辽宁省沈阳市东北育才学校复数经典例题 百度文库
2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+3x <10}，B ={x|x >1}，则A ∪B 等于( )A. {x|1<x <2}B. {x|−5<x <1}C. {x|x >1}D. {x|x >−5} 2. 复数z 1=2+i ，z 2=−1+i ，则z 1z 2的共轭复数对应点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为( )A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125 4.A. 2年B. 4年C. 5年D. 6年5. 某个命题的结论为“x ，y ，z 三个数中至少有一个为正数”，现用反证法证明，假设正确的是 ( )A. 假设三个数都是正数B. 假设三个数都为非正数C. 假设三个数至多有一个为负数D. 假设三个数中至多有两个为非正数6. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是( )A. 模型1的相关指数为0.99 B. 模型2的相关指数为0.88 C. 模型3的相关指数为0.50 D. 模型4的相关指数为0.207. 复数z =2i 1−i ，则( ) A. 复数z 的虚部为1B. 复数z 的虚部为−1C. 复数z 的虚部为iD. 复数z 的虚部为−i8. 已知函数f(x)={2x +1,x ≥0−x 2+1,x <0，则f(f(−1))=( ) A. 0 B. −1 C. 1 D. 29. 已知f(x)满足f(x +4)=f(x)和f(−x)=−f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)=2x 2，则f(7)=( )A. −2B. 2C. −98D. 9810. 已知f(x)是二次函数，且函数y =lnf(x)的值域为[0,+∞)，则f(x)可以是( )A. y =x 2B. y =x 2−2x +3C. y =x 2+2x +2D. y =−x 2+111. 函数y =x 2⋅e −|x|−1(其中e 为自然对数的底数)的图象大致是( ) A. B. C. D.12. 已知f(x)=e x −e −x ，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(2)=( )A. 0B. e 2+e −2C. e 2−e −2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式(x −1)(x +1)(x −2)<0的解集为______ ．14. 已知函数f(x)={(12)x −1,x ≥1(a −2)x +1,x <1为R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是______． 15. 函数y =2x 2−lnx 的单调增区间为______．16. (1)过曲线y =x 3−2x 上的点(1,−1)的切线方程为____________．(2)在区间[−π2,π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2 cm ，AD =1 cm ，则异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值为____________．(4)已知函数f(x)={log 2x,x >0,2x ,x ≤0,若函数g(x)=f(x)−kx 有零点，则实数k 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知复数z1=2aa−1+(a2−1)i，z2=m+(m−1)i(i是虚数单位，a，m∈R)(1)若z1是实数，求a的值；(2)在(1)的条件下，若|z1|<|z2|，求实数m的取值范围．18.用适当方法证明：(1)已知：a>0，b>0，求证：a√b +b√a≥√a+√b；(2)若x，y∈R，x>0，y>0，且x+y>2.求证：1+xy 和1+yx中至少有一个小于2．19.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1−8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20−30；30−40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．(1)填写下面2×2列联表：判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关，说明你的理由：(下面的临界值表供参考)(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20−30岁之间的概率．(已知从6人中取3人的结果有20种)20.已知函数f(x)=(x−a)2x(a为常数且a>0)．(Ⅰ)确定f(x)的极值；a3恰有三个零点；(Ⅱ)证明g(x)=f(x)−227(Ⅲ)如果函数ℎ(x)=g(x+λa)的图象经过坐标平面四个象限，求实数λ的取值范围．21.已知函数f(x)=x2e−ax，其中a>0．(I)求f(x)的单调区间；(II)求f(x)在[1,2]上的最大值22.(本小题满分10分)选修4−4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(是参数)．(I)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；(II)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值．23.已知函数f(x)=|x−m|(其中m为常数)．(1)若f(0)+f(2)≤3，求实数m的取值范围；(2)求证：36f(−1)+f(3)≤(a2+b2)(1a2+4b2)对任意实数a，b，m恒成立．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵A ={x|−5<x <2}，B ={x|x >1}，∴A ∪B ={x|x >−5}．故选：D ．可求出集合A ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由z 1=2+i ，z 2=−1+i ，则z 1z 2=2+i −1+i =(2+i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−3i 2=−12−32i ． 所以z 1z 2的共轭复数为−12+32i ，对应的点为(−12,32)，故选：B ．利用复数的除法运算化简z 1z 2，求出其共轭复数，则对应的点可求． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3.答案：D解析：试题分析：：∵55=3125，56=15625，57=78125，58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4=502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，考点：本小题主要考查归纳推理。
辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试数学试卷
辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试数学试卷一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,4A =，集合{}0,3,5,6B =，则()U A B ð等于（）A ．{}4B ．{}7,8C ．{}3,5,6D ．{}3,5,6,02．若复数z 满足1ii z-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A ．iB ．1C ．i-D ．1-3πsin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2cos 2cos αα+=（）A ．34B ．12C ．14-D ．12-4．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）AB ．2πC ．D ．5．已知向量()*12,,,n a a a n ∈N 满足()1111,2,,1,1,2,i i a a d i n a d a +-==-== 与d 的夹角为π3，设1n n b a a =⋅ ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．120B ．180C ．210D ．4206．在ABC V 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，3cos 3cos b C c B a -=，则()tan B C -的最大值为（）AB ．2C D ．247．已知矩形ABCD ，3AB =，AD =，M 为边DC 上一点且1DM =，AM 与BD 交于点Q ，将ADM △沿着AM 折起，使得点D 折到点P 的位置，则sin PBQ ∠的最大值是（）A ．13B ．3C ．23D ．10108．函数()2e 12e 21x x xh x -=++，不等式()()2222h ax h ax -+≤对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,-+∞B ．(),2-∞C ．()0,2D ．[]2,0-二、多选题9．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个实数根，则312a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'10．如图，已知ABC V 中，23B π=，2AB BC ==，M 是AC 的中点，动点P 在以AC 为直径的半圆弧上.则（）A ．2BM BA BC=+ B ．BP BC ⋅最小值为-2C ．BM 在BC 上的投影向量为13BC D ．若,BP xBA yBC x y =++的最大值为111．如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A ．//EF 平面ABCDB ．二面角A EF B --随着x 的减小而减小C ．当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D ．当32BC =时，存在xABCDEF 三、填空题12．已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =.13．如图，平面四边形ADBC中，,AB BC AB BC ABD ⊥== 为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为.14．已知不等式ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，则当nm取最大值时，m =．四、解答题15．已知,,a b c 分别为ΔA 三个内角,,A B C的对边，且满足sin cos 0a B A =，4a =.（1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ΔA 面积.16．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<.17．已知函数()21e xax x f x +-=，R a ∈．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)当0a >时，若对于任意[]1,3x ∈，不等式()21112ef x ≤≤+成立，求a 的取值范围．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥面,4,ABCD PD AB E ==为棱PA 上的动点．(1)若E 为棱PA 中点，证明：PC ∥面EBD ；(2)在棱PA 上是否存在点E ，使得二面角B DE A --的余弦值为2?3若存在，求出PEPA 的值；若不存在，请说明理由；(3),,E F Q 分别在棱,,PA PC PD 上，1EQ FQ ==，求三棱锥F EDP -的体积的最大值．19．已知定义在R 上的函数()e kx bf x +=（e 是自然对数的底数）满足()()f x f x '=，且()11f -=，删除无穷数列()1f 、()2f 、()3f 、L 、()f n 、L 中的第3项、第6项、L 、第3n 项、L 、()N,1n n ∈≥，余下的项按原来顺序组成一个新数列{}n t ，记数列{}n t 前n 项和为n T .(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知数列{}n t 的通项公式是()()n t f g n =，N ∈n ，1n ≥，求函数()g n 的解析式；(3)设集合X 是实数集R 的非空子集，如果正实数a 满足：对任意1x 、2x X ∈，都有12x x a -≤，设称a 为集合X 的一个“阈度”；记集合(),N,1131324n nT H w w n n n f ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∈≥⎨⎬⎛⎫+⋅-⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，试问集合H 存在“阈度”吗？若存在，求出集合H “阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；。
