高中数学选修2-2 同步练习专题1.2 导数的计算(解析版)

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高中数学选修2-2 1.2导数的运算学案2 含解析

课堂探究探究一导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 4－2x；(3)y ＝sin x ＋3x ； (4)y ＝cos x ·ln x ； (5)y ＝(x －1)(x －2)(x －3)； (6)y ＝x －3x ＋2. 思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32·12x ＝32x ； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 4－2x ′＝4x 3＋2x2； (3)y ′＝(sin x ＋3x )′＝cos x ＋3x ln 3；(4)y ′＝(cos x ·ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x ·1x ＝cos x x－sin x ·ln x ； (5)方法1：y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝[(x －1)(x －2)]′(x －3)＋(x －1)(x －2)(x －3)′＝[(x －1)′(x －2)＋(x －1)(x －2)′](x －3)＋(x －1)(x －2)＝(x －2＋x －1)(x －3)＋(x －1)(x －2)＝3x 2－12x ＋11.方法2：由于(x －1)(x －2)(x －3)＝(x 2－3x ＋2)(x －3)＝x 3－6x 2＋11x －6，所以y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝(x 3－6x 2＋11x －6)′＝3x 2－12x ＋11.(6)方法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ＋2′＝(x －3)′(x ＋2)－(x －3)(x ＋2)′(x ＋2)2＝x ＋2－(x －3)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2；方法2：由于y ＝x －3x ＋2＝1－5x ＋2，于是y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋2′＝－－5(x ＋2)′(x ＋2)2＝5(x ＋2)2. 探究二利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 44＋⎝⎛⎭⎫cos x 44； (3)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (4)y ＝x ln x . 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝4x 3＋3x 2＋2x .(2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . (3)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(4)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 探究三复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(其中y x ′表示y 对x 的导数)．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写．【典型例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －1)2； (2)y ＝ln(5x ＋2)；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋1； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x .思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y ＝u 2，u ＝3x －1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·3＝6(3x －1)＝18x －6；(2)设y ＝ln u ，u ＝5x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·5＝55x ＋2； (3)设y ＝⎝⎛⎭⎫12u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝⎝⎛⎭⎫12u ln 12·2＝－⎝⎛⎭⎫122x ·ln 2；(4)设y ＝sin u ，u ＝2x －π3，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x ＝cos 2x ＋12，设y ＝12cos u ＋12，u ＝2x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－12sin u ·2＝－sin 2x .探究四导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】用导数的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋4x 3＋…＋2 014x 2 013(x ≠0，x ≠1)．思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013，g (x )＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2 014，则f (x )＝g ′(x )．而由等式数列求和公式可得g (x )＝x (1－x 2 014)1－x ＝x －x 2 0151－x，于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2 0151－x ′＝(1－2 015x 2 014)(1－x )＋(x －x 2 015)(1－x )2＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2，即1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2.。

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版）1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1 D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C.5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 [答案] A [解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.6．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A [解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] C [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期， ∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .故选C.9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.[答案] y ＝2x [解析] 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe＋x ，所以当x >0时， f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x .(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1. ∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.[解析] f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2，且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.①(1)若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1，即1－2b ＋c ＝－1.②由①②解得b ＝14，不满足b ≥1，故舍去．(2)若－1<－b <3，即－3<b <1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1，即b 2－2b 2＋c ＝－1.③ 由①③解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.(3)若－b ≥3，即b ≤－3，则f ′(x )在[－1,3]上是减函数，所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1.④由①④解得b ＝－94，不满足b ≤－3，故舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.高中数学选修2-2导数--导数的运算1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1D ．n ＋1n 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为（） A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)26．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．Cos xD ．－cos x9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝______. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R)，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.。

