立体几何练习题六
立体几何练习题
E立体几何练习题1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点.(Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC .2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离.3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABCACB ∠=，2AB =1BC =1AA =． （Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积；（Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ， 证明:11//C AB DE 平面4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ，AB AE =.(1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积.FEABD CG 1C 1A1B 1D 1B 1C ED CBA1D 1A5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线段AB 上的动点.（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ；（2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为61若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1均为矩形，其中AA 1=4。
俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A 1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。
（1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。
立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)
第六节 面面关系(一)平行 (二)垂直1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2）求多面体CDEFG 的体积。
3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；B 1C BADC 1A 1AEDBCA AC⊥平面BDE.（2）求证：平面15.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，=⊥︒点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节 面面关系答案（一）平行 （二）垂直1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG . （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为11125520335DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯=正方形3.证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 4.证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC5.（1）证明：连接BD.ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 为等边三角形.E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，.PD AB ⊥∴⊂DE 面PED ，PD ⊂面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ⊂AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ⊂面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，⊂EF PED ，.EF AB ⊥∴PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===∆PF EF PE PEF 中,147572212)7(cos 22=⨯-+=∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.1475立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．B ．CD ．3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 55.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ．AB∥平面SCDC ． SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.EFA Gαβ10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是 ． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示， 给出下列结论：①四面体A BCD -体积的最大值为725； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为145． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5． （1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC ． （2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正切值．15.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC ；4343AB CD4334DCBA（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．试卷答案1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征．专题：空间角．分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．解答：解：连接BD，；∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，∴cos∠DBD1===；故选：D．点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．3.C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．4.D考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线．所以OP=5．故选：D．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．5.D考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．6.D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．7.48.(2)(4)10.111.1 (,) 212.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可．解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，∴AC==10，∴，由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan∠DBE==．∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD，在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，∴∠AEO=45°，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（8分）（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，∵MN=1，NE=∴tan∠MEN=2…..（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (22)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题）1.下列命题中正确的有( )①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形．A．1B．2C．3D．42.若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是( )A．平行B．异面C．异面或相交D．相交、平行或异面3.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=2√3，且四棱锥O−ABCD的体积为8√3，则R等于( )A．4B．2√3C．4√79D．√134.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB．3π4C．π2D．π45.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB．3π4C．π2D．π46.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( )A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A．43B．83C．4D．88.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体9.若平面α∥平面β，点A,C∈α，B,D∈β，则直线AC∥BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D共面10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．210B．208C．206D．204二、填空题（共6题）11.