平行四边形知识结构图
数学 八下 平行四边形的性质和判定
3.如图，在三角形ABC中，BD平分角ABC，DE平行于BC 交AB于点E，EF平行于AC于点F。试说明BE和CF的数量 关系，并说明理由。
4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在 CD,AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB . (1)求证：四边形AFCE是平行四边： (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明，若不成立，请说明理由。
初中数学八年级下册
平行四边形的性质和判定
习课
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边 形。 性质：
1.平行四边形的两组对边分别平行。(定义) 2.平行四边形的两组对边分别相等。 3.平行四边形的两组对角分别相等。 4.平行四边形的两条对角线互相平分。
5.把两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的
平行四边形的个数是
个。
6.平面上有不在同一直线上的三个点A、B、C，以这三个点为
顶点的平行四边形有
个。
7.如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD
A
B
C
D
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于 点E，DF∥AB交AC于点F，解答下列问题： ①如图1，当点D在BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由。 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形， 写出DE,DF,AB之间的关系，并写出证明过程。
二、习题讲解
1.如图,四边形ABCD是平行四边形过点A的直线分别交 CD,CB的延长线于E,F点,且∠EAD=∠BAF. (1)判断△CEF的形状，并说明理由； (2)△CEF的哪两条边之和恰好等于平行四边形ABCD的周 长？为什么？
平行四边形、全等三角形
图3 分析：根据图形旋转的性质可证△ACE≌△FCB，其实旋转变换后，△ABC 与△FEC 关于 点 C 成中心对称；欲判断□ABFE 为矩形，可考虑证明对角线 AF＝BE，再探求∠ACB 的度数。 解：（1）旋转可知，AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF ∴△ACE≌△FCB， ∴AE＝BF，∠EAF＝∠BFA. ∴AE∥BF
即 AE 与 BF 的关系为平行且相等 （2）由（1）知：S△ACE=S△BCF 又∵BC＝CE，∴S△ABC=S△ACE
同理，S△CEF=S△BCF
∴
.
（3）当∠ACB＝60°时，四边形 ABFE 为矩形.
理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形 ABFE 为平行四边形。当∠ACB＝60°时，△ABC
的值。
解：（1）
过点 作
于点 ，
即新开发区 到公路 MN 的距离为 千米．
（2）作 B 关于 MN 的对称点 D，连结 AD 交 MN 于 P，点 P 即为到新开发区 之和最短的点。
过作
的 延长线 （点 是 点 关 于 的 对称点 ），垂足 为
于
．
的距离 ，过 作
又
．
连结 ，则 （千米）
评析：本题以实际情景为背景，集尺规作图与操作探究于一体，考查了轴对称的性质和两点 之间线段最短及直角三角形等知识的应用。
图5 （2）存在最大值和最小值. ①当∠DAB＝90°时，菱形 ABCD 为正方形，周长最小值为8； ②当 AC 为矩形纸片的对角线时，设 AB＝x，如图6所示
第十八章四边形章节复习辅导讲义
第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构 二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。
2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。
3. 四边形的分类：（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。
注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。
（2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。
② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。
c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。
（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。
C. 菱形：邻边相等的平行四边形。
D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。
4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为360度 （2） 四边形的外角和为360度。
5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==， 则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一） 平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。
小学数学知识结构图(人教版)
小学数学知识结构图（人ห้องสมุดไป่ตู้版）
数与计算
三个角直角的平行四边形
三个角直角的平行四边形1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度展开：平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它拥有三个角都是直角的特点。
在数学中，这种形状被广泛研究并应用于各个领域。
本文将着重探讨三个角都是直角的平行四边形，探究其性质以及与其他几何形状之间的关系。
首先，要明确的是，平行四边形是一种特殊的四边形。
它拥有两组平行的对边，即相对的两条边是平行的。
利用这个性质，我们可以简化很多几何计算和推理的过程。
加上三个直角的特点，三个角直角的平行四边形更具有特殊性和独特性。
其次，我们可以探究三个角都是直角的平行四边形在几何学中的应用。
首先，它可以作为建筑设计中的基本元素之一。
例如，在建筑的规划和设计过程中，平行四边形的概念被广泛应用于房屋的外形设计、室内空间布局以及家具的设计与摆放等方面。
平行四边形的特殊性质使得建筑师能够更好地利用和规划各个区域，使整体结构更加稳定和美观。
此外，平行四边形还在数学和物理学的研究中发挥了重要作用。
在数学领域中，平行四边形是解决图形证明和计算问题的常用工具。
通过研究平行四边形的性质和变换规律，我们可以推导出很多高级的几何定理和公式，为数学的发展提供了重要的支撑。
在物理学领域中，平行四边形的概念可以应用于物体的平衡分析和受力分析等方面。
通过将物体或力的作用效果抽象为平行四边形的形状，可以更好地理解物体的运动和受力情况，进而进行更精确的分析和预测。
总结来说，三个角直角的平行四边形是一种具有特殊性质的几何形状。
