复变函数与积分变换
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换复变函数与积分变换是复变函数理论中的一个重要部分，在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
复变函数是一类复多元函数，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。
积分变换是一种重要的数学工具，它可以用来求解不可积的复变函数，从而实现某些抽象的概念的具体数学表示。
一、复变函数复变函数是一类复多元函数，它从一维到多维可以描述复杂的数学模型，研究复变函数在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
其中包括实变函数、复变函数、级数函数、拓展函数和表达式函数等。
复变函数具有取值性质，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。
例如，可以用复变函数来描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程等。
它可以用来解决一些复杂的数学问题，如空间几何、拓扑学和动力学等。
二、积分变换积分变换是一种重要的数学工具，可以用来求解不可积的复变函数。
它允许用户使用基础数学知识，将复杂的抽象概念转化为具体的数学表示。
通过积分变换，用户可以提取出某类复变函数的主要特性，从而更好地理解复变函数的行为特征。
与普通的积分不同，积分变换的计算过程更加复杂，它需要对复变函数进行复杂的数学分解和变换，以获得新函数的表达式以及其对应积分的具体表述。
一般来说，积分变换可以用来解决函数反函数、微分方程和复变函数等问题。
三、复变函数与积分变换的应用复变函数与积分变换在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
在计算机科学领域中，复变函数可以帮助计算机系统搜索出满足特定条件的函数，从而解决一些复杂的计算问题。
积分变换则可以帮助计算机系统模拟物理系统的运动过程，优化动力学系统的性能，帮助我们更好地理解复变函数的行为特征。
在物理学领域，复变函数可以用来描述物理系统中描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程，进而实现更准确地物理系统模拟。
此外，积分变换还可以帮助我们更好地理解物理过程的内部机理，从而更好地应用于物理系统中。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数的基本概念和性质1. 复数集的定义：复数集是由实数和虚数构成的集合，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i² = -12. 复变函数的定义：设有一个定义在平面上的函数f(z)，其中z = x + yi是平面上的点，x和y是实数。
如果对任意给定的z都有唯一确定的复数w与之对应，那么称函数f(z)是复数域上的一个函数。
3.复变函数的连续性：如果在z0处存在一个复数A，使得当z趋于z0时，函数f(z)趋于复数A，则称函数f(z)在点z0处连续。
4.复变函数的可导性：如果函数f(z)在z0处连续，并且当z趋于z0时，函数f(z)的导数存在有一个有限的极限L，则称函数f(z)在z0处可导，并记为f'(z0)=L。
二、复变函数的常用公式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ2. 增补公式：sinh(x + iy) = sinh(x)cos(y) + isin(y)cosh(x)3.多项式的根公式：设P(z)=aₙzⁿ+aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₀是一个非常数多项式，aₙ≠0，则P(z)=0在复数域存在n个根。
4.共轭根公式：如果z是复数P(z)=0的根，则z^*也是复数P(z)=0的根。
5. 辐角公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，辐角θ = arctan(y/x)，其中-π < θ ≤ π。
6. 复数的模公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，模，z，= √(x² + y²)。
7. 三角和指数函数的关系：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/28. 三角函数和指数函数的关系：sin(ix) = i sinh(x)，cos(ix) = cosh(x)。
三、复变函数的常用积分变换公式1.度量积分变换：对于复变函数f(z)，定义如下的度量积分变换公式：∫(f(z)dz) = ∫(f(z₁)dz₁ + f(z₂)dz₂ + … + f(zₙ)dzₙ)，(z₁,z₂,…,zₙ)为路径连续的点。
复变函数和积分变换
复变函数和积分变换复变函数又被称为复数函数，是在复数平面中发展起来的一种函数。
