2015创新设计(高中理科数学)题组训练8-5
2015创新设计(高中理科数学)题组训练9-3
第3讲变量间的相关关系、统计案例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()．A．速度一定时，位移与时间B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．身高与体重D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于身高一样的人，体重仍可以不同，故选C.答案 C2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()．A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y 的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案 A3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()．A．－1 B．0C.12D．1解析所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.答案 D4．(2014·兰州调研)对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y＝10.5x＋a^，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为()．A．210 B．210.5C．211.5 D．212.5解析由数据中可知x＝5，y＝54，代入回归直线方程得a^＝1.5，所以y^＝10.5x＋1.5，当x＝20时，y^＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案 C5．(2014·临沂一模)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．附：C．99% D．99.9%解析因为K2＝7.069＞6.635，所以P(K2＞6.635)＝0.010，所以说有99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．答案 C二、填空题6．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”).解析因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．答案正7．(2014·济南模拟)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的^＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万回归直线方程：y元，年教育支出平均增加________万元．解析回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．答案 0.158．(2014·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05 根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析 ∵K 2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案 5%三、解答题9．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)(2)将表中的数据代入公式K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得到K 2的观测值k ＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x＋a^； (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b^＝∑i ＝14x i y i －4x ·y∑i ＝14x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．以下四个命题，其中正确的是( )．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．A ．①④B ．②④C．①③D．②③解析①是系统抽样；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．答案 D2．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()．A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r1解析对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，所以选C.答案 C二、填空题3．(2014·江西重点中学联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘^＝0.67x＋54.9.法求得回归方程y解析由已知可计算求出x＝30，而回归直线方程必过点(x，y)，则y＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则a＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a＝68.答案68三、解答题4．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解(1)100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：将2×2列联表的数据代入公式计算：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100(30×10－45×15)2 45×55×75×25＝10033≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，X～B⎝⎛⎭⎪⎫3，14，从而X的分布列为E(X)＝np＝3×14＝34，D(X)＝np(1－p)＝3×14×34＝916.。
2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)8-5
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(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋12c，
∴|AC→′|＝
2|a|，|C→E|＝
5 2 |a|.
AC→′·C→E＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，
∴cos〈AC→′，C→E〉＝
12|a|2 ＝ 2·25|a|2
10 10 .
－2155.
(√)
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[感悟·提升] 1．一种思想 理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向
量类比，如 (5)． 2．两种方法 一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基
底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)．二是强化坐标 运算，如(6)、(7)、(9)、(10).
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解析 ∵O→G＝O→M＋M→G＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(O→N－O→M)＝12O→A＋23O→N－23O→M ＝12O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23×12O→A ＝16O→A＋13O→B＋13O→C， 又O→G＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 根据空间向量的基本定理，x＝16，y＝z＝13.
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2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范
围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b
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2015高考数学(理)一轮题组训练：8-1空间几何体及其表面积与体积
第八篇立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案 ①③④⑤3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎨⎧πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32. 由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案 23 二、解答题9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ，因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.(2)解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22，所以PC＝AP2－AC2＝2.因为CD＝12AB＝2，PD＝32PB＝6，所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.由(1)得AB⊥平面PCD，于是由V C－APB ＝V A－PDC＋V B－PDC，得13·h·S△APB＝13AB·S△PDC，所以h＝AB·S△PDCS△APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C到平面APB的距离为23 3.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V′＝13π⎝⎛⎭⎪⎫33h2h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC ＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC ＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V S－ABC＝13×34×(3)2×4＝ 3.答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，＝12×2×22×32＝ 3.答案33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝ 13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
2015创新设计(高中理科数学)8-7
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• 【训练1】 (2014·山东省实验中学诊断)已知点 P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射 影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时， |PA|＋|PM|的最小值是________．
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解析 将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在 抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线 l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝ |PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时 |PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝ 9＋a2－1.