2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学复习卷(1)(含解析)
2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中数学复习卷(1)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.i为虚数单位，则(2i)2=()A. −4B. 4C. 2D. −22.观察式子：，，，……则可归纳出式子()()A. B.C. D.3.定义方程f(x)=f′(x)(f′(x)是f(x)的导函数)的实数根x0叫做函数的f(x)“新驻点”，若函数g(x)=x，r(x)=ln(x+1)，φ(x)=x3−1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A. α>β>γB. β>α>γC. β>γ>αD. γ>α>β=1−yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则复数x+yi的共轭复数对应的点位于为() 4.已知x1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.“猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，所以一切哺乳动物都用肺呼吸”.此推理方法是()A. 完全归纳推理B. 归纳推理C. 类比推理D. 演绎推理6.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是()A. 推理完全正确B. 推理形式不正确C. 大前提不正确D. 小前提不正确7.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab不能被5整除，a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为()A. a，b都能被5整除B. a，b不都能被5整除C. a，b至少有一个能被5整除D. a，b至多有一个能被5整除8.若1+(a−3)i是实数(i是虚数单位，a∈R)，则a+i等于()1−iA. 1−2iB. 1+2iC. −1+2iD. 2+i9.定义[x]表示不超过x的最大整数，若f(x)=cos(x−[x])，则下列结论中：①y=f(x)为偶函数；②y=f(x)为周期函数，周期为2π；③y=f(x)的最小值为cos1，无最大值；④y=f(x)无最小值，最大值为1．正确的命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个10.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则的取值范围为()A. B. C. D.11.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为()A. B. C. D.12.已知函数f(x)={x 2+5x,x≥0,−e x+1,x<0.若f(x)≥kx，则k的取值范围是A. (−∞,0]B. (−∞,5]C. (0,5]D. [0,5]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则，14.从1，2，3，4，5，6中选出3个不同的数组成3位数，并将这些三位数由小到大打排列，则第100个数是______ ．15.如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB=1，则⊙O的半径r=________．16.设函数f(x)=2x2+6x+6−ae x(a为非零实数)，若函数f(x)有三个零点，则a的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=(a2−7a+12)+(a2−5a+6)i(a∈R)，那么当a为何值时，z是实数？当a为何值时，z是虚数？当a为何值时，z是纯虚数？18.证明不等式：(1)若a，b，c是非负实数，则a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc；(2)若a，b是非负实数，则a+b+2≥2(√a+√b)；(3)者a>0，b>0，则ab2+ba2≥1a+1b．19.将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin(θ+π4)=3√2，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(Ⅱ)问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S△ABP=3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20.图，∠ACB=45，C=，过动点A作AD⊥BC，垂足在线段C上且异点B，连接AB，沿D将△ABD折起使∠C=9°(如图2).记空格/Dx，V(x)三棱锥−BCD的积．Vx)+2x当x为何值时，取得最小值，并求出该最小值；设函数f()=3xf(x)取得最值时，设点E，M别为BCAC中点，试在棱CD确定点N，使ENBM，并求E与平面BMN所成的大．21.设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)=g(x)，g n+1=g(g n(x)),n∈N+，请猜想出g n(x)的表达式，并用数学归纳法加以证明．+a，g(x)=alnx−x(a≠0)．22.已知函数f(x)=axx2+1(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)求证：当a>0时，对于任意x1，x2∈(0,e]，总有g(x1)<f(x2)成立．【答案与解析】1.答案：A解析：解：(2i)2=4i 2=−4． 故选：A ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力，属于基础题．解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C 正确． 故选C ．3.答案：D解析：解：①∵g(x)=x ，∴g′(x)=1，由g(x)=g′(x)，解得x =1，∴α=1． ②∵r(x)=ln(x +1)，∴r ′(x)=1x+1，由r(x)=r′(x)，得到ln(x +1)=1x+1，令ℎ(x)=ln(x +1)−1x+1，则ℎ′(x)=1x+1+1(x+1)2，因此函数ℎ(x)在(−1,+∞)单调递增． ∵ℎ(0)=−1<0，ℎ(1)=ln2−12>0，∴0<β<1．③∵φ(x)=x 3−1，∴φ′(x)=3x 2，由φ(x)=φ′(x)，得x 3−1=2x 2， ∵2x 2>0，(x =0时不成立)，∴x 3−1>0，∴x >1，∴γ>1． 综上可知：γ>α>β． 故选：D ．①g′(x)=1，由g(x)=g′(x)，解得α=1．②r ′(x)=1x+1，由r(x)=r′(x)，得到ln(x +1)=1x+1，利用导数研究函数ℎ(x)=ln(x +1)−1x+1的单调性，利用函数的零点存在定理即可得出．③由φ′(x)=3x 2，φ(x)=φ′(x)，得x 3−1=2x 2，可得x 3−1>0，可得γ>1． 本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性，属于中档题．4.答案：D解析：解：∵x1+i =1−yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位， ∴x =(1+i)(1−yi)=1+y +(1−y)i ， ∴由复数相等可得{x =1+y 0=1−y ，解得{x =2y =1，∴复数x +yi 的共轭复数为2−i ， ∴对应的点为(2,−1)，在第四象限． 故选：D变形由复数相等可得x 和y 的值，进而可得其共轭复数，可得对应点所在的象限． 本题考查复数的基本概念，涉及复数相等和共轭复数，属基础题．5.答案：B解析：本题考查的是归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程；判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程；判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．解：“猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，所以一切哺乳动物都用肺呼吸”， 从猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，归纳出一切哺乳动物的共性：都用肺呼吸， 此推理方法是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理． 故选B ．6.答案：D解析：本题考查演绎推理．解：小前提：是幂函数，不是指数函数，故错误．故选D．7.答案：C解析：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选C．根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．8.答案：B解析：解：1+(a−3)i是实数(i是虚数单位，a∈R)，∴a−3=0，解得a=3．则a+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i．故选：B．1+(a−3)i是实数(i是虚数单位，a∈R)，可得a−3=0，解得a.代入a+i1−i，再利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：作函数f(x)=cos(x−[x])的图象如下，①y=f(x)不是偶函数，故不正确；②y=f(x)为周期函数，周期为1，故不正确；③y=f(x)的最小值不存在，最大值为1，故不正确；④y=f(x)无最小值，最大值为1，故正确．故选B．作函数f(x)=cos(x−[x])的图象，则图象得到性质．本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．10.答案：A解析：试题分析：令，得，即，即，若函数与在上是“关联函数”，则问题转化为直线与曲线在区间上有两个交点，在同一坐标系中作出直线与曲线在区间图象，由图象知，当时，直线与曲线在区间上有两个交点，故选A．考点：1.新定义；2.函数的零点11.答案：B解析：试题分析：由，设，则，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，而，故不等式等价于，所以，选B ．考点：函数的单调性与导数．12.答案：D解析：本题考查了分段函数，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数图像的应用． 解：∵f(x)={x 2+5x,x ⩾0−e x +1,x <0，大致图象如下图：若f(x)≥kx，∴f(x)的图像在y=kx图像上方，∵当x≥0时，f(x)=x2+5x，∴f′(x)=2x+5，∵在(0,0)处切线的斜率为：f′(0)=5，∴结合图像，可得k∈[0,5]．故选D．13.答案：3解析：试题分析：因为，，所以，，a=3．考点：定积分的计算点评：简单题，关键是准确求得原函数，建立a的方程。
2021-2022学年辽宁省东北育才学校高一下学期期中考试数学试题(解析版)
在四棱锥 中，取PD中点N，连接AN，MN，如图，
因M为PC中点，则 , ，又 且 ，则有 ， ，
即四边形ABMN是平行四边形，有 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
因 平面PAD， 平面 ，则 ，而 ，因此， ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
18.函数 ．
（1）求函数 的最小正周期及对称中心；
④ ，则存在 ，使得 ，可得 ，则 ，正确；
故选：A．
8.已知 的外接圆圆心O满足 ，其中m，n为正数且 ，若 ，则 （）
A.4B. C.16D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数量积公式及几何意义可得 ， ，然后将已知等式两边同时乘以 和 ，得到等量关系 ， ，对等量关系进行整理化简即可得到答案.
【详解】取AC的中点D,连接OD,则 ,
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用三角形的面积公式，分别求出单位圆内接正 边形的面积和单位圆外切正 边形的面积，然后求它们的平均数即可.
【详解】取单位圆，即半径 ，所以，单位圆内接正 边形，可以分解成 个三角形，且每个三角形面积为 ，所以，单位圆内接正 边形的面积为 .
单位圆外切正 边形可以同样分解成 个三角形，且每个三角形面积为 ，所以，单位圆外切正 边形的面积为 .