它可以将一个复数表达为另一个复数的函数，它以变量z为自变量，以复数f（z）为定变量。
它的基本性质是可以给定函数z，对其求导，使得得到的新函数的导数具有特定的关系，这实际上就是复变函数的定义。
复变函数有着广泛的应用，它被广泛应用于计算机科学、数学物理、复变分析等领域，尤其是通过复变函数和复变分析完成数学物理中的许多模型，使得复变函数在计算机科学和数学物理中起到了重要的作用。
积分变换是指用数学分析的方式将一个复数函数的参数变换成另一个参数，使得参数函数上的某个数学性质不变的变换过程。
积分变换的引入使得复变函数的应用更加宽泛，不仅可以拓展复数函数的概念，而且可以求解复数函数的微分方程组、解决微积分中复杂的常微分方程、求解某些难以解决的数学物理问题等。
复变函数和积分变换之间的关系紧密，复变函数是积分变换的基础。
复变函数定义了一系列特殊的复数函数，而积分变换则将其变换为另一种特定的函数。
积分变换可利用复变函数的属性，将复变函数变换为另一种函数，使得复变函数的属性不变，从而拓展复变函数的应用范围。
复变函数和积分变换一般被用于微分方程的求解，其中积分变换可以把一个复变函数变换为另一个复变函数，使得原函数的属性不变，从而解决一些复杂的微分方程。
由于复变函数变换的性质，可以用复变函数的属性来检验积分变换的正确性，从而提高求解微积分方程的效率。
复变函数和积分变换有着许多的应用。
例如，矩阵的四种变换可以用积分变换的方法进行解析，用复变函数的属性来检验矩阵变换是否正确；复变函数和积分变换还可用于图像处理、声波分析、计算统计等领域。
复变函数和积分变换对于研究复杂微分方程具有重要的意义，不仅可以求解复杂的微分方程，而且可以应用于图像处理、声波分析、计算统计等领域，使得复变函数和积分变换在计算机科学和数学物理中起到了重大的作用。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到实部和虚部的函数关系。
而积分变换则是将一个函数转化为另一个函数的方法。
本文将围绕复变函数和积分变换展开讨论。
一、复变函数复变函数是指具有复数域上的定义域和值域的函数。
它的定义域可以是复数集，也可以是复平面上的一个区域。
复变函数常用的表示形式是f(z)，其中z为复数。
如f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)表示实部，v(x, y)表示虚部。
复变函数的性质与实变函数有很多相似之处，如连续性、可导性等。
它还具有一些特殊的性质，如解析性和调和性。
解析函数是指具有导数的复变函数，它在一个区域内处处可导。
而调和函数是指实部和虚部都是调和函数的复变函数。
复变函数的应用十分广泛，例如在电磁学、流体力学和信号处理等领域都有重要的应用。
通过复变函数的分析与运算，可以解决实变函数所无法解决的问题，并且有时可以简化问题的求解过程。
二、积分变换积分变换是将一个函数转化为另一个函数的方法，常用的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换。
积分变换在信号处理、控制理论等领域有广泛的应用。
1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是将一个函数f(t)变换为复平面上的一个函数F(s)的方法。
其中s为复数，定义域为复平面上的一条直线。
拉普拉斯变换的公式表示为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, +∞] e^(-st) f(t) dt通过拉普拉斯变换，可以将时域中的函数转化为复频域中的函数。
它具有线性性质、位移性质和尺度性质等重要性质，可以简化信号的分析与处理。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个函数f(x)变换为另一个函数F(k)的方法。
其中k为实数，定义域为实数轴上的一条直线。
傅里叶变换的公式表示为：F(k) = ∫[-∞, +∞] e^(-ikx) f(x) dx傅里叶变换是时域与频域之间的转换工具，它将一个函数分解成不同频率的基函数。
傅里叶变换具有线性性质、位移性质和尺度性质等重要性质，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换一、引言复变函数是数学分析中的一个重要分支，它研究的对象是具有两个实数分量的变量的函数。
而积分变换是应用数学领域的一个重要工具，常用于处理信号与系统等问题。
本文将系统介绍复变函数与积分变换的基本概念、性质以及它们之间的联系与应用。
二、复变函数的基本概念1. 复数与复平面复数是由实数部分和虚数部分组成的，可以用a+bi表示，其中a为实数，b为虚数，i为虚数单位。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点，实数部分对应实数轴上的位置，虚数部分对应虚数轴上的位置。
2. 复变函数的定义复变函数是指将复平面上的复数映射到另一个复平面上的复数的函数。
它可以表示为f(z)，其中z为复数。