点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线l上，用集合的语言表述上述语句．12.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是Mʹ，则点Mʹ的坐标为．13.已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是．14.由斜二测画法得到以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确结论的序号是．15.立体图形直观图的画法步骤：（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个轴，直观图中与之对应的是轴．（2）画底面：平面表示水平平面，平面和表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中和都不变．（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为．16.思考辨析，判断正误．两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行．三、解答题（共6题）17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1=E．能否判断点E在平面A1BCD1内？并说明理由．18.已知三棱锥A−BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．19.简单组合体的结构特征请描述如图所示的几何体是如何形成的．20.圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30∘，下底面半径是上底面半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．21.请回答下列问题：(1) 已知：l⫋α，D∈α，A∈l，B∈l，C∈l，D∉l．求证：直线AD，BD，CD共面于α．(2) 将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，求x+y的值．22.已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；正确的命题只有①②．故选：B．【知识点】直观图、棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征2. 【答案】C【解析】考虑正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，直线AB看做直线a，直线BʹCʹ看做直线b，即直线a和直线b是异面直线，若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线AʹBʹ看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交．若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行．故选：C．【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】A【解析】设球心O到平面ABCD的距离为ℎ，由题意可知V O−ABCD=13S矩形ABCD⋅ℎ=13×6×2√3⋅ℎ=8√3，解得ℎ=2，又矩形ABCD所在的截面圆的半径为1 2√AB2+BC2=12√62+(2√3)2=2√3，从而球的半径R=√22+(2√3)2=4．【知识点】球的结构特征、棱锥的表面积与体积4. 【答案】B【解析】因为圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上， 所以该圆柱底面圆周半径 r =√12−(12)2=√32， 所以该圆柱的体积：V =Sℎ=π×(√32)2×1=3π4．故选：B ．【知识点】圆柱的表面积与体积5. 【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为 r ，则 r 2+(12)2=12，解得 r =√32， 所以 V 圆柱=π×(√32)2×1=3π4．【知识点】球的表面积与体积、圆柱的表面积与体积6. 【答案】A【解析】C 项，如图，橙色的 4 条棱相等，蓝色的 2 条棱相等，三个侧面是全等的等腰三角形，但不是正三棱锥．【知识点】充分条件与必要条件、棱锥的结构特征7. 【答案】A【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体8. 【答案】B【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积9. 【答案】D【解析】当 AC ∥BD 时，A ，B ，C ，D 一定共面；当 A ，B ，C ，D 共面时，平面ABDC ∩α=AC ，平面ABDC ∩β=BD ，由 α∥β 得 AC ∥BD ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、直线与平面平行关系的性质10. 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2，故该几何体的体积为V=63−13×12×6×6×2=204．【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】A∈α，B∉α，A∈l，B∈l【知识点】平面的概念与基本性质12. 【答案】(4,2)【解析】由直观图画法“横不变，纵折半”可得点Mʹ的坐标为(4,2)．【知识点】直观图13. 【答案】36π【解析】S=4πr2=36π⇒r=3，所以V=43πr3=36π．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】①②【知识点】直观图15. 【答案】z；zʹ；xʹOʹyʹ；yʹOʹzʹ；xʹOʹzʹ；平行性；长度；虚线【知识点】直观图16. 【答案】×【知识点】平面与平面平行关系的判定三、解答题（共6题）17. 【答案】可以判断点E在平面A1BCD1内．理由如下：如图，因为A1C∩平面ABC1D1=E，所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1．因为 A 1C ⊂平面A 1BCD 1， 所以 E ∈平面A 1BCD 1．【知识点】平面的概念与基本性质18. 【答案】解法一：易知内切球球心 O 到各面的距离相等．设点 E ，F 为 CD ，AB 的中点，则点 O 在 EF 上且点 O 为 EF 的中点． 在 △ABE 中，AB =6，AE =BE =4， 所以 OH =3√78，即三棱锥的内切球半径为 3√78． 解法二：设球心 O 到各面的距离为 R ， 则 4×13S △BCD ×R =V A−BCD ．而 S △BCD =12×6×4=12，V A−BCD =2V C−ABE =6√7，所以 4×13×12R =6√7，即 R =3√78， 即三棱锥的内切球半径为 3√78．【知识点】棱锥的结构特征19. 【答案】 ① 是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；② 是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体； ③ 是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．【知识点】组合体20. 【答案】设圆台上底面半径为 r ，则下底面半径为 2r ．将圆台还原为圆锥，如图，则有 ∠ABO =30∘． 在 Rt △BOʹAʹ 中，r BAʹ=sin30∘=12，所以 BAʹ=2r ．在 Rt △BOA 中，2rBA =sin30∘=12， 所以 BA =4r ．又 BA −BAʹ=AAʹ，即 4r −2r =2a ， 所以 r =a ，所以两底面面积之和 S =πr 2+π(2r )2=5πr 2=5πa 2，所以圆台上底面半径为 a ，下底面半径为 2a ，两底面面积之和为 5πa 2． 【知识点】圆台的结构特征21. 【答案】(1) 因为l⫋α，A∈l，B∈l，C∈l，所以A,B,C∈α又D∈α，D∉l，所以AD⫋α，BD⫋α，CD⫋α，则直线AD，BD，CD共面．(2) x=8，y=3，x+y=11．【知识点】平面的概念与基本性质22. 【答案】如图，因为PA⊥平面ABC，PC是平面ABC的斜线，所以AC是PC在平面ABC上的射影，又BC⊂平面ABC，且AC⊥BC，所以由三垂线定理得PC⊥BC．【知识点】直线与平面垂直关系的性质。
立体几何练习题及解答
立体几何练习题及解答《立体几何练习题及解答》练习一：体积计算题目：一个正方体箱子的边长为3cm，请计算该正方体箱子的体积。
解答：正方体的体积计算公式为边长的立方，即V = a³，其中a为正方体的边长。
代入已知条件，正方体箱子的边长a = 3cm。
则体积V = 3³ = 27cm³。
所以该正方体箱子的体积为27cm³。
练习二：表面积计算题目：一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为4cm，请计算该长方体的表面积。
解答：长方体的表面积计算公式为2ab + 2bc + 2ac，其中a、b、c分别为长方体的三个边长。
代入已知条件，长方体的长a = 5cm，宽b = 3cm，高c = 4cm。
则表面积S = 2(5×3) + 2(3×4) + 2(5×4) = 30 + 24 + 40 = 94cm²。
所以该长方体的表面积为94cm²。
练习三：棱柱的体积计算题目：一个棱柱的底面为边长为5cm的正方形，高为8cm，请计算该棱柱的体积。
解答：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高，即V = S × h，其中S为底面积，h为高度。
代入已知条件，棱柱的底面为正方形，边长a = 5cm，高度h = 8cm。
底面积S = a² = 5×5 = 25cm²。
则体积V = S × h = 25 × 8 = 200cm³。
所以该棱柱的体积为200cm³。
练习四：金字塔的体积计算题目：一个金字塔的底边是边长为6cm的正方形，高为10cm，请计算该金字塔的体积。
解答：金字塔的体积计算公式为底面积乘以高再除以3，即V = S ×h ÷ 3，其中S为底面积，h为高度。
代入已知条件，金字塔的底边为正方形，边长a = 6cm，高度h =10cm。
底面积S = a² = 6×6 = 36cm²。
专题6：立体几何中点到面的距离求法基础练习题
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
因为 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）因为 是 的中点，
所以点 到平面 的距离是点 到平面 距离的 ．
设C到平面 的距离为 ，则 .
