山东省烟台市2017-2018学年高一下学期期末自主练习数学试题

2017-2018学年度第二学期高一期末自主练习
数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（）
A. 3
B. -3
C.
D.
【答案】B
【解析】，选B.
2. 已知圆的半径为，则圆心角所对的弧长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...
3. 已知向量，，若，则实数的值为（）
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
【答案】A
【解析】由有，展开化简得，所以
，选A.
点睛：本题主要考查向量坐标运算，属于基础题。

由得出是解答本题的关键。

4. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，选D.
5. 已知正五边形的边长为2，则（）
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】C
【解析】正五边形ABCDE的内角都为，
，且，所以
，故选C.
6. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 在定义域内是增函数
B. 的对称中心是（）
C. 是奇函数
D. 的对称轴是（）
【答案】B
【解析】因为，所以函数的定义域为
，在定义域上不是增函数，选项A错误；令
，所以对称中心为，选项B正确；由于函数定义域不是关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，选项C错误；函数
无对称轴方程，选项D错误。

故选B.
7. 如图，在中，点满足，（）则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】即,故
,应选D.
8. 已知为第二象很角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：因为为第二象限角，即，
，所以，即
，由两边平方并整理得，所以，故选A.
考点：1.三角恒等变换；2.同角三角函数基本关系；3.三角函数的定义与符号.
【易错点睛】本题考查三角恒等变换、同角三角函数基本关系、三角函数的定义与符号，中档题；本题中已知角为第二象限角，容易判断角为第三、四象限角或轴负半轴的角，这时由求时，符号易判断错而导致错误，就应注意挖掘题中隐含条件
，进一步细化角的范围.
9. 已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
，所以当时，有最小值，有最小值，选C.
10. 函数（，，）的图象如图所示，为了得到
的图象，可将的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】由图象有，所以，由有
，因为，所以，函数，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，选D.
11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转角后得到点，则点
的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：本题主要考查了新定义知识，属于中档题。

阅读理解、理解题意是解答本题的关键。

12. 已知函数，则下列说法错误的是（）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递减
C. 若，则（）
D. 的最小正周期为
【答案】C
【解析】因为，所以的图象关于直线对称，选项A正确；当时，，所以
在上为减函数，选项B正确；若，则，若时也成立，但不满足条件
，选项C错误；因为，所以最小正周期为，故本题选项中错误的是C.选C.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。

本题要对选项逐一判断，主要正弦函数性质的应用。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】，其中，所以当时，函数有最大值5.
14. 若，则__________．
【答案】2
【解析】当时，，所以，展开有
，则。

15. 已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为…，则__________．
【答案】
【解析】，当时，，或，则或，点，所以。

点睛：本题主要考查诱导公式和三角函数求值，属于中档题。

本题关键是求出点的坐标。

16. 已知点在圆好运动，且，若点的坐标为，则
的最小值为__________．
【答案】8
【解析】经分析知，为圆直径，设，所以,故
，所以当时，最小值为8.
点睛：本题主要考查了平面向量的有关计算，属于中档题。

本题关键是向量式
的化简。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知不共线的平面向量，满足，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由得，展开，求出的值；（2）由向量共线基本定理，解方程组，求出的值。

试题解析：(1)因为，所以，所以
，因为，，所以.
(2) 因为，且，所以存在实数，使得
，因为，且不共线，所以
，所以.
18. （1）化简：；
（2）证明：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）将切化弦，通分，逆用两角差的正弦公式，逆用二倍角公式等，求出结果；（2）证明恒等式原则：由繁到简，所以本题从左往右证明，再把左边通分，两角和的正弦公式展开，化简，逆用两角和的正弦公式，得到于右边相等，得证。

试题解析(1)：
；
（2）证明：左边
=右边，所以等式成立.
19. 已知函数.
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）将函数化为，求出对称中心和单调递减区间；（2）由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数的图象。

试题解析;（1），令
得，，所以，即的对称中心为
由得，，
所以函数的单调递减区间为.
(2) 由（1），，将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），得到，将其向左平移个单位长度，得到函数的图象，则
，即.
20. 在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，（）. （1）若点，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由B 点坐标，根据三角函数的定义，求出
，用两角差的正切公式，求出
的值；（2）由已知条件求出的值，根据的范围，求出
的值，将
展开，代入值，化简，
得出结果。

试题解析：（1）由点
,得
，
，所以
.
所以；
（2）
,
，
,
,得
，
又因为，所以， 那么
.
21. （1）证明：
； （2）试结合（1）的结论，求的值.
（可能用到的公式：）
【答案】（1）
；（2）.
【解析】试题分析：（1）将
拆成
，再用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式，
同角的平方关系等，得出结论；（2）用（1）中的公式，再分解因式，求出的值。

试题解析：（1）
=
.
（2）由（1）得，
即
，所以
，
解得或（舍去）或（舍去），所以
.
点睛：本题主要考查了三角函数式的化简，证明以及求值，属于中档题。

本题还考查了灵活运用公式的能力。

22. 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）若入住客栈的游客人数与月份之间的关系可用函数
（，，）近似描述，求该函数解析式；
（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
【答案】(1)（，且；(2) 只有
五个月份要准备份以上的食物.
【解析】试题分析：（1）由已知条件求出的值，得出函数的解析式；（2）由已知得解不等式求出的范围，再求出月份来。

试题解析：(1)因为函数为，由①，周期，所以；由②，最小，最大，且，故；由③，在上递增，且，所以，所以
，解得，又最小，最大，所以，由于，所以，所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
（，且）.
(2)由条件可知，，化简得，，所以
，解得.因为
，且，故. 即只有五个月份要准备
份以上的食物．
点睛：本题主要考查三角函数的实际应用，属于中档题。

解题思路：先由已知条件求出函数
的解析式，在（2）中，解不等式求出的范围，得出结果。