2021-2022学年辽宁省东北育才学校
高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数 的虚部为（）
A. B. C.2D.2i
【答案】A
【解析】
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2023届高三上学期数学学科第一次模拟测试题
东北育才双语学校2022—2023学年度上学期高三年级数学学科第一次模拟测试题一､单选题（共8小题，每题5分）1.设复数 z 满足()12i z i +=（其中 i 为虚数单位），则下列结论正确的是A.2z =B.z 的虚部为i C.22z = D.z 的共轭复数为1i-【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由()12i z i +=，得()22(1)111(1)i i i z i i i i -===+++-，∴z =，z 的虚部为1，()2212z i i =+=， z 的共轭复数为1i -，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知平面向量a ，b 满足2= a ，()1,1b = ，a b +=r r ，则a 在b上的投影向量的坐标为（）A.22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1C.()1,1-- D.,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据a b + 及相关公式可得a b ⋅ ，再根据投影向量的计算公式求解.【详解】a b += b = ，所以2a b ×= 所以a 在b上的投影向量为()1,1a b b b bb⋅⋅==，故选：B.3.已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.223-D.223【答案】B 【解析】【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得3cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cossin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即313cos sin 122ααα⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭即33cos sin 122αα-=13cos sin 1223πααα⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212133⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 4.函数()2sin 1cos 22x x f x ωω-=+，且102ω<<，若()f x 在()3,4x ππ∈内无零点，则ω的取值范围为（）A.15,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1570,,41616⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.37,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，【答案】D 【解析】【分析】先通过降幂公式及辅助角公式得到2()sin 24f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫ ⎝⎭+，由2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z 结合102ω<<即可求解.【详解】2sin 1111cos 11()cos sin sin cos 2222222x x x f x x x x ωωωωωω-+=+=-+=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()3,4x ππ∈时，4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫⎝⎭+，则2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z ，解得213,312162k k k ω-≤≤+∈Z 或217,34162k k k ω+≤≤+∈Z ，又102ω<<，当213,312162k kk ω-≤≤+∈Z ，令0k =，得131216ω-≤≤，故3016ω<≤；当217,34162k kk ω+≤≤+∈Z ，令0k =，得17416ω≤≤；综上ω∈3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，.故选：D.5.a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得22021cos 2c C ab =，再由三角恒等变换及正弦定理得22tan tan 2cos tan (tan tan )A B ab CC A B c =+即可求解.【详解】因为2222022a b c +=，由余弦定理得22222021cos 22a b c c C ab ab+-==，2sin sin 2sin sin 2tan tan cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B C A B A BC A B C A B C A B C A B ==++⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭()()22sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin sin sin sin sin A B C A B C A B CC A B C C Cπ==⋅+⋅-=，由正弦定理可得22212tan tan 2cos 2tan (ta 20212n 02n ta )2A B ab C ab C A B c c c ab==⋅+=.故选：D.6.已知直线l 是曲线ln y x =与曲线2y x x =+的一条公切线，直线l 与曲线2y x x =+相切于点()2,a a a +，则a 满足的关系式为（）A.()21ln 210a a +-+= B.()21ln 210a a +++=C.()21ln 210a a --+= D.()21ln 210a a -++=【答案】C 【解析】【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.【详解】记()ln y f x x ==得1()f x x'=,记2()g x x x =+得()21g x x '=+，设直线l 与曲线()ln f x x =相切于点(),ln b b ，由于l 是公切线，故可得()()()()()f b g a g a f b g a a b⎧=⎪⎨-''=-'⎪⎩，即2121ln ()21a b a a b g a a a b ⎧=+⎪⎪⎨+-⎪==+'⎪-⎩化简得()21ln 210a a --+=，故选：C7.已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x m f x ++=有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A.13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭ B.13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.134,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点.当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意；②当12,0t t >时：1.若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2.若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<；综上可得101t <<或1423t ≤<.又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.8.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x -<的解集为（）A.(2,1)-B.(1,5)C.(1,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()2exf xg x =，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2exf xg x =，所以()()2e xf xg x =，因为()()4e0xf x f x +-=，所以()()242e e e 0x x x g x g x -⋅+⋅-=，化简得()()0g x g x +-=，所以()g x 是()3,3-上的奇函数；()()()()()2242e 2e 2e ex x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为当03x ≤<时，()()2f x f x '>，所以当[)0,3x ∈时，()0g x '>，从而()g x 在[)0,3上单调递增，又()g x 是()3,3-上的奇函数，所以()g x 在()3,3-上单调递增；考虑到()()2221e 11e ef g ===，由()24e 2e x f x -<，得()()2224e e2e x x g x --<，即()()211g x g -<=，由()g x 在()3,3-上单调递增，得323,21,x x -<-<⎧⎨-<⎩解得15x <<，所以不等式()24e 2e xf x -<的解集为()1,5，故选：B.二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）9.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若cos sin a b A B=，则4A π=B.若sin 2sin 2A B =，则此三角形为等腰三角形C.若1a =，2b =，30A =︒，则解此三角形必有两解D.若ABC 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+【答案】AD 【解析】【分析】由正弦定理可求A ，然后可判断A ；根据角的范围直接求解可判断B ；正弦定理直接求解可判断C ；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知sin sin a bA B =，又cos sin a b A B =，所以cos sin a a A A=，可得tan 1A =，因为(0,)A π∈，所以4A π=，A 正确；因为2(0,2),2(0,2)A B ππ∈∈，且角2A ，2B 最多有一个大于π，所以由sin 2sin 2A B =可知，22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；由正弦定理可得12sin 2sin 11b AB a⨯===，因为(0,)B π∈，所以2B π=，故此三角形有唯一解，C 错误；因为ABC 是锐角三角形，所以2A B π+>，即022A B ππ>>->，又sin y x =在(0,2π上单调递增，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，同理sin sin()cos 2B A A π>-=，所以sin sin cos cos A B A B +>+，D 正确.故选：AD10.下列选项中正确的是（）A.若平面向量a ，b满足||2||2b a == ，则|2|a b - 的最大值是5；B.在ABC 中，3AC=，1AB =，O 是ABC 的外心，则BC AO ⋅的值为4；C.函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的对称中心坐标为,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈D.已知P 为ABC 内任意一点，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点P 为ABC 的垂心；【答案】ABD 【解析】【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A ；利用三角形外心及数量积计算判断B ；求出函数()f x 的对称中心判断C ；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D 作答.