人教版数学九年级上册导学案：21.2.4因式分解法
21.2.4 用因式分解法解一元二次方程_课件
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
练习：书P14练习 1
1.解下列方程：
.
(1)x2 x 0,
提公因式：x(x 1) 0，
所以有x 0或x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5)=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
人教版数学九年级上册说课稿21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册说课稿21.2.3《因式分解法》一. 教材分析《因式分解法》是人教版数学九年级上册第21.2.3节的内容，本节课的主要任务是让学生掌握因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初等数学中的一种重要方法，对于解决代数方程、不等式等问题具有重要意义。
在本节课中，学生将通过学习因式分解的基本概念和方法，能够独立进行简单的因式分解，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的加减、乘除等基本运算，对于代数概念有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说是新的内容，需要通过本节课的学习来掌握。
同时，因式分解需要学生具备一定的逻辑思维能力和转化能力，对于部分学生来说可能存在一定的难度。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够独立进行简单的因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：因式分解的概念和方法。
2.教学难点：因式分解的逻辑思维和转化能力的培养。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、小组合作法、案例分析法等多种教学方法，结合多媒体课件、黑板等教学手段，以学生为主体，教师为指导，引导学生主动探索、积极参与，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解因式分解的概念和方法，通过示例让学生理解因式分解的过程。
3.练习：学生独立进行因式分解的练习，教师进行个别指导。
4.小组合作：学生分组进行因式分解的讨论和交流，分享解题经验和方法。
5.总结：教师引导学生总结因式分解的方法和技巧，强化学生对因式分解的理解。
6.作业布置：布置适量的因式分解练习题，巩固所学知识。
人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系【目标导航】1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、掌握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【知识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。
用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。
【珍宝探寻】珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系1． 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca； 解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2∴x 1+x 2=2b b a -+-ba ，x 1·x 2=2b a -+·2b a --=ca即 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。
2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写 时不要弄错符号. 【营养快餐】快餐 一 经典基础题例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12cx x a=＝－3。
解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-31x x =＝－3 故选B点拨：本题利用两根之积与系数的关系.例2．1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，进而（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法(因式分解法)优秀教学案例
本节课的教学目标是培养学生的问题解决能力和团队合作精神。学生需要通过自主学习、合作交流等方式，掌握一元二次方程的因式分解法，并能够运用该方法解决实际问题。
为了实现这一目标，我将在教学中采用启发式教学方法，引导学生主动探究一元二次方程的解法，鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的创新意识和批判性思维。同时，我还将通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队合作精神，使学生在交流中互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
反思与评价是本节课的重要教学策略。我通过引导学生进行自我反思和评价，培养学生的自我监控和反思能力，提高学生的学习效果。
在教学过程中，我可以引导学生对自己的学习过程进行反思，思考自己在解决问题过程中的优点和不足，总结经验教训，提高解题能力。同时，我还可以组织学生进行互评和小组评价，让学生从不同角度获得反馈和建议，促进学生的全面发展。通过反思与评价，学生可以更好地了解自己的学习情况，优化学习方法，提高学习效果。
（二）讲授新知
讲授新知是学生掌握知识的关键环节。我通过生动的语言、清晰的讲解和形象的图示，引导学生理解和掌握一元二次方程的因式分解法。
首先，我会讲解一元二次方程的基本概念，包括方程的定义、形式以及解的概念。然后，我会介绍因式分解法的原理和步骤，通过具体的例题演示因式分解法的应用过程。在讲解过程中，我会注意引导学生思考和探究，鼓励学生提出问题和观点，培养学生的创新意识和批判性思维。
2.问题导向引导学生深入思考：我通过提出一系列递进式的问题，引导学生从一元二次方程的基本概念入手，逐步深入到因式分解法的原理和应用。这种问题导向的教学方法激发了学生的思考和探究欲望，培养了学生的创新意识和批判性思维。
3.小组合作促进学生互动交流：我将学生分成若干小组，让学生在小组合作和讨论中共同解决问题。通过小组合作，学生不仅可以相互学习，还可以培养团队合作精神和沟通能力，提高解决问题的能力。
21_2_4 因式分解法(课件) 【2023秋人教版九上数学高效实用备课】
于是得
x1
1 2
，x2
1 2
.