2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2同步训练：1.2 导数的运算

3.令 u sin v , v 2x , y u2 ,则 3
y 'x

y 'u u 'x v 'x

2u cos v 2

4sin v cos v

2sin 2v

2
sin

4x

2 3

.
4. y ' x 1 x2 ' x ' 1 x2 x 1 x2 '
10
D.
3
9、函数 y sin x cos x 的导数是（）
A. cos x sin x
B. cos2 x sin2 x C. 2 cos x sin x
D. cos2 x sin2 x
10、函数 y x ax b在 x a 处的导数为( )
A. ab
y x2 的导数是（） 6、 x 3
x2 6x
A.
x 32
x2 6x
B.
x3
x2
C.
x 32
x2 6x
D.
x 32
7、定义在 (0, ) 上的单调递减函数 f (x) ，若 f (x) 的导函数存在且满足 f (x) 0 ，则 f '(x)
下列不等式成立的是 ( )
13、已知函数
f
(x)
(x R) 满足
f
(1)
1 ，且
f
(x)
的导数
f
'(x)

1 2
，则不等式
f (x2) x2 1 2 2 的解集为______．
14、已知函数 f x ex ln x , f 'x为 f x的导函数,则 f '1的值为__________.

数学人教A版选修2-2教材习题点拨：1.2 导数的计算含解析

教材习题点拨教材问题解答(探究1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x,y＝4x的图象，并根据导数定义,求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数y＝kx(k≠0）增（减)的快慢与什么有关？答：函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3,y′＝4。

（1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x,y＝4x的导数分别表示这些直线的斜率．(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．（3）函数y＝kx(k＞0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系,k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．函数y＝kx（k＜0)减少的快慢与|k｜有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k｜越大，函数减少得越快，|k｜越小，函数减少得越慢．（探究2)画出函数y＝错误!的图象，根据图象,描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1)处的切线方程．答：函数y＝错误!的图象如图所示．结合函数图象及其导数y′＝－错误!发现,当x＜0时,随着x的增加，函数y＝错误!减少得越来越快；当x＞0时,随着x的增加，函数减少得越来越慢．点(1，1）处切线和斜率就是导数y′｜x=1＝－错误!＝－1，故斜率为－1,过点(1，1)的切线方程为y＝－x＋2。

练习1．解:f′（x)＝2x－7，所以,f′（2)＝－3，f′（6)＝5.2．解：(1）y′＝1x ln 2；(2）y′＝2e x；（3)y′＝10x4－6x；(4)y′＝－3sin x－4cos x;（5)y′＝－错误!sin错误!;（6）y′＝错误!.点拨：运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则求解．习题1.2A组1．解：错误!＝错误!＝2πr＋πΔr，所以S′（r）＝错误!(2πr＋πΔr)＝2πr.2．解：h′（t）＝－9。

8t＋6。

5。

3．解：r′（V)＝13错误!。

2020年高中数学选修2-2 导数的运算基础练习(含答案解析)

1.D. 2.答案:C;解析:由已知得 f′(x)=ax2＋b.又 f(3)=3f′(x0)，则有 9a＋3b=3ax20＋3b，所以 x20=3，
则 x0=± 3 ，故选 C.
3.答案为：B；解析：f/(x)=4ax3＋2bx，∵f/(x)为奇函数且 f′(1)=2，∴f/(-1)=-2.
4.答案为：C；
16.曲线 y=(ax＋1)ex 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则 a=________.
三、解答题 17.已知函数 f(x)=2xlnx
(1)求这个函数的导数 (2)求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程.
18.已知函数 f(x)=x3-4x2＋5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，-2)的曲线 f(x)的切线方程.
切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于 1，故选 C.
5.答案为：C；
由函数 f(x)的图象可得函数 f(x)的导函数 f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，
f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数 f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，
f（3）－f（2）
大于 f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，所以 0＜f′(3)＜
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19.已知 P(-1,1)，Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点， (1)求过点 P，Q 的曲线 y=x2 的切线方程． (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线方程．
20.已知曲线方程为 y=f(x)=x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
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答案解析
x
B.
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9.答案为：C；解析：y′=cos x＋ex，故切线斜率为 k=2，切线方程为 y=2x＋1，即 2x－y＋1=0.

