函数的单调性和凸凹性
函数的单调性与曲线的凹凸性
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
3.4函数的单调性与凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
函数的单调性与凸凹性
函数的单调性与凸凹性函数在数学中扮演着重要的角色，而其中的单调性与凸凹性则是研究函数性质的重要方面。
本文将为你详细介绍函数的单调性与凸凹性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的单调性在数学中，函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而产生的变化趋势。
具体而言，单调性可以分为“单调递增”和“单调递减”两种情况。
1. 单调递增当函数的自变量增大时，函数的取值也相应增大，这种情况下函数被称为单调递增函数。
在数学语言中，假设有函数f(x)，当对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f(x)是单调递增函数。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以看到当x1 < x2时，f(x1) =x1^2 < x2^2 = f(x2)，所以f(x) = x^2是一个单调递增函数。
2. 单调递减与单调递增相反，单调递减函数在自变量增大时，函数的取值反而减小。
同样地，对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，函数f(x)是单调递减函数，当且仅当f(x1) ≥ f(x2)。
例如，考虑函数f(x) = 2/x，当x1 < x2时，f(x1) = 2/x1 > 2/x2 =f(x2)，因此f(x) = 2/x是一个单调递减函数。
函数的单调性在数学和实际问题中都有重要的应用。
它们可以帮助我们研究函数的性质，求解方程、优化问题等。
二、函数的凸凹性函数的凸凹性也是函数性质的重要方面，它揭示了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，凸函数与凹函数是最常见的两种情况。
1. 凸函数在数学中，如果对于函数f(x)上的任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，连接这两点的线段在曲线上方，那么函数f(x)被称为凸函数。
以函数f(x) = x^2为例，对于任意的x1和x2，当x1 ≠ x2时，(x1,f(x1))和(x2, f(x2))之间的线段都在曲线y = x^2的上方，因此f(x) = x^2是一个凸函数。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
高中数学知识点总结导数的应用之函数的单调性与曲线的凹凸性之函数的凹凸区间
高中数学知识点总结导数的应用之函数的单调性与曲线的凹凸性之函数的凹凸区间函数的单调性与曲线的凹凸性是高中数学中导数应用的重要内容之一。
通过研究函数的单调性和凹凸性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。
本文将从函数的凹凸定义及性质出发，介绍函数的凹凸区间的求解方法，并结合实例进行分析。
一、函数的凹凸定义及性质函数的凹凸性是指函数图像在一段区间上的形态特征，可以帮助我们判断函数的增减趋势和曲线的弯曲情况。
1. 凹函数与凸函数的定义：设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意x1、x2∈I，且x1<x2，在I上有：f(x2)-f(x1)≥f'(x)(x2-x1)，则称函数f(x)在I上为凹函数；若对于任意x1、x2∈I，且x1<x2，在I上有：f(x2)-f(x1)≤f'(x)(x2-x1)，则称函数f(x)在I上为凸函数。
2. 凹函数与凸函数的性质：（1）若函数f(x)在区间I上连续，则凹函数在I上内任意两点之间的所有点都在对应的切线下方，凸函数在I上内任意两点之间的所有点都在对应的切线上方。
（2）若函数f(x)在区间I上有二阶导数，且f''(x)>0，则f(x)在I上为凹函数；若f''(x)<0，则f(x)在I上为凸函数。
（3）若函数f(x)在区间I上为凹函数，则f'(x)在I上单调递增；若函数f(x)在区间I上为凸函数，则f'(x)在I上单调递减。
二、函数的凹凸区间求解方法对于给定的函数f(x)，我们可以通过以下步骤求解其凹凸区间：步骤一：求函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)；步骤二：求解f''(x)=0的解，得到临界点；步骤三：将临界点和定义域的端点带入二阶导数f''(x)的值，确定函数f(x)的凹凸性；步骤四：根据凹凸性的变化，确定函数f(x)的凹凸区间。
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内容提要
1.函数单调性判别法，不等式的各种证明方法； 2.曲线的凸凹性。
教学要求
1.熟练掌握函数单调性判别法，熟练不等式的各 种证明方法； 2.熟练掌握函数极值的概念和必要条件，熟练掌 握极值存在的第一，第二充分条件和求法。
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
解
函数定义域为 ( ,).
y
y 3 x2
2 1 f ( x ) 3 , 3 x
当x 0时, 导数不存在 . 用导数不存在 的点x 0划分定义域，
o
x
列表讨论如下：
x f ( x )
y f ( x)
( ,0)
0
不存在
( 0， )
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
例1
讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内,
y 0,
函数单调增加.
例2 讨论函数f ( x ) x 3 3 x的单调性.
解
2 f ( x ) 3x 3 函数的定义域为( ,)，
例9
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线y 3 x的拐点.
作
业
P153习题3-4 3(2)、5(1)(2)、9(2)
（3）列表，逐一判别点 x i ,x j 两侧的二阶导数符号，以
确定曲线 y = f( x )的拐点。
例7 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及
4 3
凹、凸的区间.
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
显然f ( x )在0, 连续, 在 0, 内可导， 2 2 f ( x ) sec2 x 1 tan 2 x 0
故f ( x )在0, 上单调增加. 2 当0 x 时, f ( x ) f (0) 0 2 即 当0 x 时， tan x x . 2
例6 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
y
y x3
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
o
x
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
五、曲线的拐点及其求法
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 恒有 f ( ) , 2 2 那末称f ( x )在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果I内任意两点x1 , x2 , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 恒有 f ( ) , 2 2 那末称f ( x )在I内的图形是(向上)凸的(或凸弧);
注意:
若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
• 确定曲线拐点及凹凸区间的步骤 （1）求 f ( x )； （2）令 f ( x )= 0，解出方程的全部实根 x i 及使得二阶
导导数不存在的点 x j .
练习
1. 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x )
x . 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，且 f ( x ) 0,
在[0,)上单调增加；
当x 0时， f ( x ) f (0) 0,
2 令 f ( x ) 3 x 3 0 得x 1
列表讨论如下：
( ,1) x f ( x )
1 0
( 1， 1)
1
0
(1， )
y f ( x)
为书写简便:
单调增加 单调减少
简记为 简记为
. .
例3 讨论函数 f ( x ) 3 x 2 的单调性 .
A
B
y
A
y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b
x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
在 (a , b)内可导 ， 定理1 设函数 f ( x )在[a, b]上连续，
那末函数 f ( x ) 在[a , b]上单调增加. （1） 如果在(a , b)内 f ( x ) 0，
( 2) 如果在 (a , b)内 f ( x ) 0， 那末函数 f ( x ) 在[a , b]上 单调减少.
• 确定曲线单调区间的步骤 （1）求 f ’( x )； （2）求驻点 x i 及导数不存在的点 x j . （3）列表，逐一判别点 x i ,x j 两侧的导数符号，以确定 曲线 y = f( x )的单调区间。
例4 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为 ( ,0], [0, 2 ], [ 2 ,). 3 3
求曲线 y 3 x 的拐点. 5 2 1 3 4 3 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
指出：利用函数单调性的判定可以证明某些不等式. 例5 当0 x 时, 试证 tan x x . 2 证 设f ( x ) tan x x .
即 x ln(1 x ) 0, 故 x ln(1 x ).
三、曲线凹凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在区间I内连续, 如果对I上任意两点x1 , x2 ,
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
2.拐点的求法
方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
四、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.