辽宁省沈阳市东北育才学校2018_2019学年高一数学上学期期中试题2018112102235

2018-2019学年度上学期期中考试高一年级数学试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一备课组一、选择题（本大题共 12小题，每题 5分，共 60分）1.命题“存在R ，0”的否定是x2xA.不存在 R,>0B.存在R,x2xx2xC.对任意的 xR ,2xD.对任意的 xR ,2x >01x2.已知全集为 R ，集合，，则集合M| (ln 2)1Nx1xM (C N )x |Rx 2（ ）A1,1B .1,1C . 1,2D . 1,2.3．如果 a b 0，那么下列各式一定成立的是（ ）A ． a b 0B ． ac 2 bc 2C ． a 2 b 2D ．11 a bx , xlog1f (x )f ( f54. 已知函数，则 =（ ）x( ))2 , x0 251A. 4B ．C ．D ． 41 445.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（）41224A. B．C．D．53556.35x 2x20的一个充分但不必要的条件是()11A.x3B. x0C. 1x 6D.223x127.已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面,,给出下列四个命题，正确命题的个数是①若a//，a//，b，则a//b②若，a，b则a b③若，，a，则a④若//，a//，则a //- 1 -A ．1B ． 2C ． 3D ． 4xz8. 已知 x0, y0, z0, x y 2z0，则 的( )y21 A ． 最大值为B ．最小值为818C ． 最大值为8D ．最小值为89．已知直线 m 、n 及平面，其中 m ∥n ，那么在平面内到两条直线 m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是 （）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）ee1 1xxa fc ff xb fln10．函数，若， ln 2，，则有（ ）ee23xxA ． cb aB ．b a cC ． c a bD ．b c a11.设函数 f (x ) x 2ax a 3， g (x ) ax 2a ，若，使得和xR f (x ) 0g (x ) 0同时成立，则 a 的取值范围为( )A.(7,) B.(6,)(,2) C.(,2) D.(7,) (,2)12．将边长为 2的正△ABC 沿着高 AD 折起，使∠BDC=120°，若折起后 A 、B 、C 、D 四点都在 球 O 的表面上，则球 O 的表面积为()771313A ．B ．C ．D ．2 23二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分）13.已知圆锥的母线长为 4cm ，圆锥的底面半径为 1cm ，一只蚂蚁从圆锥的底面 A 点出发，沿圆 锥侧面爬行一周回到点 A ，则蚂蚁爬行的最短路程长为cm4 1 14. 已知 x 0, y 0, x 2y1，则的最小值是x yf x x ax(,1]a()log(2)215.若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围为a___________16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为36的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．- 2 -三、解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17. (本题满分 10分) 2已知幂函数在上单调递增，函数 .f xmx(0,) g (x ) 2x k( ) ( 1)2m 4m 2（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）当 x[1, 2]时，记 f (x ) ， g (x ) 的值域分别为集合 A , B ，设命题 p : x A ,命题q : x B p q k，若命题 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.18. (本题满分 12分)解关于 x 的不等式ax1 x 219．(本题满分 12分)如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是 AC 的中点，A 1D ⊥平面 ABC ，AB=BC ，平面 BB 1D 与棱 A 1C 1 交于点 E ． （Ⅰ）求证：AC ⊥A 1B ；（Ⅱ）求证：平面 BB 1D ⊥平面 AA 1C 1C ；20. (本题满分 12分)某厂家拟在 2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）k x t t42t 1（单位：万件）与年促销费用 （）（单位：万元）满足（ 为常数）.x k如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1万件. 已知 2019年生产该产品的固定投 入为6万元，每生产 1万件该产品需要再投入 12万元，厂家将每件产品的销售价格定为 每件产品平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（Ⅰ）将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；- 3 -（Ⅱ）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？21. (本题满分12分)如图C,D是以AB为直径的圆上的两点，AB2AD23,AC BC,F是AB上的一点，且1AF AB CE2,将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知3(1)求证：AD平面BCE（2）求证AD//平面CEF；（3）求三棱锥A-CFD的体积22．(本题满分12分)已知函数f(x)(x D)，若同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递减或单调递增；②存在区间[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]，那么称f(x)(x D)为闭函数．（1）求闭函数f(x)x3符合条件②的区间[a,b]；（2）判断函数f(x)2x lg x是不是闭函数？若是请找出区间[a,b]；若不是请说明理由；（3）若f(x)k x2是闭函数，求实数k的取值范围．- 4 -答案和解析1.D2. 【答案】D 【解析】试题分析：|1 0| 12,xMxxxx 2Nxx x= | 1( ) |12| (ln 2)1 x 1 = | 1 C N x xMC Nxx ,选 DRR3.C 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：∵a ＜b ＜0， ∴a ﹣b ＜0，a+b ＜0， ＞ ，∴（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2＞0，即 a 2＞b 2， 故 C 正确，A ，D 不正确当 c=0时，ac=bc ，故 B 不一定正确， 故选：C ．【点评】本题考查了不等式的性质，掌握基本性质是关键，属于基础题．1 1 14.解：由题 f ( f ( )) f (log ) f (2) ，选 B.525 25 45.【分析】当平面 ABC ⊥平面 ACD 时，得到的四面体 A ﹣BCD 的体积取最大值，由此能求出四 面体 A ﹣BCD 的体积的最大值．【解答】解：矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起， 当平面 ABC ⊥平面 ACD 时，得到的四面体 A ﹣BCD 的体积取最大值， 此时点 B 到平面 ACD 的距离 d= == ，S △ADC ==6，∴四面体 A ﹣BCD 的体积的最大值为： V=== ．