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，以及空间向量的在求点到平面距离中的应用，属于基础题.
7．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）利用线面平行的判定定理证明即可.
（2）利用面面垂直的判定定理证出面 面 ，过 作 ， 的长即为 到面 的距离，根据 即可求解.
【详解】
（1）证明：连接 ，设 ，连 ，
则 是三角形 的中位线，
面 .
（2） 面 面 面 ，
过 作 ，
垂足为 ，易知 面 ，
则 的长即为 到面 的距离， 与 中，
， ，
可知 ，所以 .
【点睛】
本题考考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、求点到面的距离，考察了逻辑推理能力，属于基础题.
8．（1）证明见解析；（2） ．
因为 平面 ， ， ，
所以 平面 ．所以 ．
所以 ．
在 中， ， ，
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，解得 ．
所以点 到平面 的距离是 ．
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.
2．
【分析】
利用等体积法列方程，解方程求得点 到平面 的距离.
立体几何练习题及解析
立体几何练习题及解析一、选择题1. 下列哪个是正方体？A. 圆柱体B. 球体C. 锥体D. 正四面体解析：正确答案为D。
正四面体是一个具有四个等边三角形面的多面体，也是一种立体几何体。
2. 以下哪个是圆锥体？A. 立方体B. 正方形C. 圆柱体D. 球体解析：正确答案为C。
圆柱体的两个底面都是同心圆，且高度与底面的半径相等。
3. 以下哪个不是球体的属性？A. 没有棱B. 没有边C. 没有顶点D. 没有底面解析：正确答案为D。
球体没有底面，它是由无数个相同半径的小球面组成的。
二、填空题1. 立方体有多少个面？解析：立方体有6个面。
2. 锥体有多少个顶点？解析：锥体有1个顶点。
3. 正四面体有多少个边？解析：正四面体有6个边。
三、计算题1. 一个圆柱体的底面半径为5 cm，高度为8 cm，计算其体积和表面积。
解析：圆柱体的体积公式为V = πr²h，表面积公式为S = 2πrh + 2πr²。
将底面半径r = 5 cm，高度h = 8 cm代入公式计算得：V = π(5)²(8) = 200π cm³S = 2π(5)(8) + 2π(5)² = 80π + 50π = 130π cm²2. 一个球体的半径为10 cm，计算其体积和表面积。
解析：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，表面积公式为S = 4πr²。
将半径r = 10 cm代入公式计算得：V = (4/3)π(10)³ = 4000π/3 cm³S = 4π(10)² = 400π cm²3. 一个正方体的边长为6 cm，计算其体积和表面积。
解析：正方体的体积公式为V = a³，表面积公式为S = 6a²。
将边长a = 6 cm代入公式计算得：V = 6³ = 216 cm³S = 6(6)² = 216 cm²四、解答题1. 画出一个平行六面体，其中底面是边长为4 cm的正方形，高度为6 cm。
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组]一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的主视图 左视图 俯视图C 底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
立体几何练习题
立体几何题型一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD例2．四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.ACDBCASOE A DCBNM EP题型二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的 菱形，4A B C π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2O A =，M 为O A 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离. 变式：如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A 、O B 、O C 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是A B 、A C 的中点，H 是E F 的中点，过E F 的平面与侧棱O A 、O B 、O C 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132O A =．（1）求证：11B C ⊥面O A H ； （2）求二面角111O A BC --的大小．1C 1A题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，⊥EF 平面PCD ？变式：如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.DC题型四、折叠、展开问题例6．已知正方形A B C D E 、F 分别是A B 、C D 的中点，将AD E 沿D E 折起，如图所示，记二面角A D E C --的大小为(0)θθπ<< (1) 证明//B F 平面ADE ；(2)若A C D 为正三角形，试判断点A 在平面B C D E 内的射影G 是否在直线E F 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。
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立体几何练习题六
一、选择题（计60分）
