【浙教版初中数学】《直角三角形》专项练习-性质应用
浙教版八年级数学上册.6 直角三角形
2.6 直角三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 木杆斜靠在墙壁上，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端也随之沿着射线方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点随之下落的路线，其中正确的是A. B.C. D.2. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是A. B. C. D.3. 若直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边上的中线长是A. B. C. D. 不能确定4. 在中，若，则此三角形是A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定5. 如图，在中，，，，，分别是的高、角平分线、中线．则与的大小关系是A. B.C. D. 与的度数有关，无法判断6. 如图，已知点和点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则满足这样条件的点共有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个7. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( )A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形8. 下列说法中错误的是A. 三角形的中线、角平分线、高线都是线段B. 任意三角形的三内角和都是C. 三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形D. 直角三角形的两锐角互余9. 如图，在中，于点，于点，为的中点，，，则的周长是A. B. C. D.10. 如图，在中，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于A. B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，中，，为斜边的中点，，则的长为．12. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则．13. 如图，在中，是斜边的中点，若，则．14. 如图，在中，，，图中互余的角有对，相等的锐角有对．15. 如图，在中，，是边上的高，则图中与相等的角是．16. 在中，，是三角形．17. 如图，在中，，点在上，为的中点，，相交于点，且．若，则等于．18. 如图，在中，，于，，为的中点，则为．19. 如图，，垂足为，、分别是射线、上的两个动点，点是线段的中点，且．则动点运动形成的路径长是．20. 如图，在中，，为斜边上的两个点，且，，则的大小为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，四边形中，，是的中点．求证：．22. 如图，在中，，是上一点，且．求证：．23. 如图，在中，，是边上的中线，于，交延长线于点，若，求的度数．24. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为．点和点在小正方形的顶点上．Ⅰ在图1中画出（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形（画一个即可）；Ⅱ在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（画一个即可）．25. 已知，点是边上一动点（不与，重合）分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，为边的中点．Ⅰ如图 1，当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是；Ⅱ如图 2，当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明；Ⅲ如图 3，当点在线段的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．答案第一部分1. D2. B3. C4. B5. B6. C7. C8. C9. C 10. D第二部分11.12.13.14. ；15.16. 直角17.18.19. ．20.第三部分21. ，点是的中点，，同理可证 .．22. ，．，..．23. ，，．在中，，是边上的中线，．．．24. （1）（2）25. （1）；．（2）．证明如下：如图，延长交于．，．在和中，（），．，是斜边上的中线，，即．（3）（2）中的结论仍然成立．证明如下：如图，延长，交于．，．在和中，（），．，是斜边上的中线，．初中数学试卷灿若寒星制作。
浙教版数学八年级上册2.6《直角三角形》同步练习
直角三角形练习1、填空题：（1）在△ABC 中，若∠A=∠B+∠C ，则△ABC 是（2）在△ABC 中，∠C=90°，∠A =2∠B ，则∠A= ，∠B= 。
（3）在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 是 三角形。
（4）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度。
（5）已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°， A D⊥BC 于D ，DE⊥AB 于E ，BE=1，BC= 。
（6）在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=21AB ，则∠B= 。
2选择题：（1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、以上都错 （2）如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形 （3）用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰三角形D ．梯形（4）.如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点， 有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°； ④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 3、解答题：（1）已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°角，若腰长为2cm ，求它的面积。
（2）在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，AB=6，求DE 的 长。
ABCDEABC DEF（3）下面是小明同学在学了等腰三角形后所做的一道题，题目是这样的：“已知△ABC 是等腰三角形，BC 边上的高恰好等于BC 边长的一半，求∠BAC 的度数。
”解：如图，∵AD ⊥BC ，AD=21BC=BD=CD ，∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°， ∴∠BAC=90° 你认为小明的解答正确吗？若不正确，请你将它补充完整。
解直角三角形的应用[下学期]浙教版
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解直角三角形的应用一 . 判断题：1.在直角三角形中，∠ C=90°， siA= 2，则斜边 AB的长为 3。
（）32.在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，假如 sinA=sinB，则∠ A=∠ B=45°。
（）3.在△ ABC中，∠ A: ∠ B: ∠ C=1:2:3 ，则 BC:AC:AB=1:2:3 。
（）4.在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，sinA=1，则 AC大于 BC。
（）45.在 Rt △ ABC中，假如已知一边和一锐角，则△ABC可解。
