圆及备考期中考试
九年级数学上学期期中考点大串讲(人教版)：圆
B
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B
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
(
简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
·O
C
A
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
·O
➢劣弧与优弧
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
人教版九年级上册
第24章 圆
【十二大考点串讲+素养提升】
思维导图
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考点一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
A
C
·
O
注意
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
2
2
∴ OE=OF
又∵ AB=CD，
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考点五、圆周角及其定理、推论
1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
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2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
AB=CD
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下： ∴ AE=CF
期中考试复习----圆
B期中考试复习——圆考点一 圆的定义及表示方法1.到定点A 的距离等于5cm 的所有点组成的集合是 .2.一个点到圆上的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，求圆的半径.3.弦AB 把圆分成1:3两部分，则AB 所对的劣弧等于 度，AB 所对的优弧等于 度. 考点二 圆心角、弧、弦之间的关系4.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 是⊙O 上的点. ∠ACE =60°，则∠BDE 等于 _______第4题 第5题5.已知：如图，圆心角∠A0B=100° ，则圆周角 ∠ACB 等于 __________ . 考点三 圆心角与圆周角的关系6.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，AC ＝3， 求△ABC 的周长.第6题7.如图，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠ACB ＝ ．第7题 第8题 第9题B8.如图，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =20°，P 是弧AB 的中点，求∠P AB 的度数.9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4. 则⊙O 的直径= .10. 如图，⊙O 的直径是AB ，CD 是⊙O 的弦，若∠D =70°，则∠ABC 等于 ． 考点四 垂径定理及其应用11.如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为5， OC ⊥AB 于点Ｄ， 交⊙O 于点C ，CD ＝２， 求 AB 的长．12. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，OC ⊥AB 于C ，求OC 的长．13.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足 为C .若AO =5,OC =3,求弦AB 的长.14.如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，BC =4，求MN 的长．15.如图，⊙O 的半径长为12cm ，弦AB =16cm ． （1）求圆心到弦的距离；（2）如果弦AB 两端点在圆周上滑动（ AB 弦长不变），那么弦AB 中点形成什么样?16.如图，不添加辅助线，在三角形ABC 中， ∠BAC 的平分线交BC 于E 点，交⊙O 于D 点. 找出图中所有相等的圆周角.17.如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF AD ⊥．（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．15. 如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．Ｅ19.如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，联结AD 、BD 。
第二十四章 圆培优检测卷(解析版)(重点突围)
《第二十四章 圆》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第二十四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知O e 的半径为3cm ，点A 到圆心O 的距离为2cm ，那么点A 与O e 的位置关系是（ ）A ．点A 在O e 内B ．点A 在O e 上C ．点A 在O e 外D ．不能确定【答案】A【分析】根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系进行判断即可．【详解】解：由题意得：2,3d r ==，故：d r <，∴点A 在O e 内，故选A ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．理及圆周角定理的推论．3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P 到⊙O 的最近点的距离为2cm ，最远点的距离为7cm ，则⊙O 的半径是（ ）A ．5cm 或9cmB ．2.5cmC ．4.5cmD ．2.5cm 或4.5cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm ），∴该圆的半径是2.5cm ；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径＝7+2＝9（cm ），∴圆的半径为4.5cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若130ADC Ð=°，则BAC Ð的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B Ð，根据直径所对的圆周角是直角可得=90°ACB Ð，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，,60OA OB AOB =Ð=°Q ，AOB \ 是等边三角形，12,12OA AB AP AB \====，223OP OA AP \=-=，即这个正六边形的边心距为3，【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）A．65°B．50°C．40°D．25°【答案】C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A ＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∵BC与半⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠A＝25°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．【答案】32【分析】首先根据圆周角定理求出∠【答案】1【分析】连接OA、OC、OD然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：连接OA、OC∵点O为正六边形ABCDEF【答案】15【分析】如图，连接CQ，然后求出【详解】解：如图，连接CQ．由题意CQ＝CP，CDPQ＝∴DQ＝DP＝12∵PA＝QB，【答案】1或3或5e与坐标轴的切点为【分析】设PQ点D是切点，P e的半径是1Q，PB=2Q=，PC2\=+=，52 AP AC PC定及性质，利用分类讨论的思想求解．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）(1)点M的坐标为 (2)点D（5，﹣2）在⊙M【答案】(1)（2，0）(2)内【分析】（1）由网络可得出线段（2）解：由图知，圆的半径AM∵2513>，∴点D在圆M内，(1)求正六边形的边长；(2)以A为圆心，AF为半径画弧【答案】(1)6(2)4π(1)求ACBÐ的度数；e的半径为3，求圆弧 AC的长．(2)若O【答案】(1)30°(2)2pe的切线∵AB是O^∴OA AB∴90Ð=OAB°∵90Ð=DAC°Ð=Ð∴DAC OAB（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，与A ，B 重合），过O 作OC ⊥AP (1)试判断CD 与AB 的数量和位置关系？并说明理由；(2)若45B Ð=°，AP=4，则⊙∵45B Ð=°，四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．A D AE DE E E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt ABC 中，∠C =90º，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果⊙O 的半径为3，DE =4，求AB 的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)10AB =(3) 4.32ADO S =△【分析】（1）根据平行线的性质，得出123A Ð=ÐÐ=Ð，，再根据等边对等角，得出1A Ð=Ð，再根据等量代换，得出32Ð=Ð，再利用SAS ，得出OCE ODE ≌△△，进而得出OCE ODE Ð=Ð，进而得出OD DE ^，即可得出结论；（2）根据（1），得出ODE 是直角三角形，根据勾股定理，得出5OE =，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB 的长；（3）连接CD ，根据圆周角定理，得出90ADC Ð=°，再根据等面积法，得出CD 的长，然后根据勾股定理，得出AD 的长，再根据三角形的面积公式，得出ADC 的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出ADO △的面积．（1）证明：如图，∵OE AB ∥，∴123A Ð=ÐÐ=Ð，，∵OA OD =，∴1A Ð=Ð，∴32Ð=Ð，∵OC OD OE OE ==，，∴()OCE ODE SAS △≌△，∴OCE ODE Ð=Ð，∵90C Ð=°，∴90OCE ODE Ð=Ð=°，即OD DE ^，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），可得：三角形ODE 是直角三角形，在Rt ODE △中，∵34OD DE ==，，∴5OE =，【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在圆心，OB为半径的圆与(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．