21.4第2课时实物型抛物线及运动中的抛物线问题1
抛物线形实物及运动轨迹问题课件
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：y 1 x2 2x 1 (x 2)2 2.
2
2
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
1 x2 2x 0. 解得 x1 = 0，x2 = 4. 2
你能想出办法来吗？
2m 4m
4.9m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
y
（2，2）
我们来比较一 下
y o （0，0） x
o（0，0）
（4，0） x
y
（0，2） 谁最 合适
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x = 450－50 = 400 时，得
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型， 对于解决问题是有效的？
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的
抛物线形实物及运动轨迹问题 数学九年级上册同步教学课件(人教版)
6
8
解得 x1＝6 + 2 3，x2＝6﹣2 3.
则 x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈
抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距 离 x (m) 之间满足 y 1 x2 2x.
长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物
线可以用
y＝
−
1 6
x2
+
2x
+
c
表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
6
∴
抛物线解析式为
y＝−
1 6
x2
+
2x
+
4.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a， a 7 .
人教版数学九年级上册 抛物线形实物及运动轨迹问题
当 x = 450－50 = 400 时，得
y 1 4002 0.5 64.5.
2500
即距离桥两端主塔分别为 100 m，
y
ห้องสมุดไป่ตู้
50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m
81.5
、64.5 m.
-450 O
450 x
课堂小结
转化
实际问题
回归
数学模型
（抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质）
谁最合适？
为什么？
x （-2，0） o （2，0）
o （-4，0） （0，0）x
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图 象和性质求解
实际问题的解
典例精析
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
yO x
问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是 这条抛物线的位置呢？
由于顶点坐标是 (0，0)，因此这个二 次函数的形式为 y ax2 (a 0)
yO x
问题3 如何确定 a 的值是多少？
已知水面宽 4 m 时，拱顶离水
-2 -1 1 2
面高 2 m，因此点 A (2，-2)
-2
A
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
第二章 二次函数习题PPT：第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
（2）∵y＝－32（x－1）2＋38（0≤x≤3），
∴当x＝1时，y最大＝83. 答：水柱的最大高度为38 m.
类型3 物体运动类问题
7.（2019·广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球 训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之 间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米.
原点时的抛物线表达式是 y＝－19（x＋6）2＋4 Ｗ.
3.（2018·绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 （4 2－4） m.
类型2 其他建筑物问题
4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水
点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋
4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ A ）
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图.若菜农身高为 1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 3 m.
6.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家 附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到 最高，水柱落地处离池中心3 m.
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x， 解得x1＝1，x2＝3. 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x， 解得x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. （3）∵y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20. 答：在飞行过程中，第2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m.
九年级数学教案抛物线形实物及运动轨迹问题
九年级数学科教案备课序号：第 7 节主备教师备课组长执行教学上课时间2022年月日教学内容第3课时抛物线形实物及运动轨迹问题课型新授课教学目标知识与技能掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题过程与方法1. 利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题．2.能运用二次函数的图象与性质进行决策．情感态度价值观从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣德育渗透从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣教法与学法类比法、引导发现法、分组讨论法、练习法教学重点掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题教学难点利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题教学准备多媒体、课件教学过程个性思考一、知识链接如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.（1）________ (2)_________ (3)_________二、要点探究探究点1：利用二次函数解决抛物线形实物问题合作探究如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线的位置呢？问题3 如何确定a的值是多少？问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.(1) 根据题意建立适当的直角坐标系；(2) 把已知条件转化为点的坐标；(3) 合理设出函数解析式；(4) 利用待定系数法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.典例精析例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．（1）请写出该抛物线的函数解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？变式如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．探究点2：利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？变式某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？0例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮框中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？三．课堂小结拱桥问题和抛物线形运动轨迹问题转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.四．作业必做：教科书52页第3题选做：教科书56页第5题板书设计教学反思。
沪科版九上数学第2课时 利用二次函数模型解决实物型抛物线问题
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得
81.5 = a·4502ꧬ
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y 1 x2 0.5450 x 450
2500
（2）当 x 450 100 350(m) 时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
2
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
(0,3)
(-2,1)
(2,1)
O
x水面
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结
果是相同的.
随堂练习
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个
挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条 抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100m，50m 处垂直钢索的长.
(0,0.5)
-450
O
-450
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为
（0,0.5）对称轴为y轴，设抛物线对应的函
数表达式为y=ax2+0.5.
y
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a ·(-2)2+3.
(0,3)
解得a
1 2
.
(-2,1) O
(2,1) 水面 x
所以抛物线解析式为y 1 x2 +3. 2
抛物线解析式为y 1 x2+3. 2
y
水面下降一米，即此时y=0.
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
(1)当h＝2时，①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断 排球能否落在界内，并说明理由；
(2)若排球既能过网(不触网)又不出界(不接触边界)，求h的取值范围．
解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为(6，2.5)，∴可设抛物线的表达式为 y＝
a(x－6)2＋2.5.
(1) ①当 h＝2 时，2＝(0－6)2a＋2.5，解得 a＝－ 1 ，∴y＝－ 1 (x－6)2＋2.5
6．(10分)如图，一位身高1.8 m的篮球运动员在距篮圈中心水平距离4 m处起跳投 篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时达到最大高度3.5 m，然后 准确落入篮框内．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)在这次跳投中，球在该运动员头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面 的高度是多少？
解：(1)设该抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋3.5，将点(1.5，3.05)代入，得 2.25a ＋3.5＝3.05，解得 a＝－0.2，∴该抛物线的函数表达式为 y＝－0.2x2＋3.5
(2)当 x＝－2.5 时，y＝－0.2x2＋3.5＝2.25，∴球出手时他跳离地面的高度为 2.25 －1.8－0.25＝0.2(m)
450
450
50
②当抛物线经过点(18，0)时，(18－6)2a＋2.5＝0，解得 a＝－ 5 ，∴此时 y＝ 288
－ 5 (x－6)2＋2.5，∴此时 h＝－ 5 ×(0－6)2＋2.5＝15 .∴若排球既能过网(不触
288
288
8
网)又不出界(不接触边界)，h
的取值范围是73 50
＜h＜185
第二章 二次函数
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人e the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3