答案 9＋a2－1
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• 考点二 抛物线的标准方程与几何性质
• 【例2】 (2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝
2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交A．其y2准＝9线x l于点BC．，y2＝若6x|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，
则C．此y2抛＝3物x 线的D方．程y2＝为3x
C. 2
D．± 3
解析 抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的
2015高考数学(理)一轮题组训练：8-5空间向量及其运算
第5讲 空间向量及其运算基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题 1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是________．解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. 答案 02．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________． 解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎨⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案 2，12或－3，123．(2014·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点________(判断是否共面)．解析 ∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 共面4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为________． 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案 1455．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是________三角形(直角、钝角、锐角)． 解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)． ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形． 答案 直角三角形6．(2014·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________． 解析 设M (0，y,0)，则MA →＝(1，－y,2)，MB →＝(1，－3－y,1)，由题意知|MA →|＝|MB →|，∴12＋y 2＋22＝12＋(－3－y )2＋12，解得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案 (0，－1,0)7．若三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，则a ＝________，b ＝________.解析 AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)，因为三点共线，所以存在实数λ使AC →＝λAB →，即⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得a ＝3，b ＝2.答案 3 28.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3， 则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 0 二、解答题9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)? 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95. 因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 (1)CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→， ∴CG →∥CA 1→，即A 1，G ，C 三点共线． (2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， 因此CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1， 同理CA 1⊥BD ，又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线， 故A 1C ⊥平面BC 1D .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是________． 答案 22．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为________． 解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 14a 23.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝ 8 cm ，则CD 的长为________．解析 设AB →＝a ，AC →＝c ，BD →＝d ，由已知条件|a |＝4，|c |＝6，|d |＝8，〈a ，c 〉＝90°，〈a ，d 〉＝90°，〈c ，d 〉＝60°，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|－c ＋a ＋d |2 ＝a 2＋c 2＋d 2－2a ·c ＋2a ·d －2c ·d ＝16＋36＋64－2×6×8×12＝68， 则|CD →|＝217. 答案 217 cm 二、解答题4.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
2015创新设计(高中理科数学)8-4
C(3,2)，于是切线的斜率必存在． 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3， |3k＋1| 3 由题意，得 2 ＝1，解得k＝0或－4， k ＋1 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
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(2)如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)，又kAB· kPC＝－1，且kPC 1－0 1 ＝ ＝ ，∴kAB＝－2. 3－1 2 故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案 (1)B (2)A
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规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到
答案 (1)B (2)C
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考点三 有关圆的综合问题
【例 3】 (2013· 江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1) 若圆心 C也在直线 y ＝ x － 1上，过点 A作圆 C的切线，求切 线的方程； (2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的
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2．两个重要结论
一是两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含时： 0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条； ⑤外离：4条． 二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得 两圆公共弦所在直线的方程.
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(2)因为圆心在直线y＝2x－4上， 所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|， 所以 x2＋y－32＝2 x2＋y2， 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－ 1|≤|CD|≤2＋1， 即1≤ a2＋2a－32≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0. 12 由5a －12a＋8≥0，得a∈R；由5a －12a≤0，得0≤a≤ 5 .
2015创新设计(高中理科数学)专题二(第二篇)
4
(
)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
3
3
log2x，x＞1， 一审条件 1：转化函数 y＝|log2x|为 y＝ 得到图象,如图. － log x ， 0 ＜ x ＜ 1. 2
二审条件 2：见上图.
审 的解，求出 A，B，C，D 点的横坐标., 题 的横坐标即是方程|log2x|＝2m8 ＋1
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３、教你审题
巧用对数函数图象解题
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【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1：y＝m 和 l2：y＝2m＋1(m＞0)，l1 与 典例 3 函数 y＝|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A，B，l2 与函数＝|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C，D．记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b. 3 当 m 变化时，a的最小值为
b
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)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
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8 4 法二 ＋m＝ ＋m 1 2m＋1 m＋ 2 4 1 1 1 7 ＝ ＋m＋ － ≥4－ ＝ ， 1 2 2 2 2 m＋ 2 4 1 3 当且仅当 ＝m＋ ，即 m＝ 时等号成立， 1 2 2 m＋ 2 b 故 的最小值为 22＝8 2. a 答案 B
1、方法优化
根据函数的奇偶性求参数值
x 典例1 1 【典例 】 (2012· 辽宁卷)若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( A )． 2x＋1x－a 1 2 3 A． B． C． D．1 2 3 4
[一般解法] 由题意知 f(－x)＝－f(x)恒成立， －x x 即 ＝－ ， 1 1 2－x＋2－x－a 2x＋2x－a 1 1 1 即x－2(x＋a)＝x＋2(x－a)恒成立，所以 a＝ . 2 [优美解法] (特值法) 由已知 f(x)为奇函数得 f(－1)＝－f(1)， －1 －1 即 ＝ ， －2＋1－1－a 2＋11－a 1 所以 a＋1＝3(1－a)，解得 a＝ . 2
2015创新设计(高中理科数学)题组训练5-1
