变化率与导数的概念(第一课)

那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人 着迷。
交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较 点A,B之间的曲线更加“陡 ●C 峭”. 如何量化陡峭程度呢？
yC yB k xC xB
y
●B ●A
该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.
o
x
建构数学理论
△t = 0.00001,
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
v 13.099951
v 13.100049
……
v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049
……
h2 t h2 为了表述方便 , 我们用lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 13.1".
问题情境1
想一想
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经 营成果？ (2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万 元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较 和评价甲，乙两人的经营成果？
本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是 不行的.
问题情境3 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。
例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
解： (1)y (1 x)2 12 2x (x)2 ,
1 1 x (2)y (2 x ) (2 ) x , 2 x 2 2(2 x )
p
1 3
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是 什么？
x
3.1.2导数的概念
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
二.新授课学习
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？
计算区间 2 t , 2 和区间 2, 2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格.
当x 0时, y x,
y y ( x x) ( x) lim 1; 1, x 0 x x x 1 x0 y . 1 x 0
1 练习：(1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，求 a.
1 x x
x
y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
例2：利用导数的定义求函 数y | x | ( x 0)的导数 .
解： y | x |,
当x 0时, y x,
y ( x x) x 则 1, x x y lim 1; x 0 x
y 1 1 lim lim , x 0 x x 0 x0 x x0 2 x0 1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
练习: 已知y x，求y.
解：D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x
y x
－Δx 1 1 解：(1)∵Δy＝ － ＝ x＋Δx x xx＋Δx
Δy 1 ∴ ＝－ Δx xx＋Δx
Δy 1 1 ∴limΔx→0 ＝limΔx→0[－ ]＝－ 2 Δx x xx＋Δx 1 ∴f′(1)＝－ 2＝－1 1
(2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c) ＝2axΔx＋a(Δx)2
一差、二比、三极限
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限 t
瞬时速度
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
ｘ在ｘ＝ｘ ２、函数ｆ 处的瞬时变化率怎么表示？ ０
ｆ ｘ ＋ｘ－ｆ ｘ ０ ０ lim x 0 ｘ
y 2x ( x )2 2 x , x x y li m li m( 2 x ) 2, y | x 1 2. x 0 x x 0
x x y 1 2( 2 x ) 1 , x x 2( 2 x ) y 1 1 3 3 lim lim[1 ] 1 , y | x 2 . x 0 x x 0 2(2 x ) 4 4 4


解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' 2
y f 2 x f 2 和 f 6. 根据导数的定义 , x x 2 x 2 72 x 15 22 7 2 15 x
'


4 x x 2 7x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
或 y | x x , 即
0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
平均变化率的定义：
一般地，函数 f ( x)在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. （以直代曲思想） (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” ． （数形结合思想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
结论： 平均变化率
一般的，函数 f ( x)x
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是 曲线的割线）的斜率。
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率.
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3 的瞬时速度.
解：s f (3 t ) f (3) (3 t )2 3 (32 3)
( t )2 6 t
s ( t )2 6 t t t
/
t6
s f (3) lim lim( t 6) 6 t 0 t t 0
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
同理可得 f 6 5.
'
请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 3与5. 它说明： 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.
Δy ∴ ＝2ax＋aΔx Δx
∴f′(x)＝limΔx→0(2ax＋aΔx)＝2ax
∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解：y f (1 x) f (1) 3(1 x) 3 6 x 3( x)
2 2
y 6 x 3( x) 2 63 x x x
y f (1) lim lim (6 3 x) 6 x 0 x x 0
/
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
我们称它为函数 y＝f x 在x＝x 0处的导数， 记作：f x 0 或y x＝x 0
f x０＋x －f x０ y 即：f x 0 ＝ lim ＝ lim x 0 x x 0 x
ｘ ｘ ｆ ＋ｘ－ｆ ０ ０ １、函数的平均变化率怎么表示？ ｘ
思考：
o
h
2
t △ｔ＞0时 2＋△ｔ
△ｔ＜0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率，并求出在该点处的导数．