2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.2.2 全称量词和存在量词 Word版含解析

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新课标湘教版高中数学选修2-1第一章 1.2 简单的逻辑联结词课件

逻辑知识吗？
在这个故事里，批评家用他的语言和行动表明了这样几句语句（1）我不给傻子让路，（2）你歌德是而歌德用语言和行动反击，傻子, （3）我不给你让路。（1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路。
数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫．”盒子上的话见下图，求婚者猜中了，问：他是怎样猜中的?
例2 下列语句是命题吗？如果是命题，则与前面的命题(1)(2)(3)在结构上有什么区别？（8） 10可以被2或5整除
（9）菱形的对角线互相垂直且平分
（10） x>3或x=-1 （11） x<5且x≥4 （12） 0.5是非整数（1）12>5 （2）3是12的约数（3）0.5是整数
那么命题（8）：10可以被2或5整除中的 “或”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢？命题（9）：菱形的对角线互相垂直且平与集合并集定义中A∪B={x|x∈A或x∈B} 分中的“且”与集合中学过的哪个概念的意的“或”意义相同义相同呢？命题（12）：0.5是非整数中的“非”的与集合交集定义中A∩B={x|x∈A且x∈B} 意义显然是否定的意思，即是对命题进行否的“且”意义相同定而得出的命题。
命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, p q 是假命题. 全真为真,有假即假.
如果p：集合A； q：集合B；则p∧ q为集合 A∩B p q
AA∩BΒιβλιοθήκη B思考?下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” Word版含解析

1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作綈p，读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答](1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．。

选修2-1数学课后习题答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+-- ()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件；（2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件；（4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225+≠，真命题；（2）3不是方程290x -=的根，假命题；（31≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题；（2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题；（4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉；（2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤；（2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>；（2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题；（2）54≤，假命题；（3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧；（2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C ==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=，得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=.因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =，则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c .（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-；直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠；由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B）为圆心，以线段2OA （或1OA ）为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）2213632x y +=；（2）2212516y x+=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5；（2）(0,2)；（3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=；（2）221259y x +=；（3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=；（2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±. 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.所以，QO QA QO QP OP r +=+==.又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x m x +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF PM d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得 12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，,,R S T '''是线段CF 的四等分点，所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''. 直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==. 所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2．3双曲线练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=；（2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-；（2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a -=.解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =.所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k-=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线练习（P67）1、（1）212y x =；（2）2y x =；（3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-；（2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =；（4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =； 3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =；（2）220x y =；（3）216y x =-；（4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-；（2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32p x =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-；（2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得 3x=±则 321y ==±因为OB k ，OA k=所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-，因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-=因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a +=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩，解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ；（2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上.而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k的取值范围为k >k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A的坐标为11(,)x y，点B的坐标为22(,)x y，点M的坐标为(,)x y.并设经过点M的直线l的方程为1(2)y k x-=-，即12y kx k=+-.把12y kx k=+-代入双曲线的方程2212yx-=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k------=2(20)k-≠. ……①所以，122(12)22x x k kxk+-==-由题意，得2(12)22k kk-=-，解得4k=当4k=时，方程①成为21456510x x-+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C -在抛物线上所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=.2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得a c +=所以 (1c +=+ c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=. 由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……②（第4题）12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=，所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）1、（1）AD ；（2）AG ；（3）MG .2、（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==. 3.练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=（第7题）PRS B CAQ O（第3题）所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-；（2）(10,1,16)-；（3）(18,12,30)-；（4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=；（4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==.向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=；（2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒；（2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9；（2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =- 所以2312CM ==，21312D N == 111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19. 11、31(,,3)22- 习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ；（2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ；（3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥；（2）2v u =-，α∥β；（3）292247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于292247.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++（第3题）222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅ 222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以 22cos AA d mn θ'=.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，212MN AD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-. 因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-= 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos 2θ===sin θ=点O 到平面ABC 的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，D ，1(0,,0)2B，3(0,,0)2C，A . ∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos θ==因此，二面角A BD C --的余弦cos cos()απθ=-=7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a = 222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅=，10OM BD ⋅=，所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==PQ =22cos 2PQ MNPQ PQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=， ()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==. 184233ABCD V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，,0,1)M -，,0)N .。

