不定积分的计算
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法不定积分是微积分中一个重要的概念，常常用于计算函数的原函数。
在计算不定积分时，常用的方法包括分部积分法、换元积分法、三角恒等变换等。
1.分部积分法：分部积分法是求解积分时最常用的方法之一，适用于两个函数相乘的形式。
其基本思想是将原函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。
具体步骤如下：设$f(x)$和$g(x)$是两个具有连续导数的函数，则有$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$。
例如，我们要计算$\int x \sin(x)dx$，可以令$f(x) = x$和$g'(x)=\sin(x)$。
然后再根据公式，计算出$f'(x)$和$g(x)$，最后代入公式进行计算即可。
2.换元积分法：换元积分法也是常用的一种方法，适用于使用一个变量替换另一个变量的情况。
通过设定适当的变量替换，可以将原函数转换成更容易处理的形式。
具体步骤如下：设$x=g(t)$，则$dx=g'(t)dt$，将上述两式代入不定积分，则有$\int f(g(t))g'(t)dt$，然后对$t$进行求解。
例如，我们要计算$\int xe^x dx$，可以令$u = x$和$dv = e^xdx$，则$du = dx$和$v = \int e^xdx = e^x$。
然后套用换元积分公式$\int udv = uv - \int v du$，我们可以得到$\int xe^x dx = xe^x - \inte^xdx = xe^x - e^x + C$，其中$C$为常数。
3.三角恒等变换：三角恒等变换适用于含有三角函数的积分，通过将三角函数转换成三角恒等式的形式，可以简化计算过程。
常用的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切等。
例如，我们要计算$\int \sin^2x dx$，可以利用三角恒等式$\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$，将原函数转换成更容易进行积分的形式。
不定积分的计算
例
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
x
；
(a 0)
f (e )e dx
x x
f (e
)de
x
；
dx f (ln x) f (ln x)d ln x ； x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
；
凑微分公式
f (sin x) cos xdx
f (sin x)d sin x
3.积分
F (u ) C
F ( ( x)) C.
4.u ( x)
认真 体会
回代
凑微分公式
通过实践，可以归纳出如下一般凑微分形式：
1 f ( ax b)dx a
f (ax b) xdx
2
f (ax b)d (ax b)
1 2a
(a 0) ；
f ( ax 2 b)d ( ax 2 b)
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
(uv) uv uv, or
uvdx uv vudx,
or
将被积函数u转换为v
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
不定积分的计算
1 4
1 d(1 1 4x
4x)
．
1 ln |1 4x | C ．
4
例9
求
sin
xdx 2
．
解
sin
xdx 2
2
sin
xd( 2
x) 2
2cos x C ．
2
《高等数学》
课堂练习
§3.1.2不定积分的计算
练习： (1)
1 dx 3 2x
解：(1)
3
1
2x
dx=
1 2
(2)
1 e2x
dx
udu
(换元u
2x)
1 cos u c (求积分)
验证：
2 1
cos
2x
c
(回代)(
1 2
cos
2x
c)
1 2
sin
2x
2
sin
2x
2
《高等数学》
知识巩固
§3.1.2不定积分的计算
引例中 e3xdx
e3xdx
1 e3xd (3x) (凑微分) 3
1 3
eu
du
(换元u 3x)
1 eu c (求积分)
解1
(x1)2dx (x2 2x 1)dx
1 x3 x2 x C 3
解 2 d (x 1)=dx
(x1)2dx
(x1)2d(x
1)
u 2du
1 u3 3
C
将u
x
1回代
(
x
1)2dx
1 3
(
x
1)3
C
《高等数学》
问题探究
§3.1.2不定积分的计算
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
不定积分的计算
cosx f (sin x)dx f (sin x)d sin x.
例6 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 x cos xdx
sin2 x cos4 xd(sin x)
d sin x cos xdx
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求 sin3 xdx.
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
2
对于形如 f ((x))(x)dx 的积分，设 u x,
如果 f u及(x) 连续，且 f (u)du F u+C, 则
f ((x))(x)dx F (x) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F((x)) C F(x)(x) f ((x))(x)
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
解： u x2, du 2xdx 则
想到公式
sin u du
cosu C
x
sin
x2dx
1 2
sin
x2
2xdx
1 2
sin
udu
1 cos u C. 2
1 cos x2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
a
arcsin x C. a
例12
求
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1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
x1dx x
xlnx x C
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
d(x) a
a
1arctanxC.