它在建筑设计、数学和物理学等领域中发挥着重要的作用。
通过研究和应用三个角直角的平行四边形，我们可以更深入地理解几何学的基本概念和原理，并将其运用于实际问题的解决中。
在接下来的正文部分，本文将进一步探讨三个角直角的平行四边形的性质和应用。
1.2 文章结构文章结构部分内容如下：本篇长文将按照以下结构进行讨论和分析：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将首先对文中要讨论的主题进行概述，介绍平行四边形及其特点，并引入三个角都是直角的平行四边形这一特殊情况。
平行四边形的知识结构图
平行四边形的知识结构图
一、知识结构图：
二、平行四边形的性质
边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分
菱形对边平行，四边相等对角相等,邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形对边平行，四边相等四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对
角
三、平行四边形的常用判定方法
平行四边
形1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2) 两组对边分别相等的四
边形；
3) 一组对边平行且相等的；4）两组对角分别相等的四边形5) 对角线互相平
分的四边形；
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3.菱形的面积公式：对角线乘积的一半。
五年级数学上册知识结构图
S= ah/2
图形（三个角、三条边、三个顶点）
梯形
S=(a+b)h/2
图形（有两条边平行）
因数与倍数
偶数（2的倍数）
例：个位0、2、4、6、8的数
最小偶数0、最小奇数1、没有最大偶数和奇数。
奇数（非2的倍数）
个位1、3、5、7、9的数
质数（素数）
只有2个因数的数
例：5、13、73等
1既不是质数也不是合数
合数
有2个以上因数的数
例8、36、42
测量
比较图形的面积
三角形，平行四边。梯形的面积
简单组合图形
简单不规则图形
可能性
感受可能性的大小
通过游戏和活动感受数据的随机性
五年级数学上数,因数,质数,合数.
分数的再认识以及比较
数的运算
小数除法
小数的混合运算
对称平移
旋转
1、轴对称图形（概念）
例：长方形、正方形、等腰（边）三角形、正平行四边形
2、对称轴（概念）
略
3、平移
略
4、旋转
多边形
及面积计算
平行四边形
S= ah
图形（两组对边分别平行、对边相等、对角相等）
平行四边形的表示字母顺序
平行四边形的表示字母顺序1.引言1.1 概述平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对边是平行的。
在几何学中，平行四边形是一个重要的概念，具有广泛的应用和意义。
本文主要介绍了平行四边形的表示字母顺序。
通过字母表示可以更清晰地描述和表达平行四边形的形态和性质。
平行四边形的表示字母顺序可以帮助我们更好地理解和记忆平行四边形的特点，进而应用到相关的问题中。
在本文中，我们将首先介绍平行四边形的定义和性质。
通过了解平行四边形的特点，我们可以更深入地理解平行四边形的表示字母顺序的重要性。
其次，我们将详细讨论平行四边形的表示方法，包括字母顺序的选取和表示字母的含义。
最后，我们将总结平行四边形的表示字母顺序的要点，并探讨其应用和意义。
通过本文的学习，读者可以更好地理解平行四边形的表示字母顺序，提高对平行四边形的认识和理解。
同时，该知识点在几何学和相关的应用领域中具有广泛的应用价值，能够帮助我们解决实际问题和丰富我们的几何知识。
下一节中，我们将开始介绍平行四边形的定义和性质，为后续对表示字母顺序的讨论做好准备。
文章结构部分的内容可以根据以下示例进行编写：1.2 文章结构为了系统地讨论平行四边形的表示字母顺序，本文按照以下结构进行组织：引言部分介绍了本文的主题以及对平行四边形及其表示字母顺序的概述，为读者提供了整体的背景信息。
正文部分将重点讨论平行四边形的定义和性质，并详细介绍了平行四边形的各类表示方法。
其中，平行四边形的定义和性质部分将从几何学的角度出发，探讨平行四边形的基本概念、特点以及与其他几何图形的关系。
接着，平行四边形的表示方法部分将介绍几种常见的表示字母顺序的方式，包括向量表示、符号表示等，以及它们的应用和适用范围。
结论部分将对整篇文章进行总结，重点强调平行四边形的表示字母顺序在实际问题中的应用和意义。
同时，该部分还将进一步讨论平行四边形的表示字母顺序可能存在的问题和改进方向，以及未来研究的方向和发展前景。
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平行四边形全章复习课一、知识结构图：二、平行四边形的性质边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分菱形对边平行，四边相等对角相等,邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角三、平行四边形的常用判定方法平行四边形1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2) 两组对边分别相等的四边形；3) 一组对边平行且相等的；4）两组对角分别相等的四边形 5) 对角线互相平分的四边形；矩形1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）有三个角是直角的四边形是矩形；3）对角线相等的平行四边形是矩形。
4）对角线平分且相等的四边形是矩形菱形1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2）四条边都相等的四边形是菱形；3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4）对角线平分且垂直的四边形是菱形正方形1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 3）有一个角是直角的菱形是正方形。
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.菱形的面积公式： 对角线乘积的一半练习题：1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。
（B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。
（C ）AB=AD ，BC=CD 。
（D ）AB=CD ，AD=BC 。
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）（A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ）A 、有两边相等的平行四边形是菱形B 、对角线垂直的四边形是菱形C 、四个角相等的菱形是正方形D 、两条对角线相等的四边形是矩形 7、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。
8．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ．9、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则 此菱形的面积为_________。
10、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。
