专题一 第4讲 万有引力定律及其应用

[限训练·通高考] 科学设题 拿下高考高分(45分钟)一、单项选择题1．(2018·北京西城区高三期末)如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，它们的运动均可近似看成匀速圆周运动．如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量( )A ．地球绕太阳公转的半径和周期B ．月球绕地球转动的半径和周期C ．地球的半径和地球绕太阳公转的周期D ．地球的半径和月球绕地球转动的周期解析：由万有引力提供向心力可得，G Mm r 2＝m (2πT )2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2，要求出地球质量，需要知道月球绕地球转动的轨道半径和周期，选项B 正确，A 、C 、D 错误．答案：B2.(2018·安徽合肥高三一模)2018年1月31日天空上演了“月全食血月”＋“超级月亮”＋“蓝月”三景合一的天文奇观．“超级月亮”看起来比平常大14%、亮度提高了30%.这是因为月球沿椭圆轨道绕地球运动到近地点的缘故．下列说法中正确的是( )A ．此时月球的速度最小B ．此时月球的加速度最大C ．月球由远地点向近地点运动的过程，地球对月球的万有引力做负功D ．月球由远地点向近地点运动的过程，月球的机械能减小解析：月球沿椭圆轨道绕地球运动到近地点时的速度最大，选项A 错误；由G Mm r 2＝ma 知，在近地点时月球受到地球的万有引力最大，月球的加速度最大，选项B 正确；月球由远地点向近地点运动的过程，地球对月球的万有引力做正功，选项C 错误；月球沿椭圆轨道绕地球运动过程中，只有地球对月球的万有引力对月球做功，月球的机械能守恒，选项D 错误．答案：B3．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B.4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1解析：由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知，T 2r 3＝4π2GM ，则两卫星T 2P T 2Q ＝r 3P r 3Q.因为r P ∶r Q ＝4∶1，故T P ∶T Q ＝8∶1.答案：C4．(2018·湖南省十三校联考)如图所示，由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年启动，拟采用三颗全同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个边长约为地球半径27倍的等边三角形阵列，地球恰好处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、高度约10万千米的轨道上运行，对一个周期仅有5.4分钟的超紧凑双白矮星系统RXJ0806.3＋1 527产生的引力波进行探测．若地球近地卫星的运行周期为T 0，则三颗全同卫星的运行周期最接近( )A ．6T 0B.30T 0 C ．60T 0 D ．140T 0解析：设地球的半径为R ，对近地卫星有G Mm R 2＝mR (2πT 0)2，对三颗全同卫星中的某颗卫星，有G Mm r 2＝mr (2πT )2，由题意知，该卫星的轨道半径r ＝27R 2cos 30°＝93R ，联立解得该卫星的周期T ＝(93)3T 0≈60T 0，选项C 正确．答案：C5．(2018·山东济南五校联考)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船经历5次变轨后与“天宫二号”目标飞行器在距地面393 km 的近圆轨道上，成功进行了空间交会对接，再次上演“太空之吻”．下列关于“天宫二号”、飞船和航天员的说法正确的是( )A ．航天员在“天宫二号”内的“私人睡眠站”中睡觉时处于平衡状态B ．由于轨道上有极其稀薄的大气，若不加干预，“天宫二号”的动能会减小C ．为了实现对接，飞船和“天宫二号”应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度D ．飞船应先在比“天宫二号”半径小的轨道上加速逐渐靠近“天宫二号”，两者速度接近时实现对接解析：航天员在“天宫二号”内的“私人睡眠站”中加速度不为0，处于完全失重状态，受力不平衡，选项A 错误；由于轨道上有稀薄的大气，“天宫二号”的线速度在减小，做近心运动，到了低轨道后，根据G Mm r 2＝m v 2r 可知，“天宫二号”的线速度增大，动能增大，选项B 错误；在同一轨道上运行时，二者线速度相等，且都小于第一宇宙速度，不可能实现对接，选项C 错误；飞船在低轨道加速，做离心运动，两者速度相等时，可实现对接，选项D 正确．答案：D6．(2018·河南六市第一次联考)随着地球资源的枯竭和空气污染(如雾霾)的加重，星球移民也许是最好的解决方案之一．美国NASA 于2016年发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，与地球的相似度为0.98，并且可能拥有大气层和流动的水，这颗名叫Kepler 452b 的行星距离地球约1 400光年，公转周期约37年，它的半径大约是地球的1.6倍，重力加速度与地球相近．已知地球表面第一宇宙速度为7.9 km/s ，则下列说法正确的是( )A ．飞船在Kepler 452b 表面附近运行时的速度小于7.9 km/sB ．该行星的质量约为地球质量的1.6倍C ．