八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2等腰三角形练习新版北师大版
2022春八年级数学下册第1章三角形的证明达标检测新版北师大版(含答案)
八年级数学下册新版北师大版：第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，173．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“H L”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD AD的值为( )A.12B.25C.13D.146．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5 C．2 D．17．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD 等于( )A．10 B．12 C．24 D．4810．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题(每题3分，共24分)11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；(2)求△ABE的周长．20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.(1)求点B的坐标．(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．答案一、1.D 2.D3．C 点拨：A 项的逆命题：若a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0，是假命题；B 项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C 项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D 项的逆命题：若|a |＝|b |，则a ＝b ，是假命题．故选C. 4．A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A10．A 点拨：由题意得BD ＝CD ，DE ＝DF ，∠DFB ＝∠DEC ＝90°，∴Rt △CDE ≌Rt △BDF ，∴①正确；易知AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴CA －AB ＝AE ＋CE －(BF －AF )＝AE ＋AF ＝2AE ，∴②正确；∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠DCB ，∠FAE ＝∠ABC ＋∠ACB ，∠FBD ＝∠ECD ，∴∠BDC ＋∠FAE ＝180°－∠DBC －∠DCB ＋(∠FBD ＋∠DBC )＋(∠DCB －∠ECD )＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF ＋∠CBD ＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行 12．2 13.214．45° 点拨：如图，∵CE ⊥AB 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠AEC ＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4. 在△ABD 和△CHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠5＝∠6，∠1＝∠4，AB ＝CH ，∴△ABD ≌△CHD (AAS)．∴AD ＝CD .∴△ADC 为等腰直角三角形．∴∠ACB ＝45°.(第14题)15．1516．4 点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE ＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB ＋PE的最小值为4.(第16题)17．100°18．32 点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19.解：(1)作图如图所示．(第19题)(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC. ∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA )． ∴BF ＝CD .22．(1)证明：∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB .∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°.∴∠BCE ＋∠ABC ＝∠DBC ＋∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 在∠BAC 的平分线上． 理由：在△EOB 和△DOC 中，OB ＝OC ，∠BEO ＝∠CDO ，∠EOB ＝∠DOC ， ∴△EOB ≌△DOC ， ∴OE ＝OD .又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴OE ⊥AE ，OD ⊥AD .∴点O 在∠BAC 的平分线上．23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°. ∵D 是BC 边的中点， ∴BD ＝CD .在△BED 与△CFD 中， ∵∠DEB ＝∠DFC ， ∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS )． (2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°. 又∵DE ⊥AB ， ∴∠EDB ＝30°.∴在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2. ∴BC ＝2BD ＝4.∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝3BC ＝12. 24．证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．(第24题)∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG .∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )， ∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25．解：(1)如图①，过点B 作BC ⊥x 轴于点C . ∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2， ∴∠AOB ＝60°，BO ＝OA ＝2. ∴∠BOC ＝30°. 又∵∠OCB ＝90°，∴BC ＝12OB ＝1，∴OC ＝ 3.∴点B 的坐标为(3，1)．(第25题)(2)∠ABQ 的大小始终不变．∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ＝60°.∴∠PAO ＝∠QAB .在△APO 与△AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB (SAS )．∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(3)如图②，当OQ ∥AB 时点P 在x 轴的负半轴上，点Q 在点B 的下方，∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°.∴∠OBQ ＝30°.又OB ＝OA ＝2，∴OQ ＝12OB ＝1，∴BQ ＝ 3.由(2)可知，△APO ≌△AQB ， ∴OP ＝BQ ＝ 3.∴此时点P 的坐标为(－3，0)．。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明练习(包含答案)