11．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝” ）EDCB AAFED第11题图第12题图12．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，•且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为_______cm例1：（1）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2（1）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC=6cm，则该矩形的周长和面积各是多少？（2）：如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的面积为DABCOAB CDOK NMQ D CB例3：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且 DP=OC ，连结CP 。
（1）试判断四边形CODP 的形状；（2）如果条件“矩形ABCD ”变为“正方形ABCD ”呢？例4：如图，已知四边形ABCD 中，AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点。
（1）求证：四边形EFGH 是菱形；（2）添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形，并说明理由。
发现：（1）顺次连接对角线既不相等也不垂直的四边形各边中点得 ；（2）顺次连接对角线相等但不垂直的四边形各边中点得 ； （3）顺次连接对角线互相垂直但不相等的四边形各边中点得 ； （4）顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得例5. 如右下图，把AD=12cm ，AB=8cm 的矩形沿着AE 为折痕对折使点D 落在BC 上点F 处，则DE=cm 。
例6．如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ．CDFEA B（1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。
EAN MF C BO平行四边形单元检测一、选择题(每小题3分，共24分)1．在平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ， 延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°2．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等3．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE =3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm4．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8B ．6C ．4D ．35．用两块全等的含有30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm )，则该主板的周长是 ( ) A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm7．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，当E 、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形 ( ) A ．∠ADE ＝∠CBF B ．∠ABE ＝∠CDFC ．OE ＝OFD ．DE ＝BF8．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x 、y 表示小矩形的两边长(x ＞y )，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 ( ) A ．7=+y x B ．2=-y xC ．4944=+xyD ．2522=+y x 二、填空题(每小题4分，共24分)9．若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．10．如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝11．如图，延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E ＝ °． 12．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝32，那么AP 的长为 ．13．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A (－2，5)，B (－3，－1)，C (1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么 点D 的坐标是 ．14．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1是中点四边形．如果AC ＝3，BD ＝4， 那么A 1B 1C 1D 1的面积为 三、解答题(52分)15．(8分)如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠1＝15°．(1)求∠2的度数．(2)求证：BO ＝BE ．第7题第14题 第10题第6题第8题第11题16．(8分)已知：如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE．当∠A满足什么条件时，四边形AFDE是正方形?请证明你的结论．17．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．18．(8分)已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，延长CB到点F，使BF＝BC，连结DF交AB于E．求证：OE＝( )BF(在括号中填人一个适当的常数，再证明)．19．(8分)在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组．(2)请在下图的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线．(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律?20．(12分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想线段AE与BF有何关系?说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，请求四边形ABFE的面积．(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形?说明理由．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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