2019-2020学年高二数学选修2-2《1.2导数的计算》测试卷及答案解析

2019-2020学年高二数学选修2-2《1.2导数的计算》测试卷一．选择题（共10小题）1．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2x+cos x，则＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知f（x）＝x cos x，则f'（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．24．已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．函数f（x）＝e x+x sin x﹣7x在x＝0处的导数等于（）A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣76．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）＝0．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则可求得＝（）A．4025B．﹣4025C．8050D．﹣80507．函数f（x）＝e x（sin x+cos x）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）8．下列结论正确的是（）A．B．C．（5x）′＝5x D．（5x）′＝5x ln59．若y＝，则y′＝（）A．B．C．D．10．设，则f′（2）＝（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知f（x）＝13﹣8x+x2导数为f′（x），且f′（x0）＝4，则x0＝12．已知函数f（x）＝x•lnx，则f'（1）＝．13．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则1+f′（1）＝．14．设函数f（x）＝sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导数，若f（x）＝2f′（x）．则＝．15．已知函数f（x）＝sin，则f′（1）＝．16．已知函数f（x）＝x+sin x，则f'（x）＝．17．已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）＝3，则a的值为．18．（e x lnx）′；（）′＝．19．已知f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）+6，则f′（0）＝．20．已知f（x）＝sin x（cos x﹣1），则＝．三．解答题（共5小题）21．求下列函数的导数．（1）；（2）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；。