【答案】(1)8 3(2)3∵Oe与AC相切于点∴AC OD^，∴∠ADO=90°，即∠PDO∵∠ABC =90°， AB =8，∴22AC AB BC =+=∵OD AC ^，AB BC ^∴1122AC OD BC OB ×+×∴AC OD BC OB ×+×=∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°∴四边形ODFE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODFE是正方形，===∴AF DF OD r∵222，∵OD<OA，∴OB+OD<OB+OA，∴2r<8，∴r<4，∴r的取值范围是252-【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）(1)求抛物线解析式及D 点坐标．(2)猜测直线CM 与D e 的位置关系，并证明你的猜想．(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)()2125344y x =--+；(3,0)(2)相切；证明见解析；由抛物线的解析式得：M (3,254∵D (3,0)，∴()22225225403416CM æö=-+-=ç÷èø∴222CM CD DM +=，根据题意得∠CP C¢=∠CGD=∠GDO ∴∠CPH+∠HP C¢=90°，∠GCP+∴∠GCD=∠HP C¢，OC=GD=4，∵CP=C¢P∴∆CGP≅∆PH C¢，∴PG=C¢H=GD-DP=4-k，CG=PH六、（本大题共12分）。
九年级数学下册期中重点圆测试题4(含答案解析)
2019九年级数学下册期中重点圆测试题4(含答案解析) 2019九年级数学下册期中重点圆测试题4(含答案解析)一．选择题〔共30小题〕1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,假设∠BOD=88° ,那么∠BCD的度数是〔〕A．88° B．92° C．106° D．136°2．P是⊙O外一点 ,Q是⊙O上的动点 ,线段PQ的中点为M ,连接OP ,OM．假设⊙O的半径为2 ,OP=4 ,那么线段OM的最小值是〔〕A． 0 B． 1 C． 2 D． 33．AC ,BE是⊙O的直径 ,弦AD与BE交于点F ,以下三角形中 ,外心不是点O的是〔〕A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．坐标平面上有A〔0 ,a〕、B〔﹣9 ,0〕、C〔10 ,0〕三点 ,其中a＞0．假设∠BAC=95° ,那么△ABC的外心在第几象限？〔〕A．一 B．二 C．三 D．四5．点O是△ABC的外心 ,假设∠BOC=80° ,那么∠BAC的度数为〔〕A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°6．∠O=30° ,C为OB上一点 ,且OC=6 ,以点C为圆心 ,半径为3的圆与OA的位置关系是〔〕A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情况均有可能7．两个同心圆 ,大圆的半径为5 ,小圆的半径为3 ,假设大圆的弦AB与小圆有公共点 ,那么弦AB的取值范围是〔〕A．8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D． 4＜AB≤58．AB是⊙O的弦 ,AC是⊙O切线 ,A为切点 ,BC经过圆心．假设∠B=20° ,那么∠C的大小等于〔〕A．20° B．25° C．40° D．50°9．△ABC中 ,AB=5 ,BC=3 ,AC=4 ,以点C为圆心的圆与AB相切 ,那么⊙C 的半径为〔〕A． 2.3 B． 2.4 C． 2.5 D． 2.610．点P在⊙O外 ,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∠P=50° ,那么∠AOB等于〔〕A．150° B．130° C．155° D．135°11．在⊙O中 ,AB为直径 ,BC为弦 ,CD为切线 ,连接OC．假设∠BCD=50° ,那么∠AOC的度数为〔〕A．40° B．50° C．80° D．100°12．⊙P的半径为2 ,圆心在函数y=﹣的图象上运动 ,当⊙P与坐标轴相切于点D时 ,那么符合条件的点D的个数为〔〕A． 0 B． 1 C． 2 D． 413．在△ABC中 ,AB=AC ,D是边BC的中点 ,一个圆过点A ,交边AB于点E ,且与BC相切于点D ,那么该圆的圆心是〔〕A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点14．AB是⊙O的弦 ,AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C ,如果∠ABO=20° ,那么∠C的度数是〔〕A．70° B．50° C．45° D．20°15．AB是⊙O直径 ,点C在⊙O上 ,AE是⊙O的切线 ,A为切点 ,连接BC 并延长交AE于点D．假设∠AOC=80° ,那么∠ADB的度数为〔〕A．40° B．50° C．60° D．20°16．在⊙O的内接四边形ABCD中 ,AB是直径,∠BCD=120° ,过D点的切线PD与直线AB交于点P ,那么∠ADP的度数为〔〕A．40° B．35° C．30° D．45°17．一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC 相切于点C ,与AC相交于点E ,那么CE的长为〔〕A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1.5cm18．⊙O的半径为5 ,直线l是⊙O的切线 ,那么点O到直线l的距离是〔〕A． 2.5 B． 3 C． 5 D． 1019．在矩形ABCD中 ,AB=4 ,AD=5 ,AD ,AB ,BC分别与⊙O相切于E ,F ,G 三点 ,过点D作⊙O的切线BC于点M ,切点为N ,那么DM的长为〔〕A． B． C． D． 220．PA和PB是⊙O的切线 ,点A和B的切点 ,AC是⊙O的直径,∠P=40° ,那么∠ACB的大小是〔〕A．40° B．60° C．70° D．80°21．以点O为圆心的两个圆中 ,大圆的弦AB切小圆于点C ,OA交小圆于点D ,假设OD=2 ,tan∠OAB= ,那么AB的长是〔〕A． 4 B． 2 C． 8 D． 422．AC是⊙O的切线 ,切点为C ,BC是⊙O的直径 ,AB交⊙O于点D ,连接OD．假设∠BAC=55° ,那么∠COD的大小为〔〕A．70° B．60° C．55° D．35°23．PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点 ,假设∠C=65° ,那么∠P的度数为〔〕A．65° B．130° C．50° D．100°24．AB为半圆O的在直径 ,AD、BC分别切⊙O于A、B两点 ,CD切⊙O于点E ,连接OD、OC ,以下结论：①∠DOC=90° ,②AD+BC=CD ,③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2 ,④OD：OC=DE：EC ,⑤OD2=DE?CD ,正确的有〔〕A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个25．圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．铁片的圆心为O ,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处 ,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处 ,铁片与三角尺的唯一公共点为B ,以下说法错误的选项是〔〕A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm226．正六边形ABCDEF内接于⊙O ,假设直线PA与⊙O相切于点A ,那么∠PAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°27．AB切圆O1于B点 ,AC切圆O2于C点 ,BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点．假设∠BO1D=40° ,∠CO2E=60° ,那么∠A的度数为何？〔〕A． 100 B． 120 C． 130 D． 14028．△ABC ,AB=BC ,以AB为直径的圆交AC于点D ,过点D的⊙O的切线交BC于点E．假设CD=5 ,CE=4 ,那么⊙O的半径是〔〕A． 3 B． 4 C． D．29．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆〞．如图 ,直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B ,∠OAB=30° ,点P在x轴上,⊙P与l相切 ,当P在线段OA上运动时 ,使得⊙P成为整圆的点P个数是〔〕A． 6 B． 8 C． 10 D． 1230．在△ABC中 ,AB=CB ,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB ,在CF上取一点E ,使DE=CD ,连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③ = ；④AE为⊙O的切线 ,一定正确的结论全部包含其中的选项是〔〕A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④2019九年级数学下册期中重点圆测试题4(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题〔共30小题〕1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,假设∠BOD=88° ,那么∠BCD的度数是〔〕A．88° B．92° C．106° D．136°考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．分析：首先根据∠BOD=88° ,应用圆周角定理 ,求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质 ,可得∠BAD+∠BCD=180° ,据此求出∠BCD的度数是多少即可．解答：解：∵∠BOD=88° ,∴∠BAD=88°÷2=44° ,∵∠BAD+∠BCD=180° ,∴∠BCD=180°﹣44°=136° ,即∠BCD的度数是136°．应选：D．点评：〔1〕此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用 ,要熟练掌握 ,解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角〔就是和它相邻的内角的对角〕．〔2〕此题还考查了圆周角定理的应用 ,要熟练掌握 ,解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中 ,同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．