人教版八年级上册数学期中复习

2
方法总结
证明线段相等的方法
1、证明全等，利用全等三角形的性质； 2、角平分线的性质 3、线段垂直平分线的性质 4、等角对等边
证明角相等的方法
1、证明全等，利用全等三角形的性质； 2、角平分线的判定 3、等边对等角
当某个量不容易求得时，应该考虑 用方程思想
常用辅助线的作法
一、连接 二、看到角平分线就想到过某个点作角两边 的垂线段 三、看到垂直平分线就想到把垂直平分线上 的某个点与线段的两个端点连接起来 四、截取 五、作平行
D C G E
B
F
E D C
A B F
3、
4、如图，已知AB=CD，△EAB的面积与 △ECD 的面积相等.求证：FE平分∠AFD
∵S△AEB=S△ECD AB=CD ∴EG=EH ∴FE平分∠AFD G ┐
┐ H
5、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中 点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你 证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明 理由．
A C E D
B
ABC 中， BAC 2、如图2，
的平分线与BC边的 垂直平分线相交于点D。 过点D作AB、AC（或延长线） 的垂线，垂足分别是E、F。 求证：BE=CF。
E B M A
C F
D
A
E B M C F
D
3、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E， BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分 DF．
（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°． ∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB．
∴△ACN≌△MCB．
∴AN=BM．
（2）∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE=∠CMB．
∵∠MCN=60°=∠ACM，AC=MC，
∴△ACE≌△MCF． ∴CE=CF． ∴△CEF的形状是等边三角形．
例、如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E 在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于 点G。若DG=GE，证明：△ABC为等腰三角形
例、如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上， 且BD=CE，连结DE交BC于点G。若DG=GE，证明：△ABC为等腰 三角形
A
过D点AC的平行线交BC与点F △GDF≌△GEC DF=CE=DB ∠1=∠2 ∠2=∠3 ∠1=∠3
E D
公共角
1 2 B
A
C
3、如图，已知BE与CD相交于点O，且AB=AC， ∠ADC=∠AEB，证明:AD=AE
A
D
E
公共角
O
C
B
4、如图，已知AB=CD，AD=BC，试说明∠E=∠F 的理由
公共边
A D O B E
F
C
5、已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠DEC=900， 问BD=AB+ED吗？ A
△ADF≌△CDG可知AD=CD F
G
三、垂直平分线
（一）、性质 ∵CD垂直平分AB ∴CA=CB, DA=DB, OA=OB （注意不是平分角） （二）、判定 ∵CA=CB ∴点C在线段AB的垂直平分线上 ∵DA=DB ∴点D在线段AB的垂直平分线上 ∴CD垂直平分线段AB
1、如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交 于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分 线。
期中复习
解答题常考题型
一、全等三角形
证明全等的方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 注意： 不要忘记公共角、公共边、对顶角这些隐含 条件
1、已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？
E F
公共边
A C B D
2、已知点B是线段AC的中点，BD = BE， ∠1 =∠2.证明：△ADB ≌ △CEB
1、如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E， ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等 腰三角形的理由．
2、如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证： BF=2CF．
30º
30º
30º
3、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=α．以OC为一边作等边△OCD，连接AC、AD．（ 1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
△ACD≌△CBF
△ADB≌△AFB
45º 45º
四、等腰三角形
1、等腰三角形的性质几何语言 （1）∵AB=AC ∴ ∠B= ∠C （2）①∵AB=AC，AD平分∠BAC ∴AD⊥BC，BD=CD ②∵AB=AC，AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，BD=CD ③∵AB=AC，BD=CD ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC 2、等腰三角形的判定几何语言 ∵∠B= ∠C ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形
二、角平分线
（一）、性质 ∵AP平分∠BAC（或者∠BAP = ∠CAP）， PD⊥AB，PE⊥AC ∴PD=PE （二）、判定 ∵PD=PE ，PD⊥AB，PE⊥AC ∴AP平分∠BAC
1、如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ， A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA
△MED≌△MCD可知 ME=MC=MB △AEM≌ABM(HL)∠3=∠4
E
∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠1+∠2+∠3+∠4=180º 2(∠3+∠1)=180º ∠3+∠1=90º ∠DMA=90º DM┴AM
6、如图11-1，已知在四边形ABCD中， 对角线BD平分∠ABC， 且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.
DE=AD-BE
∠1+∠2=90º ∠3+∠2=90º ∠1=∠3 E
DE=AD+BE
DE=BE-AD
7、图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都 是等边三角形． （1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论； （2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究 △CEF的形状，并证明你的结论．
4、如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC 于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
BE=CF+EF
六、画图
1、画一个角的平分线 2、画一条线段的垂直平分线 3、画一个图形的轴对称图形 4、画到几个点的距离相等的点 5、画到几条边的距离相等的点 6、画到两条边的距离相等并到两个点的距离 相等的点 7、画到两个点的距离最短的点 8、在数轴上画出
（1）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°， 即△AOD是直角三角形．
（2）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO． ∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
3、等边三角形的性质有哪些？ （1）三边相等，三角相等，都为60°； （2）三线合一 （3）是轴对称图形，有3条对称轴 4、等边三角形的判定有哪些？ （1）三边相等的三角形是等边三角形； （2）三角相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形的 是等边三角形 5、含30°直角三角形有什么性质？ ∵ ∠B=90°， ∠A=30° ∴BC=½ AC（或AC=2BC）
△BOM≌△AOM(HL) ∠OBM=∠OAM MB=MA ∠MBA=∠MAB ∠OAB=∠OBM-∠MBA ∠OBA=∠OAM-∠OAM ∠OAB=∠OBA
2、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C点 是∠A 内一点，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD， CF⊥AB，垂足分别为E、F， 求证：CE＝CF。

∴α﹣60°=50°，
∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD． ∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α， ∠AOD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
4、如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC， ∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、 CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
同角的余角相等
E
B
C
D
6、在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC，直线MN经过点C，且 AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（ DE、AD、 2 2 的位置时，你在（1）中得到的结 （1 3）当 ）当MN MN绕点 绕点C C旋转到图 旋转到图1 3的位置时，请你探究线段 BE之间的数量关系； 论是否发生变化？