数学---福建省三明一中2018届高三(上)期中试卷(文)(解析版)

福建省三明一中2018届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，每一小题只有一个选项正确）1．（5分）进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的．一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a..打开电子信箱；b．输入发送地址；c．输主主题；d．输入信件内容；e．点击“写邮件”；f．点击“发送邮件”，则正确的流程是（）A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e2．（5分）在等差数列{a n}中，如果，那么数列{a n}的前9项的和是（）A．54 B．81 C．D．3．（5分）设x∈R，i是虚数单位，则“x=﹣3”是“复数z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数y=A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）A．y=﹣4sin（x+）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x﹣）D．y=4sin（x+）5．（5分）已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥n，n∥α，则m∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．（5分）已知，，，则a、b、c大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 7．（5分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知p：∃x∈R，mx2+2≤0，q：∀x∈R，x2﹣2mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣1，1] 9．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x+2y在D上的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．111．（5分）若cos α=，cos（α+β）=﹣，α∈（0，），α+β∈（），则β为（）A．B．C．D．12．（5分）已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O（）A．在过点C与AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在过点C边AB的中线所在直线上D．以上都不对二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某冷饮店为了解气温对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表所示：由图表数据可知：=﹣0.7，则线性回归方程为．14．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则=．15．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2=log23•log34=•=2；a 1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•=••…•=3…；若a1•a2•a3…a m=2016（m∈N*），则m的值为．16．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x（0＜x＜1）．设平面MEF ∩平面MPQ=l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中成立的结论是．（写出所有成立结论的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a8=23．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}的前n项和为S n，b1=a2，b2=a7，求S n＞1000的最小正整数n．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=，三棱锥P ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，=（2sin（x﹣A），cos x），=（sin（B+C），1），f（x）=，若A=（1）求函数f（x）的图象的对称点；（2）若a=7，且△ABC的面积为10，求△ABC的周长．20．（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21．（12分）设函数f（x）=（x+b）ln x，y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=3x平行．（1）求b的值；（2）若函数（a≠0），且g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集．（2）关于x的不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0的解集是R，求实数m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．则正确顺序为：a→e→b→c→d→f故选C．2．C【解析】在等差数列{a n}中，a1+a9=2a5，又，所以a1+a9=9，∴数列{a n}的前9项的和，故选：C．3．C【解析】由x=﹣3，得x2+2x﹣3=（﹣3）2+2×（﹣3）﹣3=0，x﹣1=﹣3﹣1=﹣4．而由，得x=﹣3．所以“x=﹣3”是“复数z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i为纯数”的充要条件．故选C．4．A【解析】由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4，观察图象可得函数的周期T=16，ω==，又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（+φ）=1，∴φ+=2kπ+，∵|φ|＜，∴φ=，∴函数的表达式y=﹣4sin（x+）．故选：A．5．B【解析】由题可得：对于选项A，由直线与平面垂直的判定可知，直线必须垂直于平面内的两条相交直线，直线才能垂直平面，所以错误；对于选项B，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项B正确；对于选项C，平行与同一平面的两条直线可以平行，也可以相交或异面，所以C错误；故于选项D，当m∥α，m⊥n，有n⊥α或n∥α或n⊂α，所以D错误．故选：B．6．D【解析】∵，，，∴c＜a＜b，故选：D．7．C【解析】∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO=CO=AC=；所以：左视图的面积等于S△AOC=CO•AO=××=．故选：C．8．A【解析】∵p：∃x∈R，mx2+2≤0，∴m＜0，∵q：∀x∈R，x2﹣2mx+1＞0，∴△=4m2﹣4＜0，∴﹣1＜m＜1，∵p∨q为假命题，∴p为假命题，q也为假命题，∵p为假命题，则m≥0，q为假命题，则m≥1或m≤﹣1，∴实数m的取值范围是m≥1，即[1，+∞）故选A．