3. 复变函数的性质（1）解析性：如果在某一区域内，复变函数f(z)的导数存在且连续，那么称f(z)在该区域内解析。
（2）全纯性：全纯函数是指在其定义域内处处解析的函数。
（3）调和性：如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一具有连续偏导数的复变函数，且满足u的二阶混合偏导数与v的二阶混合偏导数存在且相等，那么称f(z)是调和函数。
三、积分变换的基本概念1. 积分变换的定义积分变换是将一个函数通过积分运算转换成另一个函数的方法。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是对函数f(t)进行积分变换得到F(s)的过程，其定义为F(s) = L[f(t)] = ∫[0, +∞]e^(-st)f(t)dt，其中s为复变量。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是对函数f(t)进行积分变换得到F(ω)的过程，其定义为F(ω) = FT[f(t)] = ∫[-∞, +∞]e^(-jωt)f(t)dt，其中ω为频率。
四、复变函数与积分变换的关系与应用1. 复变函数与拉普拉斯变换拉普拉斯变换常用于求解线性时不变系统的特性，而复变函数理论可以提供对拉普拉斯变换进行理论推导的基础，并且可以通过复变函数的解析性和调和性来分析和求解具体问题。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式1.复数复数是由实数和虚数组成的数，记作z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。
复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即z*=a-bi。
2.复变函数复变函数是定义在复平面上的函数，即将复数作为自变量和函数值的函数。
设f(z)是复变函数，其中z=x+iy是复数，x和y是实数，则f(z)可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(xy)，其中u(xy)和v(xy)都是实函数，分别称为f(z)的实部和虚部。
3.欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，它描述了复数和三角函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix=cos(x)+isin(x)，其中e 是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。
4.柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是描述复变函数的重要方程，它表明如果一个复变函数f(z)在某个区域内连续且可微分，那么它满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程可以表示为:дu/дx=дv/дyдu/ду=-дv/дx其中u(xy)和v(xy)分别是f(z)的实部和虚部。
二、积分变换公式1.傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为频率域内的积分。
傅里叶变换可以表示为:F(w)=∫f(t)e^(-jwt)dtf(t)=1/2π∫F(w)e^(jwt)dw其中F(w)是f(t)的傅里叶变换，f(t)是函数在时间域内的表示，w是频率，j是虚数单位。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常用的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
拉普拉斯变换可以表示为:F(s)=∫f(t)e^(-st)dtf(t)=1/2πj[F(s)e^(st)ds其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，f(t)是函数在时间域内的表示，s是复数。
3.Z变换Z变换是一种离散的积分变换，它可以将一个离散函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
Z变换可以表示为:F(z)=∑f(n)z^(-n)f(n)=1/2πj∫F(z)z^n-1dz其中F(z)是f(n)的Z变换，f(n)是离散函数在时间域内的表示，z是复数。
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复变函数与积分变换考前复习指导一、《复变函数与积分变换》考试题型分析：根据历年考试情况来看，复变函数与积分变换这门课程从2007年4月份以来题型与题型所占分值基本不变，我们以近五次真题考试情况为例，题型大致包括以下四种题型，各题型及所占比值如下：题号题型题量及分值第一题单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）第二题填空题（共6小题，每小题2分，共12分）第三题计算题（共8小题，共52分）第四题综合题（共3小题，必做一题，选做一题，每小题8分，共16分）题型答题方法：①选择题：考查考生的记忆（复变里面有较多以前没有接触到的公式，如解析函数和留数里面等等，务必记住这些新公式）、理解，计算（利用公式计算的较多）等多种能力。
