安徽省六安市新安中学2021届高三上学期第三次周考数学(理)试题
安徽六安高三上学期月考三数学(理)试卷(解析版) Word版含解析
第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合()122|log 12,|21x A x x B x x ⎧⎫+⎧⎫=+≥-=≥⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,则 A B =（ ）A.()1,1-B.[)0,1C.[]0,3D.∅ 【答案】B【解析】试题分析：因}10|{}013|{},31|{}410|{<≤=≤-=≤≤-=≤+<=x x x xx B x x x x A ,则)1,0[=B A ,故应选B. 考点：不等式的解法与集合的运算.2．已知a 为实数，若复数()2341z a a a i =--++为纯虚数，则复数a ai -在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由纯虚数的定义可得⎩⎨⎧≠+=--010432a a a ,解之得4=a ,则复数a ai -在复平面内对应的点在第四象限,故应选D. 考点：复数的有关概念与几何意义.3．已知向量()()1,2,,1a m b m =+=-,且a b ,则b =（ ） 2 C.203 D.253【答案】A 【解析】试题分析：由题设可得121-+=m m ,即122-=+m m ,故1-=m ,所以211||=+=,故应选A.考点：向量的平行条件及模的计算.4．在ABC ∆)tan tan tan tan 1B C B C +=-，则cos 2A =（ ） A.12 B.12-C.2D.2- 【答案】A 【解析】 试题分析：由)tan tan tan tan 1B C B C +=-可得33t a n t a n 1t a n t a n )t a n (-=-+=+C B C B C B ,故03033tan =⇒=A A ,则2160cos 2cos 0==A ,故应选A. 考点：两角和的正切公式及余弦二倍角公式的综合运用.5．已知两点()(1,0,,A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且150AOC ∠=，设()2OC OA OB R λλ=-+∈，则λ=（ ）A.1-B.12- C.12D.1 【答案】C 【解析】试题分析：由题设()2OC OA OB R λλ=-+∈可得)3,2(λλ+-C ,三角函数的定义可得33tan -=∠AOC ,即3323-=-λλ,解之得21=λ,故应选C. 考点：向量的坐标运算及三角函数的定义与运用.6．ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若7cos ,2,38A c a b =-==，则a =（ ）A.2B.52 C.3 D.72【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理可得87)2(32)2(922⨯+⨯-++=a a a ,解之得2=a ,故应选A. 考点：余弦定理及运用.7．已知等边ABC ∆的边长为2，若4,BC BE AD DC ==，则BD AE =（ ） A.2- B.94- C.94D.2 【答案】B 【解析】试题分析：由题设知E D ,分别AD BC ,的四等分点和二等分点,故43,21-=-=,则49445212281143218322-=⨯-⨯⨯⨯=--⋅+⋅=⋅BC AC BC AC BC AC AE BD ,故应选B.考点：向量的几何运算及数量积公式的运用.8．直线x t =分别与函数()1xf x e =+的图象及()2g x x =的图象相交于点A 和点B ，则AB 的最小值为（ ）A.2B.3C.42ln 2-D.32ln 2- 【答案】D 【解析】试题分析：因)(12||t F t e AB t =+-=,故2)(/-=t e t F ,则当2ln >t 时, 0)(/>t F ,函数12)(+-=t e t F t 单调递增,当2ln <t 时, 0)(/<t F ,函数12)(+-=t e t F t单调递减,故当2ln =t 时,函数12)(+-=t e t F t取最小值2ln 312ln 22)2(ln -=+-=F ,应选D.考点：函数的图象和性质与导数在求最值中的运用. 9．已知函数()()()()22212121xx x x f x x ee x e e -+--=+-++，则满足()0f x >的实数x 的取值范围是（ ）A.11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.(),1-∞-C.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：令)()(2x x e e x x h -+=,则)()12()12(12122--+++=+x x e e x x h ,因由()0f x >可得因)()12()(121222--+-++>+x x x x e e x e e x ,即)12()(+>x h x h .又)()(x h x h =-,故函数)()(2x x e e x x h -+=是偶函数,所以当>x 时,0)(2)()(2/>++-=--x x x x e e x e e x x h ,即函数)()(2x x e e x x h -+=是单调递增函数,故由)12()(+>x h x h 可得|12|||+>x x ,即01432<++x x ,解之得311-<<-x ,故应选A.考点：函数的单调性和奇偶性及不等式的解法等知识的综合运用. 【易错点晴】本题以可导函数()()()()22212121xx x x f x xee x e e -+--=+-++满足的不等式0)(>x f 为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式0)(>x f 进行等价转化为)12()(+>x h x h .再依据题设条件先构造函数)()(2x x e e x x h -+=,将问题转化为证明函数)()(2x x e e x x h -+=是单调递增函数,从而将不等式)12()(+>x h x h 化为|12|||+>x x ,从而使得问题最终获解.10．一个边为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值应为（ ） A.6 B.3 C.1 D.16【答案】C 【解析】试题分析：因无盖方盒的底面边长为x 26-,高为x ,其容积)30(36244)26()(232<<+-=-=x x x x x x x V ,则)4)(1(12364812)(2/--=+-=x x x x x V ,当)1,0(∈x 时,0)(/>x V ,函数)(x V 单调递增; 当)3,1(∈x 时,0)(/<x V ,函数)(x V 单调递减.故当1=x 时, 无盖方盒的容积V 最大,故应选C.考点：棱柱的体积与导数在实际生活中的运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为x ,底面边长为x 26-,进而求该无盖方盒的容积)30(36244)26()(232<<+-=-=x x x x x x x V ,然后运用导数求得当1=x 时,无盖方盒的容积V 最大,从而使得问题最终获解.11．已知函数()()22ln x x m f x x+-=，若存在[]1,2x ∈使得()()'0f x x f x +>，实数m的取值范围是（ ）A.(),2-∞B.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：令)()(x xf x F =,则)()()(//x xf x f x F +=,由()()'0f x x f x +>可知0)(/>x F ,即函数2)(ln 2)()(m x x x xf x F -+==是单调递增函数,所以存在[]1,2x ∈使得0)(22)(/>-+=m x x x F 成立,即x x m 1+<,因此问题转化为xx x h m 1)(+=<在]2,1[上的最大值问题.因25212)(max =+=x h ,故25<m ,故应选D.考点：函数的单调性与导数知识的综合运用.【易错点晴】本题以可导函数满足的不等式为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何将不等式()()'0f x x f x +>进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数)()(x xf x F =,将问题转化为求函数2)(ln 2)()(m x x x xf x F -+==是单调递增函数的前提下,求实数m 的取值范围,从而使得问题最终获解. 12．已知函数()f x 是定义在()0,+∞内的单调函数，且对()()0,,ln 1x f f x x e ∀∈+∞-=+⎡⎤⎣⎦，给出下面四个命题：①不等式()0f x >恒成立②函数()f x 存在唯一零点，且()00,1x ∈ ③方程()f x x =有两个根④方程()()'1f x f x e -=+（其中e 为自然对数的底数）有唯一解0x ，且()01,2x ∈. 其中正确的命题个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B 【解析】试题分析：令0ln )(>=-t x x f ,则x t x f ln )(+=,注意到t x ,的任意性可得x x x f ln )(+=.由于当0ln )(>-x x f 时,0)(>t f ,因此①是正确的；由于011)(/>+=xx f ,即函数x x x f ln )(+=是单调递增函数,且01)1(,02ln )(22>=<+=--f ee ef ,因此函数在)1,0(上存在唯一的零点,故②是正确的；设x x x f x g ln )()(=-=,则01)(/>=xx g ,即函数x x g ln )(=是单调递增函数,且只有一个零点,故答案③是错误的；令111ln 1)()()(/----+=---=e xx x e x f x f x F ,因0111)(2/>++=xx x F ,故)(x F y =是单调递增函数,且0212ln )2(,02)1(<--=<--=e F e F ,因此④是错误的.