高中数学选修2-1-全称量词与存在量词

全称量词与存在量词知识集结知识元全称量词与全称命题知识讲解1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．例题精讲全称量词与全称命题例1.存在x>0，3x（x-a）<2，则a的取值范围为（）A．（-3，+∞）B．（-2，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列命题错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极大值点，则f（x）在（x0，+∞）上是增函数D．函数f（x）可能是R上的增函数例3.若a、b不全为0，必须且只需（）A．ab≠0B．a、b中至多有一个不为0C．a、b中只有一个为0D．a、b中至少有一个不为0存在量词与特称命题知识讲解1．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x 0∈M ，有p （x 0）成立”简记成“∃x 0∈M ，p （x 0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题x ∈M ，p （x ）特称命题x 0∈M ，p （x 0）表述方法①所有的x ∈M ，使p （x ）成立①存在∃x 0∈M ，使p （x 0）成立②对一切x ∈M ，使p （x ）成立②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立③某些x ∈M ，使p （x ）成立④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q ”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．例题精讲存在量词与特称命题例1.已知函数．f（x）=ax2+2x-e x，若对∀m，n∈（0，+∞），m>n，都有成立，则a的取值范围是（）A．B．（-∞，1]C．D．（-∞，e]例2.已知命题“∃x0∈[-1，1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（-，+∞）B．（4，+∞）C．（-2，4）D．（-2，+∞）例3.函数f（x）满足f'（x）=f（x）+，x∈[，+∞），f（1）=-e，若存在a∈[-2，1]，使得f （2-）≤a3-3a-2-e成立，则m的取值范围是（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[，]当堂练习单选题练习1.下列命题中是真命题的是（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2>x，则x>0”的逆命题D．若x<y，则x2<y2”的逆否命题练习2.下列“非p”形式的命题中，假命题是（）A．不是有理数B．π≠3.14C．方程2x2+3x+21=0没有实根D．等腰三角形不可能有120°的角练习3.下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2+x+1<0，p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1。

人教版选修2-1第一章第二节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词

解析：由 C 选项，若 p∨q 为真命题，则 p ，q 中至少有一个是真命题，所以 C 选项命题是假命题，故选 C.
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
p
真真假假
q
真假真假
p∨q
p∧q
非p
3. 全称量词 (universal quantifier) 与存在量词 (existential quantifier) (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有： “存在一个”、 “ “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ 表示． ”表示；存在量词用符号“∃” 有一个”、
【解析】 (1)∵方程 x2＋x＋1＝0 的判别式 Δ＝12－4＝－ 3<0， ∴x2＋x＋1<0 无解，故命题 p1 为假命题，綈 p1 为真命题；由 x2－1≥0，得 x≥1 或 x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题 p2 为真命题，綈 p2 为假命题．∵綈 p1 为真命题，p2 为真命题，∴綈 p1∧p2 为真命题，选 C.
(2)∵y＝2 在 R 上为增函数，y＝2 数，∴y＝－2
－x
x
－x
1 ＝ x 在 2
R 上为，
∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题． y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题． ∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 和 D，

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义精练第1章 1.2.2 全称量词和存在量词 Word版含解析

．全称量词和存在量词[读教材·填要点]．全称量词与存在量词“所有、()全称量词：、“任意”“”等叫作全称量词，数学上用符号∀”“每一个表示．”存在、()存在量词：“““”某一个至少有一个等叫作存在量词，数学上用符”、∃号“”表示．．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定的否定是”,()∀()命题“∈∈”“()；綈∃，”的否定是，()∃()命题“∈“”∀()．∈，綈[小问题·大思维]．命题：任何一个实数除以等于这个数；：等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？提示：命题使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题使用了全称量词“任意”．．下列命题使用了什么量词？：存在实数，使－>；：有的实数既不是质数也不是合数．提示：命题使用存在量词“存在”，命题使用存在量词“有的”．．如何用符号表示下列命题？()对任意实数α，有α＋α＝；()存在实数，使得＝.提示：()用符号表示为“∀α∈，α＋α＝”．()用符号表示为“∃∈，＝”．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．()实数的平方是非负数；()整数中最小；()方程＋＋＝(＜)至少存在一个负根；()对于某些实数，有＋＞.[自主解答]()∀∈，≥；真．()∀∈，≥；假．()∃＜，有＋＋＝(＜)；真．()∃∈，有＋＞；真．同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：．用全称量词或存在量词表示下列语句：()不等式＋＋>恒成立；()当为有理数时，＋＋也是有理数；()等式(α＋β)＝α＋β对有些角α，β成立；()方程－＝有整数解．解：()对任意实数，不等式＋＋>成立．()对任意有理数，＋＋是有理数．()存在角α，β，使(α＋β)＝α＋β成立．()存在一对整数，，使－＝成立．。