P是⊙O外一点 ,Q是⊙O上的动点 ,线段PQ的中点为M ,连接OP ,OM．假设⊙O的半径为2 ,OP=4 ,那么线段OM的最小值是〔〕A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：点与圆的位置关系；三角形中位线定理；轨迹．专题：计算题．分析：取OP的中点N ,连结MN ,OQ ,如图可判断MN为△POQ的中位线 ,那么MN= OQ=1 ,那么点M在以N为圆心 ,1为半径的圆上 ,当点M在ON上时 ,OM最小 ,最小值为1．解答：解：取OP的中点N ,连结MN ,OQ ,如图 ,∵M为PQ的中点 ,∴MN为△POQ的中位线 ,∴MN= OQ= ×2=1 ,∴点M在以N为圆心 ,1为半径的圆上 ,在△OMN中 ,1＜OM＜3 ,当点M在ON上时 ,OM最小 ,最小值为1 ,∴线段OM的最小值为1．应选B．点评：此题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系 ,反过来点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．AC ,BE是⊙O的直径 ,弦AD与BE交于点F ,以下三角形中 ,外心不是点O的是〔〕A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE考点：三角形的外接圆与外心．分析：利用外心的定义 ,外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点 ,叫做三角形的外心 ,进而判断得出即可．解答：解：如下图：只有△ACF的三个顶点不都在圆上 ,故外心不是点O 的是△ACF．应选：B．点评：此题主要考查了三角形外心的定义 ,正确把握外心的定义是解题关键．4．坐标平面上有A〔0 ,a〕、B〔﹣9 ,0〕、C〔10 ,0〕三点 ,其中a＞0．假设∠BAC=95° ,那么△ABC的外心在第几象限？〔〕A．一 B．二 C．三 D．四考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．分析：根据钝角三角形的外心在三角形的外部和外心在边的垂直平分线上进行解答即可．解答：解：∵∠BAC=95° ,∴△ABC的外心在△ABC的外部 ,即在x轴的下方 ,∵外心在线段BC的垂直平分线上 ,即在直线x= 上 ,∴△ABC的外心在第四象限 ,应选：D．点评：此题考查的是三角形的外心确实定 ,掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键 ,锐角三角形的外心在三角形的内部 ,直角三角形的外心是斜边的中点 ,钝角三角形的外心在三角形的外部．5．点O是△ABC的外心 ,假设∠BOC=80° ,那么∠BAC的度数为〔〕A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理．专题：分类讨论．分析：利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．解答：解：如下图：∵O是△ABC的外心,∠BOC=80° ,∴∠A=40° ,∠A′=140° ,故∠BAC的度数为：40°或140°．应选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质 ,利用分类讨论得出是解题关键．6．∠O=30° ,C为OB上一点 ,且OC=6 ,以点C为圆心 ,半径为3的圆与OA的位置关系是〔〕A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情况均有可能考点：直线与圆的位置关系．分析：利用直线l和⊙O相切?d=r ,进而判断得出即可．解答：解：过点C作CD⊥AO于点D ,∵∠O=30° ,OC=6 ,∴DC=3 ,∴以点C为圆心 ,半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．应选：C．点评：此题主要考查了直线与圆的位置 ,正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．7．两个同心圆 ,大圆的半径为5 ,小圆的半径为3 ,假设大圆的弦AB与小圆有公共点 ,那么弦AB的取值范围是〔〕A．8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D． 4＜AB≤5考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．分析：此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径 ,根据勾股定理和垂径定理 ,得AB=8．假设大圆的弦AB与小圆有公共点 ,即相切或相交 ,此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10 ,那么8≤AB≤10．解答：解：当AB与小圆相切 ,∵大圆半径为5 ,小圆的半径为3 ,∴AB=2 =8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点 ,即相切或相交 ,∴8≤AB≤10．应选：A．点评：此题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长 ,再进一步分析有公共点时的弦长．8．AB是⊙O的弦 ,AC是⊙O切线 ,A为切点 ,BC经过圆心．假设∠B=20° ,那么∠C的大小等于〔〕A．20° B．25° C．40° D．50°考点：切线的性质．分析：连接OA ,根据切线的性质 ,即可求得∠C的度数．解答：解：如图 ,连接OA ,∵AC是⊙O的切线 ,∴∠OAC=90° ,∵OA=OB ,∴∠B=∠OAB=20° ,∴∠AOC=40° ,∴∠C=50°．应选：D．点评：此题考查了圆的切线性质 ,以及等腰三角形的性质 ,掌握切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．9．△ABC中 ,AB=5 ,BC=3 ,AC=4 ,以点C为圆心的圆与AB相切 ,那么⊙C 的半径为〔〕A． 2.3 B． 2.4 C． 2.5 D． 2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．分析：首先根据题意作图 ,由AB是⊙C的切线 ,即可得CD⊥AB ,又由在直角△ABC中,∠C=90° ,AC=3 ,BC=4 ,根据勾股定理求得AB的长 ,然后由S△ABC=AC?BC= AB?CD ,即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．解答：解：在△ABC中 ,∵AB=5 ,BC=3 ,AC=4 ,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2 ,∴∠C=90° ,如图：设切点为D ,连接CD ,∵AB是⊙C的切线 ,∴CD⊥AB ,∵S△ABC= AC?BC= AB?CD ,∴AC?BC=AB?CD ,即CD= = = ,∴⊙C的半径为 ,应选B．点评：此题考查了圆的切线的性质 ,勾股定理 ,以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大 ,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．10．点P在⊙O外 ,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∠P=50° ,那么∠AOB等于〔〕A．150° B．130° C．155° D．135°考点：切线的性质．分析：由PA与PB为圆的两条切线 ,利用切线性质得到PA与OA垂直 ,PB与OB垂直 ,在四边形APBO中 ,利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线 ,∴PA⊥OA ,PB⊥OB ,∴∠PAO=∠PBO=90° ,∵∠P=50° ,∴∠AOB=130°．应选B．点评：此题考查了切线的性质 ,以及四边形的内角和定理 ,熟练掌握切线的性质是解此题的关键．11．在⊙O中 ,AB为直径 ,BC为弦 ,CD为切线 ,连接OC．假设∠BCD=50° ,那么∠AOC的度数为〔〕A．40° B．50° C．80° D．100°考点：切线的性质．分析：根据切线的性质得出∠OCD=90° ,进而得出∠OCB=40° ,再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．解答：解：∵在⊙O中 ,AB为直径 ,BC为弦 ,CD为切线 ,∴∠OCD=90° ,∵∠BCD=50° ,∴∠OCB=40° ,∴∠AOC=80° ,应选C．点评：此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中 ,同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．12．⊙P的半径为2 ,圆心在函数y=﹣的图象上运动 ,当⊙P与坐标轴相切于点D时 ,那么符合条件的点D的个数为〔〕A． 0 B． 1 C． 2 D． 4考点：切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：⊙P的半径为2 ,⊙P与x轴相切时 ,P点的纵坐标是±2 ,把y=±2代入函数解析式 ,得到x=±4 ,因而点D的坐标是〔±4 ,0〕,⊙P与y轴相切时 ,P点的横坐标是±2 ,把x=±2代入函数解析式 ,得到y=±4 ,因而点D的坐标是〔0．±4〕．解答：解：根据题意可知 ,当⊙P与y轴相切于点D时 ,得x=±2 ,把x=±2代入y=﹣得y=±4 ,∴D〔0 ,4〕 ,〔0 ,﹣4〕；当⊙P与x轴相切于点D时 ,得y=±2 ,把y=±2代入y=﹣得x=±4 ,∴D〔4 ,0〕 ,〔﹣4 ,0〕 ,∴符合条件的点D的个数为4 ,应选D．点评：此题主要考查了圆的切线的性质 ,反比例函数图象上的点的特征 ,掌握反比例函数图象上的点的特征是解题的关键．13．在△ABC中 ,AB=AC ,D是边BC的中点 ,一个圆过点A ,交边AB于点E ,且与BC相切于点D ,那么该圆的圆心是〔〕A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：连接AD ,作AE的中垂线交AD于O ,连接OE ,由AB=AC ,D是边BC的中点 ,得到AD是BC的中垂线 ,由于BC是圆的切线 ,得到AD必过圆心 ,由于AE 是圆的弦 ,得到AE的中垂线必过圆心 ,于是得到结论．解答：解：连接AD ,作AE的中垂线交AD于O ,连接OE ,∵AB=AC ,D是边BC的中点 ,∴AD⊥BC．∴AD是BC的中垂线 ,∵BC是圆的切线 ,∴AD必过圆心 ,∵AE是圆的弦 ,∴AE的中垂线必过圆心 ,∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点 ,应选C．点评：此题考查了切线的性质 ,等腰三角形的性质 ,线段中垂线的性质 ,掌握切线的性质是解题的关键．14．AB是⊙O的弦 ,AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C ,如果∠ABO=20° ,那么∠C的度数是〔〕A．70° B．50° C．45° D．20°考点：切线的性质．分析：由BC是⊙O的切线 ,OB是⊙O的半径 ,得到∠OBC=90° ,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20° ,由外角的性质得到∠BOC=40° ,即可求得∠C=50°．