故应选B.考点：函数的定义及对应法则及函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】本题是一道以函数满足的条件()()0,,ln 1x f f x x e ∀∈+∞-=+⎡⎤⎣⎦为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合性应用问题.解答本题的关键是如何理解这一条件进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数0ln )(>=-t x x f ,则x t x f ln )(+=,然后逐一对所提供的四个答案进行分析推证,从而使得问题最终获解.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．()21,0cos ,0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()1f x dx π-⎰的值等于 __________.【答案】2-【解析】 试题分析:因()1f x dx π-⎰202cos )12(001-=+-=+-=⎰⎰-πxdx dx x ,故应填答案2-.考点：定积分及计算公式的运用.14．已知a 与b 的夹角为120，若()()2a b a b +⊥-，且2a =，则b 在a 方向上的投影为__________.【答案】 【解析】试题分析:由()()2a b a b +⊥-可得0222=-⋅-,即04||||22=--,解之得4331||+=,故b 在a 方向上的投影为8331120cos ||0+-=,故应填答案. 考点：向量的数量积公式及投影的定义的综合运用.15．已知α为锐角，且()sin 11α=，则α的值为_________.【答案】50【解析】试题分析:由()sin 11α=可得110cos 40sin 2sin 0=α,即000050sin 40cos 40sin 280sin sin ===α,又α为锐角,050=α,故应填答案50. 考点：三角变换的公式及运用.16．若满足cos sin c a C c A =的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是_________.【答案】)【解析】试题分析:由题设及正弦定理可得A C C A sin sin cos sin =,即1tan =C ,故045=C ,由余弦定理可得222222⨯-+=ab b a ,即02222=-+-a ab b ,由题设可知⎪⎩⎪⎨⎧>-=>--=∆020)2(4222122a b b a a ,解之得22<<a .故应填答案).考点：正弦定理余弦定理及二次方程的根判别式的综合运用.【易错点晴】本题三角形的边角关系为背景,考查的是与解三角形等有关知识和数学思想的综合问题,解答时先正弦定理求得A C C A sin sin cos sin =,即1tan =C ,故045=C ,再运用余弦定理建立方程222222⨯-+=ab b a ,即02222=-+-a ab b ,进而将问题转等价转化为方程有两个不等的正根问题,然后利用方程理论建立不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-=>--=∆020)2(4222122a b b a a ,然后解不等式组求出22<<a ,从而获得答案.三、解答题17．已知平面上三点()()()2,0,0,2,cos ,sin A B C αα. （1）若()27,(OA OCO +=为坐标原点），求向量OB 与OC 夹角θ的大小；（2）AC BC ⊥若，求sin 2α的值. 【答案】（1）6π或56π；（2）43.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解；（2）借助题设运用向量的数量积公式建立方程求解. 试题解析：（1）因为()()22cos ,sin ,7OA OC OA OC αα+=++=,所以()222cos sin 7αα++=，故1cos ,cos sin 26OB OC OB OCπαθαθ=∴===∴=或56π.（2）()()cos 2,sin ,cos ,sin 2AC BC αααα=-=-,由,0AC BC AC BC ⊥∴=, 即()2113cos sin ,cos sin ,sin 2244ααααα+=∴+=∴=-. 考点：三角变换与向量的数量积公式的综合运用.18．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ABC ∆的面积cos S B =.（1）求角B 的大小； （2）若2a =，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）132+≤≤c . 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用三角形面积公式建立方程求解；（2）借助题设运用正弦定理建立函数探求. 试题解析： （1）31cos sin ,tan 22S ac B ac B B ==∴=3B π∴=.（2）22sin 2sin 32,,,13sin sin sin sin tan A a c C a B c A C A A Aππ⎛⎫-⎪⎝⎭===∴===+,,2143A c ππ≤≤∴≤≤.考点：三角变换公式、正弦定理及三角形面积公式的综合运用. 19．已知函数()sin 4463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移48π个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =在[],0π-上的值域. 【答案】（1） ,,21223k k k ππππ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦；（2）]2,2[-. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用三角变换公式及正弦函数的图象和性质求解；（2）借助题设运用正弦函数的图象和性质探求.试题解析：（1）()114cos4sin442222f x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos42sin46x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, 由3242,262k x k k zπππππ+≤+≤+∈,得,21223k kx k zππππ+≤≤+∈.()f x∴的单调递减区间为,,21223k kk zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()[]2sin,,04g x x xππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭时，()3,,sin,4444x x g xππππ⎡⎡⎤⎛⎫⎡+∈-∴+∈-∴∈-⎢⎪⎢⎥⎣⎣⎦⎝⎭⎣⎦.考点：三角变换公式及正弦函数的图象和性质的综合运用.20．设函数()()2ln,2af x x x a a R=+--∈.（1）若函数()f x在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求函数()f x的极值点.【答案】（1）a≤（2）2ax=是极大值点,2ax=是极小值点.【解析】试题分析：（1）借助题设条件先进行转化再分离参数借助导数知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想分类探求.试题解析：（1）()()21221'2,0x axf x x a xx x-+=+-=>.依题意得，在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式22210x ax-+≥恒成立.又因为0x>,所以min122,2a x ax⎛⎫≤+∴≤⎪⎝⎭a≤（2）()2221',0x axf x xx-+=>,令()2221h x x ax=-+.①当0a≤时，可知在()0,+∞上()0h x >恒成立，此时()'0f x >，函数()f x 没有极值点.②当0a >时，（Ι）当0∆≤，即0a <时，在()0,+∞上()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≥，函数()f x 没有极值点.（ΙΙ）当0∆>，即a >x <<时,()0h x < 此时()'0f x <，当0x <<x >时，()0h x >，此时()'0f x >，∴当a >2a x =是函数()f x 的极大值点,2a x = 是函数()f x 的极小值点.综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >2a x =是函数()f x 的极大值点,x =是函数()f x 的极小值点. 考点：函数简单性质及导数知识的综合运用.21．如图1，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和发电站C ，村庄B 与,A C 的直线距离都是2,km BC 与河岸垂直，垂足为D .现要铺设电缆，从发电站C 向村庄,A B 供电.已知铺设地下电缆，水下电缆的费用分别为2万元/,4km 万元/km .（1）如果村庄A 与B 之间原来铺设有电缆（如图1中线段AB 所示）, 只需对其改造即可使用，已知旧电缆的改造费用是0.5万元/km ，现决定在线段AB 上找得一点F 建一配电站，分别向村庄,A B 供电，使得在完整利用,A B 之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点F 的位置.