故选：C．6.B7. C- 5 -xz xz xz 1 18.解析：＝＝＝≤. 选Ay2 x＋2z 2 x2＋4xz＋4z2 x 4z 8＋＋4z x9.C10.D11.【答案】A【解析】试题分析：函数f(x)x2ax a3的图象恒过定点（1，4），g(x)ax2a的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．由f(x)x2ax a3知（f0）a3，（f1）4，又存在，使得00，x R（f x）＜知即或，另中恒过（2，0），2430a2a6g(x)ax2aa a故由函数的图象知：a=0时，（f x）x2ax a3x23恒大于0，显然不成立．a0若a0时，g x x，27；,a0002f0g x00x0 2若a<0时，，aa此时函数f(x)x2ax a3图象的对称x1，故函数在区间为增函数，（，）22又不成立．故选A.f14，f x0考点：一元二次不等式的解法12.【分析】由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A﹣BCD，且AD垂直于底面△BCD，求解底面△BCD外接圆，利用球心与圆心垂直构造直角三角形即可求解球O的半径，可得球O的表面积．- 6 -【解答】解：由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A﹣BCD，且AD垂直于底面△BCD，底面△BCD中∠BDC=120°，DC=DB=1，那么BC= ，∴底面△BCD外接圆半径：2r= ，即r=1．AD垂直于底面△BCD，AD= ，∴球心与圆心的距离为，球心与圆心垂直构造直角三角形，∴球O的半径R2= = ．球O的表面积S=4πR2=7π．故选：B．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．13.【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=，解得n=90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法，考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14.64215. 【分析】因为函数f（x）=log a（x2﹣ax+2）为函数y=log a x与y=x2﹣ax+2的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论a＞1，0＜a＜1，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围．【解答】解：∵函数 在区间（﹣∞，1]上为单调递减函数，∴a ＞1时，y=x 2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递减函数， 且 x 2﹣ax+2＞0在（﹣∞，1）上恒成立，∴需 y=x 2﹣ax+2在（﹣∞，1]上的最小值 1﹣a+2=3﹣a ＞0， 且对称轴 x= a ≥1，∴2≤a ＜3；0＜a ＜1时，y=x 2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递增函数，不成立． 综上可得 a 的范围是[2，3）． 16. 48 317解：（Ⅰ）依题意得： (m 1)2 1, m 0 或 m 2当 m2 时， f (x ) x2 在(0,)上单调递减，与题设矛盾，舍去∴ m 0．……………4分（Ⅱ）当 x[1, 2]时， f (x ) ， g (x ) 单调递增，∴ A [1, 4], B[2 k ,4 k ]，由命题 p 是 q 成立的必要条件，得 BA ，∴2 k 14 k 40 k 1． ……………10分18.解：原不等式等价于 (ax 1)(x 2)0 (1)当 a 0 时， 解集为 (,2)(2)当 a0 时，原不等式可化为 (ax 1)(x 2) 0 ，1(1 ,2)因为，所以解集为2aa(3)当时，，解集为0 a2a a112(,2) (1 ,)22解集为(,2)(2,)(5)当时，，解集为a112(,1)(2,)2a a1综上所述，当a0时，解集为(,2)；当a0时，解集为(,2)；a- 8 -当时，解集为；当时，解集为0a1(,2)(1,)a1(,1)(2,)2a2a说明：每种情况2分，最后综上2分19.【分析】（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．（Ⅲ）推导出B1B∥A1A，从而B1B∥平面A1A C C1，由此能证明B1B∥DE．【解答】证明：（Ⅰ）因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AC．因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．因为A1D∩BD=D，…………………（3分）所以AC⊥平面A1BD．所以AC⊥A1B．（Ⅱ）因为A1D⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以A1D⊥BD．由（Ⅰ）知BD⊥AC．因为AC∩A1D=D，所以BD⊥平面A1ACC1．因为BD⊂平面BB1D，所以平面BB1D⊥平面AA1C1C．k20.解：（Ⅰ）由题意有14，得k3……………………1分13故x4.2t1x2t1 1827t(t0)2t1……………………6分- 9 -（Ⅱ）由（Ⅰ）知：1891y 27t 275[(t )]27529215 2t1t21291当且仅当t ,即t 25时，y有最大值. ………11分12t2答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. ………12分21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意：AD BDCE ABD CE AD平面∴BD CE E AD BCE∴平面．………………4分（2）证明：Rt BCE中，CE 2，BC 6∴BE 2Rt AB 23AD 3BD 3ABD中，，∴．BF BE2∴．∴BA BD3A D//EFAD CEF EF CEF在平面外，在平面内，∴AD//平面CEF．………………8分（3）解：由（2）知AD//EF，AD ED，且ED BD BE 113∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．S31．FAD22CE ABD平面332622.【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断- 10 -（3）易知y=k+ 在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+ 至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求（2）取特值说明即可，不是闭函数．（3）由函数f（x）=k+ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x 只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知y=k+ 在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+ 至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴得，即所求．另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，所以，函数y=2x+lgx是不是闭函（3）由函数f（x）=k+ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+则有k=x﹣= ，（令t= ），如图则直线若有两个交点，则有k ．【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思。