高中数学选修2-2单元配套练习试题1.2导数的计算及参考答案解析

1.2导数的计算(包括1.2.1几个常用函数的导数,1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)姓名:___________班级:______________________一、选择题 1.已知()3232f x ax x =++,若()14f '-=,则a 的值等于()A.193B.103C.163D.1332.函数32x y x =⋅的导函数是( )A.232x y x '=⋅B.322x y x '=⋅C.2322ln 2x x y x '=⋅+D.23322ln 2x x y x x '=⋅+⋅3.已知()()e 21x f x xf '=+,则()0f '等于( )A.12e +B.12e -C.2e -D.2e4.设()ln f x x x =,若()02f x '=,则0x 等于( )A.2eB.eC.ln 22 D.ln 2 5.曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率为( )B.1C.1-D.6.曲线()32153f x x x =-+在1x =处的切线倾斜角是( ) A.π6 B.π3C.π4D.3π47.曲线21x y x =-上一点()1,1处的切线方程为( ) A.20x y --= B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=8.点P 在曲线:1C y x =+上移动,若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( ) A.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题9.若曲线()2ln 1y ax x =-+在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =__________.10.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(m)h 与起跳后的时间(s)t 存在函数关系()24.9 6.510h t t t =-++,则瞬时速度为0m /s 的时刻是_________s . 11.已知函数()()21ln ,2f x xg x x a ==+(a 为常数),直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切,且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1,则a 的值为_______.三、解答题12.求下列函数的导数.(1)e x y x =;(2)()()22131y x x =-+;(3) ()sin 1cos .2x y x =+-13.已知函数()f x =()ln g x a x =,a ∈R ,若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交,且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程.14.已知曲线()3:C f x x x =-.(1)试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程;(2)试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.参考答案1.B【解析】由题意知()236f x ax x '=+,所以()1364f a '-=-=,解得103a =. 考点:导函数的应用.2.D【解析】()()()333222x x x y x x x ''''=⋅=⋅+⋅＝23322ln 2x x x x ⋅+⋅,故选D.考点:导数的计算.3.B【解析】由题意得()()e 21x f x f ''=+,所以()()1e 21f f ''=+,所以()1e f '=-, 所以()()00e 2e 12e f '=+⋅-=-.故选B.考点:函数的导数.4.B【解析】()()000ln ,()ln 1,ln 12,e f x x x f x x f x x x ''=∴=+∴=+=∴=,故选B. 考点:导数.5.B【解析】由题意得()()211f x x f ''=⇒=,即切线的斜率为1k =,故选B.考点:利用导数研究曲线在某点的切线的斜率.6.D【解析】()()()32215,2,113f x x x f x x x f ''=-+∴=-∴=-,所以切线的斜率为1-,倾斜角为3π4.故选D. 考点:函数导数的几何意义及运算.7.B 【解析】对21x y x =-求导得,()2121y x '=--,把1x =代入()2121y x '=--得,1y '=-,即切线的斜率为1-,又切点为()1,1,所以切线方程为()1111y x x -=--=-+,即20x y +-=,故选B.考点:利用导数求切线方程.8.A【解析】y x ⎡'=∈⎣,即切线的斜率范围是⎡⎣,那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故选A.考点:导数的几何意义. 9.14【解析】由题意得121y ax x '=-+,因为曲线在点()1,a 处的切线平行于x 轴,所以1202a -=,解得14a =. 考点:导数几何意义的应用. 10.6598【解析】由导数的物理背景知,路程对于时间求导可得瞬时速度与时间的关系.()9.8 6.5h t t '=-+,则瞬时速度为0m /s 时有,09.8 6.5t =-+,可得6598t =.故答案为6598. 考点:导数的运算及应用. 11.12- 【解析】因为()10,f =()()1,11,f x f x''==所以:01, 1.l y x y x -=-=- 再由2112x x a -=+的判别式为零得()111410.22a a ∆=-⨯⨯+=⇒=- 考点:导数几何意义.12.(1)()2e 1x x y x -'=(2)21843y x x '=+-1(3)cos(1)sin .22x y x '=++ 【解析】(1)()()222e e e 1e e e x x x x x x x x x x y x x x x '''-⋅-⎛⎫⋅-'==== ⎪⎝⎭. (2)因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--,所以()()()()()32322623162311843y x x x x x x x x ''''''=+--=+--=+-.(3)函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合函数,()()sin 1cos cos(1)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+,同样的可以求出cos 2x y =的导数1sin 22x y '=-,所以题中函数的导数为1cos(1)sin .22x y x '=++ 考点:求函数的导数. 13.e 2a =,22e e 0x y -+= 【解析】()f x '=()()0a g x x x'=>,设两曲线交点的横坐标为0x ,由已知得00ln ,,a x a x =⎨=⎪⎩解得e 2a =,20e x =. 所以两曲线交点坐标为()2e ,e ,切线的斜率为()21e2e k f '==, 所以切线方程为()21e e 2ey x -=-,即22e e 0x y -+=. 考点:利用导数求曲线上某点处的切线方程,导数的计算.14.(1)220x y --=(2)50x y --=或50x y -+=【解析】(1)∵()3f x x x =-,∴()10f =,求导数得()231f x x '=-, ∴切线的斜率为()12k f '==,∴所求切线方程为()21y x =-,即220x y --=.(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ,则切线的斜率为()20031k f x x '==-.又∵所求切线与直线53y x =+平行,∴20315x -=,解得0x =代入曲线方程()3f x x x =-得切点为或(,∴所求切线方程为(5y x =或(5y x =,即50x y --=或50x y -+=.考点:导数的计算,导数的几何意义.。