解答：解：∵BC是⊙O的切线 ,OB是⊙O的半径 ,∴∠OBC=90° ,∵OA=OB ,∴∠A=∠ABO=20° ,∴∠BOC=40° ,∴∠C=50°．应选B．点评：此题考查了此题考查了切线的性质 ,等腰三角形的性质 ,掌握定理是解题的关键．15．AB是⊙O直径 ,点C在⊙O上 ,AE是⊙O的切线 ,A为切点 ,连接BC 并延长交AE于点D．假设∠AOC=80° ,那么∠ADB的度数为〔〕A．40° B．50° C．60° D．20°考点：切线的性质．分析：由AB是⊙O直径 ,AE是⊙O的切线 ,推出AD⊥AB ,∠DAC=∠B= ∠AOC=40° ,推出∠AOD=50°．解答：解：∵AB是⊙O直径 ,AE是⊙O的切线 ,∴∠BAD=90° ,∵∠B= ∠AOC=40° ,∴∠ADB=90°﹣∠B=50° ,应选B．点评：此题主要考查圆周角定理、切线的性质 ,解题的关键在于连接AC ,构建直角三角形 ,求∠B的度数．16．在⊙O的内接四边形ABCD中 ,AB是直径,∠BCD=120° ,过D点的切线PD与直线AB交于点P ,那么∠ADP的度数为〔〕A．40° B．35° C．30° D．45°考点：切线的性质．分析：连接DB ,即∠ADB=90° ,又∠BCD=120° ,故∠DAB=60° ,所以∠DBA=30°；又因为PD为切线 ,利用切线与圆的关系即可得出结果．解答：解：连接BD ,∵∠DAB=180°﹣∠C=60° ,∵AB是直径 ,∴∠ADB=90° ,∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30° ,∵PD是切线 ,∴∠ADP=∠ABD=30° ,应选：C．点评：此题考查了圆内接四边形的性质 ,直径对圆周角等于直角 ,弦切角定理 ,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．17．一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC 相切于点C ,与AC相交于点E ,那么CE的长为〔〕A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1.5cm考点：切线的性质；等边三角形的性质．分析：连接OC ,并过点O作OF⊥CE于F ,求出等边三角形的高即可得出圆的直径 ,继而得出OC的长度 ,在Rt△OFC中 ,可得出FC的长 ,利用垂径定理即可得出CE的长．解答：解：连接OC ,并过点O作OF⊥CE于F ,∵△ABC为等边三角形 ,边长为4cm ,∴△ABC的高为2 cm ,∴OC= cm ,又∵∠ACB=60° ,∴∠OCF=30° ,在Rt△OFC中 ,可得FC= cm ,即CE=2FC=3cm．应选B．点评：此题主要考查了切线的性质 ,等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识 ,题目不是太难 ,属于根底性题目．18．⊙O的半径为5 ,直线l是⊙O的切线 ,那么点O到直线l的距离是〔〕A． 2.5 B． 3 C． 5 D． 10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O 到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切 ,∴点O到直线l的距离等于圆的半径 ,即点O到直线l的距离为5．应选C．点评：此题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r ,圆心O到直线l的距离为d ,直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O 相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．19．在矩形ABCD中 ,AB=4 ,AD=5 ,AD ,AB ,BC分别与⊙O相切于E ,F ,G 三点 ,过点D作⊙O的切线BC于点M ,切点为N ,那么DM的长为〔〕A． B． C． D． 2考点：切线的性质；矩形的性质．分析：连接OE ,OF ,ON ,OG ,在矩形ABCD中 ,得到∠A=∠B=90° ,CD=AB=4 ,由于AD ,AB ,BC分别与⊙O相切于E ,F ,G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90° ,推出四边形AFOE ,FBGO是正方形 ,得到AF=BF=AE=BG=2 ,由勾股定理列方程即可求出结果．解答：解：连接OE ,OF ,ON ,OG ,在矩形ABCD中 ,∵∠A=∠B=90° ,CD=AB=4 ,∵AD ,AB ,BC分别与⊙O相切于E ,F ,G三点 ,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90° ,∴四边形AFOE ,FBGO是正方形 ,∴AF=BF=AE=BG=2 ,∴DE=3 ,∵DM是⊙O的切线 ,∴DN=DE=3 ,MN=MG ,∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN ,在Rt△DMC中 ,DM2=CD2+CM2 ,∴〔3+NM〕2=〔3﹣NM〕2+42 ,∴NM= ,∴DM=3 = ,应选A．点评：此题考查了切线的性质 ,勾股定理 ,正方形的性质 ,正确的作出辅助线是解题的关键．20．PA和PB是⊙O的切线 ,点A和B的切点 ,AC是⊙O的直径,∠P=40° ,那么∠ACB的大小是〔〕A．40° B．60° C．70° D．80°考点：切线的性质．分析：由PA、PB是⊙O的切线 ,可得∠OAP=∠OBP=90° ,根据四边形内角和 ,求出∠AOB ,再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．解答：解：连接OB ,∵AC是直径 ,∴∠ABC=90° ,∵PA、PB是⊙O的切线 ,A、B为切点 ,∴∠OAP=∠OBP=90° ,∴∠AOB=180°﹣∠P=140° ,由圆周角定理知,∠ACB= ∠AOB=70° ,应选C．点评：此题考查了切线的性质 ,圆周角定理 ,解决此题的关键是连接OB ,利用直径对的圆周角是直角来解答．21．以点O为圆心的两个圆中 ,大圆的弦AB切小圆于点C ,OA交小圆于点D ,假设OD=2 ,tan∠OAB= ,那么AB的长是〔〕A． 4 B． 2 C． 8 D． 4考点：切线的性质．分析：连接OC ,利用切线的性质知OC⊥AB ,由垂径定理得AB=2AC ,因为tan∠OAB= ,易得 = ,代入得结果．解答：解：连接OC ,∵大圆的弦AB切小圆于点C ,∴OC⊥AB ,∴AB=2AC ,∵OD=2 ,∴OC=2 ,∵tan∠OAB= ,∴AC=4 ,∴AB=8 ,应选C．点评：此题主要考查了切线的性质和垂径定理 ,连接过切点的半径是解答此题的关键．22．AC是⊙O的切线 ,切点为C ,BC是⊙O的直径 ,AB交⊙O于点D ,连接OD．假设∠BAC=55° ,那么∠COD的大小为〔〕A．70° B．60° C．55° D．35°考点：切线的性质；圆周角定理．分析：由AC是⊙O的切线 ,可求得∠C=90° ,然后由∠BAC=55° ,求得∠B的度数 ,再利用圆周角定理 ,即可求得答案．解答：解：∵AC是⊙O的切线 ,∴BC⊥AC ,∴∠C=90° ,∵∠BAC=55° ,∴∠B=90°﹣∠BAC=35° ,∴∠COD=2∠B=70°．应选A．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．注意掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．23．PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点 ,假设∠C=65° ,那么∠P的度数为〔〕A．65° B．130° C．50° D．100°考点：切线的性质．分析：由PA与PB都为圆O的切线 ,利用切线的性质得到OA垂直于AP ,OB垂直于BP ,可得出两个角为直角 ,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍 ,由∠C的度数求出∠AOB的度数 ,在四边形PABO中 ,根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线 ,∴OA⊥AP ,OB⊥BP ,∴∠OAP=∠OBP=90° ,又∵∠AOB=2∠C=130° ,那么∠P=360°﹣〔90°+90°+130°〕=50°．应选C．点评：此题主要考查了切线的性质 ,四边形的内角与外角 ,以及圆周角定理 ,熟练运用性质及定理是解此题的关键．24．AB为半圆O的在直径 ,AD、BC分别切⊙O于A、B两点 ,CD切⊙O于点E ,连接OD、OC ,以下结论：①∠DOC=90° ,②AD+BC=CD ,③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2 ,④OD：OC=DE：EC ,⑤OD2=DE?CD ,正确的有〔〕A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．分析：连接OE ,由AD ,DC ,BC都为圆的切线 ,根据切线的性质得到三个角为直角 ,且利用切线长定理得到DE=DA ,CE=CB ,由CD=DE+EC ,等量代换可得出CD=AD+BC ,选项②正确；由AD=ED ,OD为公共边 ,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等 ,可得出∠AOD=∠EOD ,同理得到∠EOC=∠BOC ,而这四个角之和为平角 ,可得出∠DOC为直角 ,选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角 ,再由一对公共角相等 ,利用两对对应角相等的两三角形相似 ,可得出三角形DEO与三角形DOC相似 ,由相似得比例可得出OD2=DE?CD ,选项①正确；由△AOD∽△BOC ,可得 = = = ,选项③正确；由△ODE∽△OEC ,可得 ,选项④错误．解答：解：连接OE ,如下图：∵AD与圆O相切 ,DC与圆O相切 ,BC与圆O相切 ,∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90° ,∴DA=DE ,CE=CB ,AD∥BC ,∴CD=DE+EC=AD+BC ,选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中 , ,∴Rt△ADO≌Rt△EDO〔HL〕 ,∴∠AOD=∠EOD ,同理Rt△CEO≌Rt△CBO ,∴∠EOC=∠BOC ,又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180° ,∴2〔∠DOE+∠EOC〕=180° ,即∠DOC=90° ,选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90° ,又∠EDO=∠ODC ,∴△EDO∽△ODC ,∴ = ,即OD2=DC?DE ,选项①正确；∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90° ,∠A=∠B=90° ,∴△AOD∽△BOC ,∴ = = = ,选项③正确；同理△ODE∽△OEC ,∴ ,选项④错误；应选C．点评：此题考查了切线的性质 ,切线长定理 ,相似三角形的判定与性质 ,全等三角形的判定与性质 ,利用了转化的数学思想 ,熟练掌握定理及性质是解此题的关键．