（）二．选择题：6.在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A≠∠ B，则以下等式中正确的选项是 ( )（ A） sinA-sinB=0 （ B） cotA-tanb=0 （ C） cosA-cosB=0（ D） sinA+sinB=07.已知∠ A+∠ B=90°, 且 cosA=1，则 cosB 的值为 ( ) 5（A）1.（B）4.（C）2 6.（D）2. 55558.化简1 sin 500 2 1 tan 5002的结果为 ( )（ A） tan50 0-sin50 0（ B）sin50 0-tan500.（ C）2-sin50 0-tan500. （D） -sin50 0-tan50 0.9.已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为( )（A）3.（B）3 58.（C）7 58.（D）4.75858710. 在 Rt △ABC中，∠ C=90°， tanA=3 ， AC等于 10，则 S△等于 ( )（A） 3 （ B） 300 （C）50（ D） 150 311. 在 Rt △ABC中，∠ C=90°， sinA:sinB=4:5，则cotA的值是()（A）4.（B）5.（C）4 41.（D）5 41. 54414112. 假如直角三角形斜边长为4，一条直角边的长为 2 3，那么斜边上的高为 ( )（A） 2 3 （B）3（C）3（D）2 213. 在 Rt △ABC中，∠ C=90°，已知α和 A，则以下关系式中正确的选项是 ()·a（ C） c=a·a（ A） c=a si nA （ B）c=sin A cos（ D） c=cos A14. 在 Rt △ABC中，∠ C=90°, 假如 cotB=1, 则以下式子中正确的选项是( )3(A) 00<B<300. (B) 600<B<900. (C)300<B<450. (D)45 0 <B<600.15．已知：如右图，在△ABC中， AD是 BC边上的中线，∠ B=30°，∠ C=450,AC=4，求 AB和 tan ∠ADC。
浙教版初中数学九年级解直角三角形及其应用--巩固练习
解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC 中，∠C ＝90°，4sin 5A，则tan B ＝( )． A ．43 B ．34 C ．35 D ．45 2．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan ∠CAD 的值（ ）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．B ．10米C ．15米D ．4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B ．2C ．15．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD （D 为底边中点）的长是（ ）A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若3cos5BDC∠=，则BD的长是( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )．A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A．．3m C．m D．100m二、填空题9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C 两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为即AB:BC＝，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．17.北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝3AC x =，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】D ；【解析】如图，延长AD ，过点C 作CE⊥AD，垂足为E ，∵tanB=，即=，∴设AD=5x ，则AB=3x ，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA， ∴， ∴CE=x ，DE=， ∴AE=， ∴tan∠CAD==． 故选D ．3.【答案】A ；【解析】由tan BC i A BC===53AC BC ==米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ cos 2OMN ∠=． 5.【答案】C ；【解析】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt △ADC 中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C ．6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，PM =二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t ﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5， ∴AE=5﹣2=3，∴DE==4，∴tan ∠DBE===2．故答案为：2．10．【答案】2； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，sin 60AG AF ==°．11．【答案】40+【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝40=．在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan ∠BPC ＝所以AB ＝AC+BC ＝40+12．【答案】12； 【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2， DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42BF BCE BDF DF ∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC ＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，∴ BC ＝AB ＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形，∴ AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，tan tan 603DE DE CE x DCE ===∠°．在Rt △ABC 中，∵AB BC =，AB ＝2，∴ BC = 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 22)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴2)3x x -=，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：过D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，则∠E=90°，∵sin ∠DBC=，BD=，∴DE=2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠CDB ，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形，连接AC 交BD 于O ，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，∴OC==，∴AC=2．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。
浙教版九年级数学-解直角三角形单元练习题
