章末归纳总结1

第一章 章末归纳总结一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析] 由正弦定理，得a b ＝sin Asin B.又a cos A ＝b cos B ，即a b ＝cos B cos A ，∴sin A sin B ＝cos Bcos A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ． ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ．∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ．2．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° [答案] C[解析] 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ．4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和7[答案] D[解析] 设夹角为A ，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45，S ＝12bc sin A ＝14，∴bc ＝35， 又b －c ＝2，∴b ＝7，a ＝5.5．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 [答案] B[解析] 本题考查正弦定理．由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．6．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m[答案] A[解析] 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理得，AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．二、填空题7．(2014～2015益阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ，则角C 等于________．[答案] π6[解析] 由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝3ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.8．(2014～2015福州模拟)在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C＝________.[答案]23913[解析] 因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ×BA sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913. 三、解答题9．(2015·山东青岛市质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋bsin (A ＋B )＝a －c sin A －sin B，b ＝3. (1)求角B ； (2)若sin A ＝33，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵a ＋b sin (A ＋B )＝a －csin A －sin B ，∴a ＋bc ＝a －ca －b. ∴a 2－b 2＝ac －c 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由b ＝3，sin A ＝33，sin B ＝32， a sin A ＝bsin B，得a ＝2. 由a <b 得A <B ，从而cos A ＝63， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3＋326.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3＋322.10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． [解析] (1)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又∵0<A <π，∴A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3，得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， ∴S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.一、选择题11．(2015·合肥市质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[答案] B[解析] 依题意得c <a ＋b .∴c ＋c <a ＋b ＋c ≤a ＋3a ，于是有2c <4a,0<c a <2，即ca 的取值范围是(0,2)，故选B ．12．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394 [答案] B[解析] 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos60°，即7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin60°＝3×32＝332，故选B ． 13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个[答案] A[解析] 直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.14．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102n mileB ．103n mileC ．203n mileD ．202n mile [答案] A[解析] 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20n mile ，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102(n mile)．二、填空题15．(2015·天津十二区县联考)已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________.[答案] 13[解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c ＝2，又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，所以ab ＝38，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －12ab ＝13. 16．已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的面积为________．[答案]332[解析] 由OA →＋OB →＋OC →＝0知O 为△ABC 的重心， 又由OA →·OB →＝OB →·OC →得 OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →， 所以O 为△ABC 的垂心．故△ABC 为正三角形． 即OC →·OA →＝|OC →|·|OA →|·cos120°＝－1， ∴|OC →|·|OA →|＝2.∴S △AOC ＝12|OC →|·|OA →|sin120°＝32，∴S △ABC ＝332.三、解答题17．(2015·武汉市调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos 2A ＝a (2－sin A sin B )，c ＝7，cos B ＝277.(1)求sin A ； (2)求a ，b 的值．[解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理及b cos 2A ＝a (2－sin A sin B )知sin B ·cos 2A ＝sin A (2－sin A sin B )，∴sin B ·cos 2A ＋sin B sin 2A ＝2sin A ， ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin B ＝2sin A ， 又∵cos B ＝27，∴sin B ＝1－(27)2＝217.∴sin A ＝12sin B ＝2114.(2)由(1)可知b ＝2a ，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B 及b ＝2a ，c ＝7得(2a )2＝a 2＋7－2a ·7·cos B ． 而cos B ＝27， ∴3a 2＋4a －7＝0，即(3a ＋7)(a －1)＝0，∴a ＝1，b ＝2.18．如下图所示，甲船以每小时302n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 解法一：如图，连结A 1B 2，由题意知A 2B 2＝102n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， 所以△A 1A 2B 2是等边三角形． 所以A 1B 2＝A 1A 2＝102n mile.由题意知，A 1B 1＝20n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝102n mile.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile. 解法二：如下图所示，连结A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°， 又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4， 在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)， 所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22，所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4. 在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝102n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4＝200， 所以B 1B 2＝102n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile.。