25．圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．铁片的圆心为O ,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处 ,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处 ,铁片与三角尺的唯一公共点为B ,以下说法错误的选项是〔〕A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2考点：切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．专题：应用题．分析：由BC ,AC分别是⊙O的切线 ,B ,A为切点 ,得到OA⊥CA ,OB⊥BC ,又∠C=90° ,OA=OB ,推出四边形AOBC是正方形 ,得到OA=AC=4 ,故A ,B 正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．解答：解：由题意得：BC ,AC分别是⊙O的切线 ,B ,A为切点 ,∴OA⊥CA ,OB⊥BC ,又∵∠C=90° ,OA=OB ,∴四边形AOBC是正方形 ,∴OA=AC=4 ,故A ,B正确；∴ 的长度为：=2π ,故C错误；S扇形OAB= =4π ,故D正确．应选C．点评：此题考查了切线的性质 ,正方形的判定和性质 ,扇形的弧长、面积的计算 ,熟记计算公式是解题的关键．26．正六边形ABCDEF内接于⊙O ,假设直线PA与⊙O相切于点A ,那么∠PAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°考点：切线的性质；正多边形和圆．分析：连接OB ,AD ,BD ,由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数 ,再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数 ,利用弦切角定理∠PAB．解答：解：连接OB ,AD ,BD ,∵多边形ABCDEF是正多边形 ,∴AD为外接圆的直径 ,∠AOB= =60° ,∴∠ADB= ∠AOB= ×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A ,∴∠PAB=∠ADB=30° ,应选A．点评：此题主要考查了正多边形和圆 ,切线的性质 ,作出适当的辅助线 ,利用弦切角定理是解答此题的关键．27．AB切圆O1于B点 ,AC切圆O2于C点 ,BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点．假设∠BO1D=40° ,∠CO2E=60° ,那么∠A的度数为何？〔〕A． 100 B． 120 C． 130 D． 140考点：切线的性质．分析：由AB切圆O1于B点 ,AC切圆O2于C点 ,得到∠ABO1=∠ACO2=90° ,由等腰三角形的性质得到∴∠O1BD=70° ,∠O2CE=60° ,根据三角形的内角和求得．解答：解：∵AB切圆O1于B点 ,AC切圆O2于C点 ,∴∠ABO1=∠ACO2=90° ,∵O1D=O1B ,O2E=O2C ,∴∠O1BD=∠O1DB= =70° ,∠O2CE=∠O2EC= 〔180°﹣60°〕=60° ,∴∠ABC=20° ,∠ACB=30° ,∴∠A=130° ,应选C．点评：此题考查了切线的性质 ,等腰三角形的性质 ,三角形的内角和定理 ,熟记定理是解题的关键．28．△ABC ,AB=BC ,以AB为直径的圆交AC于点D ,过点D的⊙O的切线交BC于点E．假设CD=5 ,CE=4 ,那么⊙O的半径是〔〕A． 3 B． 4 C． D．考点：切线的性质．分析：首先连接OD、BD ,根据DE⊥BC ,CD=5 ,CE=4 ,求出DE的长度是多少；然后根据AB是⊙O的直径 ,可得∠ADB=90° ,判断出BD、AC的关系；最后在Rt△BCD中 ,求出BC的值是多少 ,再根据AB=BC ,求出AB的值是多少 ,即可求出⊙O的半径是多少．解答：解：如图1 ,连接OD、BD ,∵DE⊥BC ,CD=5 ,CE=4 ,∴DE= ,∵AB是⊙O的直径 ,∴∠ADB=90° ,∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2 ,∴5BD=3BC ,∵BD2+CD2=BC2 ,解得BC= ,∵AB=BC ,∴AB= ,∴⊙O的半径是；应选：D．点评：此题主要考查了切线的性质 ,要熟练掌握 ,解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．29．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆〞．如图 ,直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B ,∠OAB=30° ,点P在x轴上,⊙P与l相切 ,当P在线段OA上运动时 ,使得⊙P成为整圆的点P个数是〔〕A． 6 B． 8 C． 10 D． 12考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据直线的解析式求得OB=4 ,进而求得OA=12 ,根据切线的性质求得PM⊥AB ,根据∠OAB=30° ,求得PM= PA ,然后根据“整圆〞的定义 ,即可求得使得⊙P 成为整圆的点P的坐标 ,从而求得点P个数．解答：解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B ,∴B〔0 ,4 〕 ,∴OB=4 ,在RT△AOB中,∠OAB=30° ,∴OA= OB= × =12 ,∵⊙P与l相切 ,设切点为M ,连接PM ,那么PM⊥AB ,∴PM= PA ,设P〔x ,0〕 ,∴PA=12﹣x ,∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x ,∵x为整数 ,PM为整数 ,∴x可以取0 ,2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,6个数 ,∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．应选A．点评：此题考查了切线的性质 ,含30°角的直角三角形的性质等 ,熟练掌握性质定理是解题的关键．30．在△ABC中 ,AB=CB ,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB ,在CF上取一点E ,使DE=CD ,连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③ = ；④AE为⊙O的切线 ,一定正确的结论全部包含其中的选项是〔〕A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理得∠ADB=90° ,那么BD⊥AC ,于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC ,那么可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4 ,那么根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE ,于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45° ,那么不能确定与相等 ,那么可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90° ,即CE⊥AE ,根据平行线的性质得到AB⊥AE ,然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线 ,于是可对④进行判断．解答：解：∵AB为直径 ,∴∠ADB=90° ,∴BD⊥AC ,而AB=CB ,∴AD=DC ,所以①正确；∵AB=CB ,∴∠1=∠2 ,而CD=ED ,∴∠3=∠4 ,∵CF∥AB ,∴∠1=∠3 ,∴∠1=∠2=∠3=∠4 ,∴△CBA∽△CDE ,所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形 ,∴∠1不能确定等于45° ,∴ 与不能确定相等 ,所以③错误；∵DA=DC=DE ,∴点E在以AC为直径的圆上 ,∴∠AEC=90° ,∴CE⊥AE ,而CF∥AB ,∴AB⊥AE ,∴AE为⊙O的切线 ,所以④正确．应选D．点评：此题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．。
圆(20个考点)-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(解析版)
专题04圆（20个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．八．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．九．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十一．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十二．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十三．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十四．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十五．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十六．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．十七．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．十八．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．十九．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共3小题）1．（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可．【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟记相关的性质或定理即可．2．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．B．8C．6D．5【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD，∵CD是直角三角形斜边上的中线，∴CD＝AB＝×10＝5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．（2022春•广饶县期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可．【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【点评】本题主要考查了圆的认识，认识平面图形，解答本题关键是抓住圆规画圆的方法．