人教版八年级上册第十二章全等三角形基础练习题证明题(无答案)
全等三角形的判定 班级： 姓名：
1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证BE =CF 。
2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，求证AE ∥CF
3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，求证AB ∥CD
4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，求证AB ∥CD
5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证⊿ABD ≌⊿ACE .
6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，求证AF =CE
7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C ，求证AF =DE
8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF
9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。
11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD
12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF
13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。
14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。
A
C
D
B 1
2 3 4
A B C
D
E
F
1 2
A
C
E H
A
C M E F B
D
A
B
C
D
F
E A C
D
E
F D
C
F E A
B A
D
E
B C
1 2
A
D
C E
F B
A D
B
A
D
F
E
C
M
A
B
C D 1 2
D
C
F E A B
15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。
16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。
17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。
18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。
19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC
20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。
21．已知AB =AC ， ∠1=∠2，AD =AE ，求证⊿ABD ≌⊿ACE .
22．已知BE ∥DF ，AD ∥BC ，AE =CF ，求证⊿AFD ≌⊿CEB
23．已知AD =AE ，BD =CE ，∠1=∠2，求证⊿ABD ≌⊿ACE
24．已知AB =AC ，AD =AE ，∠1=∠2，求证CE =BD 。
25．已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AC ∥DB ，AC =BD ，求证CE =DF
26．如图，AD =BC ，AE =BE ，求证∠C =∠D 。
A B
C
E
F
D
C
A
E
B
F
D
A B
C
E D
F A D E B
C
A
B
C
D
B
A D
F
E C
A
C
D E
1 2 A C
D
B
E F
G
1 2 A
D E B
C
1 2
3
4
A
C D
E
B
A D
B
E
C
1
2
27．已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，求证∠3=∠4
28．已知D O ⊥BC ，O C =O A ，O B =O D ，求证CD =AB
29．已知CE=DF ，AE =BF ，AE ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证⊿EAB ≌⊿FDC
30．已知AB 与CD 相交于点E ，EA =EC ，ED =EB ，求证⊿AED ≌⊿CEB
31．已知AB =AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点。
求证BE =CD 。
32．已知DE =FE ，FC ∥AB ，求证AE =CE 。
33．已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，CE =DF ，AE =BF ，求证⊿CEB ≌⊿DF A 。
34．如图，D ，E ，F ，B 在一条直线上，AB =CD ，∠B =∠D ，BF =DE ，求证(1)AE =CF (2)AE ∥CF 。
35．已知，点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD =BE ，求证∠D =∠E 。
36．已知，E 、F 是AB 上的两点，AE =BF ，又AC ∥DB ，AC =DB ，求证CF =DE 。
A E D C
B
C D
A
E F
B 2
1 3
4 A
C D E
F
C
D
E F A
B
D
A E C
B 1 2
B
A
D
F
E
C A
C
B
D
E
C
A
E
B
F
D
A D B
E F C
A C
B
E D
37．已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，求证BD =AB +ED 。
38．⊿ABC ≌⊿A ′B ′C ′，AD 与A ′D ′分别是中线，求证AD =A ′D ′。
39． 已知：如图 , E, B, F, C 四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF ．求证：∠E=∠C
40．已知：如图 , DN=EM , 且于
于E ,
BM=CN ．求证：∠B=∠C.
41．已知：如图 , AE , FC 都垂直于BD , 垂足为E 、F , AD=BC , BE=DF ．求证：OA=OC.