【详解】对于A ，因||2||2b a == ，则|2|5a b -==，当且仅当2b a =-时取等号，A 正确；对于B ，令边AB 的中点为D ，因O 是ABC 的外心，则⊥OD AB ，则211()22AO AB AD DO AB AB ⋅=+⋅== ，同理有21922AO AC AC ⋅== ,所以()4BC AO AC AB AO AC AO AB AO ⋅=-⋅=⋅-⋅=，B 正确；对于C ，由232k x ππ-=，Z k ∈得46k x ππ=+，Z k ∈，因此函数()f x 图象的对称中心为(,0)64k ππ+，Z k ∈，C 不正确；对于D ，点P 在ABC 内，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅= ，即0CA PB ⋅=，有PB CA ⊥，由PB PC PA PC ⋅=⋅，同理有PC AB ⊥，因此点P 为ABC 的垂心，D 正确.故选：ABD11.已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（）A.函数()f x 在定义域内无极值B.函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+-C.函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D.函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅=【答案】ABD 【解析】【分析】求出定义域与导函数可判断A ；利用导数的几何意义可判断B ；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C ；根据选项C 可判断D.【详解】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞ ，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=+>--，()f x ∴在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-，又()212ln 23ln 221f +=-=-+-，∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=-即5ln 282y x =+-，故B 正确；C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---，()22222222113ln 20111e ef e e e e e +-=-=-=>---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-，又20111e x e <<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，即1x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确.故选：ABD12.已知函数()2sin sin 2f x x x =，则（）A.函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()max338f x =C.函数()f x 的最小正周期为2πD.对22223sin sin 2sin 4sin 24nnnn N x x x x +∈⋅⋅⋅≤，【答案】ABD 【解析】【分析】根据二倍角正弦公式化简3()2sin cos f x x x =，求导，判断函数单调区间即可判断A,验证函数周期为π可判断C ，由单调性及周期可判断B ，利用三角函数的最值及有界性可判断D.【详解】()23sin sin 22sin cos f x x x x x == ，()()(22422222()23sin cos sin 2sin 3cos sin 2sin 4cos 1)f x x x x x x x x x ∴=-=-=-',22sin (2cos 1)(2cos 1)x x x =+-()0f x '=在(0,)x π∈上的根为22,33x x ππ==，当(0,(,)33x π2π∈π 时，()0f x '>，当(,)33x π2π∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭和2(,)3ππ上单调递增，在(,)33π2π上单调递减，故A 正确；又[]22()sin ()sin 2()sin sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，故函数是周期为π的函数，故C 错误；所以23333(0)()0,()()3228f f f ππ===⨯=，223333())()3228f π=⨯-=-，故()max8f x =，故B 正确；()3233233222sin sin 2sin 4sin sin sin 2sin 4s 2in 2nnx x x xx x x x ⋅⋅⋅= ()()()2222123[sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2]n n n x x x x x x x x -=⋅⋅32223i sin324883s88n4n n nnnx x⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫⎢⎥≤⨯≤==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⨯⨯⨯⎣，故D正确.故选：ABD三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，第二空3分）13.若00223a b ab a b>>++=，，，则2+a b的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】根据()2224a bab+≤，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为0,0a b>>，所以()2224a bab+≤，则()222224a bab a b a b+++≤++，所以()22234a ba b+++≥，解得22a b+≥或26a b+≤-，当且仅当2a b=，即11,2a b==时，取等号，所以2+a b的最小值是2.故答案为：2.14.已知函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，且对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，当2(]0,x∈时，()2f x x=+.则(2022)f=___________.【答案】2-【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x的周期，再利用周期性计算作答.【详解】因函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，而函数(1)y f x=+的图象右移1个单位得()y f x=的图象，则函数()y f x=的图象关于直线2x=-对称，即(4)()f x f x--=，而对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+，所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-.故答案为：2-15.已知函数3()6ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的取值范围为__________．【答案】8m ≤【解析】【分析】由()()2121h x h x m x x ->-将问题转化为()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，求导后参变分离得2631m x x≤-+，构造函数求出最值即可求解.【详解】假设存在实数m ，使得函数()h x 的图象上任意不同的两点()()()()1122,,,A x h x B x h x 连线的斜率都大于m ，即()()2121h x h x m x x ->-，不妨设210x x >>，则问题可以转化为()()2211h x mx h x mx ->-，∴()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，∴26310y x m x '=-+-≥，即2631m x x ≤-+在()0,∞+上恒成立，设()()26310H x x x x =-+>，由()2660H x x x=->'，得1x >，()0H x '<，得01x <<.可知()H x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数．∴()H x 的最小值为()18H =.∴存在m ，且8m ≤.故答案为：8m ≤.16.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π=，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.【答案】①.58π②.82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出()sin 1A B -=，结合34A B π+=，即可得出答案；进而可知()sin 2sin C A B =-，分别讨论2C A B =-或2C A B π+-=，结合题意即可求出64B ππ<<，由正弦定理将2cos a b B化简为22sin 33tan sin cos B B B B =-，代入即可求出答案.【详解】因为2222222cos a b a b c C c ab-+-==，所以222sin sin 2sin cos A B C C -=，()()sin sin sin sin sin 2sin A B A B C C -+=，2sin cos 2sin cos sin 2sin 2222A B A B A B A B C C +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin sin 2sin A B A B C C +-=，由A B C π++=，则()sin sin sin 2sin C A B C C -=，即()sin sin 2A B C -=，代入4C π=，可得()sin sin 12A B π-==，则2A B π-=，且34A B π+=，解得58A π=.由()sin sin 2A B C -=，①当2C A B =-时，且A B C π++=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以2A C ππ=+<，不成立；②当2C A B π+-=时，且A B C π++=，所以2C B =，代入上式，可得3A B π+=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以32B π>，即6B π>，且2222sin sin 3sin cos 2cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos a A B B B B Bb B B B B B B B +===()222222sin 2cos 1cos 2sin cos 2cos 12cos 14sin cos cos cos B B B B BB B B BB B-+⋅-+==-22222sin cos 44tan 13tan cos B B B B B +=-=--=-，又3tan ,13B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以282,cos 3a b B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：58π；82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）17.在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=.（1）求A ；（2）若D 为BC 的中点，且ABC 的面积为332，AB =2，求AD 的长.【答案】（1）π3A =；（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC ，再借助平面向量求解作答.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin c C b B=，因tan 21tan A c B b +=，则sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B +=，即有2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，而0πC <<，sin 0C >，因此，1cos 2A =，而0πA <<，解得π3A =，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，而AB =2，则1sin 222ABC S AB AC A AC =⋅== ，解得3AC =，因D 为BC 的中点，则2AB ACAD += ，于是得2222211π19(2)(23223cos )4434AD AB AC AB AC =++⋅=++⨯⨯= ，解得19||2AD = ，所以AD 的长为2.18.