二．垂径定理（共2小题）4．（2022•香坊区校级模拟）如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB 的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】直接根据垂径定理得AB＝2AD＝6cm．【解答】解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，∴AB＝2AD＝6cm．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．（2021秋•肇源县校级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM 的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．三．垂径定理的应用（共2小题）6．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．B．2m C．D．3m【分析】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，得出该拱门的半径为m，即可得出答案．【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．7．（2022•白云区二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A．10B．14C．26D．52【分析】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径．【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）8．（2022•武汉模拟）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，先证明△AOC≌△BOC，得到∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，从而证得△DBC∽△DCO，根据相似三角形的性质求出DO，进而求出OB，计算面积比即可．【解答】解：连接OC，∵点C为弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，∴△AOC≌△BOC，∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，又∠DBC＝∠DCO，∴△DBC∽△DCO，∴，∵BD＝4，CD＝5，∴，解得：DO＝，∴OB＝OD﹣BD＝，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题结合相似考查了圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是熟练运用性质解题，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．9．（2022•南岗区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为．【分析】过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，由AB＝CD，推出OQ＝OF 根据正方形的判定，推出正方形OQEF，求出OF的长，在△OFD中根据勾股定理即可求出OD．【解答】解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，∵AB＝CD，∴OQ＝OF，∵OF过圆心O，OF⊥CD，∴CF＝DF＝2，∴EF＝2﹣1＝1，∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD，∴∠OQE＝∠AEF＝∠OFE＝90°，∵OQ＝OF，∴四边形OQEF是正方形，∴OF＝EF＝1，在△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质求出OF和DF的长是解此题的关键．五．圆周角定理（共2小题）10．（2022•邯郸二模）在一次海事活动中，⊙O所在区域是活动区域，其中弦AB与优弧AB 所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图1阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：①在D点放两台该型号的声呐设备②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备③在F点放两台该型号的声呐设备）A．①③B．①②③C．②③D．①②【分析】由声呐探测的视角，画出图形观察可得答案．【解答】解：①在D处放置2台该型号的声呐设备，如图：声呐探测的视角为∠CAB，∠CBA，∵∠CAB＝∠CDB，∠ADC＝∠CBA，∴在D处放置2台该型号的声呐设备，能完成所有区域的探测；②在D，E处各放置1台该型号的声呐设备，如图：∵∠CDB＝∠CAB，∠AEC＝∠ABC，∴在D，E处各放置1台该型号的声呐设备，能完成所有区域的探测；③在F处放置2台该型号的声呐设备，如图：∵∠CFB＝∠CAB，∴由图可知，在F处放置2台该型号的声呐设备，不能完成所有区域的探测．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，借助图形解决问题．11．（2022•杏花岭区校级模拟）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB＝90°是解题的关键．六．圆内接四边形的性质（共2小题）12．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．13．（2022•牡丹江二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°【分析】连接BE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，根据题意求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BED＝∠BAD＝60°，∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BDE．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．七．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2022•汉阳区校级模拟）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O 上，则OD的长是（）A．4B．C．D．【分析】设OC＝x，根据圆上的点到圆心的距离相等，得＝，进而求得x＝1，再根据勾股定理解决此题．【解答】解：设OC＝x．由题意得，OA＝OF．∴＝．∴．∴x＝1．∴OD＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理、圆的性质，熟练掌握勾股定理以及圆的性质是解决本15．（2022•蓬江区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA＝10，BC＝16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点O'，连接AO′、AC．在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，当O′、M、A共线时，AM的值最小，最小值为O′A﹣O′M，利用勾股定理求出AO′即可解决问题．【解答】解：如图，取BC的中点O'，连接AO′、AC、O′M．∵CM⊥BD，∴∠BMC＝90°，∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，∴CO'＝O′M＝BC＝8，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝16，AB＝2OA＝20，∴AC＝＝＝12，在Rt△ACO′中，AO′＝＝＝4，∵O′M+AM≥O′A，∴当O′、M、A共线时，AM的值最小，最小值为O′A﹣O′M＝4﹣8，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以BC为直径的圆上运动．八．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•日喀则市月考）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弦相等【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可．【解答】解：A、弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键．17．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．九．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2022•蜀山区校级三模）在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB＝120°B．ME＝MDC．AE+BD＝ABD．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA＝60°，推出∠AMB＝120°；②正确，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理解决问题；③正确．在AB上取一点T，使得AT＝AE，利用全等三角形的性质证明BD＝BT，可得结论；④错误，无法判断∠M′与∠ABC互补．【解答】解：如图，∵∠C＝60°，∴∠CAB+∠CBA＝120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，∵∠EMD＝∠AMB＝120°，∴∠EMD+∠ECD＝180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE＝∠MCD，∴，∴EM＝DM，故②正确，在AB上取一点T，使得AT＝AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD＝BT，∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′＝∠AMC，∵∠AMC＝90°+∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，故选：D．【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．（2022•兴庆区校级三模）如图，⊙O外接于△ABC，延长B0交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于点E．（1）求证：∠BAC＝∠BCE．（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接CD，由圆周角定理可得∠BCD＝90°，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得∠BCE＝∠BDC，进而可证明结论；（2）利用直角三角形的性质可得∠CBD＝30°，即可得BD＝2CD，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解．【解答】（1）证明：连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠BCE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BCE＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠BCE；（2）解：∵∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BCE＝60°，∵∠BCD＝90°，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD，∵BC＝2，BD2﹣CD2＝BC2，∴（2CD）2﹣CD2＝（2）2，解得CD＝2，。