42． 已知：如图 , AB=CD , D 、B 到AC 的距离DE=BF ．求证：AB ∥CD ．
43． 已知：如图 于
于C ，
求证：EA=EB ．
44．如图 , 已知：∠ACB 和∠ADB 都是直角 , BC=BD , E 是AB 上任一点 ,求证：CE=DE ．
45．已知：如图，∠A=∠D=90°，AC ，BD 交于O ，AC=BD ，求证：OB=OC ．
A
B
C
D
E
A
B D A ′
B
′
C ′
D ′。
(完整版)人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明50题(含答案),推荐文档
D1. 已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，111749AD 是整数，求 ADAB CD 解：延长 AD 到 E,使 AD=DE∵D 是 BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是 AB 中点，∠ACB=90°，求证： CD 1AB 2AC B延长 CD 与 P ，使 D 为 CP 中点。
连接 AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形 ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是 CD 中点，求证：∠1=∠2A 12BE CF D证明：连接BF 和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD➴△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD 平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB 取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC 平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求ADAB CD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCDBD=DC∴△ACD ➴△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=28. 已知：D 是 AB 中点，∠ACB=90°，求证： CD 1AB 2AC B解：延长 AD 到 E,使 AD=DE∵D 是 BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ➴△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=29. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是 CD 中点，求证：∠1=∠2A12B EC F D证明：连接BF 和EF。
最新人教版八年级数学上册第12章 全等三角形 基础训练题(合集)(含答案)
最新人教版八年级数学上册基础训练题第十二章全等三角形12.1 全等三角形1．下列说法中，不正确的是()A．形状相同的两个图形是全等形B．大小不同的两个图形不是全等形C．形状、大小都相同的两个三角形是全等三角形D．能够完全重合的两个图形是全等形2．如图所示，△ABD△△BAC，B，C和A，D分别是对应顶点，如果AB＝4 cm，BD＝3 cm，AD＝5 cm，那么BC的长是()A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．无法确定3．如图所示，△ABC△△ADC，△ABC＝70°，则△ADC的度数是()A．70° B．45° C．30° D．35°4．如图所示，若△ABC△△DBE，那么图中相等的角有()A．1对B．2对C．3对D．4对5．如图所示，若△ABC△△DEF，那么图中相等的线段有()A．1组B．2组C．3组D．4组6．(1)已知如图，△ABE△△ACD，△1＝△2，△B＝△C，指出其他的对应边和对应角．(2)由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？7．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC△△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于()A．7 cm B．2 cm或7 cm C．5 cm D．2 cm或5 cm8．下图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有__________对．9．如图所示，△ADF△△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上．判断AD与BC的位置关系，并加以说明．10．下图是把4×4的正方形方格图形沿方格线分割成两个全等图形，请在下列三个4×4的正方形方格中，沿方格线分别画出三种不同的分法，把图形分割成两个全等图形。
11．如图，△ABC△△ADE，且△CAD＝10°，△B＝△D＝25°，△EAB＝120°，求△DFB和△DGB的度数．参考答案：1．A2．A3．A4．D5．D6．解：(1)AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边，△BAE与△CAD是对应角．(2)对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边．7．D8．29．解：AD与BC的关系是AD△BC.理由如下：因为△ADF△△CBE，所以△1＝△2，△F＝△E，点E，B，D，F在一条直线上，所以△3＝△1＋△F，△4＝△2＋△E，即△3＝△4，所以AD△BC.10．解：如图．答案不唯一．11．解：△△ABC△△ADE，△11()(12010)5522DAE BAC EAB CAD∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒.△△DFB＝△FAB＋△B＝△FAC＋△CAB＋△B＝10°＋55°＋25°＝90°，△DGB＝△DFB－△D＝90°－25°＝65°.第十二章全等三角形12.2 三角形全等的判定1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则直接利用“SSS”可判定() A．△ABD△△ACDB．△BDE△△CDEC．△ABE△△ACED．以上都不对2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，△B＝△DEF，请你再补充一个条件，能直接运用“SAS”判定△ABC△△DEF，则这个条件是()A．△ACB＝△DEFB．BE＝CFC．AC＝DFD．△A＝△F3．如图，请看以下两个推理过程：△△△D＝△B，△E＝△C，DE＝BC，△△ADE△△ABC(AAS)；△△△DAE＝△BAC，△E＝△C，DE＝BC，△△ADE△△ABC(AAS)．则以下判断正确的(包括判定三角形全等的依据)是()A．△对△错B．△错△对C．△△都对D．△△都错4．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，△OAC＝20°，横板上下可转动的最大角(即△A′OA)是()A．80° B．60° C．40° D．20°5．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，△BDE＝△CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是__________．(不再添加辅助线和字母)6．如图是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为__________．7．如图，AC△BD，垂足为点B，点E为BD上一点，BC＝BE，△C＝△AEB，AB＝6 cm，则图中长度为6 cm的线段还有__________．8．如图，为了固定门框，木匠师傅把两根同样长的木条BE，CF两端分别固定在门框上，且AB＝CD，则木条与门框围成的两个三角形(图中阴影部分)__________全等(填“一定”、“不一定”或“一定不”)．9．如图，A，B，C三点在同一条直线上，△A＝△C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件__________，使得△EAB△△BCD.10．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，BC＝2 cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝__________ cm.11．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF△AB，交DE的延长线于点F.求证：AD＝CF.12．如图，点F，B，E，C在同一直线上，并且BF＝CE，△ABC＝△DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC△△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC△△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：△AB＝DE；△AC＝DF；△AC△DF.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD△DE于点D，CE△DE于点E，AD＝CE.(1)若BC在DE的同侧(如图△)．求证：AB△AC.(2)若BC在DE的两侧(如图△)，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立，请予证明；若不成立请说明理由．参考答案 1-4 C 2．B 3．B 4．C5．AB ＝AC 或△B ＝△C 或△BED ＝△CFD 或△AED ＝△AFD. 6．垂直 7．BD 8．一定9．