数学建模基础M10
2010数学建模 C题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：兰州工业高等专科学校参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管的优化布置摘 要本文中以A,B 点表示两个炼油厂，M 点表示车站，用E 点表示共用和非共用管线的交汇点，所有图中阴影区均表示城区，无阴影的区均表示郊区。
问题1：根据条件的不同，列举八种建设方案：1.A,B 的选址无任何限制时，A,B,M 重合建在铁路同侧的任意处 (P3图1)最优；2.A,B 相对距离固定,选址不限,铺设单价相同,M 在A,B 之间的铁路线上 (P3图2)；3.A,B 可在铁路沿线,距离一定,管线的铺设费用单价不同,则M 在单价高处（P3图3）；4.A,B 只有一个可在铁路沿线，距离一定，M 与可在铁路的厂重合一处（P4图4）；5.A,B 都不许在铁路沿线，线AB 可与铁路垂直，距离一定，M 在(P4图5)位置;6.A,B 可重合，但不在铁路沿线，则A,B 合在一处，M 建在 (P4图6)位置;7.A,B 不许在铁路沿线，距离一定，线AB 与铁路不垂直，不能铺设共用管线，通过几何对称法，M 建在 (P4图7)位置;8.A,B 不许在铁路线，距离一定，线AB 与铁路不垂直，可铺设共用管线，M 在(P4图8)，建立模型123p AE BE EM λλλ=⋅+⋅+⋅，123,,λλλ分别为管线从A 到E 、从B 到E 、从M 到E 的铺设费用价格；p 表示管线铺设的总费用。
《数学建模入门》练习题北石化版本
《数学建模入门》练习题 BIPT练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。
为什么哥伦布能做到呢？(参考答案：有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。
)练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。
问能否用这些骨牌盖住这62个方格？练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。
最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。
为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？答：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方放硬币为止，由长方形的对称性，只有中心不存在对称位置，故先放者必定会赢。
练习题4：高速问题一个人从A 地出发，以每小时30公里的速度到达B 地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？答：模型假设：设AB相距S，B到A的速度为v，往返平均速度为v’模型建立：A到B的时间为t1=s/30,B到A的时间为t2=s/v往返总时间为 t1+t2=s/30+s/v平均速度为 v’=2s/t1+t2=2s/(s/30+s/v)模型求解：令v’=60,分析得，只有v趋于无穷大时，才能使v’的极限值等于60练习题5：登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。
问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：假如我们换一种想法，把第二天的返回改成另一个人在同一时间由山顶开始下山，并且也在下午五点到达山下，这样，只要两人在途中相遇，该地点就是上山下山来回时刻相同的地点。
练习题6：兄弟三人戴帽子问题解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。
数学建模基础练习一及参考答案
数学建模基础练习一及参考答案数学建模基础练习一及参考答案练习1matlab练习一、矩阵及数组操作：1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）,然后将正态分布矩阵中大于1的元素变为1，将小于1的元素变为0。
2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。
3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。
4．随机生成10阶的矩阵，要求元素值介于0~1000之间，并统计元素中奇数的个数、素数的个数。
二、绘图：5．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像，要求改变线型和标记：y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。
6．画出下列函数的曲面及等高线：z=sinxcosyexp(-sqrt(x^2+y^2))．7．在同一个图形中绘制一行三列的子图，分别画出向量x=[158101253]的三维饼图、柱状图、条形图。
三、程序设计：8．编写程序计算（x在[-8，8]，间隔0.5）先新建的，在那上输好，保存，在命令窗口代数；9．用两种方法求数列：前15项的和。
10．编写程序产生20个两位随机整数，输出其中小于平均数的偶数。
11．试找出100以内的所有素数。
12．当时，四、数据处理与拟合初步：13.随机产生由10个两位随机数的行向量A,将A中元素按降序排列为B,再将B重排为A。
14．通过测量得到一组数据：t12345678910y4.8424.3623.7543.3683.1693.0383.0343.0163.0123.005分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出散点及两条拟合曲线对比拟合效果。
15．计算下列定积分：16．（1）微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。
数学建模入门基本知识
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
2021b题数学建模
2021b题数学建模数学建模是指通过数学方法对实际问题进行抽象、建模、求解的过程，是数学与实际问题相结合的一种学科交叉。
本文以2021b题数学建模为标题，将探讨数学建模的基本概念、方法和应用，并结合具体问题进行分析和求解。
一、数学建模的基本概念和方法数学建模是一种综合性的学科，它涉及到数学、物理、生物、经济等多个领域，旨在通过数学模型描述和解决实际问题。
数学建模的过程一般可以分为以下几个步骤：1.问题分析：对于给定的实际问题，首先需要进行全面的问题分析，明确问题的背景、目标和限制条件。
这一步骤是建模过程的基础，只有充分理解问题本质，才能进行有效的模型构建。
2.建立数学模型：在问题分析的基础上，根据问题的特点和要求，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
数学模型是对实际问题的数学描述，可以是代数方程、微分方程、优化模型等形式。
3.模型求解：建立好数学模型后，需要使用数学方法对模型进行求解。
求解的方法可以是数值计算、解析求解或者模拟仿真等。