（2）如图2, 点E 在线段AD 上，且铺设电缆线路为,,CE EA EB ，若03D C E πθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，试用θ表示出总施工费用y （万元）的解析式，并求y 的最小值.【答案】（1） 35+，F 到点B 的距离为12km ；（2） 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用解三角形的知识求解；（2）借助题设建立函数关系,运用导数知识探求. 试题解析：（1）根据题意得ABC ∆为等边三角形，因为CD AD ⊥则水下电缆的最短长度为CD ，过D 作DF AB ⊥于点F ，则地下电缆的最短为DF ，因为ABC ∆为等边三角形，则31sin 60,cos602DF BD BF BD ====，又因为1,2CD AB ==，则该方案的总费用为: 14220.55⨯+⨯=，此时点F 到点B 的距离为12km . （2）,1DCE BD CD θ∠===， 则)111,tan ,tan ,42tan 2cos cos cos BE CE ED AE y θθθθθθ=====⨯+⨯+⨯3sin20cos 3θπθθ-⎫=⨯+≤≤⎪⎭，令()3sin cos g θθθ-=，则()23sin 1'cos g θθθ-=，因为0,0sin 3πθθ≤≤≤≤，所以在此区间内存在唯一的0θ，使得01sin 3θ=，即()0'0g θ=，当00θθ≤≤时，()()'0,g g θθ≤单减；当03πθθ≤≤时，()()'0,g g θθ>单增，故()()0min g g θθ==y ≥∴施工总费用的最小值为.考点：正弦定理余弦定理及导数知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的铺设电缆的问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用解三角形的工具直接解三角形获得答案；第二问的求解过程中,设θ=∠DCE ,建立函数y 3sin 20cos 3θπθθ-⎫=⨯+≤≤⎪⎭,然后运用导数求得当01sin 3θ=时, y ≥,即施工总费用的最小值为,从而使得问题最终获解.22．已知函数()ln f x x =. （1）若函数()k y f x x =+在21,e ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围. （2）是否存在实数k ，使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()k y f x x =+的图象在()xe g x x =的图象下方？若存在，请求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221k e e ≤<；（2）存在,]2ln 21,(21+-∞e .【解析】试题分析：（1）借助题设条件进行转化,再运用导数知识求解；（2）借助题设进行转化,构造函数运用导数知识探求. 试题解析： （1）ln k y x x =+有两个不同的零点，即ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上两个不同的根，ln k x x ∴-=.令()ln g x x x =,则()'1ln g x x =+,由()'0g x =,得1x e =,当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()'0,g x g x <单减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,g x g x >单增，()()222min 111212,,10,g x g g g k e e e e e e ⎛⎫⎛⎫∴==-=-=∴-<-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即221k e e ≤<.（2）假设存在实数k 满足题意，则不等式:ln x k e x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立.即ln x k e x x <-恒成立.令()ln xh x e x x =-，则()'l n 1xh x e x x =-- ，令()l n 1xx e x x ϕ=--，则()1'x x e xϕ=-，因为()'x ϕ在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增，且()121'20,'1102e e ϕϕ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0x ϕ=，即001x ex =，故当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0'0x ϕ<，即()x ϕ单减，当()0,x x ∈+∞时，()'0x ϕ>，即()x ϕ单增.()()()0000min 01ln 112110,'0xx x e x x h x x ϕϕ∴==--=+-≥-=>∴>, 即()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增，1211ln 222k h e ⎛⎫∴≤=+ ⎪⎝⎭.考点：导数知识在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是将函数有零点问题转化为求函数)(x f 的值域问题.求解时运用导数求出其最小最大值;第二问求解时先将不等式进行转化,然后构造函数()ln xh x e x x =-,借助导数求出参数k 的取值范围是]2ln 21,(21+-∞e ,从而使得问题简捷巧妙获解.。
安徽省2021届高三上学期第三次月考试题理科数学含答案.docx
安徽省霍邱县第一中学2021届高三上学期第三次月考试题理科数学【含答案】一、选择题(每小题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂在答题卡的相应位置)1.知集合A = {x\x<l},B = {x\3x <1}，则( )A. AriB = {xlx<0}B. A\JB = RC. A\jB = {x\x>l}D.A^B =(/)p X— 1 Y C 12.函数/(x)= ' —,则f(ln2)的值是( )In x, x〉1A. 0B. 1C. In(ln2)D. 23.若« = log20.5,& = 205,c = 0.52,则a,b,c三个数的大小关系是( )A. a <b<cB.b<c<aC. a <c<bD. c<a<b4.函数/(.x) = ln(.x2 -2.X-8)的单调递增区间是( )A (-oo,-2) B. (-oo,l) C. (l,+oo) D. (4,+oo)5.已知三个函数/(x) =2X + x,g(x) = x-l,h(x) = log3x+ x的零点依次为a,b,c,则( )A. a <b<cB. b <a<cC. c <a<bD. a<c<b6.由曲线xv = l,直线y = = 3所围成的封闭图形的面积为( )19 11A. - + ln3B. 4-ln3C. -D.—2 2 67.函数/(x) = Qsin(2兀——) + Z?cos2x(a,Z?不全为零)的最小正周期为( )67TA. —B.兀C. 271D. 4兀28.y = ln兀上的点到直线x-y + 7 = 0的最短距离是( )A. V2B. 3^2C. 4A/2D. 5^2TT9.已知函数/(x) = cos(x + —) • sinx ,则函数/(x)的图象( )/yA最小正周期为T = 5 B.关于点对称8 4C.在区间(0,彳)上为减函数D.关于直线x = ^对称10.定义在7?上的偶函数/Xx)对于\/x^R,均有/ (x +2) = /(%) + /⑴，且当x e [2,3]时，/(x) = -2x2 + 12x-18 ,若函数v = /(.x)-log a(|.x|+l)在(0,炖)上至少有5个零点，则a的取值范围是 ( )A(0,芈) C. (0,£) D. (0，¥)2 3 5 611.在AABC中，A:B = 1:2,C的平分线CD把三角形面积分成3: 2两部分，则cosA=( )1 1 3A.-B. -C.-D.Q3 2 412.已知定义在7?上的函数/(x)的导函数为广(x),对任意x&R满足/(x) +/'(X)< 0 ,则下列结论正确的是( )A 2f(ln2)>3f(ln3) B. 2/(ln2) < 3/(ln3)C. 3/(ln 2) > 2/(ln 3)D. 3/(ln 2) < 2/(ln 3)二、填空题(每小题5分，共4小题，满分20分，请将正确答案填在答题卡相应位置)13.命题p :" 3x0 e R,x： -1 < 0"的否定为：_________________________________ ；14.已知集合A = {x\x2 -2x-3<0},B = {x\-<l},则A[}B= ___________________________ ；15.若cos(a—兰)=^^ ,贝!j sin(— - 2a}= ；6 3 6 ---------------------✓?y z> 2Q20] O P16.已知函数f(x)=ln-^-，若f(——)+兀一^) +••• + /(旦竺)= 503(a + b),则夕+戸的最小e-x 2013 2013 2013值为 _______________ •三、解答题(共6小题，满分70分，每小题写出必要的解题过程)17.(满分10分)集合A = [x\-2 < x <5},集合B = {x\m + \< x< 2m-1}.(1)若xeB是的充分条件，求实数加的取值范围;(2)当x^R时，没有元素x使% e A与xwB同时成立，求实数肌的取值范围.18.