2018届高考数学适应性(最后一模)考试试题理

2018年四川省宜宾县二中高考适应性考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合}0158|{},6|{2<+-=<∈=x x x B x N x A ，则B A 等于A ．}53|{<<x xB ．}4{C ．}4,3{D ．}5,4,3{ 2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)+的共轭复数虚部为A ．i 4B ．3C ．4D ．4- 3.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是R 上的偶函数，则(3)g =A ．5B ．-5C ．7D ．-74.0y -=与抛物线212y x =的一个交点为A （不与原点重合），则直线到抛物线焦点的距离为A ．6B ．7C ．9D ．125.如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b +6.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再贏两局才能得到冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C.23 D ．347.已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则()2tan n α-=A ．．8.已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y、5z 的大小排序为 A ．235x y z << B ．325y x z << C ．523z x y << D ．532z y x<< 9.平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9010.已知正三棱锥P ABC -内接于球O ，三棱锥P ABC -，且30APO ∠=，则球O 的体积为（ ）A ．43π B． C ．323π D ．16π 11.在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅= ，则1tan tan A B+的最小值为（ ）A．12.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．253(,)32e e B ．3(,1)2e C ．3[,1)2e D ．253[,)32e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为 ．14.某医院响应国家精准扶贫号召，准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作，要求医疗小组中既有医生又有护士，则不同的选择方案种数是 ．（用数字作答）15．若动点P 在直线022:=--y x a 上，动点Q 在直线062:=--y x b 上，记线段PQ 的中点为),(00y x M ，且5)1()2(2020≤++-y x ，则2020y x +的取值范围为________.16．已知函数xx x x f ln )1()(-=，偶函数2()e (0)x g x kx b k =+≠的图像与曲线)(x f y =有且仅有一个公共点，则k 的取值范围为_________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本大题12分）如图，在ABC ∆中，7tan =A ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，设=CBD θ∠，其中θ是直线0542=+-y x 的倾斜角．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若]2,0[,2sincos 2sin sin )(2π∈-=x x C x C x f ，求)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的值．18.（本大题12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（Ⅰ）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（Ⅱ）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19.（本大题12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点. （Ⅰ）证明：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若AP PB =，AB PC ==，求平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值.20.（本大题12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知O ：224x y +=，椭圆E ：2214x y +=，A 为椭圆右顶点.过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，直线AB 与O 的另一交点为P ，直线PD 与O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -.设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求12k k 的值；（Ⅱ）记直线PQ ，BC 的斜率分别为PQ k ，BC k ，是否存在常数λ， 使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由. 21．（本大题12分）已知函数)1ln()(x a x f +=,,31)(3ax x x g -=1)(-=x e x h ． （Ⅰ）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数； （Ⅲ）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B 铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.22.已知平面直角坐标系中，曲线C ：22680x y x y +--=，直线1l ：0x =，直线2l ：0y -=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()12f x x x a =-+-. （Ⅰ）当1a =时，求()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）答案1-:5：BDBAB 6-10：DAACC 11-12BD13. 12 14. 120 15.]16,516[16.),1()1,0(+∞∈ k17.解：由题可知21tan =θ，所以34tan 1tan 22tan tan 2=-==∠θθθABC ， 又tan 7A = 所以1371347tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =⨯-+-=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π∴4π=C （2）由（1）可知22)4sin()cos 1(4cos sin 4sin )(-+=--=πππx x x x f因为]2,0[π∈x ，所以]43,4[4πππ∈+x ，因为x y sin =在]2,4[ππ上单调递增，在]43,2[ππ上单调递减，且0)2()0(==πf f 所以当0=x 或2π=x 时，)(x f 取得最小值为0. 18.解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从而36310201(0)1206C P C ξ====，1246310601(1)1202C C P C ξ====，2146310363(2)12010C C P C ξ====，3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望113112()0123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. （3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接BD ，BD AC F = ，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形， ∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点， ∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ． （Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴．设2AB PC ==，AP PB ==∴CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒， PQ AB⊥，AB ⊥∴平面PQC ，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，如图，建立空间直角坐标系，以Q 为原点，BA 所在的直线为x 轴，QC 所在的直线为y 轴，QP 所在的直线为z 轴，则(000)Q ，，，(100)A ，，，(00)C ，(001)P ，，，(100)B -，，，(20)D ，112E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 102AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，(10)AC =- ，(101)PB =-- ，，，(01)PC =- ， 设1111()n x y z =，，为平面AEC 的一个法向量，则1100n AE n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即11111020y z x +=⎨⎪-=⎩，，可取11n = ． 图3设2222()n x y z = ，，为平面PBC 的一个法向量， 则2200n PC n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即222200z x z -=--=⎪⎩，，可取2(1n = ． 于是121212||5|cos |7||||n n n n n n 〈〉==，．所以平面EAC 与平面PBC所成二面角的正弦值为 20.解：（Ⅰ）设),,(00y x B 则),(00y x C --，且142020=+y x ， ∴k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.（Ⅱ）解 由题意得直线AP 的方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －2 ，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，设P (x p ，y p )， 解得x p ＝2 k 21－1 1＋k 21，y p ＝k 1(x p －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1 x －2 ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，设B (x B ，y B )，解得x B ＝2 4k 21－1 1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，∴k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212 k 21－1 1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， ∴k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，21．解：（Ⅰ）令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x﹣1﹣a ln （x +1）（x ≥0） 则①若a ≤1，则，H '（x ）≥0，H （x ）在[0，+∞）递增，H （x ）≥H （0）=0，即f （x ）≤h （x ）在[0，+∞）恒成立，满足，a ≤1，a 的取值范围（﹣∞，1]；②若a＞1，在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a且1﹣a＜0，且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞）使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]；（Ⅱ）依题意得，则F'（x）=e x﹣x2+a，则F''（x）=e x﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=e x﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）递减，∴F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，进而F（x）在递减，在递增，且x→﹣∞时，，F（x）在上有一个零点，在无零点，故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞1时有一个公共点．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，e x＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令，则即；由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，则，∴；故有．22.解：（Ⅰ）依题意，曲线，故曲线的参数方程是(为参数)，,，故的极坐标方程为；（没指明为参数和 ∈R 的，扣1分） （Ⅱ）易知曲线的极坐标方程为， 把代入，得，∴OA=4+3， 把代入，得， ∴OB=3+4，∴．23．【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1a =时，由()1f x ≥，可得|1||21|1x x -+-≥，12321x x ⎧<⎪⎨⎪-+⎩，∴≥①或1121x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≥②或1321x x >⎧⎨-⎩，≥，③解①求得13x ≤，解②求得1x =，解③求得1x >，综上可得不等式的解集为1[1)3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，．（Ⅱ）∵当[11]x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即|2|1|1|x a x x ---=≥， 当[10)x ∈-，时，a ∈R ；当[01]x ∈，时，则2x a x -≥或2x a x --≤，∴a x ≤或3a x ≥恒成立，∴0a ≤或3a ≥， 综上，(0][3)a ∈-∞+∞ ，，．。