第五章 均匀平面波的传播

第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
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所谓平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化， 所谓平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播 平面波 方向垂直的平面内，场矢量的振幅和相位都保持不变。 方向垂直的平面内，场矢量的振幅和相位都保持不变。
图 5-1 均匀平面电磁波的传播
其中： 其中：
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µ (Ω) η= ε
为电场强度与磁场强度振幅之比，称为电磁波的波阻抗， 为电场强度与磁场强度振幅之比，称为电磁波的波阻抗， 波阻抗 波阻抗与媒质的参数有关。又称为媒质的本征阻抗。 波阻抗与媒质的参数有关。又称为媒质的本征阻抗。 平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。 平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。 当平面波在真空(自由空间 中传播时 当平面波在真空 自由空间)中传播时： 自由空间 中传播时：
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λ
根据相位相等点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度， 根据相位相等点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这 相位相等点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度 表示。 常数， 种相位速度以 vp 表示。令 ω t − kz = 常数，得 ω dt − kdz = 0 ，则相位速 度 vp 为
5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数
若所讨论的区域中没有外源， 若所讨论的区域中没有外源，即 J’= 0，ρ = 0，其 没有外源 ， ， 中充满线性、各向同性的均匀媒质， 中充满线性、各向同性的均匀媒质，则均匀平面波在该理 想介质中的传播特点为： 想介质中的传播特点为： 在直角坐标系中， 在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标 变量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。 变量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
v kE xm − j ( kz −φ x ) v ε − j ( kz −φ x ) = ey e = ey E xm e
ωµ
µ
v 1 − j ( kz −φ x ) = e y E xm e
η
瞬时式
v v 1 H ( z , t ) = e y E xm cos(ωt − kz + φ x )
η
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5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波
沿任意方向传播的均匀平面波，其传播方向的单位矢量为 en。定义波矢量k的大小为相位常数k，方向为en ：
v v v v k = ex k x + e y k y + ez k z
沿z轴传播的波是一种特殊情况，其波矢为：
v v k = ez k
设空间任意点的矢径为：
通解
E x ( z ) = A1e − jkz + A2 e jkz
瞬时表达式
E x ( z, t ) = Re[ E x ( z )e jωt ] = E1m cos(ωt − kz + φ1 ) + E2 m cos(ωt + kz + φ2 )
其中，A1 = E1m e ，A2 = E2 m e
1 ε0 = × 10−9 F / m, µ0 = 4π × 10−7 H / m 36π
光速v = v0 =
1
ε 0 µ0
= 3 ×108 m / s
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v v 由 ∇ × E = − jωµ 0 H 得： v v 1 v 1 ∂E x ∇ × E ( z ) = − ey × ( E0 e − jkz ) H ( z) = − jωµ jωµ ∂z
可见，电磁波能量沿波的传播方向流动。 可见，电磁波能量沿波的传播方向流动。
2
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归纳理想介质中的均匀平面波的传播特点： 归纳理想介质中的均匀平面波的传播特点： 电场、磁场、与传播方向之间互相垂直， 电场、磁场、与传播方向之间互相垂直，是横电磁波 (TEM波)； 波； 电场与磁场的振幅不变； 电场与磁场的振幅不变； 波阻抗为实数，电场与磁场同相位； 波阻抗为实数，电场与磁场同相位； 电磁波的相速与频率无关； 电磁波的相速与频率无关； 电场的能量密度等于磁场的能量密度。 电场的能量密度等于磁场的能量密度。
1 T= = ω f
2π λ= k
2π
由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性， 波长描述相 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 频率是描述相位随时间的变化特性 随空间的变化特性 的变化特性。 位随空间的变化特性。 由上式又可得
k=
2π
相当于一个全波， 因空间相位变化 2π 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目， 又称为波数 波数。 内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。
v v v v r = ex x + e y y + ez z
则可得：
v v kz = kez ⋅ r
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则沿z轴传播的平面波可表示为：
v v − jkez ⋅rv v E ( z ) = E0 e 1v v v H ( z ) = η ez × E ( z )
其中，E0为常矢量，其等相位面为平面：
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时间相位变化 所经历的时间称为电磁波的周期 周期， 表示， 时间相位变化 2π 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而 的次数称为频率 频率， 表示。 一秒内相位变化 2π 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 ωT = 2π的关系 式，得
所经过的距离称为波长 波长， 表示。 空间相位 kr 变化 2π 所经过的距离称为波长，以 λ 表示。那么由关 系式 kλ = 2π，得
η0 =
µ0 = 120 π ≈ 377 ( ) ε0
根据波阻抗，可得： 根据波阻抗，可得：
v 1v r r v v H = ez × E或E = ηH × ez
η
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由此可见，在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同， 由此可见，在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同， 有关，但振幅不会改变。 且两者空间相位均与变量 z 有பைடு நூலகம்，但振幅不会改变。二者均与波传播方 向垂直，三者遵循右手螺旋关系。如下图所示。 向垂直，三者遵循右手螺旋关系。如下图所示。