9．B【解析】由log2（S n+1）=n+1，得，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，所以数列{a n}的通项公式为a n=．故选：B．10．D【解析】∵，f'（1）=1，∴曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1．∴由x轴和曲线y=f（x）及y=x﹣1围成的封闭区域为三角形．z=x+2y在点（1，0）处取得最大值1．故选：D．11．C【解析】∵cos α=，α∈（0，），∴sin α=．又∵cos（α+β）=﹣，α+β∈（），∴sin（α+β）=，∴cos β=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cos α+sin（α+β）•sin α=．又∵α∈（0，），α+β∈（），∴β∈（0，π），∴β=．故选：C．12．A【解析】∵||2+||2=||2+||2，∴||2﹣||2=||2﹣||2，∴（﹣）（+）=（+）（﹣），∴（+）=（+）•，∴（+﹣﹣）=0，∴2•=0，∴⊥，故选：A．二、填空题13．y=﹣0.7x+13.9【解析】样本平均数==7，==9，=﹣0.7，∴=9+0.7•7=13.9，则线性回归方程为：y=﹣0.7x+13.9．故答案为：y=﹣0.7x+13.9．14．【解析】∵△DEF∽△BEA，DF：BA=DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴等于，∵=+==，∴=+=+，故答案为：．15．22016﹣2【解析】∵a n=log n+1（n+2）（n∈N*），∴a1•a2=log23•log34=•=2；a 1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•=••…•=3；…归纳可得：a1•a2•a3•…•=n（n≥2），若a1•a2•a3•…•a m=2016，则m=22016﹣2，故答案为：22016﹣216．①②③【解析】在①中，连接BD，B1D1，∵A1P=A1Q=x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，∵PQ⊄平面MEF，EF⊂平面MEF，∴PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ=l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；在②中，∵EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；在③中，∵l∥EF∥BD，∴直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；在④中，当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．故答案为：①②③．三、解答题17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，a8﹣a2=6d=23﹣5=18⇒d=3．a n=a2+（n﹣2）d=5+（n﹣2）•3=3n﹣1．（2）∵b1=a2，b2=a7=3×7﹣1=20，∴，∴，∵210=1024，29=512，∴2n=10，∴最小正整数n为5．18．（1）证明：设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）解：V=××P A×AB×AD=AB，由V=，可得AB=．作AH⊥PB交PB于点H．由题设知BC⊥平面P AB，所以BC⊥AH，因为PB∩BC=B，所以AH⊥平面PBC．又AH==，所以点A到平面PBC的距离为.19．解：由A+B+C=π得，B+C=π﹣A，f（x）==2（sin x cos A﹣cos x sin A）sin（π﹣A）+cos x=2sin x sin A cos A﹣2cos x sin2A+cos x=sin x sin2A+cos x cos2A=cos（x﹣2A），（1）由得，，∴，∴函数f（x）的图象的对称点为（2），=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣120⇒b+c=13，∴C△ABC=a+b+c=7+13=2020．解：（Ⅰ）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x﹣（x2﹣200x+80000）=﹣（x﹣400）2，∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：=．当x∈[120，144）时，=（x﹣120）2+240，所以当x=120时，取得最小值240；当x∈[144，500）时，=x+﹣200≥2﹣200=300当且仅当x=，即x=400时，取得最小值300因为240＜300，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．21．解：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，所以f′（1）=3，又f′（x）=ln x++1，即ln1+b+1=3，所以b=2．（2）由（1）知g（x）=e x ln x﹣2a e x，所以g′（x）=（+ln x﹣2a）e x（x＞0），若g（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即，所以2a≥+ln x．令h（x）=+ln x（x＞0），则h′（x）=，由h'（x）＞0，得x＞0，h'（x）＜0，得0＜x＜1，故h（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则，h（x）无最大值，g'（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，故g（x）在（0，+∞）不可能是单调减函数．若g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即，所以2a≤+ln x，由前面推理知，h（x）=+ln x的最小值为h（1）=1，∴2a≤1，故a的取值范围是a．22．解；（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为=0，把代入可得：=0，由曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，变为ρ2=4ρcosθ，化为x2+y2﹣4x=0．（2）联立，解得或，∴直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为，．23．解：（1）当x＜﹣2时，不等式等价于﹣（x﹣1）﹣（x+2）≥5，解得x≤﹣3；当﹣2≤x＜1时，不等式等价于﹣（x﹣1）+（x+2）≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x﹣1+x+2≥5，解得x≥2．综上，不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥2}．（2）①当m2﹣2m﹣3=0，即m=﹣1或m=3时，要使原不等式的解集为R，则m=3②当m2﹣2m﹣3≠0时，要使原不等式的解集为R，则有：，综上①②的m的取值范围为．。