第十章 方差分析

F值
FA SA SE SB SE
因素A
SA
i 1
( xij ) 2
j 1
s
s
n( X )2
r 1
s 1
因素B 误差 总和
SB
j 1
s
( xij ) 2
i 1
r
r
n( X )2
SB
SB nr
FB
S E R S A S B ( r 1)( s 1)
S A 761.205 724.808 36.397 SB 725.128 724.808 0.32 S E 38.352 36.397 0.32 1.635
20
计算方差的第二种方法
材质
淬火温度 a1 a2 a3 a4 a5 b1 4.4 5.3 5.8 6.6 8.4 b2 5.2 5 5.5 6.9 8.3 b3 4.3 5.1 4.8 6.6 8.5 b4 4.9 4.7 4.9 7.3 7.9 行合计 行均值 18.8 20.1 21 27.4 33.1 4.7 5.025 5.25 6.85 8.275
i 1 j 1
r
ni
构造F统计量： FA S A
SE
FB
SB SE
15
三、检验
在H 01为真时 FA S A ~ F (( r 1, ( r 1)( s 1))
SE
在给定的显著性水平 0.05下, 查F分布表，得临界值F
若FA F ( r 1, ( r 1)( s 1)), 因素A的水平有显著影响；反之则没有影响。
F F ( r 1, n r )，拒绝原假设, 这三种机器产量之间存在差异
10
具体分析步骤 ① 首先在A1:F4单元格中输入上表中数据； ② 在菜单中选取“工具→数据分析→方差分析：单因 素重复方差分析”，单击“确定”按钮； ③ 在弹出的“方差分析：单因素方差分析”对话框中， 设置“输入区域”为A1:F4,“分组方式”选择列，显 著性水平，输出区域设定为H1:J11，单击“确定” 按钮，输出单因素方差分析结果：
i 1 j 1 r ni
r
i 1
3、检验
S A /( r 1) S A 构造F统计量：F S E /( n r ) S E
在给定的显著性水平 0.05下, 查F分布表，得临界值 F ( r 1, n r )
若F F ( r 1, n r )，接受原假设, A因素影响不显著，均值相等
影响的显著性水平。
, Bs 设因素A有r个水平 A1 , A2 , , Ar ，因素B有s个水平 B1 , B2 ,，
用 X ij 表示两个因素的各水平的每一种配合下 ( Ai , B j ) 的总体， r, j 1,2, s ) 假定各个总体都都服从正态分布 X ij ~ N ( ij , 2 )(i 1,2,， 也要求样本是简单随机样本，样本之间相互独立，但在无 交互作用的方差分析中，忽略两个因素之间相互影响所带 来的效应。
2
3 为什么不能 检验上面三个总体有相同的均值 H 0 : 1 2 ，
3 将它们简单地配对，然后每次检验两个 ，即检验 H 0 : 1 , 3 这样就要需要三次不 然后H 0 : 1 2 ，再检验 H 0 : 2 ， 同地假设检验，置信度将会下降到 0.953 0.8574
9
SA F SE
( r 1) (n r )
380.9333 456.8
(3 1)

