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一九九八年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、 填空题
1.设15+=m ,那么m
m 1+
的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .
4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .
5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.
6.满足19982+2m =19972+2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ,共有 个.
7.设平方数2y 是11 个相继整数的平方和,则y 的最小值是 .
8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.
9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.
10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.
11.设),(b a 为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.
12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.
13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是____________.
14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.
15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S =10A +9B +8C +7D +6E +5F +4G +3H +2I ,
r 是S 除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r .(若r =0,则规定J =0;若r =1,规定J 用x 表示)
现有一本书的书号是962y 707015,那么y = .
第二试
1.求所有正实数a ,使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.
2.已知P 为▱ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M 、N 分别为PB,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:
(1)P ,Q,O 三点在一条直线上;
(2)PQ =2OQ .
3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.
一 九 九 八 年
第 一 试
1．3
15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+
m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．
322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，
1==AB AE ，2=EB ，又CDA ∆∽CBE ∆，3
2==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD . 3．2
2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x
22)1()1(22=+--+--=x x x x x .
4．3
因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理. 得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .
5．3
16 由原图 AE
FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF
AE FG -=2
3
163352=-=(厘米). 6．16
47175399522⨯⨯==-m n ,
47175))((⨯⨯=+-m n m n .
显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).
7．11
11个相继整数的平方和为
22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x ΛΛ
22)10(11y x =+=,
则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .
8．39
∵ MBP ∆∽CBA ∆，
3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,
∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=
∆ABC S . 9．27
204 ∵
72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .
记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.
又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，
解之得 2728=b ， 27
100=c . ∴ )(27
20427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13
由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2
)1(321+=++++n n n Λ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.
11．-1
b a b ab a 222--++
b b a b a 2)1(22-+-+=
412343)21(22--+-+
=b b b a 1)1(4
3)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 02
1=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.
12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=
(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)
因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.
13．15
设算式
∴ A ≤6.
35876543219)(2=++++++=++B A .
∴ 8=+B A .
欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.
14．62
如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆, NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，
QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，
∴ MPQ ∆∽QPN ∆，
NP
PQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).
a c f
B b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+B
b +e =9+A
15．7
213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S
∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为
6-1=5, ∴y =7
第 二 试
一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，
则⎩⎨⎧>=>=+0
4,0a xy a y x
2
a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；
7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .
于是25=a 或18或16均为所求.
说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.
二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q .
在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，
∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =
在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，
∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =
这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.
三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一） 以上5个数可用以下步骤找出：
第一步：2,3,4为满足要求的三个数.
第二步：设a ,a +2,a +3,a +4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a =12，得满足条件的四个数12，14，15，16.
第三步：设b ,b +12,b +14,b +15,b +16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即
b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。