浙教版九年级数学-解直角三角形单元练习题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、选择题 解直角三角形（） 姓名：________１、如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………( )A. 633-B. 43C. 63D. 323-２、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）(A)32 (B)76 (C)256(D)23、如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为 （ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．184、如图，AB6对 对5、 如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（ ） A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB =C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠6、如图，已知ABCD 中，45DBC =∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论：①2DB BE =②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△其中正确的结论是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④7、在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠∠∠A B C ,,的对边的长，若sin cos ,cos cos ,A A B C ⋅==0则∆ABC 的形状是：A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形A DB EC8、如图5，在∆ABC 中，∠=B 300，P 为AB 上一点，BP AP =12，PQ ⊥BC 于Q ，连结AQ ，则cos ∠AQC 等于：A 、217B 、233 C 、277D 、23219．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ）A ．172B ．52C ．24D ．710.如图，在∆ABC 中，∠A=300，E 为AC 上一点，且AE:EC=3:1，EF ⊥AB 于F ，连接FC,则tan CFB ∠=（ ）A. 136B. 132C. 433D. 13411. 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A.； B.； C.； D. 112．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是( )A ．ab 21B ．B ac sin 21C ．A b tan 212D ．B A c cos sin 212⋅二、 填空题13、已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 14、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．15、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为 EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．16、若A 是锐角，则sin sin 221A A -+＝_________；104cos30sin60(2)(20092008)-︒︒+---=__________．ll 2 l 3ACB17. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 _____ .18.在∆ABC 中，若23sin 1(cos )02A B -+-=，则∠C=19、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，且BC=4，则△ABC 的面积为 ________ ．20、如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+)三、解答题21．（2010年浙江省东阳市）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.（1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值； （3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于83， 求EDF ∠的度数.22.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,∠BCD=900，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2，（1）求证：DC=BC;(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC,DE=BF ，试判断∆ECF 的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=1350时，求sin ∠BFE 的值。
直角三角形 浙教版八年级数学上册同步练习(含答案)
浙教版数学八年级上册2.6《直角三角形》课时练习一、选择题1.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )A.∠A＋∠B=∠CB.∠A=2∠B=2∠CC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D.∠A=∠B=3∠C3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.120°或135°5.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km6.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为( )A.12B.13C.14D.20二、填空题7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，DE 经过点C ，且DE ∥AB .若∠ACD =50°， 则∠A =____，∠B = .8.如图，△ABC 绕点C 顺时针旋转35°得到△A ′B ′C ′，此时恰好A ′B ′⊥AC ， 则∠A = .9.在△ABC 中，2∠B =∠A ＋∠C ，最小角∠A =30°，最长边中线为8 cm ，则最短边长为____cm ． 10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．若∠F =30°，DE =1，则BE 的长是 ．11.直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5 cm 和6 cm ，则它的面积为 cm 2． 12.如图，PA ⊥OA 于点A ，PB ⊥OB 于点B ，D 是OP 的中点，则DA 与DB 的数量关系是 .13.等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 14.如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ．三、解答题15.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C．求证：△ABD是直角三角形．16.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB=1∶3，求∠B的度数.18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC 交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．参考答案1.答案为：D2.答案为：D .3.答案为：D .4.答案为：B .5.答案为：D .6.答案为：C .7.答案为：50°，40°；8.答案为：55°.9.答案为：8. 10.答案为：2. 11.答案为：30. 12.答案为：DA =DB . 13.答案为：30°或150°． 14.答案为：12．15.证明：∵CE ⊥AD ， ∴∠CED =90°， ∴∠C ＋∠D =90°． 又∵∠A =∠C ， ∴∠A ＋∠D =90°， ∴△ABD 是直角三角形． 