在答题时，如果能瞬时准确地把正确答案找出来最好，假如没有把握，就应采用排除法、对立法等其它方法，即应从排除最明显的错误开始，把接近正确答案的备选项留下，再分析比较逐一否定最终选定正确答案。
②填空题：考查考生的记忆，理解，推断，计算等能力，这门课程的考查注重知识点的积累和理解，如果你忘记此知识点，往往就无从下手，所以下面介绍的重点知识点得务必掌握。
和选择题相似。
在答题时，把有把握的题目答案写出来，较难的或者不会的暂且先放下做下面的题目，最后再查漏补缺。
③计算题：这种题型要求我们写出解题的过程，所以我们得重点记忆一些原理，方法和公式，这类题目有的会套用公式，考生可以把相关的公式写在草稿纸上，再查看题目的条件，确定是考查某个知识点的时候就可以把所做的内容移到试卷上。
复变考试中计算题的题量较大（有八道题），但考生不必惧怕，因为考试中题量的多衬托出题目的难度不是很大，而且知识点的考查顺序也往往按照课本的知识网络顺序，所以在复习冲刺的考生要对课本知识点的对应位置做到了如指掌，那么考试也便得心应手。
④综合题：综合题的题型设置有一个小小的变化，一个三小题，第一题为必做题，下面两题选做其中一题，所以第一题我们尽量把它做好，剩下的两题我们选做其中较为简单的一个题目。
与计算题相异的是虽然综合题不是单独考查一个较为单薄的知识点，但是它也没有像一些其它理科（如概率统计）会跨章结合考查，它的考查往往还是综合一章里面的知识，所以说它的知识点的考查密度还是比较聚集的，方便考生的复习。
总的来说，复变函数与积分变换的试卷中的选择题，填空题难度不大，但分数所占比例较小（约32%），对这类小题目的应付招数应该是快、准、稳，快是相对的快，因为后面是大题目，准是要保证较高的准确率（最好不要复查），稳是保持一种考试较好的节奏，在这种节奏下有条不紊的进行。
计算题题量最大，分值最高，是重点把握题型，如果能在选择填空上得到较高的分数，计算题再稍微把握，考试过关则没有问题。
综合体的难度较前面的题型有所增加，有三个题目，对于选做的题目，即使你还有很多时间也不必要都去解答，只做一道你把握比较大的题目就能得到全部的分数，多做一道也没有额外的分数。
二、《复变函数与积分变换》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。
第一篇 复变函数 第一章 复数1．复数的实部和虚部表示，复数的模、辐角主值的求法 P1-3 （一级重点）（单选、填空）Re ,Im x z y z ==；22z r x y ==+；辐角主值的范围是：πθπ-<≤，其求法如下：,arg ,-+arctg z y arctg z x y z arctg z x y x ππ⎧⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪⎩在第一，四象限在第二象限，在第三象限2．复数的三角表示形式与指数表示形式 P3（二级重点）（单选、填空、计算） 三角表示形式：(cos sin )z r i θθ=+；指数表示形式：i z re θ=3．两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和 P6 （二级重点）（单选、填空）4．著名的棣莫弗公式 P7 （二级重点）（填空、计算）(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+5．两个复数商的模等于它们模的商，两个复数商的辐角等于分子与分母辐角的差 P8 （二级重点）（单选、填空）6. 复数的方根求解公式，开n 次方根则有n 个不同的值 P8-9 （二级重点）（填空、计算）22(cossin),0,1,2,,1n n k k w z r i k n nnθπθπ++==+=-7. 复数与其共轭的性质 P9 （一级重点）（单选、填空、计算） 这几个复数与其共轭的性质，要牢记。
2,,,22z z z zz z zz z x y i+-==== 第二章 解析函数8．由()w f z =所确定的Z 平面上点集D 到W 平面上点集G 的映射方程，求解时消去参数，确定u 和v 的关系式 P24 （三级重点）（计算）9．解析函数的充分必要条件，即满足可微和柯西黎曼条件 P34 （一级重点）（单选、填空、计算）解析函数的充分必要条件是：(,)(,)u x y v x y 与在D 内处处可微，且满足柯西黎曼条件：,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂。