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记21n n n n n a c a a b ++=⋅⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】（1）1n a n =+，2nn b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立方程组求首项和公差，求出数列{}n a 通项公式；退位相减求出数列{}n b 的通项公式；（2）对数列{}n c 进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证.【小问1详解】由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1a d ==，所以1n a n =+，当1n =时，1122b b -=，12b ∴=①，当2n ≥时，112222n n n n b S b S ---=⎧⎨-=⎩，12n n b b -=②，由①②得2nn b =.【小问2详解】由（1）知，所以32(1)(2)n n n c n n +=⋅+⋅+1112(1)2(2)n n n c n n -⇒=-⋅+⋅+011223111111111()()()()2223232424252(1)2(2)1122(2)n n n n nT n n T n -⇒=-+-+-+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⇒=-⋅+12n T ⇒<.19.已知函数2()2cos cos f x x x x a ωωω=++（0>ω，a ∈R ）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-；条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2.求：（1）求函数()f x 的解析式；并求()f x 的单调递增区间、对称中心坐标；（2）若将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值.【答案】（1）π()2sin(2)16f x x =+-；ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；ππ(,1)122k -+-（Z k ∈）（2）π3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将()f x 化为π()2sin(2)16f x x a ω=+++，然后根据函数性质选择条件求出ω和a ，进而得到π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；（2）利用函数平移变换得()π2sin 416g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用函数的性质得到π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩进行求解.【小问1详解】()22cos cos f x x x x aωωω=++πcos212sin 216x x a x a ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，当选条件①时，31a +=，解得2a =-；当选条件②时，πππ20π,Z 1262k k ωω⎛⎫⋅-+=≠+∈ ⎪⎝⎭，显然条件②不合理；当选条件③时，π22T =，即2ππ2T ω==，解得1ω=；综上所述，条件①③能确定函数()f x 解析式，且π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36k x k -+≤≤+，Zk ∈所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；令π2π6x k +=，得ππ122k x =-+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心坐标为π(π,1)12k -+-，Z k ∈；【小问2详解】将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到π2sin(416y x =+-的图象，再向右平移π12单位，得到函数πππ2sin[4(12sin(411266y x x =-+-=--的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得π03m <≤.所以m 的最大值为π3.20.已知函数()2ln x f x e x λ=-.（1）当2λ=时，求()f x 的图象在点1x =处的切线方程；（2）当1λ=时，判断()f x 的零点个数并说明理由；（3）若2()f x x x λ- 恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）222(1)20e x y e ---+=；（2）()f x 无零点，理由见解析；（3）2eλ≥.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导()2xf x e x'=-，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在0x 使()00f x '=，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，构造函数x y e x =+，利用函数的单调性可知2ln x x λ≥，利用参变分离的方法，求λ的取值范围.【详解】（1）当2λ=时，2()2ln x f x e x =-，2(1)f e =，222()2,(1)22x f x e f e x'='=-∴-，∴切线方程为22(22)(1)y e e x -=--，即222(1)20e x y e ---+=（2）当1λ=时，2()2ln ,()x xf x e x f x e x-='=-，易知'()f x 在()0,∞+单调递增，且()1()40,1202f f e ''=-<=->，'()f x ∴存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，002x e x =满足且当()00,x x ∈时，'()0,()f x f x <单调递减，当()0x x ∈+∞，时，'()0,()f x f x >单调递增.对02x e x =两边取对数，得：00ln 2ln x x =-0min 00002()()2ln 22ln 22ln 242ln 20x f x f x e x x x ∴==-=+->=->()f x ∴无零点.（3）由题意得，22ln x e x x x λλ-≥-，即22ln x e x x x λλ+≥+，即2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，易知函数x y e x =+单调递增，2ln x x λ∴≥，x()0,e e(),e +∞'()h x +0-()h x 单调递增极大值单调递减2ln x x λ∴≥，令2ln ()xh x x=，则222ln ()x h x x -'=，令'()0h x =得x e =，列表得，max 22()(),h x h e e eλ∴==∴≥.【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式22ln x e x x x λλ+≥+等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数x y e x =+，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.21.如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，21cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积；（3）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF 的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【答案】（1）4（2（3）502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出b 和c 的关系式，进而求出b 的长度即可；（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出cos BAC ∠，进而求出sin BAC ∠，再根据三角形面积公式求出面积即可；（3）首先设k A A D G = ，AB AE λ= ，AC AF μ=（[)1λμ∈+∞，，），根据三点共线公式得到2k λμ+=，再根据面积的倍数关系求出6λμ=，因此求出AG EF的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．【小问1详解】由已知条件可知：12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C ⋅=⋅-⋅+⋅在ABC 中，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得2212cos 4ac B a b bc ⋅=-+在ABC 中，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得2222214a cb a b bc +-=-+4b c ∴=，又14c b =∴= ，【小问2详解】设BAC θ∠= AD为BC 边上中线1122AD AB AC∴=+ 则()21111cos 2cos 2222AB AD AB AB AC AB AB AC θθ=+=+=+178cos 2AD ===7co s AB AB AD BAD AD=∠== ①228cos 8cos 110θθ∴+-=()()12cos 114cos 1102θθθ∴-+=∴=或1114-由①，得1134cos 10cos cos sin 422θθθθ+>∴>-∴=∴=1sin 2ABCS AB AC θ∴=⋅⋅=uuur uuu r △【小问3详解】设AD k AG = ，AB AE λ=，AC AF μ= （[)1λμ∈+∞，，）1AE λ∴= ，4AF μ=1122222AB AC k AG AE AF AG AE D AFk kA λμλμ=+⇒=+⇒=+ 根据三点共线公式，得2kλμ+=()1AG E AD AF AEkF =-()1112AB AC AC AB k μλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2211111cos 2AC AB AB AC k θμλμλ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1cos 2θ=，θ为∠BAC ）1161222k μλμλ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭36λμλμλμ-=⋅+1sin 2661sin 2ABC AEF AB AC AE AF S S θλμθ⋅⋅==∴=⋅ △△66162AG EF λλλλ-∴⋅=⋅+ 22136λλ-=⋅+27316λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭[][]2616166742μλλλ=≥⇒≤⇒∈⇒+∈，，217510662AG EF λ⎡⎤⇒≤≤⇒∈⎢⎥+⎣⎦，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．22.已知函数()()ln 1f x x ax a R =-+∈.（1）函数()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围：（2）求证：当2n N n *∈≥，时，222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：1221x x a <.【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）()0f x ≤在定义域内恒成立只需要()0f x ≤在定义域内满足()()max 0f x ≤，对a 进行分类讨论；（2）取1a =时，ln 1≤-x x ，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和ln 1≤-x x 产生联系；（3）由题知12()()0f x f x ==，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有a ，故想办法消去参数，只保留12,x x 的关系，然后构造函数进行解决.【小问1详解】函数定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()110f a =->，不满足题设；当0a >时，()0f x '=，1x a =，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()max 11ln 0f x f a a ⎛⎫==≤⎪⎝⎭，解得1a ≥.综上：a 的取值范围是[)1,+∞.