2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第1章章末小结含答案

1．命题的概念及真假命题的判断(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成．命题分为真命题和假命题．(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假．2．四种命题及其关系(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)．(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q 也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．(2)判断方法：①定义法：分别寻找“p⇒q”“q⇒p”“p] q”“q p”中哪两个成立．②命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假．③集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“A B”“B A”“A＝B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件．4．逻辑联结词命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或q⇔P∪Q；p且q⇔P∩Q，非p⇔∁U P.5．全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题．而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断．命题及其关系[例1] ①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4. ②函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0成中心对称． ③命题“如果a ·b ＝0，则a ⊥b ”的否命题和逆命题都是真命题． ④若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上) [解析] ①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4， ∴cos 〈a ·b 〉＝－45.∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4，①正确． ②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3无意义，由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确． ③∵原命题的逆命题为“若a ⊥b ，则a ·b ＝0”为真， ∴其否命题也为真．∴③正确． ④当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立． (当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .) ∴④正确． [答案] ①②③④判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b ”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题解析：对于A ，逆命题是“若3a>3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.答案：A2．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”．答案：C充分条件、必要条件与充要条件[例2] n n “d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12 ＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．[例3] 已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解] p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， ∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a . 由题意p ⇒q 且p q ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，⇒0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围为(0,3]．将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．3．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式知当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab ，其中当a ＝b 时，等号成立．∴当a >b >0时，ab <a 2＋b 22，反之不成立．答案：A4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．答案：B逻辑联结词[例4] 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] p 真：Δ＝a 2－4×4≥0， ∴a ≤－4或a ≥4. q 真：－a4≤3，∴a ≥－12.由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得：p ，q 两命题一真一假．当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．先求出命题p ，q 为真、假命题时a 的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．5．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得p 假q 真或p 真q 假，即⎩⎨⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎨⎧a >1，0<a ≤2.∴1<a ≤2， ∴a 的取值范围为(1,2].全称量词和存在量词[例5]①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] ①中x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①是真命题．②中，x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题． ④中x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故④是真命题． [答案] D利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．6．命题“∀n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n D ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．答案：D7．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1.命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”为真，则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．答案：(－∞，－2]∪{1}(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“<”的否定是“≥”．故选D. 答案：D2．命题“若x ＝－1，则 x 2＋3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又它的逆命题是：若x 2＋3x ＋2＝0，则x ＝－1，是假命题， ∴它的否命题也是假命题. 答案：B3．已知命题①若a >b ，则1a <1b ，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为1a <1b 则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．答案：D4．已知f (x )＝e x ＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0解析：由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x ＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0，故选B.答案：B5．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b .下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．答案：B6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件．答案：A7．命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”是命题乙：“a b ＋cb ＝2”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ，b ，c 成等差数列时，若b ＝0，则a b ＋cb ＝2不成立，反之当a b ＋cb ＝2，即a ＋c b ＝2，即a ＋c ＝2b 时，b －a ＝c －b ，所以a ，b ，c 成等差数列．答案：A8．下列命题是真命题的是( ) A ．“若x ＝0，则xy ＝0”的逆命题 B ．“若x ＝0，则xy ＝0”的否命题 C ．若x ＞1，则x ＞2D ．“若x ＝2，则(x －2)(x －1)＝0”的逆否命题解析：D 中，x ＝2时，(x －2)(x －1)＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．答案：D9．命题甲：⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列，命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列可得x ＝－2或x ＝1，由lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列可得x ＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．答案：B10．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分而不必要条件．答案：A11．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．(－∞，3]∪(8，＋∞)D ．[3,8)解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：D12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：∵p ，q 都是真命题，∴①②③④均正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．命题“若x >y ，则x 3>y 3－1”的否命题为________．解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x ≤y ，则x 3≤y 3－1”．答案：若x ≤y ，则x 3≤y 3－114．若“∀x ∈R ，x 2－2x －m >0”是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：∵∀x ∈R ，x 2－2x －m >0是真命题， ∴Δ＝(－2)2＋4m <0恒成立． ∴m <－1.答案：(－∞，－1)15．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：当命题p 为真时，由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1；当命题q 为真时，可知a ≤x ≤a ＋1，又綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于p 是q 的充分不必要条件，所以⎣⎡⎦⎤12，1 [a ，a ＋1]，a ∈⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 16．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，逆命题“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )≥0，即b ≤0，∴b ≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p ∨q 假时，p ，q 一定均假，∴④正确．故①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 18．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：3是素数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解：(1)p 或q ：3是素数或3是偶数；p 且q ：3是素数且3是偶数；非p ：3不是素数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题．(2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x∈12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在12，2上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c >12. 若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2.∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k 2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (2)>0，即⎩⎨⎧ k 2×(－1)＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，如果p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：由y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a <1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两个不同的点，∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，解得a <12或a >52. ∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，q 真对应集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <12或a >52. 由于p ∨q 真，即p ，q 中至少有一个为真命题．p 真q 假时，12≤a <1； p 假q 真时，a >52或a ≤0； q 真q 真时，0<a <12. 综上得，a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a<x<3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B 成立，，1）.∴3a≥2，此时a∈（23，＋∞）.综上①②③可得a∈（23。