第一章三角形的证明一、单选题1．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为：（）A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm 3．如图所示，V ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15︒，则∠2的度数为（）A．15︒B．30°C．30°D．60︒4．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A．1,2,3B．7,12,13C．5,8,10D．15,20,255．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，在V ABC中，∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC，与AC交于点P,下列结论正确的是（）． ∠ △°A ． PC < 2P AB ． PC > 2P AC ． AB < 2P AD ． AB > 2P A7．在联欢会上，有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的（）A ．三边中垂线的交点C ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点D ．三边上高的交点8 如图所示，Rt△ABC 中， C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于点 E .当∠B 30时，图中一定不相等的线段有()△A ．AC △AE BEC ．△CD DEB ．AD △BDD ．AC △BD9．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 A B 、AC于 D 和 E ，再分别以点 D 、E 为圆心，大于二分之一 DE 为半径作弧，两弧交于点 F ，连接AF 并延长交 BC 于点 G ，GH ⊥AC 于 H ，GH ＝2，则△ABG 的面积为（ ）A．4B．5C．9D．1010．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题11．如图，已知在∆ABC中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）12．如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90︒,AB=26米，BC=24米．则这块菜地的面积是_____．13．如图，在V ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于1AC长为半径画2弧，两弧相交于点M、N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B=70︒，则∠BAD的度数是_____度．14．如图，∆ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AE=AF；④FG//AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是______．三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝△45°，求证：ACD为等腰三角形；（△2）若ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120︒，求∠BDC的度数．17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？△18．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、△OC，若OBC的周长为13cm，求OA的长．19．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)△求AMN的周长．答案1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6.C.△， ，△， △﹣ △， △﹣ ﹣ △，△， △，△， △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7．A8．D9．B10．C11．AD ⊥BC12．96△△△13．3014．①③④15．（1） AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°， BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△， ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形；（2）有两种情况： △当 ADC=90°△时，B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°；△当 CAD=90°△时， BAD= BAC CAD=120° 90°=30°；△即 BAD 的度数是 60°或 30°．⎨∠BAO = ∠CAD16．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°∵AO=OD ，∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ ， AB = AC∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC=∠OAD ，∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.（1）解：在 Rt ∆AOB 中，由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7（2）设梯子的 A 端下移到 D ， OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中，由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了：2.4=2=0.4m18.解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（△2）∵OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．19.解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS△可证BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS△可证DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN(2)由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )
【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明练习(含答案)
第一章 三角形的证明一、单选题1．如图，△ABC 中，△B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．122．在△ABC 中，AB=AC ，△C=75°， 则△A 的度数是（ ）A ．30°B ．50°C ．75°D ．150°3．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．含30°角的直角三角形4．如图，过等边△ABC 的顶点A 作射线，若△1=20°，则△2的度数是（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°5．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是 （ ）A ．3，4，5B ．1，2C ．5，6，7D ．1，16．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，若满足2(6)100a c --=，则这个三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形7．如图，在ABC V 中，BA BC =，120ABC ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点E ，BC 的垂直平分线交AC 于点N 交BC 于点F ，连接BM ，BN ，若24AC =，则BMN △的周长是（ ）A ．36B ．24C ．18D ．168．