备战期中考试的演讲稿范文
大家好！时光荏苒，转眼间，我们即将迎来本学期的期中考试。
在这关键的时刻，我非常荣幸能站在这里，与大家共同探讨如何备战期中考试，以优异的成绩迎接挑战。
在此，我将以“全力以赴，备战期中”为主题，与大家分享一些备考心得和策略。
一、明确目标，坚定信念首先，我们要明确自己的学习目标。
期中考试是对我们半个学期学习成果的一次检验，也是对我们意志力和毅力的考验。
我们要坚定信念，相信自己有能力取得好成绩。
在备考过程中，我们要时刻保持积极向上的心态，坚信“一分耕耘，一分收获”。
二、制定计划，合理分配时间1. 制定详细的学习计划。
我们要根据各科目的学习任务和自己的实际情况，制定一份切实可行的学习计划。
计划要具体、明确，包括每天的学习内容、学习时间和复习时间等。
2. 合理分配时间。
在制定学习计划时，我们要合理安排各科目的学习时间，确保每门科目都能得到充分的复习。
同时，要注意劳逸结合，保证充足的睡眠和适当的体育锻炼。
三、掌握方法，提高效率1. 提高听课效率。
课堂上，我们要认真听讲，做好笔记，紧跟老师的思路。
对于重点难点，要及时向老师请教，确保对知识点的理解透彻。
2. 加强练习。
通过做题来检验自己的学习成果，找出自己的薄弱环节。
在做题过程中，要学会总结归纳，提炼出解题技巧和方法。
3. 深入研究教材。
教材是学习的基石，我们要对教材内容进行深入研究，掌握各章节的知识点，形成知识体系。
四、调整心态，克服困难1. 保持良好心态。
面对备考压力，我们要保持平和的心态，相信自己有能力应对挑战。
遇到困难时，要学会调整心态，相信自己能够克服。
2. 学会求助。
在备考过程中，我们要勇于向老师、同学和家长请教，寻求帮助。
同时，要学会自我调节，保持良好的心理状态。
五、注重细节，提高得分1. 规范答题。
在考试过程中，我们要注意答题规范，避免因书写不规范而失分。
2. 答题技巧。
掌握各种题型的答题技巧，提高答题速度和准确率。
3. 复习错题。
在备考过程中，我们要及时复习错题，找出自己的不足，提高得分。
人教版九年级数学上《圆》期中复习试卷含答案解析初三数学
北京市海淀区-九年级（上）期中数学复习试卷（圆）（解析版）一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．13．（秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．14．（秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．15．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．16．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．-学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．故答案为：2．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=50°，∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，∴∠A=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．【考点】圆周角定理．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∠B=∠C=15°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣15°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．【考点】切线的性质．【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，∴点P在圆外．故选C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，==3π．∴S扇形故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数【解答】解：∵∠BOD=138°，∴∠A=∠BOD=69°，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故答案为：69°．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．【考点】点与圆的位置关系．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP垂直平分线段AB，得证．【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，PO为∠APB的平分线，∴PO⊥AB，C为AB的中点，则OP垂直平分线段AB．【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线．【解答】证明：连接OF，CF．∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB ∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM ⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．。
2020-2021期中考试圆的试题训练学生版
期中考试圆的试题训练一．选择题（共10小题）1．（2019秋•青山区期中）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°2．（2015•眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°3．（2018秋•江夏区期中）如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，AB ＝2DE，∠E＝12°，则∠BAC＝（）A．60°B．72°C．75°D．78°4．（2019•炎陵县一模）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD ＝75°，则∠B＝（）A．15°B．40°C．75°D．35°5．（2020•金牛区模拟）如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α6．（2014秋•道里区期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1，AB＝10，那么直径CD的长为（）A．12.5B．13C．25D．267．（2019秋•大名县期中）如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝1，则BC的值为（）A．1B．2C．3D．48．（2018秋•江岸区期中）⊙O的直径AB长为10，弦MN⊥AB，将⊙O沿MN翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝2，MB′的长为（）A．2B．2或2C．2D．2或2 9．（2020•硚口区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．（2019秋•江岸区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二．填空题（共7小题）11．（2019秋•东西湖区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于．12．（2019秋•江岸区期中）如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．13．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为．14．（2018秋•江汉区期中）如图，直径为10cm的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且，若AB＝8cm，则CD的长为cm．13题图14题图15．（2018秋•江夏区期中）如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是cm．16．（2018秋•江汉区期中）如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使）在正方形内，连OE，若AB＝4cm，则OD的最大值为cm．三．解答题（共13小题）17．（2020•硚口区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．18．（2019秋•东西湖区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．19．（2019秋•江岸区期中）如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF 交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．20．（2019秋•青山区期中）已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC 的中点（1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．21．（2019秋•武昌区期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB 交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，∠E＝30°，AC＝5．（1）求CE的长；（2）求S△ADC：S△ACE的比值．22.（2019秋•南开区期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？23.如图，在△ABC中，AB＝AC．(1)如图1，以AC为直径的⊙M交BC于D,作DE⊥AB于E．求证：DE是⊙M的切线．图1图2(2)如图2，⊙O 为△ABC 的外接圆，若E 是AB 的中点，连OE ,OE ＝52，BC ＝8，求⊙O 的半径．24.