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a0).
a2x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解 1 dx1 1 dx
a2x2
a 1(x)2
a
d x 1 dx aa
1
x
d( )
1( x)2 a
a
arcsin x C. a
xdx1d(x2), 1dxdlnx,
2
x
1 dxd(1),
x2
x
1 dx2d x, sixnd xdcox,sexdxdex,
x
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx a2x2
a12
1 dx
1(x)2
a
1 a
1
1(
x)2
g(x)dx化为 f[(x)](x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
例1
求
2
1 x
1
dx.
解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
想到公式
d u ln u C
u
2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d ( 2 x 1 )
u2duu3 C
3
c o s 2 x d c o s x d c o s x
1cos3xcosxC. 3
1
例8 求 ex ex dx.
解ex 1exdxe2e xx 1dx
1 1(ex)2
dex
arctanexC .
dex exdx
1
1 u2 du
arctan u C
一般地, 有
e xf(e x)d xf(e x)d e x .
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u后者为 v.
例3. 求 arccxdox.s
u vd xu vu vd x
解: 令 uarcxc,vo s1, 则
u 1 ,
1x2
v x
原式
=
xarcxcosx dx
1x2
xarc x c1 2o ( 1 sx 2 ) 1 2 d 1 x (2 )
例9 求
2
dx x ln
x
.
解
dx 2xlnx
2l1nxd(lnx)
1lnlnx C. 2
d ln x 1 dx x
u1dulnuC
一般地, 有
1 xf(lnx)d xf(lnx)dlnx.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
例12
求
dx x(1 2ln
x)
.
d ln x 1 dx x
解
dx x(1lnx)
121lnxd(lnx)
u1dulnuC 1 212 1lnxd(2lnx1)
1ln12lnxC. 2
例13 求 3x2 1x3dx.
1
解3x2 1x3dx (1x3)23x2dx
u12du2u32 C
3
1
1(lnxalnxa)C 2 a
1 ln xa C. 2a xa
例15 求 sin2 xdx. 解 sin 2x d x 1 c 2 o s2 xd x
1 2(dxcos2xdx) 1 2dx1 2cos2xdx 1 2dx1 4cos2xd(2x)
1x1sin2xC. 24
例16. 求 secxdx.
例4 求 tanxdx.
d c o s x s in x d x
解tanxdxs cio n sx xdxco1sxsinxdx,
u1dulnuC
co1sxdcosx,
lncosxC.
类似 coxdtx?
cot
xdx
cos xdx sin x
d sin x sin x
lnsinxC
例5 求 sin2xcosxdx.
xdx
1x2ln x1x2C
2
4
例2 求积分 xcoxsd.x u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
解（一） 令 u co x , sxdx1dx2dv 2
xcoxs dxx 22cox sx 22six ndx
显然，u,v选择不当，积分更难进行.
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等; 1si2x nco 2x等 s
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
c2 o x s 1 2 (1 c2 o x );ss2 ix n 1 2 (1 c2 o x );s
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
d s in x c o sx d x
解sin2xcosxdxsinx2dsinx
1sin3 xC.
3
u2duu3 C 3
一般地, 有
s i n x f ( c o s x ) d x f ( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f ( s i n x ) d x f ( s i n x ) d s i n x .
解（二） 令 ux, c x o d d s s x i d x n v
xcoxs dxxdsin xxsixn sixndx
x sx i c n x o C . s
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u , v 一般来说， u , 选v 取的原则是：
(1) v要容易求出;
(2)vdu要 比 udv容易积出.
1
1
dx x
2t 1 t
dt
2t
t 111dt
2dxt11dt
2tln1tC .
2x ln1 x C .
例2 求
1 dx. 1ex
解 令 t1ex 则ex t21, x lt n 2 1 ,
dxt22t1d,t
1111t 11dt
lnt 1 lnt 1 C lnt 1 C t 1
例6 求 x2sinxdx.
u vd xu vu vd x
解：设 u = x 2, v sinx, 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是 x 2 s in x d x x 2 d ( c o s x ) x 2 c o sx 2 x c o sx d x
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续
可导, 则有换元公式
f (( x ) ) ( x ) d x f ( u ) d u F (( x ) ) C .
如何应用上述公式来求不定积分?
假设要求 g(x)dx, 则使用此公式的关键在于将
2
对于形如 f((x))(x)dx的积分，设 u x,
如果 fu及(x)连续，且 f(u )d uF u+ C ,则
f(( x ) )( x ) d x F ( x ) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F (( x ) ) C F ( x ) ( x ) f(( x ) ) ( x )
作业 P155 1 (1)--(18)
二、第二换元积分法
设 x t且 t 0,将积分 f xdx化为
f t dt,若
f ( t) d ( t) F t C
则
f( x ) d x F 1 x + C ,