v v ez ⋅ r = z = 常数
沿en传播的平面波的等相位面是垂直于传播方向的平面：
v v en ⋅ r = z = 常数
对照沿z轴传播的平面波的情况可得该情况下的场量为：
v v − jken ⋅rv v − jkv⋅rv v E ( r ) = Em e = Em e v 1v v 1 v v − jkv⋅rv H (r ) = η en × E (r ) = η en × Em e
r 而在给定的区域中， r 而在给定的区域中， ⋅ E = 0, ∇ ⋅ H = 0 ，由上两式得 ∇
∂E z ∂H z = =0 ∂z ∂z
代入波动方程， 代入波动方程，即得 z 坐标分量 E z = H z = 0 。
r r r 即： E = ex Ex ( z , t ) + e y E y ( z , t ) r r r H = ex H x ( z , t ) + ey H y ( z , t )
中，第一项代表沿+z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿-z 方向传播的均匀平面波，在此仅讨论沿+z方向传播的均匀平面 波，即：
E x ( z ) = E xm e
瞬时式
− jkz
e
jφ x
E x ( z , t ) = E xm cos(ωt − kz + φ x )
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的变化波形如下图所示。 电场强度随着时间 t 及空间 z 的变化波形如下图所示。 称为时间相位 时间相位。 上式中 ω t 称为时间相位。 kz 称为空间相位。空间相位相 称为空间相位 空间相位。 等的点组成的曲面称为波面 波面。 等的点组成的曲面称为波面。 由上式可见， 由上式可见，z = 常数的波面 为平面，因此， 为平面，因此，这种电磁波称为 平面波。 平面波。 无关， 因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z=常数 常数 的波面上，各点场强相等 的波面上，各点场强相等。因 此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。 这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。 均匀平面波
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5.1 理想介质中的均匀平面波 理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化 电磁波的极化 5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播 均匀平面波在导电媒质中的传播 5.4 色散与群速 色散与群速 * 均匀平面波在各向异性媒质中的传播 5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
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5.1 理想介质中的均匀平面波
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v v v ∇ ⋅ E = 0 ⇒ en ⋅ Em = 0
表明电场强度的方向垂直于波的传播方向。
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例题 已知无界理想媒质(ε=9ε0, µ=µ0，σ=0)中正弦均匀平 面电磁波的频率f=108 Hz， 电场强度
r r − jkz r − jkz + j π & 3 E = ex 3e + ey 3e (V / m )
v2 v 1 v2 1 v 2 w= εE + µH =εE =µH 2 2
在理想介质中，瞬时坡印亭矢量为： 在理想介质中，瞬时坡印亭矢量为：
2
v2 v v v 1 v r v v E S = E × H = E × (e z × E ) = e z
η
η
平均坡印亭矢量
v v v* v r v* 1 1 v Em S av = Re[ E × H ] = Re[ E × (ez × E )] = e z 2 2η 2η
d 2 Ex + k 2 Ex = 0 2 dz d 2Ey + k 2Ey = 0 2 dz 2 d H x + k 2H = 0 x dz 2 2 d H y + k 2H = 0 y dz 2
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它们的解具有相同的形式，以电场强度的x分量为例：
d 2 Ex ( z) 2 + k Ex ( z) = 0 2 dz
jφ1 jφ2
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图 6-2 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布
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5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点
在无界均匀媒质 无界均匀媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进 无界均匀媒质 方向的波，即只存在沿一个方向传播的波。 在式：
E x ( z ) = A1e
− jkz
+ A2 e
jkz
例如， 变量有关， 例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明 E z = H z = 0：因为若场 无关， 量与变量 x 及 y 无关，则：
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r ∂E x ∂E y ∂E z ∂E z + + = ∇ ⋅ E = ∂x ∂y ∂z ∂z r ∇ ⋅ H = ∂H x + ∂H y + ∂H z = ∂H z ∂x ∂y ∂z ∂z
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根据理想介质中， 根据理想介质中，电场强度及磁场强度的关系有
1 v εE 2
因此，电磁能量密度： 因此，电磁能量密度：
2
1 v = µH 2
2
v 1 v H = E η
可见，理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度。 可见，理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度。 磁场能量密度
考虑到 k = ω εµ ，得
dz ω vp = = dt k ω 1 vp = = k εµ
相位速度又简称为相速。 式表明，在理想介质中， 相位速度又简称为相速。 上式表明，在理想介质中，均匀平面波的相 又简称为相速 速与媒质特性有关，但与频率无关。在自由空间中： 速与媒质特性有关，但与频率无关。在自由空间中：
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这表明沿z轴传播的平面波电场强度和磁场强度都没有沿传播方 这表明沿 轴传播的平面波电场强度和磁场强度都没有沿传播方 向的分量。即电场强度和磁场强度都和波的传播方向垂直， 向的分量。即电场强度和磁场强度都和波的传播方向垂直，这 种波又称为横电磁波(TEM波)。其中的 、y分量满足标量亥姆 种波又称为横电磁波 波 。其中的x、 分量满足标量亥姆 霍兹方程： 霍兹方程：
试求： (1) 均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相移常数k和波阻抗 η； (2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
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解： (1)
vp =
1
µε
vp f
=
3 × 10 8 = 10 m / s = 9 µ rε r c