16.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BEF ＋∠DFE =180°．∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF =12∠BEF ，∠PFE =12∠DFE ，∴∠PEF ＋∠PFE =12(∠BEF ＋∠DFE )=90°．∴△PEF 是直角三角形．17.解：设∠CAD =x °， 则∠CAB =3x °，∠BAD =2x °. ∵DE 是AB 的中垂线， ∴DA =DB ， ∴∠B =∠BAD =2x °. ∵∠C =90°， ∴∠CAB ＋∠B =90°， 即3x ＋2x =90， 解得x =18， ∴∠B =2×18°=36°.18.证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∠CAD ＋∠CDE =90°． ∵CE ⊥AD ， ∴∠CED =90°． ∴∠CDE ＋∠DCE =90°．∴∠CAD =∠DCE ，即∠CAD =∠BCF ． ∵BF ∥AC ，∴∠CBF ＋∠ACB =180°， ∴∠CBF =180°－∠ACB =90°． ∴∠CBF =∠ACD ． 在△ACD 和△CBF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACD ＝∠CBF ，AC ＝CB ，∠CAD ＝∠BCF ， ∴△ACD ≌△CBF (ASA )． ∴CD =BF ． ∵D 为BC 的中点， ∴CD =BD ， ∴BD =BF ． ∵BF ∥AC ，∴∠ABF=∠CAB=∠DBA=45°．∴AB垂直平分DF．。
新浙教教数学八上同步练习2.6 第1课时 直角三角形的性质
2．6直角三角形第1课时直角三角形的性质知识点1直角三角形的相关概念1．[2018·柳州]如图2－6－1，图中的直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个图2－6－1 图2－6－2 2．已知：如图2－6－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则Rt△BCD的两条直角边是________，以AC为斜边的直角三角形是________．知识点2直角三角形的两个锐角互余3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是()A．120°B．90°C．60°D．30°4．如图2－6－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有()A．0个B．1个C．2个D．3个图2－6－3 图2－6－4 5．如图2－6－4所示，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝________°.6．如图2－6－5所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB上的高线，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数．图2－6－5知识点3直角三角形斜边上的中线性质7．如图2－6－6，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点之间的距离为()A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km图2－6－6 图2－6－78.如图2－6－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是AB边的中点，△BCD 的周长是18，则AB的长是()A．12 B．13 C．14 D．159．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝30°，则∠BCD＝________°.10．如图2－6－8所示，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别是A，B，D是OP的中点．求证：DA＝DB.图2－6－811．如图2－6－9，在△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝38°，则∠BAE的度数为()A．13°B．14°C．15°D．16°图2－6－9 图2－6－10 12．如图2－6－10，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE 上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．13．[2018·宜昌]如图2－6－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F.求∠F的度数．图2－6－1114．如图2－6－12，在△MNP中，∠MNP＝45°，H是△MNP的高线MQ，NR的交点．求证：MP＝NH.图2－6－1215．如图2－6－13所示，在△ABC中，已知AD⊥BC，∠B＝64°，∠C＝56°.(1)求∠BAD和∠DAC的度数；(2)若DE平分∠ADB，求∠AED的度数．图2－6－1316．[教材例1延伸]求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(现已写出已知和求证，请用两种方法证明)已知：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°. 求证：BC ＝12AB .教师详解详析1．C2．CD 和BD Rt △ADC 3．D4．C [解析] ∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高线， ∴∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°， ∴与∠A 互余的角有2个． 5．456．解：∵BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高线， ∴∠ADB ＝∠BEH ＝90°，∴∠ABD ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， ∴∠BHE ＝90°－∠ABD ＝60°， ∴∠BHC ＝180°－∠BHE ＝120°.7．D [解析] △ABC 是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，AB 的中点为M ，知CM ＝AM ＝BM ＝1.2 km.故选D.8．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵D 是AB 边的中点，∴CD ＝BD ＝12AB .∵△BCD 的周长＝CD ＋BD ＋BC ＝12AB ＋12AB ＋5＝18，∴AB ＝13.9．60 [解析] ∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴AD ＝CD ＝BD ，∴∠BCD ＝ ∠B ＝90°－30°＝60°.10．证明：在Rt △OAP 中，∵D 为斜边OP 的中点， ∴DA ＝12OP .在Rt △OBP 中，∵D 为斜边OP 的中点， ∴DB ＝12OP ，∴DA ＝DB .11．B [解析] ∵ED 是AC 的垂直平分线， ∴EA ＝EC ，∴∠EAC ＝∠C ＝38°.∵∠B ＝90°，∠C ＝38°，∴∠BAC ＝52°， ∴∠BAE ＝∠BAC －∠EAC ＝14°.故选B. 12．0<CD ≤513．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， ∠A ＝40°，∴∠ABC ＝180°－90°－40°＝50°， ∴∠CBD ＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°.(2)∵∠ACB ＝90°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°. ∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB ＝25°. 14．证明：∵MQ ⊥PN ，∠MNP ＝45°， ∴∠NMQ ＝45°，∴MQ ＝NQ .∵∠HMR ＋∠MHR ＝∠QNH ＋∠QHN ＝90°，∠MHR ＝∠QHN ，∴∠HMR ＝∠QNH . 