（3）3x2 6x 3；
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 (x－1)(x－1) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
（4）x2 2 3x 0.
解：因式分解，得
x(x 2 3) 0
有x=0或x2 3 0， x1 0, x2 2 3.
b b2 4ac 4
x
.
2a
2
即 x1 1, x2 1.
(3) x2 - 12x = 4
配方法： 解： x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得
解得 x1=
，
x2=
(3) x2 - 12x = 4 配方法最优
公式法：
解：方程化为x2 - 12x-4＝0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac 2 7
x
.
2a
3
即
x1
2 3
7 , x2
2 3
7
(4) 3x2 = 4x + 1 公式法最优
直接开平方法 配方法
③ax²-bx-c = 0
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
公式法
是否还有其他 解一元二次方 程的方法？
新知学习 一 因式分解法解一元二次方程
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过 x s物体离地 面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.
(2x 1)(3x 2) 0
人教版九年级上21.2.4解一元二次方程因式分解法导学案
第二十一章一元二次方程2因式分解法知识重点1．当一元二次方程的一边为 0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，往常将一元二次方程化为 __两个一次因式 ___的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，进而实现降次，这类解法叫做__因式分解 ___法．2．解一元二次方程，第一看可否用 __直接开平方法 ___；再看可否用__因式分解法 ___；不然就用 __公式法 ___；若二次项系数为 1，一次项系数为偶数可先用 __配方法 ___．知识建立知识点 1：用因式分解法解一元二次方程1．方程 (x＋2)(x－3)＝0 的解是 ( C )A．x＝2B．x＝－ 3C．x1＝－ 2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－ 32．一元二次方程x(x－5)＝5－x 的根是 ( D )A．－ 1 B．5C．1和 5 D．－1 和53．(2019 ·永州 )方程 x2－2x＝0 的解为 __x1＝0，x2＝2___．4．方程 x2－2x＋1＝0 的根是 __x1＝x2＝1___．5．用因式分解法解以下方程：(1)x2－4＝0；解： x1＝2，x2＝－ 2(2)x2－2 3x＝0；解： x1＝0，x2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解： x1＝0，x2＝6(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.5解： x1＝1，x2＝3知识点 2：用适合的方法解一元二次方程6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0 时，我们能够将x＋1 当作一个整体，设 x＋1＝y，则原方程可化为 y2－5y＋6＝0，解得 y1＝2，y2＝3.当 y＝2 时，即 x＋1＝2，解得 x＝1；当 y＝3 时，即 x＋1＝3，解得x＝2，因此原方程的解为 x1＝1，x2＝2.利用这类方法求方程 (2x－ 1)2－4(2x－1)＋3＝0 的解为 ( C )A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－ 3C．x1＝1，x2＝2D．x1＝0， x2＝－ 17．用适合的方法解方程：(1)2(x－1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－ 1.5(2)x2＋2x－168＝0；解：用配方法解， x1＝12，x2＝－ 14(3)2x2＝2x；解：用因式分解法解， x1＝0，x2＝ 2(4)4x2－3x－2＝0.解：用公式法解，x1＝3＋41，x2＝3－41 88知识运用8．方程 x(x－1)＝－ x＋1 的解为 ( D )A．x＝1B．x＝－ 1C．x1＝0，x2＝－ 1D．x1＝1，x2＝－ 19．用因式分解法解方程，以下方法中正确的选项是( A )A．(2x＋2)(3x＋4)＝0 化为 2x＋2＝0 或 3x＋4＝0B．(x－3)(x＋1)＝1 化为 x－3＝1 或 x＋1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化为 x－2＝2 或 x－3＝3D．x(x－2)＝0 化为 x－2＝010．一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的边长是方程 (x－2)(x －4)＝0 的根，则这个三角形的周长是 ( C )A．11B．11 或 13C．13 D．以上都不对11．(2019 ·陕西 )若 x＝－2 是对于 x 的一元二次方程 x2－52ax＋a2＝0的一个根，则 a 的值是 ( B )A．1 或 4 B．－1 或－4C．－1 或 4 D．1 或－412．已知 x＝1 是对于 x 的方程 (1－k)x2＋k2x－ 1＝0 的根，则常数 k 的值为 __0 或 1___．13．已知 (x2＋2x－ 3)0＝x2－3x＋3，则 x＝__2___．14．用因式分解法解以下方程：(1)x2－3x＝x－4；解： x1＝x2＝2(2)(x－3)2＝3(x－3)．解： x1＝3，x2＝615．用适合的方法解以下方程：(1)4(x－1)2＝2；解： x1＝2＋2，x2＝－2＋222(2)x2－6x＋4＝0；解： x1＝3＋5，x2＝3－5(3)x2－4＝3x－6；解： x1＝1，x2＝2(4)(x＋5)2＋x2＝25.解： x1＝－ 5，x2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位： m)与所用时间 t(单位： s)的关系是 h＝－ 5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－ 5(t－2)(t＋1)＝0，解得 t1＝－ 1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为 2 s 能力拓展17．先阅读以下资料，而后解决后边的问题：资料：由于二次三项式x2＋(a＋ b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，因此方程 x2＋(a＋b)x＋ab＝0 能够这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∵x＋a＝0 或x＋b＝0，∵x1＝－ a，x2＝－ b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0 时，获得的两根均为整数，则 k 的值能够为 __－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数 x 知足 (x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式 x2－x＋1的值为 __7___．。
人教版数学九年级教学案21.2.4解一元二次方程(因式分解法)
21.2 解一元二次方程1、熟悉因式分解的多种方法。
2、会与一元二次方程结合综合应用。
