三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα
αα
αβααβααβααααα
=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-
如（1）下列各式中，值为12
的是 A 、1515sin cos B 、221212cos sin π
π
- C 、22251225tan .tan .- D 、1302
cos + （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
（3）已知35
sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4）131080
sin sin -的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是313a a
-+，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22αβαβ++=⋅，()()
222αββααβ+=---等），
如（1）已知2tan()5
αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____
（2）已知02π
βαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223
sin()αβ-=，求cos()αβ+的值
(2)三角函数名互化(切化弦)，
如（1）求值sin50(13tan10)+
（2）已知
sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

如（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____
(2)设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，34
sin Acos A =
，则此三角形是____三角形
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2
αα-=与 升幂公式 21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22s i n αα-=)。

如(1)若32(,)αππ∈，化简111122222c o s α++为_____
（2）函数2553f (x )sin xcos x cos x =-532
(x R )+
∈的单调递增区间为___________
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如（1）化简：4221
2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+
-+
(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x
=+
tan sin 42
ππ===等）， 如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-
(7)正余弦—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，
如（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（2）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。

8、辅助角公式中辅助角的确定：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=
++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如（1）若方程sin 3cos x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______
（3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2
560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
（2）ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
课后练习题
1：(1)已知α∈(
2π,π)，sin α=53,则tan(4
πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
A.－
21 B.21 C.－23 D.23
3：设cos （α－
2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2
π， 求cos （α+β）.
4：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2
2C A +-- cos2B=27,求角B 的度数.
5． 已知α为锐角，且21tan =α，求
ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.
02cos 22sin =-x x
6．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；
(1) 求)625(
πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值．
7：已知
（1）求x tan 的值；
（2）求x x x
sin )4cos(22cos ⋅+π的值．
8设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos
sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值. （1）求ϕ.的值;
（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3)(=A f ,求角C..。