根据问题的需求和实际情况，选择合适的求解方法，得到模型的解析解或者数值解。
4.模型验证：在得到模型的解之后，需要对模型进行验证。
验证的方法可以是与实际数据进行对比，或者通过灵敏度分析和误差分析等方法，评估模型的准确性和可靠性。
二、数学建模的应用领域数学建模在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、生物学、经济学、工程学等。
以下分别介绍几个典型的应用领域：1.物理学：物理学是数学建模的重要应用领域之一。
在物理学中，数学模型被用来描述和解释自然界的各种现象和规律，如运动学、力学、电磁学等。
2.生物学：生物学是另一个重要的应用领域。
在生物学中，数学模型可以用来解释和预测生物系统的行为，如生物种群的增长、生物进化和生物网络等。
3.经济学：经济学是数学建模的重要应用领域之一。
在经济学中，数学模型被用来描述和解释经济系统的行为，如供求关系、价格变动和经济增长等。
4.工程学：工程学是数学建模的另一个重要应用领域。
数学建模基础问题与答案!(有答案).
‘牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题30分）x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';n=length(x)X=[ones(n,1) x];Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum((Y-y).^2)参考结果：回归直线：ˆ28.4928130.8348=+y x误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。
解：参考程序(t2.m)：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);n=length(x)X=[ones(n,1) x];b,bint,stats %残差图 rcoplot(r,rint) % 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：b =27.0269 140.6194 bint =22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由20.9226,119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。
2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第8章 一、数学建模简介含解析
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第8章一、数学建模简介含解析
学习目标核心素养
1．了解数学建模的意义；2．了解数学建模的基本过程．（重点)
3．能够运用已有函数模型或建立函数模型解决实际问题．（重点,难点）1。
经历数学建模的全过程，培养数学抽象、数据分析的数学素养．
2．通过数学建模解决实际应用问题,提升数学运算、逻辑推理和直观想象的数学素养．
一、数学建模简介
1．数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程,也是推动数学发展的动力．
2．数学建模一般步骤
3.数学建模活动的主要过程
(1)选题：就是选定研究的问题．
(2）开题:就是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案．
(3)做题：是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动．
(4）结题：是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程,一般来讲，结题会是结题的基本形式．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
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ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ y 0 1 x1 2 x2 3 x2 8.2933 (百万支)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
残差全为正，或全为负，管理—教 育组合处理不当
1
2
3
4
5
6
应在模型中增加管理x2与教育 x3, x4的交互项
三峡大学理学院
进一步的模型 增加管理x 与教育x , x 的交互项 2 3 4
参数 参数估计值 置信区间 a0 [11044 11363] 11204 a1 [486 508] 497 a2 [6841 7255] 7048 a3 [-1939 -1514] -1727 a4 [-545 –152] -348 a5 [-3372 -2769] -3071 a6 [1571 2101] 1836 R2=0.999 F=554 p=0.0001 R2,F有改进，所有回归系数置信 区间都不含零点，模型完全可用
500
y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x2 x3 a6 x2 x4
0
-500
数学建模
三峡大学理学院王卫华 wwh2010726@
三峡大学理学院
第十章
统计回归模型
10.1 牙膏的销售量 10.2 软件开发人员的薪金
10.3 酶促反应
10.4 投资额与国民生产总值和物价指数
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数学建模的基本方法
机理分析
测试分析
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度 的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合 乎机理规律的数学模型。
Stats~ 检验统计量 R2,F, p
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结果分析
参数
2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
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模型求解 y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
参数 参数估计值 置信区间 a0 11032 [ 10258 11807 ] a1 546 [ 484 608 ] a2 6883 [ 6248 7517 ] a3 -2994 [ -3826 -2162 ] a4 148 [ -636 931 ] R2=0.957 F=226 p=0.000 资历增加1年薪 金增长546 管理人员薪金多 6883 中学程度薪金比更 高的少2994 大学程度薪金比更 高的多148
本公司价 格(元) 3.85 3.75 其它厂家 价格(元) 3.80 4.00 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 价格差 （元） -0.05 0.25 销售量 (百万支) 7.38 8.51