(15 3)
190.4667 5.0035 38.0667
在给定的显著性水平 0.05下, 查F分布表，得临界值
F ( r 1, n r ) F0.05 ( 2,12) 3.89
2 ST xij n( X ) i 1 j 1 r ni 2
SE
SE ( r 1)( s 1)
rs 1
17
例12.1对钢材进行拉伸变形实验，选择五种不同的淬火
温度 以及四种不同的材质。数据如下，试检验淬火温度 和材质对拉伸变形是否有显著影响。 s=4(列)
材质 b1 4.4 b2 5.2 b3 4.3 b4 4.9
b3 4.3 5.1 4.8 6.6 8.5 29.3
b4 4.9 4.7 4.9 7.3 7.9 29.7
x
j 1 ij
4
x
j 1
4
2
( x ) 2
j 1 ij
4
ij
18.8 20.1 21 27.4 33.1 120.4
353.44 404.01 441 750.76 1095.61 3044.82
若F F ( r 1, n r )，拒绝原假设, A因素影响显著，均值不相等
5
方差分析表ANOVA 方差来源 组间 组内 平方和
r
自由度 平均平方 和
F值
SA
i 1
( xij ) 2
j 1
ni
ni
n( X ) 2
r 1
nr
SA
SE
SA r 1
SE nr
列合计
列均值
在H 02为真时
FB
SB ~ F (( s 1, ( r 1)( s 1)) SE
若FB F ( s 1, ( r 1)( s 1)), 因素B的水平有显著影响；反之则没有影响。
16
无交互作用的方差分析表
方差来源 平方和
r
自由度
平均平方和
S SA A r 1
i 1 j 1 2 ij
r
ni
SA
i 1
r
( xij ) 2
j 1
ni
ni
n( X ) 2 380.9333
SE ST S A 456.8
8
计算方差的第二种方法：
机器 A1 138 144 日产量 135 149 143 行合计 709 行均值 141.8
A2
S E ST S A
2 ST xij n( X ) i 1 j 1 r ni 2
SA F SE
总和
n 1
X
x
i 1 j 1
r
ni
ij
n
6
例10.1三台机器制造同一产品，记录五天的产量如下,试判
断这三台机器的产量是否有显著差异。
r 3, ni 5
88.9 101.19 110.94 188.02 274.11 763.16
( x )
i 1 ij
5
930.25 954.81 858.49 882.09
19
5 4 1 (120.4) 2 2 n( X ) ( xij ) 724.808 5 4 i 1 j 1 20 2
11
Excel输出的方差分析结果
方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 380.9 456.8 837.7 df 2 12 14 MS 190.4667 38.06667 F 5.0035 P-value 0.0263 F crit 3.8853
从结果中可得到 F 5.0035
F值的伴随概率p 0.0263(小概率) ＝0.05
1 3044.82 ( x ) 761.205 ij 4 i 1 j 1 4
5
4
2
1 3625.64 ( x ) 725.128 ij 5 j 1 i 1 5
4
5
2 x ij 763.16 i 1 j 1
5
4
ST 763.16 724.808 38.352
A3
163
155
148
144
152
159
146
147
157
153
766
758 2233
153.2
151.6
总和
总均值
148.8667
2233 X 148.8667 15
ST ( X ij X ) (138 148.8667) 2 (144 148.6667) 2 (153 148.6667) 2 837.7333
（以95%的置信度为例）；如果检验四个总体也采用这样 方法，那将需要作6次不同的假设，置信度会降低 到 0.956 0..7351，同时随着检验次数的增多，偶然因素导 致差别的可能性将会增大。而方差分析通过使用一个针对 多个样本均值相对的检验避开了这个问题。
3
10.1 单因素方差分析
单因素方差分析研究一个因素对某种指标的影响，在实验中
14
二、构造统计量
计算总离差平方和ST ( xij X ) 2
i 1 j 1
r
r
ni
因素A的偏差平方和S A s ( X i . X ) 2
i 1
因素B的偏差平方和S B r ( X . j X ) 2
j 1
s
误差平方和S E ( X ij X i . X . j X ) 2

i 1
r
( xij ) 2
j 1
ni
ni
ni 2 ij
100536.2 117351.2 114912.8 332800.2
x
i 1 j 1
r
106655 117542 115060 333257
2
ST x n( X ) 837.7333
第十章 方差分析
1
前面我们介绍了检验两个总体均值相等的假设的方
法，但是在检验三个或更多总体均值相等的时候， 就要使用方差分析方法。 比如测量三组不同的人(如吸烟者、暴露在吸烟环境 种的不吸烟者和没有暴露在吸烟环境中的吸烟者)身 体中含有的尼古丁水平，检验他们是否具有不同的 尼古丁水平。既然可以使用两样本均值相等的检验 方法，为什么还要使用这种方差分析方法？