如图，在ABC V 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与BC 交于点E ，分别以点E ，C 为圆心，大于12EC 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若45B ∠=︒，2C CAD ∠=∠，则BAC ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．75︒C ．65︒D ．30°9．如图，在R △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝85，AD 平分△BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）A ．185B ．245C ．4D ．26510．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm二、填空题 11．若等腰三角形的一个内角的度数为48°，则其顶角的度数为_____．12．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，60BAC ∠=︒，25EBC ∠=︒，则DAC ∠=_______.13．如图，△AOD 关于直线l 进行轴对称变换后得到△BOC ，那么对于（1）△DAO =△CBO ，△ADO =△BCO （2）直线l 垂直平分AB 、CD （3）△AOD 和△BOC 均是等腰三角形（4）AD =BC ，OD =OC 中不正确的是_____．14．已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分△ABC 和△ACB ，OD△BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是 ．三、解答题15．如图，在等边ABC V 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ．（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．16．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=1，DA=1，且△B=90°，求：(1)△BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)．17．已知如图，在△ABC 中，△B ＝45°，点D 是BC 边的中点，DE △BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE ．（1）求△AEC 的度数；（2）请你判断AE 、BE 、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．18．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ．（1）若120α=︒，判断OB OD +_______BD (填“>，<或=”)（2）当150α=︒，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α=______时，AOD ∆是等腰三角形．(请直接写出答案)答案1．A2．A3．A4．A5．C6．D7．B8．B9．D10．A11．84°或48°．12．20°13．（3）14．30．15.解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，60B ∴∠=︒，//DE AB Q ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥Q ，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒Q ，60EDC ∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形．3ED DC ∴==，90DEF ∠=︒Q ，30F ∠=︒，26DF DE ∴==．16.解：（1）连接AC ，如图所示：△AB=BC=1，△B=90°=又△AD=1，△ AD 2＋AC 2=3 CD 22=3即CD 2=AD 2+AC 2△△DAC=90°△AB=BC=1△△BAC=△BCA=45°△△BAD=135°；（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt△，△S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =1×1×12×12=12+ . 17.解：（1）△点D 是BC 边的中点，DE △BC ，△DE 是线段BC 的垂直平分线，△EB ＝EC ，△△ECB ＝△B ＝45°，△△AEC ＝△ECB +△B ＝90°；（2）AE 2+EB 2＝AC 2．△△AEC ＝90°，△AE 2+EC 2＝AC 2，△EB ＝EC ，△AE 2+EB 2＝AC 2．18.解：（1）=（2）ADO ∆是直角三角形．（3）α为125︒、110︒、140︒时，AOD ∆是等腰三角形。
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)
《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试卷含答案
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( ) A ．至少有一个内角是直角 B ．至少有两个内角是直角 C ．至多有一个内角是直角 D ．至多有两个内角是直角2．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A ．25°B ．65°C ．70°D ．75°3．在△ABC 中，已知∠A ＝∠B ＝45°，BC ＝2，则AB 的长为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或105．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是( )A.332B ．3C ．2 3D ．46. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE.若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．17． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，且AD 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32 B.25 3 C.33 D.34二．填空题（共8小题，3*8=24）11．命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________，它是________________命题．12. 如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了________．13． 如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，且OE ＝1，则AB 与CD 之间的距离等于_______．14．如图，△ABC 的周长为32，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为________．15． 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是__________.16．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝4，E 是AB 边的中点，点P 在AD 上运动，则PB ＋PE 的最小值是________．17．等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为点D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为________．18． AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，∠AOC ＝60°，∠ACD ＋∠ABD ＝210°，则线段AB ，AC ，BD 之间的等量关系式为_________________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，AD ＝AE.