(满分12分)设函数/(x) = sinttzr-cos(a%-V3cos2a)x + £ (co > 0)的图象上相邻最高点与最低点距离为』兀2 +4.(1)求e的值；(2)若函数y = /(x + ^>)(0 <(p<—)是奇函数，求函数g(x) = cos(2x-0)在区间［0,2刃上的单调减区间.19.(满分12分)己知二次函数/(x)满足条件f(0) = 1和f(x + 1)-/(%) = 2%.(1)求 /(%)；(2)求/(x)在区间［a,a+ 4］上的最小值.20.(满分12分)已知函数/(X)= log“(x + l), g(x) = 21og a(2x + 0(? G R) > 其中x w ［0,15］, tz > 0且a 丰 1.(1)若1是关于x的方程f(x) - g(x) = 0的一个解，求t的值；(2)当0 <a< 1时，不等式/(x) > g(x)恒成立，求/的取值范围.21.(满分12分)3 1如图，在AABC中，AB=2,-cos2B + 5cosB —— = 0,且点 Q在线段BC±.2 23兀(1)若ZADC= —,求AD的长；4C；n7RA D L * (2)若BD=2DC,---------------- = 4V2 ,求AABD的面积.sinZG4D / VV22.(满分12分)(1)讨论函数/(x)的单调性；如果对任意,x2 e (0,-K»),I /(%[) - /(x2) |> 41 -x2 |恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AB D D B BCD C C A二、填空题13. Vx e R,x2-l>0 14. （-1,0） U （1,3） 15.-- 16. 8三、解答题17.解：（1）由题意BoA,3= 0 时，m +1 > 2m-1,m< 2 ,满足B o A； m +1 < 2m -1 3工0时，贝Jm + l>-2 ,解得2<m<3；2m-1 < 5综上所述，当m<3时满足题意；....... ・・・5分（2）由题意知，A（^\ B =（/）；B =（/）时，由（1）得m < 2 ；m + 1 < 2m -1「,解得：m>4；2m-1 < 一2或 m + 1 > 5B壬©时，贝!J <・・・10分・•・实数加的取值范围为（―8,2）U（4,+8）.18. 解：（1）/（兀）=sin 妙・cos亦一V^cos?妙+ ^- =丄srn 2址-仮I'os 2如 + 晅显sm 2妙-血cos 2。
2021届安徽省六安市新安中学高三上学期第三次周考数学(理)试题
新安中学2020-2021学年度（上）高三第三次周考（理科）一、单选题1．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A ．AB ⊆B ．A B A ⋃=C ．AB =∅D ．()I A B ⋂≠∅2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．503．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()12log 1f x x =-，则()()20172019f f +=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =8．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．记命题p 为“点(),M x y 满足222(0)x y a a +≤>”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”,若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为______． 14．若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ．15．()12012x x dx -+=⎰ __________．16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．三、解答题17．已知 2,[2,4]x y x =∈的值域为集合A ，22log [(3)2(1)]y x m x m =-++-+定义域为集合B ，其中1m ≠．（1）当4m =，求AB ；（2）设全集为R ，若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．设函数2()1ln f x x x =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()()g x f x x =-在区间1[,2]2上的最小值．19．已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．20．（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--． （1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．21．设函数()2ln xf x ea x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.22．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅，故选A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3．C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 4．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6．A 【解析】 【分析】根据题意，对3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形可得()()3f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得()()20171f f =，()()20190f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出()0f 与()1f 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3f x f x =-， 则函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2017167231f f f =+⨯=，()()()201967330f f f =⨯=又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，则()()121log 111f ⎡⎤-=--=-⎣⎦，则()()111f f =--=；故()()()()20172019011f f f f +=+=； 故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 8．D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 9．C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 10．D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 11．B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 12．A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 13．1625【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，p 是q 的充分不必要条件，判断圆与可行域的关系，然后求解a 的最大值即可． 【详解】(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：记命题p 为“点(),M x y 满足22x y a +≤（0a >）”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”，若p 是q 的充分不必要条件，说明圆的图形在可行域内部，则实数a 的最大值就是圆与直线4340x y -+=相切时，半径取得最小值，即()22416,.2543a a =∴=+-即答案为1625. 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充分不必要条件的应用，考查数形结合以及计算能力． 14．1 【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．15．14π+【解析】 【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。
2021年高三上学期第三次月考数学(理)试卷含解析