10．给定一个D 内的调和函数(,)u x y ，则必可由柯西黎曼条件求得它的共轭调和函数(,)v x y ，使复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+称为D 内的一个解析函数 P37 （二级重点）（计算）11．对数函数的主值求法 P41 （一级重点）（单选、填空、计算）ln ln arg z z i z =+12．复数三角函数（正，余弦）的指数表示法， P44 （二级重点）（单选、填空、计算）sin ,cos 22iz iz iz iz e e e e z z i ---+==13. 反三角函数（正，余弦）的解析表达式 P45 （二级重点）（单选、填空、计算） 若sin z w =，可推出：2sin (1)w Arc z iLn iz z ==-±-； 若cos z w =，可推出：2cos (1)w Arc z iLn z z ==-±-第三章 复变函数的积分14. 复变函数积分的参数方程法 P51-53 （二级重点）（填空、计算）要会用参数方程来求积分，参数方程的表示主要也是看复变函数实部与虚部的关系。
15. 复变函数积分基本性质（4） P54 （三级重点）（填空、计算）12()()()CC C f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰，其中12,C C 为C 的两个曲线线段，它们合起来组成C 。
16. 柯西定理（定理1） P56 （一级重点）（单选、填空）设函数()f z 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任意一条闭曲线，则：()0Cf z dz =⎰。
17. 柯西定理的推论3与推论4，尤其是推论4 P60 （一级重点）（填空、计算）推论3：若函数()f z 在区域D 内除点0z 外都解析，则它在D 内沿任何一条围绕0z 的正向闭曲线的积分值都相等。
推论4：若函数()f z 在区域D 内除去点12,,n z z z 外都解析，C 为D 内任何一条把k z（k=1,2，…n ）包围在内的正向闭曲线，则1()()knCC k f z dz f z dz ==∑⎰⎰，其中k C 为C所围区域内把k z 包围在内的任何一条正向闭曲线。
18. 柯西积分公式 P62 （一级重点）（单选、填空、计算）1()()2Cf f z d iz ζζπζ=-⎰ 19. 解析函数的高阶导数公式 P64-65 （一级重点）（单选、填空、计算）()1!()()2()n n Cn f f z d iz ζζπζ+=-⎰，可以用此公式计算沿闭曲线的积分第四章 级数20. 阿贝尔收敛发散定理 P77 （三级重点）（单选、填空） 若幂级数nn n c z∞=∑在00(0)z z z =≠处收敛，则它在0z z <内绝对收敛；若此幂级数在0z z =处发散，则它在0z z >内发散。
21. 收敛半径的的定义以及怎么求（定理2）收敛半径P79 （一级重点）（单选、填空、计算）若1lim n n nc c λ+→∞=（比值法）或者lim n n n c λ→∞=（根值法），则幂级数0n n n c z ∞=∑的收敛半 径1R λ=。
22. 利用初等函数对复变函数的泰勒展开，初等函数主要为1,sin ,cos ,1ze z z z+ P84 （二级重点）（填空，计算）都是在z=0处的泰勒展开式：①2312!3!!n z z z z e z n =++++++；②()()3521sin 13!5!21!n nz z z z z n +=-+++-++③()()242cos 112!4!2!nnz z z z n =-+-+-+④()21111nn z z z z=-+-+-++23. 在圆环域内罗朗级数展开求法，罗朗级数收敛域的确定 P90-92 （二级重点）（单选、填空、计算）圆环域的确定取决于点0z 各奇点之间的距离，以点0z 为中心，以这些距离为半径分别作同心圆，就可以依次找出()f z 的一个个解析圆环域。
24. 函数的孤立奇点的概念 P93 （一级重点）（计算、综合）若函数()f z 在奇点0z 的某邻域内无其它奇点，则0z 称为()f z 的孤立奇点。
25. 函数的极点求法，利用函数倒数的零点来求（定理）P96 （三级重点）（单选、填空、计算）0z z =为函数()f z 的m 阶极点的充分必要条件是0z z =为函数1()f z 的m 阶零点。
第五章 留数26. 留数定理，即用留数来计算积分 P102 （一级重点）（单选、填空、计算、综合）()()12Re ,nkck f z dz i s f z z π==⎡⎤⎣⎦∑⎰，其中12,,,k z z z 为有限个孤立奇点。
27. 留数的计算公式（定理2） P103 （一级重点）（单选、填空、计算、综合）()()()(){}010011Re ,lim 1!m mm zz d s f z z z z f z m dz--→=-⎡⎤⎣⎦-28. 由留数的计算公式（定理2）而得出的两个推论（推论1，推论2） P104 （二级重点）（填空、计算、综合）推论1：如果 0z z = 是()f z 的一阶极点，那么：()()()000Re ,lim z z s f z z z z f z →=-⎡⎤⎣⎦；推论2：设()()()(),P z f z P z Q z =及()Q z 在0z 都解析, 如果()()()0000,0,0,P z Q z Q z '≠=≠那么0z 是()f z 的一阶极点，则()()()000Re ,P z s f z z Q z =⎡⎤⎣⎦'。