1.2.2全称量词和存在量词_课件-湘教版数学选修1-1

点评 (1)要判定命题“∀x∈I，p(x)”是真命题，需要对集合 I 中每个元素 x，证明 p(x)成立；如果在集合 I 中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，那么这个命题就是假命题．
(2)要判定命题“∃x∈I，p(x)”是真命题，只需在集合 I 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；如果在集合 I 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个命题是假命题．
2．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
误区警示含有一个量词的命题的应用中因忽视了束缚条件而出错
【示例】∀x∈[－1，2]，使 4x－2x＋1＋2－a<0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2．存在性量词与含有存在量词的命题 (1)一般地，设 q(x)是某集合 I 中的有些元素 x 具有的某种性质，那么含有存在量词的命题就是形如“存在集合 I 中的元素 x，q(x)” 的命题，可简记为∃x∈I，q(x)． (2)含有存在量词的命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
全称量词和存在量词
1．理解全称量词、存在量词的概念及其表示方法． 2．掌握含有全称量词的命题和含有存在量词的命题的真假性的判定方法．
自学导引 1．“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学
上用符号“∀”表示．“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“ ∃ ”表示．涉及量词的命题必须指出量词的作用范围．
1．判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，都有 x2－x＋1>12； (2)∀x，y∈N，都有 x－y∈N； (3)∃x，y∈Z，使得 2x＋y＝3.

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1．2.2全称量词和存在量词
[读教材·填要点]
1．全称量词与存在量词
(1)全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示．
2．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定
(1)命题“∀x∈I, p(x)”的否定是“∃x∈I，綈p(x)”；
(2)命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈p(x)”．
[小问题·大思维]
1．命题p：任何一个实数除以1等于这个数；q：等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？
提示：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”．
2．下列命题使用了什么量词？
p：存在实数x，使x2－3>0；
q：有的实数既不是质数也不是合数．
提示：命题p使用存在量词“存在”，命题q使用存在量词“有的”．
3．如何用符号表示下列命题？
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在实数x，使得1
x2－x＋1
＝2.
提示：(1)用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”．
(2)用符号表示为“∃x∈R，
1
x2－x＋1
＝2”．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小；
(3)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ＜1)至少存在一个负根； (4)对于某些实数x ，有2x ＋1＞0. [自主解答](1)∀x ∈R ，x 2≥0；真． (2)∀x ∈Z ，x ≥1；假．
(3)∃x ＜0，有ax 2＋2x ＋1＝0(a ＜1)；真． (4)∃x ∈R ，有2x ＋1＞0；真．
同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：
1．用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；
(2)当x 为有理数时，13x 2＋1
2x ＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．。