2021年高三上学期第三次月考数学（理）试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=yC．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β5．若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A． B． C． D．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B． C． D．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．12．如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．13．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC 的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当0＜a≤1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．xx学年山东省临沂市山大华特卧龙学校高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=yC．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y考点：恒过定点的直线．分析：直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．解答：解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）=0，对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y2=﹣2px和x2=2py当y2=﹣2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y2=﹣x；当x2=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x2=y．则过点P的抛物线的标准方程是：y2=﹣x 和x2=y．故选A．点评：本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：证明题；反证法．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先将“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”求出其等价命题，然后判断．解答：解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．点评：在充要条件判断时，抓住“小能推大，大不能推小”，认真判断，不可出错．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n， m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．5．若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A． B． C． D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由图象可知对数的底数满足0＜a＜1，且0＜f（0）＜1，再根据指数函数g（x）=a x+b 的性质即可推得．解答：解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方．故选：B．点评：本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用．分析：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．解答：解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选A．点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x 轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．9．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；压轴题．分析：求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．解答：解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．点评：正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数恒成立问题；导数的运算．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．解答：解：当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立等价于当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．当x＞0，x﹣＜m∵m的最小值是﹣2，∴x﹣＜﹣2，从而解得0＜x＜1；当x＜0，x﹣＞m∵m的最大值是2，∴x﹣＞2，从而解得﹣1＜x＜0．综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2故选B．点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 ．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．12．如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2，做出四棱锥的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，∴底面面积是2×2=4四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2∴四棱锥的体积是=．故答案为：．点评：本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出这是一个底面垂直于底面的四棱锥．13．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．解答：解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．解答：解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x﹣=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+∈（﹣+2kπ，+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z）；（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴A=；在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=3，∵S△ABC==bc•，∴bc=2∴b+c=3．点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC 的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当0＜a≤1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求函数f（x）的导数，对a讨论，分当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（3）由（1）知，当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f （x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=（e x﹣ax﹣1）′=e x﹣a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）在R上递增；当a＞0时，由f′（x）＜0，得e x﹣a＜0，e x＜a，∴x＜lna，由f′（x）＞0，得e x﹣a＞0，e x＞a，∴x＞lna，所以函数的单调减区间为（﹣∞，lna），单调增区间是（lna，+∞）．（2）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a时，函数F（x）没有零点；（3）由（1）知，当0＜a≤1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞ax；故对任意x＞0，ln（e x﹣1）﹣ln（ax）＞g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0，xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0，令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0，故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增．∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．v33513 82E9 苩40295 9D67 鵧20734 50FE 僾32789 8015 耕26985 6969 楩@,37616 92F0 鋰.29048 7178 煸38063 94AF 钯21542 5426 否23413 5B75 孵。
2021年高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。