AE ＝CB(或EB ＝BD 或△EBD ＝90°或△E ＝△DBC 等) 10．311．证明：△E 是AC 的中点， △AE ＝CE. △CF△AB ，△△A ＝△ECF ，△ADE ＝△F. 在△ADE 与△CFE 中，ADE F A ECF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，△△ADE△△CFE(AAS)． △AD ＝CF12．解：由前面的已知条件不能证明△ABC△△DEF.需要再添加条件△时： 证明： △BF ＝CE ， △EF ＝BC ，△△ABC ＝△DEF ，AB ＝DE ， △△ABC△△DEF(SAS)． 添加条件△时，△AC△DF ， △△ACB ＝△DFE ， △△ABC△△DEF(ASA)．13．(1)证明：△BD△DE ，CE△DE ，△△ADB ＝△CEA ＝90°，△BAD ＋△ABD ＝90° 在Rt△ADB 和Rt△CEA 中，AB AC AD EC =⎧⎨=⎩，，△Rt△ADB△Rt△CEA(HL) △△ABD ＝△CAE. △△BAD ＋△CAE ＝90°△△BAC ＝180°－(△BAD ＋△CAE)＝90°， △AB△AC(2)解：仍有AB△AC 证明：△BD△DE ，CE△DE△△ADB ＝△CEA ＝90°，△BAD ＋△ABD ＝90° 在Rt△ADB 和Rt△CEA 中AB CA AD CE =⎧⎨=⎩，，△Rt△ADB△Rt△CEA(HL)． △△ABD ＝△CAE. △△BAD ＋△CAE ＝90° △△BAC ＝90° △AB△AC.第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质1．作△AOB的平分线OC，合理的顺序是()△作射线OC；△以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；△分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在△AOB内交于点C.A．△△△ B．△△△ C．△△△ D．△△△2．三角形中到三边距离相等的点是()A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条中线的交点D．三条内角平分线的交点3．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是() A．PD＝PEB．OD＝OEC．△DPO＝△EPOD．PD＝OD4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BE平分△ABC，DE△AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm5．△ABC中，△C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD△BC于D，OE△AC 于E，OF△AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为()A．2 cm,2 cm,2 cm B．3 cm,3 cm,3 cmC．4 cm,4 cm,4 cm D．2 cm,3 cm,5 cm6．如图所示，△AOB＝60°，CD△OA于点D，CE△OB于点E，且CD＝CE，则△DCO＝__________.7．在△ABC中，△C＝90°，AD平分△BAC交BC于D，若BC＝32，且BD△CD＝9△7，则D到AB的距离为__________．8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A＝60°，则△BOC的度数为__________．9．如图，BN是△ABC的平分线，P在BN上，D，E分别在AB，BC上，△BDP＋△BEP ＝180°，且△BDP，△BEP都不是直角．求证：PD＝PE.10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD平分△BAC，DE△AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.(1)求证：CF＝EB；(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．B5．B6．60°7．148．120°9．证明：过点P 分别作PF△AB 于F ，PG△BC 于G ， △BN 是△ABC 的平分线△PF ＝PG.又△△BDP ＋△BEP ＝180°，△PEG ＋△BEP ＝180°， △△BDP ＝△PEG.在△PFD 和△PGE 中，FDP GEP PFD PGE PF PG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，△△PFD△△PGE(AAS)，△PD ＝PE.10．(1)证明：△△C ＝90°△DC△AC△AD 平分△BAC ，DE△AB△DC ＝DE ，△DEB ＝△C ＝90°在Rt△DCF 与Rt△DEB 中，DF DB DC DE =⎧⎨=⎩，，△Rt△DCF△Rt△DEB(H L)，△CF＝EB.(2)解：AE＝AF＋BE.理由如下：△AD平分△BAC，△△CAD＝△EAD，又△△C＝△DEA＝90°，△△ACD△△AED(AAS)，△AC＝AE，由(1)知BE＝CF△AC＝AF＋CF＝AF＋BE，即A E＝AF＋BE.。
人教版八年级数学上册《第12章全等三角形证明》经典题(含答案)
∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB
15.（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE
12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE∴AG=BD=5∴AGF∽CDF
∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
八年级数学上册《第十二章 全等三角形》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学上册《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案(人教版）班级姓名学号一、单选题1．全等图形是指两个图形（）A．大小相同B．形状相同C．能够完全重合D．相等2．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，则∠EAD的度数为（）A．70°B．75°C．60°D．80°3．如图，三条直线表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) ．A．一处B．两处C．三处D．四处4．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）A．16≤x<14B．18≤x<14C．16<x<14D．18<x<145．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，AB＝AC，EB＝EC．则依据SSS可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACEC．△BED≌△CED D．以上都对6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α,则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（）A．58°B．64°C．122°D．124°8．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④二、填空题9．已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F=10．如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE=CF，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．11．如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=9cm，BD=7cm，AD=4cm，则DC= cm．12．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）积S= 1213．如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC=BC点E，点F分别在线段AD，AC上CF=AE，连接MF，BF，CE．（1）图中与MF相等的线段是；（2）当BF+CE取最小值时∠AFB=°三、解答题14．将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上AC=BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E连接AE若BE=3，DE=5求△ACE的面积．15．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．16．如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由．17．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B .求证：△ABC≌△EDC .18．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD+∠BND＝180°．试说明：DM＝DN．19．已知：AD＝BC，AC＝BD．（1）如图1，求证：AE＝BE；（2）如图2，若AB＝AC，∠D＝2∠BAC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个度数为36°的角．参考答案 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B 9．110° 10．AB=DC 11．5 12．