2013届高三数学综合题

2013届高三数学综合题
一、填空题
1．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l．点A(0，2)，线段AF交抛物线于点B，过点B作l垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝．
2．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2＝．
设∠DAE＝θ，DE＝xcm，四棱锥D－ABCE的体积为Vcm3，
(1)分别求：①V关于θ的函数关系式V(θ)；②V关于x的函数关系式V(x)；
(2)试确定点E的位置，使得角钢部件“最标准”．
*8．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c＝1200元(与产品数量无关)．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．
*9．若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为．
*10．在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不在直线2mx＋(1－m2)y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为．
*11．已知数列{an}满足an＋1≤，a1＝1，a403＝2011，则a5的最大值为．
（2）设h(x)＝f(x)＋g(x)有两个极值点x1，x2，且x1(0，)，求证h(x1)－h(x2)＞－ln 2．
17．已知函数f(x)＝eλx＋(1–λ)a–ex，其中a，是常数，且0＜＜1．
（1）求函数f(x)的极值；
*（2）设1，2(0，1)，且1＋2＝1，证明：对任意的正数a1，a2，
都有≤a1＋2a2．
(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
6． 在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20东方向上，渔政船310在A的北40西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？
（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时，求证：•为定值．
*11．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记∠EFA＝α,α为锐角．
（1）用α表示AF的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S
12．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝1，PB＝，则球O的表面积为▲．
二、解答题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，y＝(cosB，cosC)，z＝(cosB，–cosC)，若z//(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
3．已知平行四边形ABCD满足：AB＝，＋＝，则平行四边形ABCD的面积为______________．
4．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为6cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面经过棱B1B上点D和棱C1C上点E绕行一周到达A1点，当绕行路径最短时，三棱锥B1－ADE的体积为cm3．
（1）若数列{an}是首项a1＝2的S型数列，求a3的值；
*（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S型数列；
*（3）若数列{}是S型数列，且0＜a1＜1，试求an＋1与an的递推关系，并证明0＜an＜1对n∈N*恒成立．
14．已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn＝，cn＝ana．
5．已知数列{an}是等差数列，且＜－1，它的前n项和Sn有最小值，则Sn取到最小正数时的n＝．
6．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则 的取值范围是．
7．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，则的最大值为．
*8．已知xy－z＝0，且0＜＜，则的最大值为__________．
组号
分组
频数
频率
第一组
[230，235)
8
0.16
第二组
[235，240)
①
0.24
第三组
[240，245)
15
②
第四组
[245，250)
10
0.20
第五组
[20
(1)写出表中①②位置的数据；
(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
(1)若⊙C经过点O(O为坐标原点)，F、A三点，求⊙C的方程；
(2)当m变化时，求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
(3)若•＜5，求椭圆离心率e的范围．
10．过点C（0，1）的椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（－a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（1）设f(x)＝aln(1＋x)(aR)恰有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（2）g(x)＝x2＋x＋3，证明：函数y＝g(g(x))没有不动点；
*（3）若定义在R上的函数h(x)有且只有一个不动点x0，且满足：h(h(x)－x3－x)＝h(x)－x3－x，求函数h(x)的解析式．
18．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝．
（1）设h(x)＝f(x)＋kg(x)，k为常数，k≠0．若曲线y＝h(x)在点(2，h(2))处的切线平行于x轴，求k的值；
（2）求函数y＝h(x)的单调增区间；
*（3）对任意x＞0且x≠1，求证：f(x)g(x)＜．
19．对于函数y＝f(x)，若存在x＝x0，使f(x0)＝x0，则称实数x0是函数y＝f(x)的一个不动点．
(1)求∣b∣；
(2)求△ABC的面积．
4．如图①，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE折起到△A1DE的位置，如图②，连结A1B，A1C．
(1)若F为A1B的中点，求证：DF∥平面A1EC；
(2)求证：平面A1BC⊥平面A1BD．
5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；
*（2）若数列{cn}为等比数列，且bn＋1≥bn，求证：数列{an}为等比数列．
15．数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2＋a4＝a1＋a5，a4＋a7＝a6＋a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b．
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝＝．
(1)求C；
(2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣
弧上，PAB＝，求四边形APCB面积S()的解析式及
最大值．
3．设△ABC中，＝c，＝a，＝b，且ab＝bc＝－2，b与c－b的夹角为150．
（2）求使得am·am＋1·am＋2＝am＋am＋1＋am＋2成立的所有正整数m的值；
*（3）在数列{an}的奇数项中任取s项，偶数项中任取t项（s，t∈N*，s＞1，t＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，求s＋t的最大值．
16．已知函数f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx．
（1）若对任意的正数x，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(1)若开机生产时间为m天，停机销售时间为n天，最后一天卖出a个产品，写出m，n，a的关系，并写出a的取值范围；
(2)若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？
9．已知椭圆＋＝1的右焦点F，右准线为l，且直线y＝x与l相交于A点．
7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD按下列要求制作而成．
①制作角钢部件的矩形钢板的长AB＝15cm，宽AD＝10cm；
②在矩形钢板的长边CD上选一点E(异于C，D)，将钢板沿着AE折起，使得△ADE、梯形ABCE所在的平面互相垂直．
当ABCDE为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”．
关于α的函数关系S(α)；
（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，
应如何设计α的大小？
12．已知数列{an}的各项都为正数，Sn＝＋＋…＋(n∈N*)．
（1）若数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，求S67；
（2）若Sn＝，求证：数列{an}是等差数列．
13．对于任意的n∈N*（n不超过数列的项数），若数列的前n项之和等于该数列的前n项之积，则称该数列为S型数列．