该行星的平均密度约是地球平均密度的85D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度解析：设Kepler 425b 行星的半径为R ，飞船的质量为m ，第一宇宙速度为v ，由万有引力定律得，mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，则v K v 地＝ R K R 地＝ 1.6>1，故v K >7.9km/s ，选项A 错误；设Kepler 425b 行星的质量为M ，由万有引力近似等于重力得，G Mm R 2＝mg ，解得M ＝gR 2G ，则M K M 地＝R 2K R 2地＝2.56，选项B 错误；行星的密度ρ＝M43πR 3＝3g 4πRG ，则ρK ρ地＝R 地R K ＝58，选项C 错误；第三宇宙速度是卫星脱离太阳引力束缚的发射速度，由于该行星是太阳系以外的行星，因此发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，选项D 正确．答案：D7．某卫星在半径为r 的轨道1上做圆周运动，动能为E 1，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE ，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为( )A.E 1r E 1－ΔEB.E 1ΔE rC.ΔEr E 1－ΔED.E 1－ΔE ΔE r解析：由题意知在半径为r 的轨道1上，卫星的线速度v ＝ 2E 1m ，在轨道2上卫星的线速度v ′＝ 2(E 1－ΔE )m，根据万有引力提供向心力有GMm r 2＝m v 2r ，得r ＝GM v 2＝GMm 2E 1，所以轨道2的半径r ′＝GM v ′2＝2E 1r 2(E 1－ΔE )＝E 1r E 1－ΔE，故A 正确． 答案：A8．已知地球的半径为R ，地球同步卫星离地高度为h ，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和地球同步卫星的有关物理量，下列说法中正确的是( )A ．赤道上物体与地球同步卫星的线速度之比为v 1v 3＝R ＋h R B ．近地卫星与地球同步卫星的角速度之比为ω2ω3＝(R ＋h R )2 C ．近地卫星与地球同步卫星的周期之比为T 2T 3＝ (R R ＋h)3 D ．赤道上物体与地球同步卫星的向心加速度之比为a 1a 3＝(R ＋h R )2 解析：地球同步卫星与地球自转同步，角速度相同，由v ＝ωr 和a ＝ω2r 得v 1v 3＝R R ＋h ，a 1a 3＝R R ＋h，选项A 、D 错误；对近地卫星G Mm 2R 2＝m 2ω22R ，对地球同步卫星G Mm 3(R ＋h )2＝m 3ω23(R ＋h )，两式比较可得ω2ω3＝ (R ＋h R )3，选项B 错误；同样对近地卫星G Mm 2R 2＝m 24π2T 22R ，对地球同步卫星G Mm 3(R ＋h )2＝m 34π2T 23(R ＋h )，两式比较可得T 2T 3＝ (R R ＋h )3，选项C 正确．答案：C9.我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，由此可知( )A ．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m 3B ．同步卫星与P 点的速度之比为1nC．量子卫星与同步卫星的速度之比为n mD．量子卫星与P点的速度之比为n3 m解析：由开普勒第三定律有，R3同R3量＝T2同T2量＝n3m3，可知同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n3m3，选项A错误；由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，由v＝ωr＝2πT r可得同步卫星与P点的速度之比为v同∶v P＝n∶1，选项B错误；由GMmr2＝m v2r，解得v＝GMr，量子卫星与同步卫星的速度之比为v量v同＝R同R量＝nm，选项C错误；量子卫星与P点的速度之比为v量v P＝v量v同·v同v P＝n3m，选项D正确．答案：D二、多项选择题10．“神舟十一号”载人飞船在太空中遨游33天后，于2016年11月18日载着两名航天员顺利返回地面，任务取得了完美成功，但其中的惊险，恐怕没几人知晓．飞船在飞行中遇到空间碎片，一旦撞上，后果不堪设想，为此研究人员准备了600多个应急故障预案．假设飞船飞行中发现前方有一个空间碎片，为了避开航天碎片的撞击，需要改变运行轨道，对于变轨过程，下列说法正确的是() A．降低运行速度，飞船将逐渐运动到较高轨道上，定位后，飞船的机械能增大B．降低运行速度，飞船将逐渐运动到较低轨道上，定位后，飞船的机械能减小C．加大运行速度，飞船将逐渐运动到较高轨道上，定位后，飞船的机械能增大D．加大运行速度，飞船将逐渐运动到较低轨道上，定位后，飞船的机械能减小解析：降低运行速度，飞船在原轨道的万有引力大于所需要的向心力，将做近心运动，飞船逐渐运动到较低的轨道，飞船降低速度后，在原轨道的动能减小，势能不变，机械能减小，之后向低轨道运动过程中，机械能不变，所以定位后，飞船的机械能减小，故A错误，B正确；加大运行速度，飞船在原轨道的万有引力小于所需要的向心力，飞船将做离心运动，飞船将逐渐运动到较高轨道上，飞船加大运行速度后，在原轨道的动能增大，势能不变，机械能增加，之后向高轨道运动过程中，机械能不变，所以定位后，飞船的机械能增加，故C正确，D 错误．答案：BC11.2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)()A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度C．