【小问2详解】证明：由（1）得，当1a =时ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，所以2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合对数的运算法则可得222222222111111111ln 111ln 1ln 1ln 1232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111111122312231n n n n n++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+=-⨯⨯--，所以222111111323e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】由题意11ln 10x ax -+=，22ln 10x ax -+=，两式相减得()2211ln 0x a x x x --=，即2121ln x x a x x =-，故要证明1221x x a <，即证明()22112221ln x x x x x x -<，即证明()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设120x a x <<<，令()()21ln 21g t t t t t =--+>，()22ln 11112ln t g t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()()12ln 1h t t t t t =-+>，()()2210t h t t -'=-<，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，()()10h t h <=，所以()g t 在()1,+∞上单调递减，()()10g t g <=，21ln 20t t t--+<在()1,+∞上成立，令21x t x =，得()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，所以1221x x a <.第24页/共24页。
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第六次模拟数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅I ，则实数m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与 直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C . 【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，已知36a =，35778a a a -+=，则5a =（ ） A ．12B ．18C ．24D ．36【答案】C【解析】根据题意，设{}n a 公比为q ，由等比数列的通项公式可得2466678q q -+=，解可得2q 的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，已知36a =，35778a a a -+=，则2466678q q -+=，解可得24q =或23q =-，舍；故25624a q ==，故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）A ．()()()ln 1ln 1f x x x =--+B ．21()21x x f x +=-C ．()22xxf x -=+ D ．()22ln ()1f x x x=+【答案】A【解析】由程序框图可知，函数()f x 为奇函数且存在零点，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】由程序框图可知，函数()f x 为奇函数且存在零点． 对于A 、()ln(1)ln(1)f x x x =--+，定义域为(1,1)-，且[]()ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x f x -=+--=---+=-，函数为奇函数，又(0)0f =，函数存在零点；对于B 、21()21x x f x +=-，∵在定义域内210x +>恒成立，∴()f x 不存在零点；对于C 、()220xxf x -=+>恒成立，()f x 不存在零点；对于D 、22l ()(1n )f x x x =+，定义域为R ，()()f x f x -=，函数为偶函数．∴可以输出的函数为()ln(1)ln(1)f x x x =--+， 故选：A ． 【点睛】本题考查程序框图，考查函数奇偶性的判定与零点的判定，是中档题．5．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均不变 B ．这组新数据的平均数为am C ．这组新数据的方差为2a n D ．这组新数据的方差不变【答案】D【解析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【详解】设这一组数据为()1,n X a a =L ，由()()E X g E X a +=+，()()D X a D X +=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.6．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个必要不充分条件是( ) A ．01m <<B ．40m -<<C ．1m <D ．31m -<<【答案】C【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】圆的标准方程为22(x 1)y 2-+=，圆心为()1,0，半径r =若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d =<即1m 2+<，得21m 2-<+<，得3m 1-<<， 则3m 1-<<的一个必要不充分条件是m 1<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m 的取值范围是解决本题的关键．7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．114B ．17C ．314D ．13【答案】B【解析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.8．设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于MN 两点，若6MN =，则p =（ ）A ．22B ．3 C ．2D ．3【答案】B【解析】由圆的方程可得过原点，而抛物线的顶点为原点，所以抛物线与圆的取值一个交点为原点O ，设另一个交点M 的坐标，由MN 的值可得M 的坐标与p 的关系，两个方程联立可得M 的纵坐标，代入MN 的值可得p 的值． 【详解】由题意可得圆C '的圆心为：(0,3)，半径为3，过原点O ，而抛物线的顶点在原点，即抛物线与圆的其中一个交点为O 与N 重合， 如图：设M 坐标200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意6MN =可得4200264y y p +=，①， 联立抛物线与圆的方程(2002200233y x px y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩可得：42000234y y y p=+②， ①②联立可得：03y =29364p +=，0p >，解得：32p =， 故选：B ． 【点睛】考查抛物线与圆相交求交点，及相交弦长的应用，属于中档题．9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交C ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交【答案】A【解析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】 ∵2222111111712D E D B B E AF AC CF D E =+==+=≠，，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．10．已知奇函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值可能是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】由()f x 是奇函数知2ϕπ=,可得()2sin f x x ω=-,由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 关于4x π=对称, 即可得出,24k k Z ππωπ=+∈,进而解得24,k k Z ω=+∈,根据选项即可的出答案. 【详解】由()f x 是奇函数得2ϕπ=，所以()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,24k k Z ππωπ=+∈，解得24,k k Z ω=+∈.所以当1k =时，得6ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知cos()y A x ωϕ=+的奇偶性,对称轴时求ωϕ，的问题,难度较易.11．直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．2ab =B ．224a b +≥C ．2a b -≥D ．2a b +≥【答案】D【解析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.12．已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．已知1nx ⎛+ ⎝的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15【解析】令1x =，可以求出n ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。
辽宁省沈阳市东北育才教育集团东北育才学校小学英语六年级小升初期末试题(含答案)
辽宁省沈阳市东北育才教育集团东北育才学校小学英语六年级小升初期末试题（含答案）一、单项选择1．Ben usually plays basketball ______ his friends. ( )A．with B．and C．for2．—What do you want to be? （）—I want to be a _________.A．cook B．astronaut C．artist3．Helen _______ beautifully and she likes _______ very much. ( )A．dances; dancing B．dancing; dances C．dance; dance4．My brother lost his bike last Saturday. He felt ________. ( )A．happy B．excited C．sad5．—Do you want ______ juice? ( )—Yes, please.A．any B．some C．a6．Every morning, the short man does sport first, then he goes to work. (选出画线单词的读音不同的一项。