（2018秋•江岸区期中）已知抛物线C 1：y ＝ax 2过点（2，2） （1）直接写出抛物线的解析式 ；（2）如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1上，且边AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若AC 边上的中线BD 平行于y 轴，求的值；（3）如图，点P 的坐标为（0，2），点Q 为抛物线上C 1上一动点，以PQ 为直径作⊙M ，直线y ＝t 与⊙M 相交于H 、K 两点是否存在实数t ，使得HK 的长度为定值？若存在，求出HK 的长度；若不存在，请说明理由．巩固练习：1．（2019秋•东西湖区期中）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC 的长度是（）A．4B．C．2D．32．（2019秋•青山区期中）如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，且AB＝6，BC＝7，CD＝8，则AD的长度是（）A．B．C．D．3．（2018秋•恩施市期末）如图，在⊙O中，弦AB＝6，半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．24.（2018汉阳区）如图，AB＝2，BC＝4，点A是⊙B上任一点，点C为⊙B外一点，△ACD 为等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．434+D．63 +B．43C．4385．（2018东湖高新区）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，E 是弧BC 上一点，将弧BC 沿BC 翻折后E 点的对称点F 落在OA 中点处，则BC 的长为（ ）A ．10B ．32C ．13D ．146.（2018武昌区七校）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB =4，∠AOC =120°， P 为⊙O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ） A ．3 B ．61+ C ．231+D ．71+7．（2018武昌区七校）⊙O 的直径为2，AB ，AC 为⊙O 的两条弦，AB =2，AC =3，则∠BAC = ．8．（2019秋•硚口区期中）如图，在⊙O 中，相等的弦AB ，AC 互相垂直，E 是AC 的中点，OD ⊥AB 于点D ．求证：四边形AEOD 是正方形．9．（2019秋•江夏区期中）如图，在⊙O 中，AD ＝BC ，求证：DC ＝AB ．10．（2019秋•江夏区期中）已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点． （1）如图1，若∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，求证：AC ⊥BD ； （2）如图2，若AC ⊥BD ．垂足为E ，AB ＝4，DC ＝6，求⊙O 的半径．11．（2018秋•硚口区期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM ＝6，求⊙O的半径．12．（2018秋•江岸区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线相互垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）AD交⊙O于点E，若AD＝3CD＝9，求AE的长度．13．（2018秋•江汉区期中）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC＋∠OAB=90°．（1）求证：⌒AB=⌒BC；（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．15.（2019秋•硚口区期中）抛物线y＝ax2+c经过点（0，﹣1），交x轴于A（﹣1，0），B两点，点P是第一象限内抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1已知直线l的解析式为y＝x﹣2，过点P作直线l的垂线，垂足为H，当PH＝时，求点P的坐标；（3）如图2，当∠APB＝45°时，求点P的坐标．。
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学科： 学科：数学 姓 名 教 学 内 容 重 点 难 点 任课教师： 任课教师： 性 别 授课时间： 授课时间：2011 年 级 年 月 日 星期 总课时: 总课时: 第 课
九年级
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系的判定方法和性质。 直线和圆三种位置关系的研究与运用。 1、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。 2、会根据定义来判断直线和圆的位置关系。 3、会根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。 4、通过直线和圆的位置关系的探究， 向学生渗透分类、 数形结合的思想， 培养学生观察、 分析和概括的能力。 5、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，培养学生辩证唯物主 义观点。 课前 课前测试完成情况 完成情况： 检查 课前测试完成情况： 与交 交流与沟通： 交流与沟通： 流 我们用直线与圆的交点的个数定义直线和圆的位置关系
x − 2 +5，。 。
2、若 3 − x + x − 3 有意义，则 x 5、若 − m + 课 后 作 业 6、若 7、 若
1 有意义，则 m 的取值范围是 m +1 1− x 有意义，则 x 的取值范围是 x
x2 − 2 x + 1 有意义，则 x 的取值范围是
例 7、应用题 1、如图，在宽为 20m，长为 30m 的矩形地面上修建两 条同样宽为 xm 的道路，若余下部分作为耕地是 2 1m 551m . 请根据图中数据，计算路宽为多少米？
1m 20m 30m 图5
2、参加一次商品交易会的每两家公司之间都会签订一份合同， 所有公司共签订了 36 份合同，共有多少家公司参加商品交易会。
3、沙头村 2006 年的人均收入为 1200 元，2008 年的人均收入为 1452 元， 求人均收入的年平均增长率.
一、计算题:（每题 5 分，共 15 分） 算题 （
课 堂 检 测
1、 18 − ( 4
1 − 50) 2
2、 2 12 − 3
1 × 6 3
3、 化简：
2
O C
（1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2－6x＋k＝0 与 x2＋mx－1 ＝0 有一个相同的根，求常数 m 的值．
例 4、已知一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 (a≠0) 的两根分别为 x 1、 x 2，则有 x 1+ x 已知一元二次方程 b c ； x 1 x 2= ． 2= − a a 请应用以上结论解答下列问题 结论解答下列问题： 已知方程 x2－4x -1=0 有两个实数根 x1,x2, 要求不解方程 4x 要求不解方程， 求值： （1） x1+1） 2+1） （x （x （2）
2 3 3 b ab 5 ⋅ (− a b ÷3 ) b 2 a
（每题 二、解方程： 每题 5 分，共 15 分） 解方程： （ 4、 （1） 2 x = x + 3
2
5、 ( x + 1) = 3( x + 1)
2
6、 2 x 2 − 5 x − 1 = 0 （用配方法解） 配方法解）
1、已知 y= 2 − x +
C P D A O B
∠OPB = ∠B ∴∠C = ∠OPB ． ∴OP ∥ AD 又∵ PD ⊥ AC 于 D ，∴∠ADP = 90 ， ∴∠DPO = 90 ． ∴ PD 是 ⊙O 的切线． （2）连结 AP ，∵ AB 是直径， ∴∠APB = 90 ， AB = AC = 2 ， ∠CAB = 120 ， ∴∠BAP = 60 ． ∴ BP = 3， BC = 2 3 ． ∴
x 2 x1 + x1 x 2
例 5、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC、∠BCD 的平分线相交于点 O，BO 延长 在平行四边形 线交 CD 延长线于点 E， E 求证：OB=OE
A O D
B
C
例 6、 如图，DB∥ ∥AC，且 DB=
1 AC，E 是 AC 的中点， 2
(1)求证：BC=DE； BC=DE (2)连结 AD、 ， BE 若要使四边形 DBEA 是矩形， 则给△ABC 添加一个什么条件， 为什么? 0 (3)在（2）的条件下 的条件下，若要使四边形 DBEA 是正方形，则 则∠C= .
o
o
o
例 1、 （2008 福建省厦门市，10 分）已知：如上图， △ ABC 中， AB = AC ，以 AB 为直 径的 ⊙O 交 BC 于点 P ， PD ⊥ AC 于点 D ．
（1）求证： PD 是 ⊙O 的切线； （2）若 ∠CAB = 120 ，AB = 2 ，求 BC 的值． 证明： （1）∵ AB = AC ， ∴∠C = ∠B ． 又 OP = OB ，
例 2、 （2008 甘肃省兰州市，10 分）如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， BD 是 ⊙O 的直径， AE ⊥ CD ，垂足为 E ， DA 平分 ∠BDE ． A （1）求证： AE 是 ⊙O 的切线； E （2）若 ∠DBC = 30 ，DE = 1cm ，求 BD 的长． D O B C A
8、方程 x 2 − kx + 8 = 0 的一根为 2，求方程的另一根及 k 的值。
签字
教研组长： 教研组长： 下节课的计划： 下节课的计划：
教学主任： 教学主任：
学生： 学生：
教务老师： 教务老师：
家长： 家长：
老师 课后 评价
学生的状况、接受情况和配合程度： 学生的状况、接受情况和配合程度： 给家长的建议： 给家长的建议：
教 学 目 标
教
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针 学 对 过 性 授 程 课 相交 d＜r 相切 d=r 相离 d＞r 相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为 圆的半径为r, 设圆心到直线的距离为 圆的半径为 我们也用 与 的大小关系判断直线与圆的位置关系 我们也用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系
E D
证明： （1）证明：连接 OA ，∵ DA 平分 ∠BDE ， B ∴∠BDA = ∠EDA ． ∵ OA = OD， ODA = ∠OAD ．∴∠OAD = ∠EDA ． ∴∠ ∴OA ∥CE ． ∵ AE ⊥ DE ，∴∠AED = 90 ，∠OAE = ∠DEA = 90 ． ∴ AE ⊥ OA ． ∴ AE 是 ⊙O 的切线． （2）∵ BD 是直径，∴∠BCD = ∠BAD = 90 ． ∵ ∠DBC = 30 ，∠BDC = 60 ， ∴∠BDE = 120 ． ∴∠BDA = ∠EDA = 60 ∵ DA 平分 ∠BDE ， ． ∴∠ABD = ∠EAD = 30 ． 在 Rt△ AED 中， ∠AED = 90 ，∠EAD = 30 ， AD = 2 DE ． ∴ 在 Rt△ ABD 中， ∠BAD = 90 ，∠ABD = 30 ， BD = 2 AD = 4 DE ． ∴ ∵ DE 的长是 1cm，∴ BD 的长是 4cm． 例 3、已知关于 x 的一元二次方程 x －6x＋k＝0 有两个实数根．