L3和L2到地球中心的距离相等D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大解析：“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式a＝4π2 T2r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离大于L 3到地球中心的距离，选项C 错误；在5个点中，L 2点离地球最远，所以在L 2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D 正确．答案：ABD12．(2017·高考江苏卷)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( )A ．角速度小于地球自转角速度B ．线速度小于第一宇宙速度C ．周期小于地球自转周期D ．向心加速度小于地面的重力加速度解析：由于地球自转的角速度和周期与地球同步卫星一致，故“天舟一号”可与地球同步卫星比较，由于“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以，角速度是“天舟一号”大，周期是同步卫星大，选项A 错，C 对；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，B 对；对“天舟一号”有G M 地m (R 地＋h )2＝ma 向，所以a 向＝G M 地(R 地＋h )2，而地面重力加速度g ＝G M 地R 2地，故a 向<g ，D 对． 答案：BCD13．1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21D ．可求月球、地球及太阳的密度解析：对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G ，选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 32GT 22，选项B 正确．对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，选项C 、D 错误． 答案：AB14．2016年8月16日，我国在酒泉卫星发射中心成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空，使我国首次实现了卫星和地面之间的量子通信，构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．已知“墨子号”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运行周期)，“墨子号”运动的弧长为s ，轨迹圆弧所对圆心角为β(弧度)，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．“墨子号”的线速度大于地球的第一宇宙速度B ．“墨子号”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C ．“墨子号”的环绕周期为2πt βD ．“墨子号”的质量为s 3Gt 2β解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝ GMr ，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“墨子号”运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A 错误；由G Mm r 2＝ma 得，a ＝G M r 2，则“墨子号”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故B 正确；“墨子号”经过时间t (t 小于其运行周期)，运动的弧长为s ，轨迹圆弧所对圆心角为β(弧度)，则“墨子号”运行的角速度为ω＝βt ，则“墨子号”的环绕周期为T ＝2πω＝2πt β，故C 正确；“墨子号”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm 0r 20＝m 0ω2r 0，ω＝βt ，v ＝s t ＝ωr 0，联立解得地球的质量为M ＝s 3Gt 2β，不能求出“墨子号”的质量，故D 错误．答案：BC15．我国已于2016年成功发射“天宫二号”，并计划于2020年发射“火星探测器”．设“天宫二号”绕地球做圆周运动的半径为r 1、周期为T 1；“火星探测器”绕火星做圆周运动的半径为r 2、周期为T 2.万有引力常量为G .根据题设条件，可得( )A ．关系式r 31T 21＝r 32T 22B ．地球与火星的平均密度之比为T 21T 22C ．地球与火星的质量之比为r 31T 22r 32T 21D ．“天宫二号”和“火星探测器”的向心加速度大小之比为r 1T 22r 2T 21解析：根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可知，r 3T 2＝GM 4π2，则r 31T 21＝GM 地4π2，r 32T 22＝GM 火4π2，故r 31T 21≠r 32T 22，选项A 错误；因为地球和火星的半径不知道，所以无法算出地球和火星的体积，所以地球和火星的平均密度无法求出，故B 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2，“天宫二号”绕地球做圆周运动的半径为r 1、周期为T 1，地球质量为M 地＝4π2r 31GT 21，“火星探测器”绕火星做圆周运动的半径为r 2、周期为T 2，火星质量为M 火＝4π2r 32GT 22，所以有M 地M 火＝r 31T 22r 32T 21，故C 正确；根据圆周运动知识，向心加速度a ＝4π2T 2r ，“天宫二号”的向心加速度大小a 1＝4π2T 21r 1，“火星探测器”的向心加速度大小a 2＝4π2T 22r 2，“天宫二号”和“火星探测器”的向心加速度大小之比为a 1a 2＝r 1T 22r 2T 21，故D 正确． 答案：CD。