) ( )A．short B．sport C．work7．The boy eats ________ meat every day, so he is fat. ( )A．many B．much C．a few8．The policeman was ________. He shouted at the man ________. ( )A．angry; angrily B．angrily; angry C．angrily; angrily9．I'd like two _______ for lunch. （）A．cola B．hamburgers C．milk10．—Did you clean your room? ( )—No, I ________.A．don’t B．did C．didn’t11．I like ______. Because it’s snowy, I can make snowmen with m y friends. ( )A．fall B．summer C．winter12．Su Yang and Su Hai are .A．a twin sister B．twin sister C．twin sisters13．My brother _______ like English songs before. ( )A．wasn’t B．doesn’t C．didn’t14．The shop is near. We can go there _________. ( )A．on foot B．by subway C．by train15．A horse is usually _______ than a sheep. ( )A．heavier B．heaver C．heavyer16．He usually ______ camping on the weekend. But last weekend he ______ at home. ( ) A．go; stay B．goes; stays C．goes; stayed17．We went to Hainan _______ the winter holiday. ( )A．of B．over C．with18．—______ are your shoes, Micheal? ( )—Size 7.A．What size B．What time C．What color19．You can get there ______ the No. 6 bus. ( )A．by B．in C．takes20．________ people healthy and beautiful. ( )A．Swimming make B．Swimming makes C．Swim makes二、用单词的适当形式填空21．I ________ to a forest park last Saturday (go)22．Tom wanted to watch TV but the TV set ________ (not) work last night.23．Let’s _____ (clean) the window together.24．Jane ____ (get) up at 7: 30 a.m. every day, so she is always late for school. 25．—Whose ruler is it?—It's ____ (I).26．Nick is great! He always _______ (完成) his homework before eight.27．The boy _______ (fly) a kite in the park tomorrow afternoon.28．The weather there often changes ________ (quick).29．How many _________ (child) are there in your family?30．He is good at _______ (write). He _______ (want) to write stories for children.三、完成句子31．Helen and Mike want to _________ (学习了解澳大利亚).32．Mike _________ (对……很兴奋) the football match.33．My cousin Sandy dances _____ (美丽地).34．We see with our _______, ________ with our nose and ______ with our legs. 35．The leaves change colours and the weather becomes cooler. Farmers are very busy. It’s a______.36．There is a _____ (体育馆) at school.37．My art teacher is _________ (更滑稽的) than my maths teacher.38．He runs f____________than me.39．A cheetah can run faster t_____ a rabbit.40．The dinosaur is _____ (更高的) than that one.四、完形填空41．完形填空。
辽宁省东北育才学校2024-2025学年高三上学期高中学段联合考试数学试卷
辽宁省东北育才学校2024-2025学年高三上学期高中学段联合考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}820A x x =∈-N ，{}2|B y y x ==，则A B =I （ ）A ．[]0,2B ．[)0,4C ．{}0,1D ．{}0,1,2,32．复数12z z 、满足1212,z z z z +=若11i z =+，则2z =（ ）A B ．1C ．2 2D ． 23．已知命题p ：x ∀∈R ，210ax ax -+>；q ：x ∃∈R ，20x x a -+≤.均为真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞B ．[)0,4C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．将函数()8sin f x x =图象向右平移π8后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到()g x 的图象，若方程()4g x =在[0,8π]内有两不等实根,αβ，则πco s ()6αβ++=（ ）A ．BC ．1-D ．12-5．如图，在四边形ABCD 中，4,2,60AC AD CAD ==∠=o u u u r u u u r ，E 为线段AC 中点，2DE EB =u u u r u u u r ，则DB DC ⋅=u u u r u u u r（ ）A B ．15 C ．18 D ．96．已知函数()20252025x xf x -=-，若0a >，0b >，且()()20f a f b -+=，则3111a b +++的最小值为（ ）A B ．1C ．1D ．7．定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1256B ．1128C ．164D ．1328．若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（ ）A ．11e+B ．e 1-C ．1D ．e二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（ ）.A ．在ABC V 中，角,,ABC 所对的边分别为,,a b c，若a =2b =，A θ=，要使满足条件的三角形有且只有两个，则π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若向量()5,0a =r，()2,1b =r ，则a r 在b r 上的投影向量为()4,2C ．已知向量()cos ,sin a αα=r ，()2,1b =r ，则a b -rr1D ．在ABC V 中，若sin sin AB AC AO AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （λ∈R ），则动点O 的轨迹一定通过ABC ∆的重心10．若0a >，0b >，且22a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．224a b +的最小值为2B ．24a b +的最小值为4C ．()sin 123a b ++>D ．若实数1c >，则22321(2)1a abc ab c ++-⋅+-的最小值为8 11．已知函数()sin cos e e x xf x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B ．()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在 0,π 上有两个极值点D ．若0x 为()f x 的一个极小值点，且()0cos 0e tan xa f x x -<+恒成立，则1a <-三、填空题12．已知方程2340z z ++=的两个复数根分别为1z ，2z ，则12z z -=.13．如图，在ABC V 中，已知1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，则MPN ∠的余弦值为.14．若()2216ln 8ln 122x x f x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为.四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1c o s c o s c o s 02B cB bC a ++=.(1)求角B 的大小：(2)若8a c +=，7b =，a c <，求()sin 2A C +的值；(3)设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且2AD DC =，求cos A 的值.16．已知函数()()2e 2e x xf x a ax =+--.(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调区间.17．在复数集中有这样一类复数：i z a b =+与i z a b =-(),R a b ∈，我们把它们互称为共轭复数，0b ≠时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：(1)设i z ≠，1z =，求证：21+zz 是实数； (2)已知13z =，25z =，127z z -=，求12z z 的值；(3)设i z x y =+，其中x ，y 是实数，当1z =时，求21z z -+的最大值和最小值．18．已知函数()()()5cos sin 5sin 3tan 4sin 5sin f x x x x θθθθ=⋅--+--（π02θ<<）的图象关于y 轴对称. (1)求tan θ；(2)设()()π2h x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求()h x 的最大值和此时的x 的集合；(3)设函数()()π2g x f x f x λωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0λ>，0ω>）.已知()y g x =在π6x =处取最小值并且点2π,443λ⎛⎫- ⎪⎝⎭是其图象的一个对称中心，试求λω+的最小值.19．请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x 仍是可导函数，则()'f x 的导数()f'x '⎡⎤⎣⎦称为()f x 的二阶导数，记为()''f x ：若()''f x 仍是可导函数，则()''f x 的数()'f''x ⎡⎤⎣⎦称为()f x 的三阶导数，记为()'''f x ；以此类推，我们可以定义n 阶导数：设函数()y f x =的1n -阶导数()1n f x -（2n ≥，n +∈N ）仍是可导函数，则()1n f x -的导数()1n f x '-⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()nf x ，即()()1n n f x f x '-⎡⎤=⎣⎦.材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 次多项式，分母是n 次多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L 且满足()()00f R =，()()00f'R'=，()()00f''R''=，…，()()()()00m n m n fR ++=（其中e 2.71878=…为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题：(1)求函数()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()R x ，并比较()f x 与()R x 的大小；(2)求证：当()0,x ∈+∞时，23x x >恒成立. (3)在（1）条件下，若()()()()12f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,∞+上存在极值，求m 的取值范围。
精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三数学考前最后一模试题(原卷版)