页眉内容第1讲 数列的概念与简单表示法基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为 ( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) 解析 将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )．A.56 B.65 C.130D ．30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30. 答案 D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝ ( )． A ．－10 B ．6 C ．10D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是 ( )．A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析 法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列．且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n .法二 (累乘法)：n ≥2时，a na n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2.…a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n .答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝ ( )．A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －1 解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n＝32(n ≥2)，又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 B 二、填空题6．(2013·蚌埠模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大． 答案 10或117．(2014·广州模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n (n ≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)． 答案 a n ＝13n8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…， a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得 a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66. 答案 66 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．10．在数列{a n }中，a 1＝1，S n 为其前n 项和，且a n ＋1＝2S n ＋n 2－n ＋1. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵a n ＋1＝2S n ＋n 2－n ＋1， ∴a n ＝2S n －1＋(n －1)2－(n －1)＋1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝2a n ＋2n －2(n ≥2)． 由已知可得a 2＝3， ∴n ＝1时上式也成立．∴a n ＋1－3a n ＝2n －2(n ∈N *)，a n －3a n －1＝2(n －1)－2(n ≥2)． 两式相减，得(a n ＋1－a n )－3(a n －a n －1)＝2(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－a n ， ∴b n －3b n －1＝2(n ≥2)， b n ＋1＝3(b n －1＋1)(n ≥2)．∵b 1＋1＝3≠0，∴{b n ＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列， ∴b n ＋1＝3×3n －1＝3n ， ∴b n ＝3n －1.∴T n ＝31＋32＋ (3)－n ＝12·3n ＋1－n －32.(2)由(1)知，a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝30＋31＋32＋…＋3n －1－(n －1)＝12(3n ＋1)－n .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8(9－2n )(11－2n )＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，∴n ＝5. 答案 C2．(2014·湖州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3)D ．(2,3)解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (8)>f (7)⇒2<a <3.答案 D 二、填空题3．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28 三、解答题4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式， 故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2. a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n≥2时，a n＋1≥a n⇔12·⎝⎛⎭⎪⎫32n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞).。
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第5讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．2 3 B．6C．4 3 D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4 3.答案 C2．(2014·广州模拟)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()．A．－21 B．21C．－1925或21 D.1925或21解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，解得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.答案 C3．(2014·韶关模拟)已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()．A．4 B．5C．7 D．8解析将椭圆的方程转化为标准形式为y2(m－2)2＋x2(10－m)2＝1，显然m－2＞10－m，即m＞6，且(m－2)2－(10－m)2＝22，解得m＝8.答案 D4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()．A.x28＋y26＝1 B.x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1 D.x216＋y24＝1解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，ca＝1 2，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6. 答案 A5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝4 5，则C的离心率为()．A.35 B.57C.45 D.67解析如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝82＋102－x22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57.答案 B二、填空题6．(2014·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 x 216＋y 212＝17．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9. ∴b ＝3. 答案 38．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析 因为直线y ＝3(x ＋c )过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c由点M 在椭圆上知，c ＋3c ＝2a . 故离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 答案3－1三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2， 又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P 点坐标为(x ，y )， ∵∠F 2F 1P ＝120°，∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°， 即y ＝－3(x ＋1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A ，B (A ，B 不重合)，求OA →·OB →的取值范围．解 (1)∵2a ＝4，∴a ＝2， 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，∴34＋12b 2＝1，解得b 2＝2， ∴所求椭圆方程x 24＋y 22＝1.(2)由题意知k MO ＝66，∴k AB ＝－ 6. 设直线AB 的方程为y ＝－6x ＋m ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y22＝1，y ＝－6x ＋m ，消去y ，得13x 2－46mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝(－46m )2－4×13×(2m 2－4)＝8(12m 2－13m 2＋26)＞0， ∴m 2＜26，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝46m13，x 1x 2＝2m 2－413，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2813∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2813，5013.∴OA →·OB →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2813，5013.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )． A ．1 B. 2 C.32D. 3解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.答案 D2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )．A.12B.23C.34D.45解析 令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P ＝120°，∴∠PF 2x ＝60°，∴|F 2P |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ， ∴3a ＝4c ，∴c a ＝34， 即椭圆的离心率为34.答案 C二、填空题3．(2014·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝23.答案 23三、解答题4．(2014·河南省三市调研)已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ， ∴F (2,0)，B (0，2)，∴c ＝2，b ＝2， ∴a 2＝b 2＋c 2＝6，椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m ＞6， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝－33(x －m )，消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0，解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1).FD →＝(x 2－2，y 2)，∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3.∵点F 在圆E 内部，∴FC →·FD →＜0， 即2m (m －3)3＜0，解得0＜m ＜3.又6＜m＜23，∴6＜m＜3. 故m的取值范围是(6，3).。