2020-2021学年安徽省六安市裕安区新安中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年安徽省六安市裕安区新安中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩?R B=（）A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴?R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩?R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2. 已知集合A＝{x|x≥k}，B＝，若A?B，则实数k的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)参考答案：C3. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A. B.C. D.参考答案：D【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．4. 设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81参考答案：B【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．5. 已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．B．1 C．D．参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用；3T：函数的值．【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=f[1﹣2﹣1]=f（）==．故选：D．6. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（）A．63 B．31 C．15 D．7参考答案：A7. 设复数z满足（i是虚数单位），则等于（）A．B．2 C．D．参考答案：A因为,所以,,选A.8. 设等比数列的前项和为，若,,，则（）A.B.C. D.参考答案：C略9. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且，则的值是（）A. 3 B. 6 C. 9 D. 16参考答案：C【分析】由得,即,利用等差数列的性质可得.【详解】由得，，即，所以，选C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查等差数列的性质：若则,考查运算求解能力，属于基本题.10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.95x+a，则当x=6时，y的预测值为（）x 01234参考答案：B考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：线性回归方程=0.95x+a，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．解答：解：由已知可得==2，==4.5∴=4.5=0.95×+a=1.9+a∴a=2.6∴回归方程是=0.95x+2.6当x=6时，y的预测值=0.95×6+2.6=8.3故选：B．点评：本题考查线性回归方程，是一个运算量较大的题目，有时题目的条件中会给出要有的平均数，本题需要自己做出，注意运算时不要出错．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆的方程为，设该圆过点（2，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为.参考答案：12. 当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.参考答案：2【分析】根据均值不等式得到，再计算得到答案.【详解】，当且时等号成立，即时等号成立.，实数的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力.13. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有.参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值略14. 某几何体的三视图如图所示（单位cm),则4个这样的几何体的体积之和为_________参考答案：15. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b， 2003年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________吨，2008年的垃圾量为__________吨.[参考答案：16. 已知函数，则____________.参考答案：略17. 如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n= ．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以 1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和【解答】解：由，，，∴tanB1=，∴=tanB1?||=||，∴，进而，…（i=1，2，…，n），根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：S i+1=3S i（i=1，2，…，n），即所作三角形的面积构成以1为项，以为公比的等比数列∴a1+a2+…+a n==故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的和的求解，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再利用等比数列的求和公式三、解答题：本大题共5小题，共72分。
安徽省六安中学2021届高三上学期第三次月考 数学(理)
高三第三次月考数学试卷（理）时间：120分钟 分值：150分一、单选题1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,9,11U A B ===，则B A C U ⋂)( =（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}9,11D ．{}5,7,9,112．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.在R 上定义运算⊗：)y (x y x -=⊗1.若不等式11<+⊗-)x ()a x （对任意实数x 成立，则（ ） A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜24．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则2334b b b b ++的值为（ ） A ．12B ．4C ．2D5．在平行四边形ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN =（ ）A ．1136AB AD -+ B ．1143AB AD - C ．1136AB AD - D ．3144AB AD -6．如果2b -和2b +，则2a b +的最大值是（ ）A B C ．D ．7．若函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．10a -<< C ．1a < D ．01a << 8．函数的部分图象如图所示，则的值等于 ( )A B ．2C ．2＋D ．2－－9．函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数()2cos22f x x x m =--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C．2⎫⎪⎪⎣⎭ D．2⎛⎤⎥ ⎝⎦ 11．设点P 在的边所在的直线上从左到右运动，设与的外接圆面积之比为，当点不与重合时（ ）A ．是一个定值B ．当为线段中点时，最大C ．先变大再变小D ．先变小再变大12．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，则()20201f +=（ ） A ．0 B ．2-C ．1-D ．1二、填空题132lg 3lg 2的值为________. 14．已知平面向量a 与b 的夹角为45︒，()1,1a =-，1b =，则a b +=______.15．已知，，则.16．设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意的[,]x a b ∈，都有|()()|(0)f x g x k k -≤>，则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是“k 度和谐函数”，[,]a b 称为“k 度密切区间”．设函数()ln f x x =与1()mx g x x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________．三、解答题 17．已知函数1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, （1）计算函数()f x 的导数()f x '的表达式;（2）求函数()f x 的值域.18．已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin ,cos 3.b a B A b c C C a -+=-==（Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求△ABC 的面积.19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，n *∈N ，其中k 是常数.（1）若1S 、33S 、7S 成等差数列，求k 的值；（2）若对于任意的m N *∈，m a 、2m a 、4m a 成等比数列，求k 的值.20．已知函数2()(21)x f x ax x e -=-+⋅（R a ∈，e 为自然对数的底数） （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求a 的取值范围．