，则 D(X)=14×(0-2)2+12×(2-2)2+14 ×(4-2)2=2.故选 B.
高中数学第二章随机变量及其分布3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修2_
类型二 两点分布与二项分布的方差(数据分析、数学运算) 【典例】一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇 到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是13 . (1)求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差． (2)若遇上红灯， 则需等待 30 秒， 求司机总共等待时间 η 的期望与方差．
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 (1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此， 在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论．依据方差的几何意义作出结论．
1．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责， 政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
【解析】选 C.因为 X～B(n，p)，所以 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
np＝6，
n＝12，
所以 np（1－p）＝3，
解得p＝12．
所以 P(X＝1)＝C112
1 ×2
1
1－12
11
＝3×2－10.
2．(1)篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率 为 0.7，求他一次罚球得分的方差； (2)将一枚硬币连续抛掷 5 次，求正面向上的次数的方差． (3)老师要从 10 名同学中随机抽 3 名同学参加社会实践活动，其中男同学有 6 名，求 抽到男同学人数的方差．
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
(新人教A版)2018-2019年高中数学第二章随机变量及其分布2-3-2离散型随机变量的方差课件选修2-3
P(X＝3)＝45×34×13＝0.2， P(X＝4)＝45×34×23×12＝0.2， P(X＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2. ∴随机变量 X 的分布列为
X1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1 ＋2＋3＋4＋5)＝3，
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离
n
程度，而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻
i＝1
画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．我们称 D(X)为 随机变量 X 的____方__差_____，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的__标__准__差__．___
X3 5 6 7
P
1 8
3 8
1 4
1 4
均值 E(X)＝3×18＋5×38＋6×14＋7×14＝121，
方差 D(X)＝3－1212×18＋5－1212×38＋6－1212×14＋7－121 2×14＝32.
题型二 离散型随机变量方差的性质 思考：方差公式 D(aξ＋b)＝a2D(ξ) 当 a＝0 或 a＝1 时，对应的方差是多少？b＝0 呢？ 提示：①当 a＝0 时，D(b)＝0，即常数的方差等于 0. ②当 a＝1 时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方 差等于这个随机变量的方差本身． ③当 b＝0 时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方 差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．
[解] (1)记“第二次取球后才停止取球”为事件 A. 易知第一次取到偶数球的概率为24＝12， 第二次取球时袋中有三个奇数， 所以第二次取到奇数球的概率为34， 而这两次取球相互独立， 所以 P(A)＝12×34＝38.
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X2 P
－2 0.1
－1 0.2
0 0.4
1 0.2
2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的 质量．
解：∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)． ∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋ (1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5； D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－ 0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)＜D(X2)． 由上可知，A 面大钟的质量较好．
答案：B
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据， 计算出样本方差分别为 D(X 甲)＝11，D(X 乙)＝3.4，由此可以估计 ( ) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
解析：∵D(X 甲)＞D(X 乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐．
答案：B
5．若随机变量 X 的分布列如下表所示，已知 E(X)＝1.6，则 a－b＝( ) X P A.0.2 B．0.1 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 D．－0.4
C．－0.2
解析：根据题意，得
0.1＋a＋b＋0.1＝1， 0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， a＝0.3， 解得 b＝0.5，
所以 a－b＝－0.2.
答案：C
6．D(ξ－D(ξ))的值为( A．0 C．D(ξ) B．1 D．2D(ξ)
)
解析：因为 D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，所以 D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)－0＝D(ξ)．
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各 2 个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 X 5 为途中遇到红灯的次数，则随机变量 X 的方差为__________．
解析：成绩平均分为 85，方差为 51.
答案：85 51
9．随机变量 ξ 的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c
1 其中 a 、 b 、 c 成等差数列，若 E(ξ) ＝ 3 ，则 D(ξ) 的值是 __________．
1 解析：∵E(ξ)＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝3， 又 a＋b＋c＝1，且 2b＝a＋c， 1 1 1 ∴a＝6，b＝3，c＝2.
12 1 12 1 12 1 5 ∴D(ξ)＝－1－3 · ＋0－3 ×3＋1－3 ×2＝9. 6
5 答案：9
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．海关大楼顶端镶有 A、B 两面大钟，它们的日走时误差 分别为 X1、X2(单位：s)，其分布列如下： X1 P －2 0.05 －1 0.05 0 0.8 1 0.05 2 0.05
第二章
离散型随机变量及其分布
2． 3
离散型随机变量的均值与方差
课时2
离散型随机变量的方差
①理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差 作业 目标 的概念和意义． ②能计算简单的离散型随机变量的方差 和标准差，并能解决实际问题．③掌握方差的性质以及 两点分布、二项分布的方差的求法．
作业 设计
限时：40 分钟
答案：C
2．掷一枚质地均匀的骰子 12 次，则出现向上一面是 3 的次 数的均值和方 3
B．2 和
21 D. 6 和 1
解析：由题意知变量符合二项分布，掷一次骰子相当于做一 1 1 次独立重复试验，且发生的概率是6，所以 E(ξ)＝12×6＝2，D(ξ) 1 5 5 ＝12× × ＝ . 6 6 3
11．某人投弹击中目标的概率为 p＝0.8， (1)求投弹一次，命中次数 X 的均值和方差； (2)求重复 10 次投弹时，击中次数 Y 的均值和方差．
12．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试 卷时，各自的分数在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如下表 所示：
试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．
2 2 3 18 解析：∵X～B3，5，∴D(X)＝3× × ＝ . 5 5 25
18 答案：25
8． 某班有学生 40 人， 将其数学期中考试成绩平均分为两组， 第一组的平均分为 80 分， 标准差为 4， 第二组的平均分为 90 分， 标准差为 6 ，则此班 40 名学生的数学期中考试成绩平均分为 __________；方差为__________．
答案：B
4．设二项分布 B(n，p)的随机变量 X 的均值与方差分别是 2.4 和 1.44，则二项分布的参数 n，p 的值为( A．n＝4，p＝0.6 C．n＝8，p＝0.3 B．n＝6，p＝0.4 D．n＝24，p＝0.1 )
解析：由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44， ∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．若随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 Dξ＝( ) B. 2.27 D. 0.683 －1 0.5 0 0.3 1 0.2
A. 0.7 C. 0.61
解析： 由题意， 得 E(ξ)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， 则 D(ξ) ＝ ( － 1 ＋ 0.3)2×0.5 ＋ (0 ＋ 0.3)2×0.3 ＋ (1 ＋ 0.3)2×0.2 ＝ 0.61， Dξ＝ 0.61.
解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别 为 E(X 甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， E(X 乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90. 方差分别为： D(X ＝40， D(X ＝80.
乙 甲
) ＝ (80 － 90)2×0.2 ＋ (90 － 90)2×0.6 ＋ (100 － 90)2×0.2