在△MPQ 和△NHQ 中，∵⎩⎨⎧∠MQP ＝∠NQH ＝90°，MQ ＝NQ ，∠QMP ＝∠QNH ，∴△MPQ ≌△NHQ (ASA )，∴MP ＝NH . 15．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴在Rt △ABD 中，∠BAD ＋∠B ＝90°. ∵∠B ＝64°，∴∠BAD ＝26°. 在Rt △ADC 中，∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠C ＝56°，∴∠DAC ＝34°. (2)∵AD ⊥BC ，DE 平分∠ADB ， ∴∠BDE ＝45°.又∵∠B ＝64°，∴∠AED ＝∠B ＋∠BDE ＝109°.16．证明：证法一：如图①所示，延长BC 到点D ，使CD ＝BC ，连结AD ，则BD ＝2BC ，AD ＝AB .又∵∠B ＝90°－∠BAC ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB ＝BD ＝2BC ，即BC ＝12AB .证法二：如图②所示，取AB 的中点D ，连结CD ，∴CD ＝12AB ＝AD ＝DB ，∴∠DCA ＝∠A ＝30°， ∴∠BDC ＝∠DCA ＋∠A ＝60°， ∴△DBC 为等边三角形，∴BC ＝DB ＝12AB ，即BC ＝12AB .。
浙教版八年级数学上册 第二章《特殊三角形》专题提升直角三角形的判定与性质
2020学年浙教版第二章《特殊三角形》专题提升：直角三角形的判定与性质专题一：直角三角形的性质例1：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB上的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，∠DCA= ∠DAC.有下列结论:①∠DCB= ∠B；②CD= 12AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E= 30°，则DE= EF+ CF.其中正确的是 _________ （填序号）.变式1 - 1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1= 6，S3= 15，则S2 = _________ .变式1 - 2 在△ABC中，AB =8，BC = 1，∠ABC = 45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD = 90°，连结CD，则线段CD的长为 _________ .专题二：直角三角形的判定例2：如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD相交于点E，∠1 = ∠2.求证:△ABC是直角三角形.变式2 - 1 有下列结论:①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC 的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+ AC2= AB2，则∠A= 90°；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C= 1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形.其中错误的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个变式2 - 2 在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:1:1，则△ABC是 _________ 三角形.巩固练习1.（大连中考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D.若E是AB的中点，CD = DE = a，则AB的长为A.2aB.22aC.3aD.334a2.如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 3，CD = 13，AD = 12，则四边形ABCD 的面积为（）A.12B.24C.36D.483.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 _________ m.4.在△ABC中，∠A= 50°，∠B= 30°，点D在AB边上，连结CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 _________ .5.如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图.将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A，B，C，D和四个直角顶点E，F，G，H都在格点上，我们把这样的图形称为格点弦图，问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_________ .6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA = 6，PB = 8，PC = 10，则∠APB = _________ .7.（温州中考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数.（2）若CD = 2，求DF的长.8.（1）如图①，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2 + b2 = c2.该结论也称为勾股定理.证明:∵大正方形的面积可表示为S = c2，又可表示为S = 4 ×12ab + （b-a）2，∴4 ×12ab + （b-a）2 = c2，∴a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形，如图②，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.（3）如图③，∠ABC = ∠ACE = 90°，请你添加适当的辅助线证明结论:a2 + b2 = c2.。
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专项练习------直角三角形性质的应用
AE=2CE.
1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB. 求证：
2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA.
求证：
DE=DC.
1
3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若
.
AD=9，BC=12，求BE的长
4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等.
求证：
AE=DF.
2
5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长
.
3
4
参考答案
1.取AB 中点M ，连接EM
∵AE 平分∠CAB ∴CAB ∠=
∠=∠2
1
21（角平分线意义） ∵∠BAC=2∠B ∴∠2=∠B ∴AE=EB
∴EM ⊥AB
∴∠EMA=90°
∵AB=2AC AB=2AM
∴AC=AM
在△ACE 与△AME 中⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AE AM AC 21
∴△ACE ≌△AME （SAS ）
∴∠EMA=∠C=90°
在Rt △ACB 中，∠1+∠2+∠B=90°
∵∠1=∠2=∠B ∴∠1=30°
旗开得胜
5
∴
AE CE 2
1
=
即AE=2CE.
3.∵AD=9 ∴2
95.4=
==FD AF ∵BC=12 ∴BD=CD=6
∵∠BFD=∠EFA AF=FD ∠FDB=∠FAE=90°
∴△AFE ≌△DFB （ASA ）
∴FE=FB
在Rt △BFD 中，2
153648122=+=
+=DF BD BF ∴BE=2BF=15
4.∵在Rt △ACB 中，D 为AB 中点，
∴AD AB CD ==
2
1
且，∠2=∠3 ∵DE ∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3。