人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

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第一章导数及其应用1.2 导数的计算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()2cos 2f x x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x = A ．2sin 2x -B ．sin 2x x -C ．sin 2cos2x x x +D ．cos22sin 2x x x -【答案】D【解析】由题意得()cos 2(cos 2)cos 22sin 2f 'x x x x x x x x ''=+=-，故选D ． 2．已知e e ()x f x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=A ．1e e -B ．1e e+ C ．11e+D ．0【解析】因为1ee (e )e xx f x x x -=+=+，所以()1e e x 'x f =-+，所以1e(1)e f '=-+，故选A ． 3．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(2,8)--或(2,8)D ．(1,1)--或(1,1)【答案】D【解析】由3()f x x =可得2()3f x x '=，令233x =，则1x =±，故P 点的坐标为(1,1)--或(1,1)．故选D ．4．下列函数求导运算正确的个数为①333l ()og e x x'=；②21()g ln o 2l x x '⋅=；③(e e )x x'=；④1()ln 'x x=；⑤e e e ()x x x x x '=+． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】(3)3ln 3xx'=，211()ln (ln )x x x '=-，正确的为②③⑤，共3个．故选C ． 5，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14-D ．14【答案】C【解析】令1t x =，则1x t =C ．6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 7．已知曲线32()2f x x ax =-+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则实数a =A ．2-B ．1-C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2()32f x x ax '=-，所以(1)32f a '=-，因为曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，所以3(1)tan14f π'==-，所以321a -=-，解得2a =．故选C ． 8．若2()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为 A ．(0,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．(1,0)-【答案】C【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2()24ln f x x x x =--，若()0f x '>，则04222>--xx x ，即022>--x x ，解得2>x 或1-<x （舍去），故不等式()0f x '>的解集为(2,)+∞，故选C ．9．函数c (s )e o x x f x =+的图象在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A ．2 B ．4 C ．12D ．32【答案】A【解析】由题可得e s (n )i x'x f x =-，所以)1(0f '=．又2(0)f =，所以曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x -=，即20x y -+=．令0x =可得2y =；令0y =可得2x =-，所以切线与两坐标轴围A ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．若函数2()sin f x x x =，则()f x '=________________．【答案】22sin cos x x x x +【解析】由2()sin f x x x =可得222()()sin (sin )2sin cos f x x x x x x x x x '''=+=+．11．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =________________．【答案】e【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．12．若函数()ln 2f x x x =+在点00,()()x f x 处的切线的斜率为3，则0()f x =________________．【答案】2【解析】由题可得1()2f x x '=+，令01()23f x x '=+=，解得01x =，所以0()(1)2f x f ==． 13．曲线2ln y x =在点2(e ,4)处的切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为________________．【答案】2e【解析】由题可得2y x '=，故切线l 的斜率为22e ，切线l 的方程为2224(e )e y x -=-，即222ey x =+，令0x =得2y =，令0y =得2e x =-，所以切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为2212e e 2⨯⨯=．14．设曲线1()n y x n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+=________________．【答案】2-【解析】导函数nx n y )1(+='，切线斜率1|1x k y n ='==+，所以切线方程为n x n y -+=)1(，可求得切线与横轴的交点为)0,1(+n n ，则)1lg(lg 1lg +-=+=n n n n a n ，所以1299a a a ++⋅⋅⋅+(lg1lg 2)(lg 2lg3)(lg99lg100)lg1lg1002=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的导数：（1）2311()y x x x x=++；（2）cos xy x=；（3）3e 2e xxxy =-+；（4）2sincos 22x x y x =-．【答案】（1）2323y x x '=-；（2）2sin cos x x x y'x+=-；（3）ln 31(3e)2)ln 2(x xy'=+⋅-；（4）y '= 12cos 2x x -．【解析】（1）因为2332111()1y x x x x x x =++=++，所以2323y x x'=-．（2）222cos (cos )cos sin cos sin cos ()x x x x x x x x x x xy x x x x'''⋅-⋅-⋅-+'====-．（3）(3e )(2)e x x xy''''=-+)((3e 3e )(2)x x x x x ''=+-' 3ln 3e 3e 2ln 2x x x x x =⋅+-ln 31(32)2(e)ln x x =+⋅-．（4）因为221sin cos sin 222x x y x x x =-=-，所以12cos 2y x x '=-． 16．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．【答案】（1）3()f x x x=-；（2）证明见解析，该定值为6．【解析】（1）由74120x y --=得734y x =-．当2x =时，12y =，则1(2)222b f a =-=①．又2()b f x a x '=+，则7(2)44b f a +='=②．由①②得4147a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x =-．（2）设00(),P x y 为曲线上任一点，由231y x'=+，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-，即0020033()(1)()y x x x x x --=+-．令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为6(0)x -，；令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，，所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为0016|||2|62x x -⋅=．故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．。