高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5
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高中数学第3章不等式3.4-3.4.2基本不等式的应用课件苏教版必修5
解：设 BC＝a m(a≥1.4)，CD＝b m.
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
苏教版必修五3.4基本不等式、3.4.1基本不等式的证明ppt课件
)．
注意：(1)①②两种形式的前提条件是a、b为实数， ③④两种形式的前提条件是a、b为正实数． (2)四种形式等号成立的条件都是a＝b.
2．平方平均数
a2＋b2
2 2 1 1 ＋
，算术平均数
a＋b
2 2 ≥
，几何平均数
ab ，调和平均数
2 1 1 ＋
的大小顺序为
a2＋b2
a ＋b
2
≥
ab
a b
≥ .
－b
＞2
b2 － a
－a
＋2
a2 － b
－b
＝2 b2 ＋
栏 目 链 接
2 a2＝2(－b－a)＝－2(a＋b)＝－2Q，即－P－Q＞－2Q⇒ Q＞P.
题型2
用基本不等式证明不等式
例2若a、b∈R，求证：a2＋b2≥2|ab|.
栏 目 链 接
分析：利用基本不等式 a2 ＋ b2≥2ab 及推论，联想到 |a|2 ＋|b|2≥2|ab|≥2ab.可以用已证的基本不等式来证明．
栏 目 链 接
5．如下图，在⊙O中，AB是圆的直径，CD⊥AB于D，由射影定理 几何 平均 可知，CD2＝AD·DB，则CD＝ AD·DB 叫做AD、DB的________ AD＋DB 算术 平均数． 数，OC＝ 叫做AD、DB的________ 2
栏 目 链 接
等腰 直角三角形时，有OC 由上图可知，OC≥CD，当△ABC是________ ＝CD.
②a＝b⇔
a＋b
＝ ab .也就是说若a＝b，则
a＋b
a＋b
栏 目 链 接
t
5 ＝ ，即f(t)不可能等于2. 2
知识点2
基本不等式的其他形式与拓展
高中数学 3.4.1基本不等式的证明课件 苏教版必修5
接
答案：A
名师点评：在利用基本不等式比较大小时，注意不等式性质的运
用．
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13
►变式迁移
1．已知 a＜b＜0，设 P＝ba2＋ab2，Q＝a＋b，试比较 P 与 Q 的大
小．
解析：－P－Q＝－ba2－ab2－a－b＝－ba2＋（－a）＋
栏 目 链
接
[－ab2＋(－b)]＞2 －ba2（－a）＋2 －ab2（－b）＝2 b2
系可叙述为：当且仅当 a＝b 时，基本不等式 ab≤a＋2 b中的等号成
栏
立．若 a 与 b 不能相等， ab≤a＋2 b中的等号就不能成立，例如：x2
目 链
接
＋2＋x2＋1 2≥2 （x2＋2）×x2＋1 2＝2 中就不能取等号，因为 x2＋
2≠x2＋1 2，与推出 x2＝－1 产生矛盾．事实上，令 t＝x2＋2，则 t≥2，
3
课标点击
栏 目 链
接
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4
1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不 栏
等式的基本思想方法．
目
2．理解基本不等式的几何意义，并掌握取“＝”的
链 接
条件．
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5
要点导航
栏 目
链
接
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6
知识点1 基本不等式
1．如果 a、b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”
接
注意：(1)前两种形式的前提条件是 a、b 为实数，后两种形式的
前提条件是 a、b 为正实数．
(2)四种形式等号成立的条件都是 a＝b.
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9
2．平方平均数 a2＋2 b2，算术平均数a＋2 b，几何平均数 ab，
3.4.1基本不等式的证明课件(27张) 高中数学 必修5 苏教版
a2 b2 c2 4．已知 a、b、c>0，求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
a2 b2 c2 证明：∵a，b，c， b ， c ， a 均大于 0， a2 ∴ b ＋ b≥ 2当 b ＝b 时等号成立． b2 c ＋ c≥ 2 b2 c ＝ 2b . c·
a＋b 1 1 1 1 1 1 2 法二：(1＋a)(1＋b)＝1＋a＋b＋ab＝1＋ ab ＋ab＝1＋ab， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， a＋b 2 1 1 2 所以 ab≤( 2 ) ＝4，于是ab≥4，ab≥8， 1 1 1 因此(1＋a)(1＋b)≥1＋8＝9(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)．
第 三 章 不 等 式
第 一 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二
基 本 不 等 式 的 证 明
把握热 点考向
应用创 新演练
第一课时 基本不等式的证明
已知代数式a2＋b2,2ab，(a，b∈R)， 问题1：比较两个式子的大小． 提示：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 问题2：“＝”在什么条件下成立？
即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2<2. ∴0<22－b2<4，即 0<n<4. ∴n∈(0,4)． 综上易得 m>n.