①④ 13．（1）EC （2）9514．解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ∴∠ADC =∠CEB =90° ∵∠ACB =90°∴∠ACD =∠CBE =90°−∠ECB 在 △ACD 与 △CBE 中{∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC∴△ACD ≌△CBE (AAS) ∴CD =BE =3 AD =CE ∵CE =CD +DE =3+5=8 ∴AD =8 ．S △ACE =12CE ·AD =12×8×8=32 ． 15．证明：∵CE ∥DF ∴∠ACE=∠D 在△ACE 和△FDB 中{AC=FD ∠ACE=∠D EC=BD∴△ACE≌△FDB（SAS）∴AE=FB．16．解：AB=AC+BD理由是：在AB上截取AC=AF，连接EF∵AE平分∠CAB∴∠CAE=∠BAE在△CAE和△FAE中{AC=AF∠CAE=∠BAE AE=AE∴△CAE≌△FAE（SAS）∴∠C=∠AFE∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°∴∠AFE+∠D=180°∵∠EFB+∠AFE=180°∴∠D=∠EFB∵BE平分∠ABD∴∠DBE=∠FBE在△BEF和△BED中{∠D=∠EFB∠FBE=∠DBEBE=BE∴△BEF≌△BED（AAS）∴BF=BD∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD ∴AB=AC+BD．17．证明：∵AC//DE∴∠BCA =∠E ∠ACD =∠D . 又∵∠ACD =∠B ∴∠B =∠D .在 △ABC 和 △EDC 中{∠B =∠D∠BCA =∠E AC =EC∴△ABC ≌△EDC .18．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ． ∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°． 又∵BD 平分∠ABC ∴DE ＝DF ．∵∠BMD+∠DME ＝180°，∠BMD+∠BND ＝180° ∴∠DME ＝∠BND ． 在△EMD 和△FND 中{∠DEM =∠DFN∠EMD =∠FND DE =DF∴△EMD ≌△FND （AAS ）． ∴DM ＝DN ．19．（1）证明：在△ABD 和△BAC 中：{AB =BAAD =BC BD =AC∴△ABD ≌△BAC （SSS ） ∴∠ABD=∠BAC ∴AE=BE ；（2）∠BAC ，∠ABD ，∠DAC ，∠DBC。
2020年秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》(讲义及答案)
人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）➢ 课前预习1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．D C BA ××AB CDOABCD图1图2图33. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．➢ 知识点睛1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．321DC BA求证：△ABC ≌△A′B′C′．C'B'A'CB A证明：如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中AB A'B'AC A'C'=⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）➢ 精讲精练1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC ________BD ．D CBA 2. 如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．ABCD EF3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．求证：△ABF ≌△CDE ．ABCDEF4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．ABC D ABCDE Fl第4题图第5题图5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．E DC7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．FE DC B A8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．ABCDEFM9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．FED CBAAB DE F【参考答案】➢课前预习1.SAS，SSS，ASA，AAS3，边2.略3.解：如图∵AB∥CD∴∠1=∠3∵∠1=110°∴∠3=110°∵∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠3=180°-110°➢ 知识点睛 1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL ➢精讲精练1. Rt △CAB ，Rt △DAB ，=2. Rt △AED ，Rt △AFD ，DF3. 证明：如图，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC =∠BFA =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ，HLBC =DC ，HL ∠BAC =∠DAC ，AAS ∠BCA =∠DCA ，AAS 5. 36. 证明：如图，∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中C DEA CAD AED AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，21A BC DE F第8题图∵AC ∥DF∵BE =CF ∴BE +EC =CF +EC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 8. 证明：如图，∵∠ABC =90° ∴∠ABF+∠MBC =90° ∵AE ⊥BF ∴∠CMB =90° ∴∠MBC +∠BCE =90° ∴∠ABF =∠BCE 在△ABF 和△BCE 中A EBC AB BC ABF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）∴AF =BE （全等三角形对应边相等） 9. 证明：如图，第9题图321A BDE F∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠F =∠AEC =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△BCF 和△CAE 中1 3 F AEC BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△BCF ≌△CAE （AAS ）∴CF =AE （全等三角形对应边相等） 10. 证明：如图，∵∠B =60° ∴∠1+∠2=120° ∵∠EDF =60° ∴∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3在△BDE 和△CFD 中1 3 BE CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已知） ∴△BDE ≌△CFD （ASA ）∴ED =DF （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上一点，且BE =AC ，如果要使△BDE ≌△ADC ，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件还可以是__________________，理由是_________．2. 已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，过点C 作 CF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ． 求证：CF =BE ． 证明：如图，ED CB A 第10题图321A BCD E FF DCA【参考答案】1. DE =DC ，HLBD =AD ，HL ∠EBD =∠CAD ，AAS ∠BED =∠C ，AAS 2. 证明：如图，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ∴∠CFD=∠BED =90° ∵D 为BC 边的中点 ∴CD =BD在△CFD 和△BED 中∴△CFD ≌△BED （AAS ）∴CF =BE （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（习题）1 2 CFD BED CD BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）∠∠（对顶角相等）（已证）第2题图➢ 例题示范例1：已知：如图，在正方形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交BC 于点G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中12AB CB BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）➢ 巩固练习11. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，且PD =PE ，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD =__________．