求证：BD ＝CE.20．(8分) 如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.21．(8分) 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．22．(10分) 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．23．(10分) 如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．24．(10分) 在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.25．(12分) 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD 上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF.(1)如图①，当点E是BD的中点时，若BC＝4，求AF的长；(2)在(1)的条件下，如图②，连接AE，求证：DE＋EF＝2AE.图①图②参考答案1-5BBCCA 6-10DCDBC11. 只有一个交点的两条直线一定相交；真 12. 2cm 13. 2 14. 8 15. 5 16．417．45°或15°或75° 18. AB 2＝AC 2＋BD 219. 证明：过点A 作AP ⊥BC 于P.∵AB ＝AC ，∴BP ＝PC ，∴AD ＝AE ，∴DP ＝PE ，∴BP －DP ＝PC －PE ，∴BD ＝CE20. 证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，即∠CAB ＝∠EAD. 又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS)． ∴∠C ＝∠E.21. 解：(1)证明：∵∠A ＝∠ABE ，∴EA ＝EB.∵AD ＝DB ，∴DF 是线段AB 的垂直平分线． (2)∵∠A ＝46°，∴∠ABE ＝∠A ＝46°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝21°，∠F ＝90°－∠ABC ＝23°.22. 解：(1)设底边长为x cm ，则腰长为2x cm.依题意，得2x ＋2x ＋x ＝18，解得x ＝185，∴2x ＝365.∴三角形三边的长为185 cm ，365 cm ，365cm(2)若腰长为4 cm ，则底边长为18－4－4＝10 cm.而4＋4＜10，所以不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形．若底边长为4 cm ，则腰长为12(18－4)＝7 cm.此时能围成等腰三角形，三边长分别为4 cm ，7 cm ，7 cm23. 解：(1)证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ＝60°，即∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)作CH ⊥BQ 于点H ，图略．则PQ ＝2HQ.在Rt △BHC 中，由(1)得∠CBH ＝∠CAO ＝30°，∴CH ＝12BC＝4，在Rt △CHQ 中，HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－42＝3，∴PQ ＝2HQ ＝6. 24. 解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS)，∴EG ＝EC25. 解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∴AB ＝AC ＝2 2. ∵BD ＝CF ，AB ＝AC ，∴Rt △BAD ≌Rt △CAF(HL)，∴∠DBA ＝∠ACF. ∵∠EFB ＝∠AFC ，∴∠BEF ＝∠FAC ＝90°，∴CE ⊥BD.∵BE ＝DE ，∴CB ＝CD ＝4， ∴AF ＝AD ＝CD －AC ＝4－2 2.(2)作AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥EC 于点N.∵△BAD ≌△CAF ，∴AM ＝AN ，∴∠AEM ＝∠AEN ＝45°，∴AM ＝EM ＝EN ＝AN.∵AD ＝AF ，AM ＝AN ，∴Rt △AMD ≌Rt △ANF(HL)，∴DM ＝FN ，∴DE ＋EF ＝EM ＋DM ＋EN －FN ＝2EM ，∵AE ＝2EM.∴DE ＋EF ＝2AE.。
北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章 三角形的证明 第3课时 等腰三角形的判定与反证法
8．(8分)用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角． 证明：假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是大于等于90°的角， 则____∠__B__＋__∠__C_≥_1_8_0_°________， 从而__∠__A_＋__∠__B_＋__∠__C_______＞180°， 这与__三__角__形__内__角__和__为__1_8_0_°__矛盾． 则假设___不__成__立_____， 所以∠B，∠C只能为__锐__角． 故等腰三角形的两底角必为锐角．
6．(4 分)用反证法证明“ 5 是无理数”时，最恰当的证法是先假设 5 是( C ) A．分数 B．整数 C．有理数 D．实数
7．(4 分)(驻马店月考)在用反证法证明命题“在一个三角形中， 至少有一个内角大于或等于 60°”时， 应首先假设___在__一__个__三__角__形__中___，__三__个__内__角__都__小__于__6_0_°_________．
数学 八年级下册 北师版
第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1．(4 分)在△ABC 中，已知∠B＝∠C，则下列关系正确的是( B) A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60° 2．(4 分)满足下列哪组条件可使△ABC 是等腰三角形( D ) A．∠A＝50°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝100° C．∠A＋∠B＝90°
第10题图
11．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O.过点O作DE∥BC， 分别交AB，AC于点D，E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是__9__．
第11题图
三、解答题(共36分) 12．(10分)如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CD.
北师版数学八年级下册课时练 第一章 三角形的证明 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