[一点通] 利用基本不等式比较大小时除要 求正确利用a＋b≥2 ab (a≥0，b≥0)之外，还要
求能够熟练应用不等式的性质和函数的性质．
a－c 1 ．已知 a>b>c ，则 a－bb－c 与 2 的大小关系是 __________．
[例 1]
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5
第九页，共33页。
【自主解答】 (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又 a，b，c 为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又 a，b，c 互不相等， 故等号不能同时取到， 所以 a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
第十页，共33页。
第二十九页，共33页。
4．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是________． 【解析】 ∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab. 又∵a＋b＝1，∴b>12. 又 b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2， 故 b 最大． 【答案】 b
第三十页，共33页。
第十四页，共33页。
【证明】 法一 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
第十五页，共33页。
法二 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋b＋c) ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋ac≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
时取“＝”)，我们把
第五页，共33页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，都有 a＋b≥2 ab成立．( ) (2)不等式 a2＋4≥4a 成立的条件是 a＝2.( ) 【答案】 (1)× (2)√
第六页，共33页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
【自主解答】 (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又 a，b，c 为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又 a，b，c 互不相等， 故等号不能同时取到， 所以 a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
第十页，共33页。
第二十九页，共33页。
4．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是________． 【解析】 ∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab. 又∵a＋b＝1，∴b>12. 又 b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2， 故 b 最大． 【答案】 b
第三十页，共33页。
第十四页，共33页。
【证明】 法一 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
第十五页，共33页。
法二 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋b＋c) ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋ac≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
时取“＝”)，我们把
第五页，共33页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，都有 a＋b≥2 ab成立．( ) (2)不等式 a2＋4≥4a 成立的条件是 a＝2.( ) 【答案】 (1)× (2)√
第六页，共33页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明(1)课件苏教必修5
高中数学 必修5
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
1. 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a, b，我们
有 a2 b 2 2ab，当且仅当 a b时，等号成立．
例3 已知 a,b, c, d 都是正数，求证： (ab cd)(ac bd) 4abcd
练习
（1）已知 x, y都是正数，求证：(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3
（2）已知 a,b, c 都是正数，求证：(a b)(b c)(c a) 8abc （3）思考题：若 x 0，求 x 1 的最大值．
2. 基本不等式：对任意正数 a, b，有 a b ab,
当且仅当 a b 时等号成立．
2
例1 设 a, b 为正数，证明下列不等式成立：
（1） b a 2 ；（2） a 1 2
ab
aБайду номын сангаас
例2 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca
x
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
1. 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a, b，我们
有 a2 b 2 2ab，当且仅当 a b时，等号成立．
例3 已知 a,b, c, d 都是正数，求证： (ab cd)(ac bd) 4abcd
练习
（1）已知 x, y都是正数，求证：(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3
（2）已知 a,b, c 都是正数，求证：(a b)(b c)(c a) 8abc （3）思考题：若 x 0，求 x 1 的最大值．
2. 基本不等式：对任意正数 a, b，有 a b ab,
当且仅当 a b 时等号成立．
2
例1 设 a, b 为正数，证明下列不等式成立：
（1） b a 2 ；（2） a 1 2
ab
aБайду номын сангаас
例2 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca
x
高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明教学课件共18张PPT
C
S=ab
c=2(a+b)
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a
物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求
物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？ M | l1 | l2 |
M
| l1 | l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片． （课前请同学们预先 准备）
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后， 请同桌两位同学各取一个等
a b 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 ， ） ，按如图 2 2 a +b 6 所示拼接成面积为 的多边形纸片． 2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将
a +b 拼接成面积为 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去 2
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为 “所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”． 你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A
a
D
b
b
B
a
ab ≥ ab ． a b ≥ 2 ab ， 2 ab 所以， 如果 a， b 是正数， 那么 ab ≤ （当 2
且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当 a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，这个不等式仍然成立．
高中数学 第三章 不等式 3.3 基本不等式 3.3.1 基本不等式课件高一必修5数学课件
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
12/9/2021
第二十八页，共三十二页。
2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
12/9/2021
第三十页，共三十二页。
4．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd，ac＋2 bd≥ ac·bd， 所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
ab，
12/9/2021
第十四页，共三十二页。
解：因为 a＞0，b＞0，所以1a＋1b≥
2； ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，所以a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
12/9/2021
第十页，共三十二页。
把题中条件换成“0＜a＜b，且 a＋b＝1”，试找出12，a2＋b2， 2ab，a 四个数中的最大数． 解：法一：因为 0＜a＜b，所以 1＝a＋b＞2a， 所以 a＜12，又因为 a2＋b2＞2ab， 所以最大数一定不是 a 和 2ab， 因为 1＝a＋b＞2 ab，所以 ab＜14，
12/9/2021
第十七页，共三十二页。