21G FE DCB A GABC DEF第1题图第2题图12. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，如果要使△ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．13. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，DE =2，则BD 的长为______．14. 已知：如图，点A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．15. 如图，点C ，F 在BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．PEDCBADC B A ED CBAF E DC BA16. 已知：如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且AC =BD ，BE ∥CF 证：△ABE ≌△DCF ．17. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD 与CE 相交于点H ，AE =CE ． 求证：AH =CB ．FDCBA HEA➢思考小结1.要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D．EBC A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路①要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．②要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：①由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；②由SAS得△ABC≌△ADE；③由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写【参考答案】➢巩固练习1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE2.AD=CB，HLAB=CD，SAS∠A=∠C，AAS∠ADB=∠CBD，ASA3. 64.证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF ∴AE +EF =BF +EF 即AF =BE在Rt △CEB 和Rt △DFA 中BC AD BE AF =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC ∴BF +FC =EC+FC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 A D BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已知）∠∠（已知）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 6. 证明：如图，∵AC =BD ∴AC -BC =BD -BC 即AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2 ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中3 4 AB DC A D =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已证）∠∠（已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，第5题图4321A B CDF∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中3 1 AEH CEB AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已知）∠∠（已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）➢ 思考小结1. 全等；3，边第6题图3124AB DEH。
八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)
八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2AD B C1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)AB C D EF 2 1 DAB C∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DCB ACDF21 E∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2AD B C7. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2DA B C8. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．3．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3B解析：B【分析】 根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ，∴BC=EF ，∴BE+EC=CF+EC ，∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对B解析：B【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm B解析：B【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．6．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】 求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE B解析：B【分析】 根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( )A．三条中线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.9．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C 是DA延长线与BC的交点，BC//OM，则CD的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12A解析：A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，先利用角平分线的性质得出AD=AE=3，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD⊥OM时，CD取最小值，∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，∴AD=AE=3，∵BC∥OM，∴∠DOA=∠B，∵A为OB中点，∴AB=AO，在△ADO与△ABC中B DOAAB AOBAC DAO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．10．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°A解析：A【分析】 根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．【详解】根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．二、填空题11．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析：13【分析】过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．【详解】解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，∴∠N=∠CMB=90°，∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，∴B CDN ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴CN=CM ，∴△CDN ≌△CBM ，∴DN=BM ，CD=CB=2.5，∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，∴△ACN ≌△ACM （HL ），∴AN=AM=4，∴AD=4-DN ，∴AB=4+BM=4+DN ，∴四边形ABCD 的周长为：4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；故答案为：13．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．12．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．13．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线解析：2【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，∴OD OE OF ==．∵C 90∠=，∴四边形ECFO 是正方形，∴OE OF CE CF ===．∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522⨯⨯=⨯++，解得：1OE =，∴CE OE 1==，∴AE AC CE 2=-=．