因式分解方法因式分解主要有十字相乘法，待定系数法、待定系数法、双十字相乘法。
求根公因式分解没有普遍适用的方法，主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法、长除法、短除法。
提公因式法假如一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
详细方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
假如多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出负号时，多项式的各项都要变号。
根本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数一样。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
公式法假如把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
分解公式：1、平方差公式：))((22b a b a b a +-=-对于q px x ++2型的式子假如q 分解为分解为数a 、b 。
且有a + b = p 时(即a 与b 和是一次项的系数)，那么；或对于型的式子假如有，，且有时，那么这种分解因式的方法叫做十字相乘法。
(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x 2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2b a -±（b 2-4ac≥0）.2.什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x 2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m）为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0.解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x 公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac=(－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()101024.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0.∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0;(2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34.师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x -2）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0.因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0.于是得3x－2=0或2x+1=0，x1=23，x2=12 .⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2∴x12.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28..∴x1，x2.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x2×3＝2±7 3.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2.解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3.若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
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21.2.4因式分解法
年级：九年级 科目：数学 课型：新授
主备： 审核：
备课时间： 上课时间：
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材, 完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a 2-b 2= ; a 2±2ab+b 2=
因式分解的方法： 解下列方程．
（1）2x 2+x=0（用配方法） （2）3x 2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。
（2）如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x 2-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 2-20x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈 活动2：典型例题
例1、 用因式分解法解下列方程
(1) 2
540x x -= (2) (2)20x x x -+-=
（3）3(21)42x x x +=+ (4)
2
(5)315x x +=+
例2、 用因式分解法解下列方程
（1）4x 2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3）2213
5224
4x x x x --=-+
（4）3x 2-12x=-12
活动3：随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-23x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程右边化为
（2）将方程左边分解成两个一次因式的
（3）令每个因式分别为，得两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程(3)0x x +=的根是 2．方程22(1)1x x +=+的根是________________
3．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x 1、x 2，且x 1>x 2，则x 1-2x 2的值等于___ 5．若（2x+3y ）2+4（2x+3y ）+4=0，则2x+3y 的值为_________．
6．已知y=x 2-6x+9，当x=______时，y 的值为0；当x=_____时，y 的值等于9． 7．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A ．-1，2
B ．1，-2
C ．0，-1，2
D ．0，1，2
8．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A ．（x+5）（x-7）=0 B ．（x-5）（x+7）=0 C ．（x+5）（x+7）=0 D ．（x-5）（x-7）=0 9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A ．x=-4
B ．x=5
C ．x 1=-4，x 2=5
D ．以上结论都不对 10、用因式分解法解下列方程：
(1) (41)(57)0x x -+= (2) 2
5x x =
(3) 3(1)2(1)x x x -=- (4) 2
(1)250x +-=
(5) 2
2(3)9x x -=- (6) 2
2
16(2)9(3)x x -=+
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x 2+x （x-5）=0。