21．已知函数f （x ）＝4cosωx sin （ωx 6π-）（ω＞0）的最小正周期是π． （1）求函数f （x ）在区间（0，π）上的单调递增区间； （2）若f （x 0）15=，x 0∈[3π，2π]，求cos 2x 0的值．22．设函数2()ln (0)f x a x bx x =->. (1)若函数()f x 在1x =处与直线12y相切，求实数,a b 的值； （2）当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，求实数m 的取值范围.参考答案1.C2.D3.D4.A5.C6.A7.D8.C9.A 10.A 11.A 12.D13. -3 14.5 15.3116.[]11+-e ,17．（1）()cos xf x e x '=;（2）211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】解: （1）因为1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, 所以11()(cos sin )(sin cos )cos 22x x x f x e x x e x x e x '=++-+=.故函数()f x 的导数()cos xf x e x '=;（2）02x π≤≤, ()cos 0x f x e x '∴=≥,函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数, 所以m n 0i ()(0)11(cos0sin 0)22e f x f +===,所以22max11(cos sin ()()222)22f x e f e πππππ+===;故函数()f x 的值域为211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．（Ⅰ）23（Ⅱ）23223+(Ⅰ）由正弦定理可得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 又0A π<<, 所以3A π=；23sin =A（Ⅱ）因为cos 3C =，所以sin 3C =.所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+1323236+=+⨯=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a cA C =,得=，解得c = 所以ABC ∆的面积113sin 32262S ac B +==⨯⨯=.19. （1）52k =-；（2）0k =或1k =. （1）由题意可得11S k =+，393S k =+，7497S k =+，1S 、33S 、7S 成等差数列，()6931497k k k ∴⨯+=+++，解得52k =-；（2）当1n =时，111a S k ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 11a k =+符合21n a kn k =-+，21∴=-+n a kn k .m a 、2m a 、4m a 成等比数列，则224m m m a a a =，即()()()2412181km k km k km k -+=-+-+，整理得()10mk k -=对任意的m N *∈恒成立， 因此，0k =或1k =.20.（1）极小值为()10f =，极大值为()334f e -=（2）315a -≤≤ （1）当1a =时，()()221xf x x x e -=-+，()()()22221x x f x x e x x e --'=-⋅--+当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表所示所以，当1a =时，函数()f x 的极小值为()10f =，极大值为()334f e -= .（2）()()()()222221223xx x f x ax eax x e e ax ax x ---'=-⋅--+=---+令()2223g x ax ax x =--+① 当0a =时，()23g x x =-+，在[]1,1-内，()0g x > 即()0f x '< ，函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减② 当0a >时，()2223g x ax ax x =--+，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11a x a+=> ，当且仅当()10g ≥ ，即01a <≤ 时，在[]1,1-内()0g x >，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，③ 若0a > ，则()2223g x ax ax x =--+，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩ ，即305a -≤<时，在[]1,1-内()0g x >，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减．综上，函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减时，a 的取值范围是315a -≤≤21.（1）（0，3π]，[56π，π）．（2）310- （1）f （x ）＝4cos ωx （sin ωx cos6π-cos ωx sin 6π）＝4cos ωx ωx 12-cos ωx ）＝ωx cos ωx ﹣2cos 2ωx =ωx ﹣cos2ωx ﹣1＝2sin （2ωx 6π-）﹣1， ∵f （x ）的最小正周期是π，∴T 22πω==π，得ω＝1， 即f （x ）＝2sin （2x 6π-）﹣1， 由2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z 得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z 即函数的增区间为[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ， ∵x ∈（0，π），∴当k ＝0时，6π-≤x 3π≤，此时0＜x 3π≤， 当k ＝1时，56π≤x ≤π3π+，此时56π≤x ＜π， 综上函数的递增区间为（0，3π]，[56π，π）． （2）若f （x 0）15=， 则2sin （2x 06π-）﹣115=， 则sin （2x 06π-）35=， ∵x 0∈[3π，2π]，∴2x 0∈[23π，π]， 2x 06π-∈[2π，56π]，则cos （2x 06π-）45=-，则cos2x 0＝cos （2x 066ππ-+）＝cos （2x 06π-）cos 6π-sin （2x 06π-）sin 6π431552=-⨯=22.（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）22min (2)m a e e ≤-=-. （1）'()2a f x bx x=-， ∵函数()f x 在1x =处与直线12y 相切'(1)20{1(1)2f a b f b =-=∴=-=-， 解得1{12a b ==； （2）当0b =时，()ln f x a x =.若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，则ln a x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立， 即ln m a x x ≤-,对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立， 令()ln h a a x x =-，则()h a 为一次函数，min ()m h a ≤， (21,,ln 0,x e x ⎤∈∴>⎦3()[0,]2h a a ∴∈在上单调递增，min ()(0)h a h x ∴==-，m x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立， 221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=-，（注：也可令()ln ,()h x a x x m h x =-≤则所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，分类讨论得2min()2m h x a e ≤=-对所有的3[0,]2a ∈都成立，22min (2)m a e e ∴≤-=-.）。
高中高三数学上学期第三次月考试题 理 试题 (2)(共10页)