1、条件甲：直线a、b是异面直线；条件乙：两条直线a 、b无公共点，则甲是乙的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件2、若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（）
A．3倍B．27倍C．33倍D．33倍
3、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）
A、一条直线不相交
B、两条相交直线不相交
C、无数条直线不相交
D、任意一条直线都不相交
4、已知P是三角形ABC所在平面外的一点，且P到三角形三个顶点的距离相等，那么P在平面ABC内的射影一定是三角形ABC 的( )
A、垂心
B、外心 C 、内心D、重心
5、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为
（）
A、a
B、2a
C、2
D、27a
6、已知一个凸多面体面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为( )
A 、24
B 、32
C 、18
D 、16
7、正方形ABCD 与正方形ABEF 成90° 的二面角，则异面直线AC 与BF 所成的角为 ( ) A 、45° B 、60° C 、30° D 、90° 8、在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．6π
D ．arctan2
9、有一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个 侧面（ ）
A 、一定都是直角三角形
B 、至多只能有一个直角三角形
C 、至多只能有两个直角三角形
D 、可能都是直角三角形
10、已知球面上的三点A ，B ，C ，且6
A B
c m =，8BC cm =，10AC cm =，
球的半径为13cm ，则球心到平面ABC 的距离是( ) A 、11cm B 、12cm C 、13cm D 、14cm 11、方程x 3
-6x 2
+9x-10=0的实根个数是 （ ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
12、一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,
任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是(1)三角形
(2)菱形(3)矩形(4)正方形(5)正六边形其中正确的是 ( )
A 、(1)(2)(3)(4)(5)
B 、(2)(3)(4)
C 、(2)(3)(4)(5)
D 、(3)(4)
二、填空题（计16分）
13、正方形ABCD中，AB=10㎝，PA垂直于ABCD所在的平面且
PA=5㎝，则P到DC的距离为____________；
14、函数f(x)= x3-6x2+9x(0<x<5)的单调增区间为___________；
15、已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，
则该正四面体与正方体的体积之比是_______________；
16、将边长为2，锐角为600的菱形ABCD沿较短对角线BD折成
四面体ABCD，点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命
题中正确的是______(将正确的命题序号全填上)
①EF∥AB ②EF是异面直线AC与BD的公
垂线
③当四面体ABCD的体积最大时，AC=6④AC垂直于截面
BDE
三、解答题（74分）
17、等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，平面ABC外一点P在
平面ABC内的射影是AB边的中点，若PC=AB=24，求：
（1）PC与平面ABC所成的角
（2）P点到直线AC，BC的距离。
（12分）
P
A
C
18、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，
求①斜高与棱锥高之比
②相邻两个侧面所成二面角的大小。
（12分）
19、在立体图形V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，①平面
VAB与平面VBC有何种位置关系？请说明理由。
②若1VA=4，试求A点到平面VBC的距离（12分）BC=BA=
2
V
B
A
C
A 1
B 1
A
D
20、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，
90A C B ∠=︒，AC=1，C
点到AB 1的距离为CE=
2
3，D 为AB 的中
点. (12分)
（1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；
（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
21、已知实数a ≠0，函数f(x)=ax(x-2)2
(x ∈R)有极大值32。
（1）求实数a 的值；
（2）求函数f(x)的单调区间。
（12分）
22、如图所示，正方形的边长为3a ，E 、F 、G 、H 是正方形边AB 、
CD 的三等分点，将正方形沿EH 、FG 对折成一个三棱柱 AEF-DHG 求：（14分）
①异面直线EA 与FD 所成的角
②求二面角F-HD-G 大小 ③求棱锥A-DHF 的体积
2004—2005学年第二学期第二次月考
数学答题卷
一、选择题（60分）
二、填空题 13、5
5
； 14、（0，1）和（3，5）；15、1∶3； 16、②③④
三、解答题
A
E
F
B
D
H
G
C
E
A
F
H
G
D
17、（1）600
；（2）6
14
；
18、（1）
3
∶
2
；（2）π-arccos 3
1；
19、（1）垂直 ；（2）5
58
；
20、（1）略 ；（2）2
1 ；（3）arctan
2
；
21、（1）a=27 ；（2）x ∈(-∞,3
2)和x ∈(2,+∞)单调第增；
x ∈(3
2,2)单调递减
22、（1）arccos
20
10 ；（2）arctan2
3
；（3）
4
3a 3。