东北育才学校科学高中部2023年高考模拟考试数学科试题命题人：高三数学组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R Q ðP R ð，则下列结论正确的是（ ）A. x Q ∀∈，x P ∈B. 0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC. 0x Q ∃∉，0x P∈ D. R x P ∀∈ð，R x Q∈ð2. 已知复数z 满足()202312i i z +=，则z =（ ）A.15B.C.35D.3. 已知随机变量,X Y 分别满足(8,)X B p ~，()2,Y N μσ:，且期望()()E X Y E =，又1(3)2P Y ≥=，则p =（ ）A.18B.14C.38D.584. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，123BB AB =，D 是棱BC 的中点，E 在棱1CC 上，且13CC CE =，则异面直线1A D 与1B E 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.5. 若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A. A B C += B. 2B AC=C. ()22A B C A B +=+ D. ()()A C AB B A -=-6. 设函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则下列说法错误的是（ ）A.ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C. ()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能有2个D. ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减7. 已知函数()f x 定义域为R ，若()211f x +-为奇函数，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，()03f =，则下列结论一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为3 B. ()11f -=-C. ()20230f = D. ()20221f =-8. 已知圆()()2221:37C x y a a ++=>和()222:31C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C △的内心，且12123PMC PMC PC C S S S +=△△△，则a 的值为（ ）A. 9B. 11C. 17或19D. 19二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，sin 2sin sin A B C =，下列说法正确的是（ ）A. 若1a =，则34ABC S =V B. ABC V 外接圆的半径为bc aC.c b b c +取得最小值时，π3A = D. π4A =时，c b b c+取得最大值为10. 在正方体ABCD A B C D -''''中，,,E F G 分别为棱BB '，DD '，CC '上的一点，且D F B E CGD D B B C Cλ'=''='='，H 是B C ''的中点，I 是棱C D ''上的动点，则（ ）A. 当13λ=时，∈G 平面AEFB. 当12λ=时，AC '⊂平面AEF的C. 当01λ<<时，存在点I ，使,,,A F H I 四点共面D. 当01λ<<时，存在点I ，使FI ，EH ，CC '三条直线交于同一点11. 已知1a >，1b >，21a a a =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（ ）A.22log aa b b+=+ B. 21112log ab+=C. 2a b -<- D. 4a b +>12. 已知双曲线()222:0x y a a Γ-=>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A 、D （A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限），O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A. 若BC x ⊥轴，则1BCF △周长为6aB. 若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则1//BC EFC. AOD △面积的最小值为24a D. 1AB BF +的取值范围为()3,a +∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知()π0,π,sin 6αα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为___________.14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．15. 已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅===a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅ a e b e 的最大值________16. 设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+ (t ∈R )的最小值为____.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；的的（2）设ABC V 为锐角三角形，角A所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 面积．18. 已知数列{}n a 满足()1122n n n a a n a *+=∈+N ，11a =．（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若记n b 为满足不等式()11122nn k a n -*⎛⎫⎛⎫<≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式2023n S <的最大正整数解．19. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M CM∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.20. 近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x 33455668y1012131819212427（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.（2）（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？的（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y r bay bx x x ==--===--∑∑.参考数据：()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑.21. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(1,0)D ，点P 是在第一象限内C 上的一个动点，当DP 与x 轴垂直时，5||4PF =，过点P 作与C 相切的直线l 交y 轴于点M ，过点M 作直线l 的垂线交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求C 的方程；（2）如图，连接PD 并延长，交抛物线C 于点Q ．①设直线AB ，OQ （其中O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②求OPQ ABDS S △△的最小值．22 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =．（1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>；（2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 的取值范围．.第7页/共7页。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试数学含答案
2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()7,+∞ B.()6,+∞ C.(]1,7- D.(]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（）A.5B.6C.7D.84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.2- D.25.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若()1235MF MF MN λλ+=∈R，则双曲线E 的离心率为（）A.87 B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 2．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ．12 B．2 CD ．23．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）ABC ．3D ．5 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） AB ．3C ．5 D．6．已知复数512z i =+，则z =（ ） A ．1 BCD ．57．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z，则z 为（ ）A ．1 BC ．2D ．49．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1- 12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5 BC ．2 D13．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 19．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点 21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数 C ．2cos z θ= D ．1z 的实部为12- 22．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >23．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数24．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z29．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：，.故选：D.解析：D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-， ()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】由于，则.故选：B解析：B【分析】 先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B 3．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B4．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D ．解析：D【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．5．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A6．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.7．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 8．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 9．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ．10．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】 先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】 解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-， 所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D11．A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】，故选：A解析：A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+3,1a b ==，4a b +=故选：A12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.17．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．24．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-； 因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102zz ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．26．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。