在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩，∴Rt AEO Rt ADO ≅，∴AD AE 2==．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出． 【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．17．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴CD=DE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．18．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，垂足为A，B，S△AOM=8cm2，OA=4cm，则MB=___．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm 【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解解析：4cm【分析】根据12AOMS OA AM=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：114822AOMS OA AM AM=⋅=⨯=，解得4cmAM=，∵OM平分∠POQ，∴4cm MB AM==，故答案为：4cm ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 20．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．三、解答题21．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠MON ＝∠α（2）在边OM上截取OA＝m，在边ON上截取OB＝n．（3）作直线AB．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先画一条射线ON，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a，接着以点O为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON于一个点，以这个点为圆心，a为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O，得到射线OM，即可得到∠MON＝∠α；（2）以点O为圆心，m为半径画弧，交OM于点A，以点O为圆心，n为半径画弧，交ON于点B；（3）连接AB，线段AB所在的直线即直线AB．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 22．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．解析：（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【分析】（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌()SAS CND △，∴BE CN =，∵DM DN ⊥，DE DN =，∴ME MN =，在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，∴BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．24．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．25．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．【详解】证明：（1）∵AB//DF ，∴∠B=∠F ，∵BE=CF ，∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；（2）与（1）同理有∠B=∠F ，∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），∴OB=OF ，∴点O 为BF 中点 ．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 26．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 解析：（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．【分析】（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．【详解】证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =， 1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．27．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 28．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒， ∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒， ∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒， ∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．。
人教版八年级上册 第十二章 《全等三角形》单元练习题(配套练习附答案)
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
12.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有_____个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等．
【答案】3
【解析】
【分析】
【详解】根据到角 两边距离相等的点在角的平分线上，
故选D．
【点睛】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；做题时要明确题目中有什么条件，要达到什么目的．
3.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C D，则CD_____点P到∠AOB两边距离之和．( )
第十二章 《全等三角形》单元练习题
一、选择题
1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）
A.4B.3C.6D.5
【答案】B
【解析】
过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
人教版数学八年级上册第12章全等三角形证明经典题练习（含答案）
⼈教版数学⼋年级上册第12章全等三⾓形证明经典题练习（含答案）全等三⾓形证明经典题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP ,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平⾏四边形⼜∠ACB=90 ∴平⾏四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三⾓形BCF 全等于三⾓形EDF(边⾓边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三⾓形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。
∵∠ABC=∠AED 。
∴∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三⾓形ABF 和三⾓形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三⾓形ABF 和三⾓形AEF 全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACBC ADBC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶⾓）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD ⼜EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三⾓形，AC ＝CG ⼜ EF ＝CG∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
人教版数学八年级上册第12章《全等三角形》复习测试题(配套练习附答案)
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为4.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
故选D．
二.填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如图，在 和 中， ，若利用“HL”证明 ≌ ，则需要加条件______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
添加∠C=∠D=90°，由HL证明△ABC≌△ABD即可．
【详解】添加∠C=∠D=90°，理由如下：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB= CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知 ，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
【详解】①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；