【数学】2017-2018年黑龙江省双鸭山一中高一(上)数学期中试卷带答案

2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个 B．2个 C．4个 D．8个2．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x3．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．2或﹣14．（5分）三个数a=0.22，b=log2，c=20.2之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|6．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）7．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e﹣x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）9．（5分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元10．（5分）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是下面的（）A． B．C．D．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x ﹣2，则不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（0，）B．（，1）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）12．（5分）设函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+都有f（m+n）=f（m）•f（n）且f（1）=2，则（）A．2011 B．2010 C．4020 D．4022二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）13．（5分）函数y=2+log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为．14．（5分）函数f（x）=x﹣2+1的值域为．15．（5分）f（x﹣1）的定义域是，则函数f（x）的定义域是．16．（5分）关于函数y=log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论：其中正确的有．①定义域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；②递增区间为[1，+∞）；③最小值为1；④图象恒在x轴的上方．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，集合Q={x|﹣2≤x≤5}．（1）若a=3，求集合（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．18．（12分）求值：（1）（2）（lg5）2+lg2×lg50．19．（12分）是定义在（﹣1，1）上的函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，证明：f（x）是其定义域上的增函数．20．（12分）已知函数f（x）=b•a x（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）（1）试求a，b的值；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．22．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个 B．2个 C．4个 D．8个【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}；∴3∈B，1，2可能是集合B的元素；∴B={3}，{1，3}，{2，3}，或{1，2，3}；∴集合B的个数是4．故选：C．2．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．对于A，函数y=的定义域为[0，+∞），故与y=x不是相同函数，故A错误；对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误；对于C．定义域为（0，+∞），故C错误；对于D，易知函数，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同．故选：D．3．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．2或﹣1【解答】解：∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m2﹣2m﹣3，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；∵f（x）为减函数，∴当m=2时，m2﹣2m﹣3=﹣3，幂函数为y=x﹣3，满足题意；当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上，幂函数y=x﹣3．所以m=2，故选：A．4．（5分）三个数a=0.22，b=log2，c=20.2之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.22＜1，b=log2＜0，c=20.2＞1，∴b＜a＜c．故选：B．5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）【解答】解：若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则，即，解得≤x＜，故选：C．7．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：要使函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的解析式有意义x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1，或x＞3当x∈（﹣∞，﹣1）时，内函数为减函数，外函数也为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为增函数；当x∈（3，+∞）时，内函数为增函数，外函数为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为减函数；故函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（3，+∞）故选：A．8．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e﹣x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【解答】解：函数f（x）=e﹣x+4x﹣3是连续函数，因为f（）=﹣1＜0，f（）=+3﹣3＞0，所以f（）f（）＜0，故选：D．9．（5分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元【解答】解：设进价是x元，则（1+10%）x=132×0.9，解得x=108．则这件衬衣的进价是108元．故选：D．10．（5分）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是下面的（）A． B．C．D．【解答】解：由函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象可知：函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数y=g（x）的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是偶函数，函数y=g（x）是奇函数，∴函数y=f（x）•g（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当x取很小的正数时，f（x）＞0，g（x）＜0，∴f（x）g（x）＜0，故A符合，而C不符合，故选：A．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x ﹣2，则不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（0，）B．（，1）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）【解答】解：当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，∴f（1）=0，又∵当x∈[0，+∞）时，f（x）为增函数，又是定义在R上的偶函数，故f（x）＞0时，x＞1，或x＜﹣1，故f（log2x）＞0时，log2x＞1，或log2x＜﹣1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞），故选：D．12．（5分）设函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+都有f（m+n）=f（m）•f（n）且f（1）=2，则（）A．2011 B．2010 C．4020 D．4022都有f（m+n）=f（m）•f（n）【解答】解：∵函数f（x）满足对任意的m，n∈Z+且f（1）=2，∴f（m+1）=f（m）•f（1），变形可得=f（1）=2，∴=2010f（1）=4020故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）13．（5分）函数y=2+log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为（2，2）．【解答】解：∵函数y=2+log a（x﹣1）（a＞0，a≠1），当x﹣1=1，即x=2时，y=2+0=2；∴函数y的图象必过定点P（2，2）．故答案为：（2，2）．14．（5分）函数f（x）=x﹣2+1的值域为（﹣∞，2] ．【解答】解：令=t，则t≥0，x=1﹣t2，则y=1﹣t2﹣2t+1=﹣t2﹣2t+2在[0，+∞）上是减函数，故y≤2，即函数f（x）=x﹣2+1的值域为（﹣∞，2]；故答案为：（﹣∞，2]．15．（5分）f（x﹣1）的定义域是，则函数f（x）的定义域是[，8] ．【解答】解：f（x﹣1）的定义域是，可得≤x≤9，则≤x﹣1≤8，即有函数f（x）的定义域是[，8]．故答案为[，8]．16．（5分）关于函数y=log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论：其中正确的有②③④．①定义域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；②递增区间为[1，+∞）；③最小值为1；④图象恒在x轴的上方．【解答】解：设t=x2﹣2x+3，则函数等价为y=log2t．①要使函数有意义，则t=x2﹣2x+3＞0，∵t=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，∴t=x2﹣2x+3＞0恒成立，即函数的定义域为R，∴①错误．②∵t=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴t=x2﹣2x+3在[1，+∞）上单调递增，则（﹣∞，1]上单调递减，∵y=log2t 在定义域上单调递增，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，函数y=log2（x2﹣2x+3）在[1，+∞）上单调递增，∴②正确．③∵t=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，y=log2t 在定义域上单调递增，∴y=log2t≥log22=1，即函数的最小值为1，∴③正确．④由③知y≥1且y=log2t 在定义域上单调递增，∴图象恒在x轴的上方，∴④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，集合Q={x|﹣2≤x≤5}．（1）若a=3，求集合（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，集合P={x|4≤x≤7}，集合Q={x|﹣2≤x≤5}．C R P={x|x＜4或x＞7}，∴集合（∁R P）∩Q={x|﹣2≤x＜4}．（2）∵集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，集合Q={x|﹣2≤x≤5}．P⊆Q，∴当P=∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0，成立；当P≠∅时，，解得0≤a≤2．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）求值：（1）（2）（lg5）2+lg2×lg50．【解答】解：（1）==．（2）（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2（lg5+1）=（lg5）2+lg2•lg5+lg2=lg5（lg5+lg2）=lg2=lg5+lg2=1．19．（12分）是定义在（﹣1，1）上的函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，证明：f（x）是其定义域上的增函数．【解答】解：（1）∵函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．20．（12分）已知函数f（x）=b•a x（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）（1）试求a，b的值；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），∴，解得a=2，b=4，∴f（x）=4•（2）x=2x+2，（2）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，y=g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min=g（1）=．若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，即m≤21．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解（1）要使函数有意义：则有解得：﹣3＜x＜1，所以函数的定义域为：（﹣3，1）．（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3），（0＜a＜1）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1解得：x=∵∈（﹣3，1）．∴f（x）的零点是．（3）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]，（0＜a＜1）∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，∴f（x）min=log a4，即log a4=﹣4可得：a=故得a的值为．22．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由于定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则即，解得，即有f（x）=，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则kt2﹣kt＞kt﹣2，即有kt2﹣2kt+2＞0对t∈R恒成立，∴k=0或即有k=0或0＜k＜2，综上：0≤k＜2．。