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 5 5.5 6 6.5 7 7.5 x2
y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量)
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数 ~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
2 y 0 1 x 2 2 x 2
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2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 4 x1 x2
参数
0 1 2 3 4
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y 0 1 x1 2 x2 3 x2
ˆ y 8.2933 (百万支)
区间 [7.8230，8.7636]
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 0 1 x1 2 x2 3 x2 4 x1 x2 y
ˆ y 8.3272 (百万支)
区间 [7.8953，8.7592]
ˆ y 略有增加
预测区间长度更短
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2
输出
b~的估计值
bint~b的置信区间
r ~残差向量y-xb
rint~r的置信区间
0 1 2 3
参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0001
参数
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0001 参数估计值 置信区间 29.1133 [13.7013 44.5252] 11.1342 [1.9778 20.2906 ] -7.6080 [-12.6932 -2.5228 ] 0.6712 [0.2538 1.0887 ] -1.4777 [-2.8518 -0.1037 ] R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0001
y的90.54%可由模型确定 p远小于=0.05
2的置信区间包含零点
F远超过F检验的临界值 模型从整体上看成立 x2对因变量y 的 影响不太显著
(右端点距零点很近)
x22项显著
可将x2保留在模型中
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销售量预测 y x x x 2 ˆ ˆ0 ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 2
MATLAB中有命令rstool直接求解
ˆ y
10 9.5 9 8.5 8 7.5 0 0.2 0.4 5.5 6 6.5 7
x1
x2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 从输出 Export 可得 ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )
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10.2 软件开发人员的薪金
7.93 9.26
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基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其它厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
y 0 1 x1 2 x2 x
2 3 2
y 0 1 x1 x1
资历~ 从事专业工作的年数；管理~ 1=管理人员，0=非管理人 员；教育~ 1=中学，2=大学，3=更高程度
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分析与假设
y~ 薪金，x1 ~资历（年）
1, 中学 x3 0 , 其它
x2 = 1~ 管理人员，x2 = 0~ 非管理人员
教 育
1=中学 2=大学 3=更高
1, 大学 x4 0 , 其它
2 30 .2267 7.7558 x 2 0.6712 x 2
2 32 .4535 8.0513 x 2 0.6712 x 2
10.5 10 9.5 9 8.5 x1=0.3 x1=0.1
价格差 x1=0.3
x2 7.5357
ˆ y
ˆ y
ˆ y
x1 0.1
价格优势会使销售量增加
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MATLAB 统计工具箱 模型求解 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 由数据 y,x1,x2估计
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
输入 y~n维数据向量
x= [1 x1 x2 x2 ] ~n4数 据矩阵, 第1列为全1向量 alpha(置信水平,0.05) 参数
加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元） 价格差较小时增加 的速率更大
8 7.5 5 6 7 8
x2
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
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完全二次多项式模型 2 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x1 x2 4 x1 5 x2
R2,F,
p 模型整体上可用
x1~资历(年) x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理
中学：x3=1, x4=0;大 学：x3=0, x4=1; 更高： a4置信区间包含零点， 解释不可靠! x3=0, x4=0.
三峡大学理学院
结果分析
ˆ 残差 e y y
残差分析方法
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
中学：x3=1, x4=0 ； 大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
资历每加一年薪金的增长是常数； 管理、教育、资历之间无交互作用 线性回归模型
y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
a0, a1, …, a4是待估计的回归系数，是随机误差
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x28Biblioteka 5678