北师版数学八年级下册第一章三角形的证明1等腰三角形第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD和CE相交于点F.若BD＝3，则CE＝__3__．第1题图第2题图2．(2019·山东济南商河期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD和CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中共有__7__对全等三角形．3．证明：等腰三角形两腰上的中线相等．解：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC.∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(SAS)，∴BD＝CE，即等腰三角形两腰上的中线相等．4．若等边三角形的周长为12 cm，则它的边长是(B)A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)A．100°B．80°C．60°D．40°第5题图第6题图6．(2019·四川成都武侯区期末)如图，等边三角形ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为(C)A．1 B. 2C. 3 D．27．(2019·辽宁营口模拟)如图，等边△ABC的顶点A，B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为(A)A．15°B．20°C．25°D．30°第7题图第8题图8．如图，等边三角形ABC的两条中线BD，CE相交于点O，则∠BOC＝__120°__．9．(2019·江苏无锡宜兴二模)如图，已知在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E 为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE.证明：因为在等边三角形ABC 中，AB ＝CA ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，所以∠EAB ＝∠DCA ＝120°.又因为AE ＝DC ，所以△EAB ≌△DCA ，所以AD ＝BE .10．如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A ，E ，D 三点在同一直线上，若BD ＝4，CD ＝3，求线段AD 的长．解：∵△ABC 和△BDE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，EB ＝DB ＝ED ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°，∴∠ABC －∠EBC ＝∠EBD －∠EBC ，即∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS)，∴DC ＝AE . ∵AD ＝AE ＋ED ，∴AD ＝BD ＋CD ＝4＋3＝7.易错点 对等边三角形的性质把握不清而出错 11．等边三角形的角平分线、中线和高共有( A ) A ．3条 B ．5条 C ．7条D ．9条12．(2018·福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)A．15°B．30°C．45°D．60°13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则图中与∠B相等的角(不包括∠B)有(C)A．1 个B．2个C．3个D．4个14．(2019·广西北部湾经济区二模)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形按如图所示放置．若∠β＝20°，则∠α等于__40°__．15．(教材P7，习题1.2，T2改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，D，F分别是边AB，BC，AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD.若∠EDF＝50°，则∠A的度数为__80°__．第15题图第16题图16．(2019·山西太原三十六中课时作业)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD，则BD的长为__43__．17．(2019·湖北黄冈月考)如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠CEG＝__40°__．18．已知：如图，在△ABC中，AC＝8，点D在AB边上，且AD＝BD＝CD＝5，在△ABC 外，作等边三角形ACE.(1)判断△ABC的形状，并证明；(2)求四边形ABCE的周长．解：(1)△ABC是直角三角形．证明：如图，∵AD＝BD＝CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3.又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴△ABC是直角三角形．(2)在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝AB2－AC2＝6.又∵△ACE是等边三角形，∴AE ＝CE＝8，∴四边形ABCE的周长为AB＋BC＋AE＋CE＝32.19．已知△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.就下面给出的三种情况(如图1、图2、图3所示)，探究∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并证明你的结论．解：∠BQM＝60°，为定值．证明：如题图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC.∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)．∴∠BAM＝∠CBN(全等三角形的对应角相等)，∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.如题图2，∠BQM＝∠ABN＋∠BAM.∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°.如题图3，∠BQM＝∠N＋∠NAQ.∵△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM.又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°.。
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第一章三角形的证明
1 等腰三角形（第2课时）
基础导练
1．若△ABC的三边长分别为a，b，c满足(a－b)(b－c)·(c－a)＝0，那么△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．锐角三角形
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形
B．有两边相等且是轴对称的三角形
C．有一个角是60°且是轴对称的三角形
D．三边都相等的三角形
3．如图，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝．
4．如图，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD是等腰三角形．
能力提升
5．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图3折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．
6．如图4，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．
7．如图所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB到E使BE＝BD，连接DE.
(1)请你写出图中的一个等腰三角形(除△ABC外，不必说明理由)．
(2)如果已知AC＝2 013 cm，你能求出图中CE的长吗？试试看．
(3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使(1)(2)成立？
参考答案
1．A
2．B
3．10
5．解：正确．
由折叠，得∠PEF ＝∠FEC ′.
又因为BD ′∥AC ′，
所以∠FEC ′＝∠PFE .
所以∠PEF ＝∠PFE ，
所以PE ＝PF .
所以△PEF 是等腰三角形．
6．解：△ADE 是等腰三角形．理由如下：
因为AD 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的高，
所以∠BAD ＝∠CAD (等腰三角形三线合一定理)．
因为DE ∥AB ，
所以∠BAD ＝∠ADE (两直线平行，内错角相等)，
所以∠CAD ＝∠ADE ，
所以AE ＝DE ，
所以△ADE 是等腰三角形．
7．解：(1)△BDE 为等腰三角形；
(2)因为△ABC 为等边三角形，
所以AB ＝AC ＝2 013 cm ；
又因为CD 是AB 边上的高，
所以BD ＝12
AB ＝1 006.5 cm ， 所以BE ＝BD ＝1 006.5 cm ，
所以CE ＝BC ＋BE ＝2 013＋1 006.5＝3 019.5 cm ；
(3)把“CD 是AB 边上的高”改成“CD 是AB 边上的中线”或“CD 是∠ACB 的平分线”仍能使(1)(2)成立．。