普集高中(gāozhōng)2021-2021学年度第一学期高三年级第三次月考数学〔理〕试题考试范围：集合、函数、导数、三角函数时间是：120分钟总分：150分一、单项选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕1．的值等于( )A． B． C． D．2．集合，那么中元素的个数为〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．函数的单调递减区间是 ( )A. B.C. D.4．锐角满足，那么的值是〔〕A． B． C． D．5．是上的减函数，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.6. 函数(hánshù)f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，那么实数m的取值范围是( )A．[1，2] B．(0，1] C．(0，2] D．[1，＋∞)7.在△中，“〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 角的终边上一点的坐标为〔sin，cos 23π〕，那么角α值为( )A. B.23πC. D.9. 奇函数在R上是增函数，.假设，，，那么a，b，c的大小关系为( )A． B. C. D.10．函数的局部图像大致为( )A．B．C．D．，那么(nà me)( )A ．在〔0，2〕单调递增B ．()f x 在〔0，2〕单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点〔1，0〕对称12. 对实数a和b ，定义运算“⊗〞：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，xy ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公一共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞第二卷〔非选择题 一共80分〕二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13． 函数为奇函数，那么a 的值是14. ，，那么__________．15． 函数是定义在上的奇函数，，当时，有 成立，那么不等式的解集是 ．16. 假设(jiǎshè)直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，那么b = .三、解答题〔一共70分。
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新安中学2020-2021学年度（上）高三第三次周考（理科）一、单选题1．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ） A ．A B ⊆ B ．A B A ⋃= C ．A B =∅ D ．()I A B ⋂≠∅ 2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()12log 1f x x =-，则()()20172019f f +=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2- 7．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =8．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g ，x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0，B ．[0，+∞，C ．[–1，+∞，D ．[1，+∞，10．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是， ， A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦12．设函数'()f x是奇函数()f x，x∈R）的导函数，(1)0f-=，当0x>时，'()()0xf x f x-<，则使得()0f x>成立的x的取值范围是， ，A．(,1)(0,1)-∞-B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)-∞--D．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．记命题p为“点(),M x y满足222(0)x y a a+≤>”，记命题q为“(),M x y满足2444340x yx yx y-≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”,若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值为______．14．若函数2()ln()f x x x a x=++为偶函数，则a=．15．()1212x x dx-+=⎰__________．16．已知函数()2sin sin2f x x x=+，则()f x的最小值是_____________，三、解答题17．已知2,[2,4]xy x=∈的值域为集合A，22log[(3)2(1)]y x m x m=-++-+定义域为集合B，其中1m≠．（1）当4m=，求A B；（2）设全集为R，若RA C B⊆，求实数m的取值范围．18．设函数2()1ln f x x x =+-，1）求()f x 的单调区间；，2）求函数()()g x f x x =-在区间1[,2]2上的最小值．19．已知函数1()ln f x x a x x=-+， （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--． 20．，2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1x f x a lnx =--，，1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；，2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥，21．设函数()2ln x f x e a x =-.（，）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（，）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.22．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，AB A =，I A B ⋂=∅，故选A ．【点睛】 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．B【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6．A【解析】【分析】根据题意，对3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形可得()()3f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得()()20171f f =，()()20190f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出()0f 与()1f 的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2017167231f f f =+⨯=，()()()201967330f f f =⨯=又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，则()()121log 111f ⎡⎤-=--=-⎣⎦， 则()()111f f =--=；故()()()()20172019011f f f f +=+=；故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题． 7．D【解析】【分析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 8．D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 9．C 【解析】分析，首先根据g ，x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解，画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 10．D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 11．B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 12．A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,，2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，，3，()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，，4，()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 13．1625【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，p 是q 的充分不必要条件，判断圆与可行域的关系，然后求解a 的最大值即可． 【详解】(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：记命题p 为“点(),M x y 满足22x y a +≤，0a >，”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”，若p 是q 的充分不必要条件，说明圆的图形在可行域内部，则实数a 的最大值就是圆与直线4340x y -+=相切时，半径取得最小值，即16.25a=∴=即答案为1625.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充分不必要条件的应用，考查数形结合以及计算能力．14．1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x=为偶函数⇒函数()ln(g x x=+为奇函数，(0)ln01g a a==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x=为偶函数转化为函数()ln(g x x=为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln01g a a==⇒=．15．14π+【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。