2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第十章 第四节随机事件的概率
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第三章 第六节简单的三角恒等变换
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课时提升作业(二十二)一、选择题1.2sin(1802)cos 1cos 2cos(90)︒+αα⋅+α︒+α等于 ( ) (A)-sin α (B)-cos α (C)sin α (D)cos α2.函数是 ( )(A)周期为2π的奇函数(B)周期为2π的偶函数(C)周期为4π的奇函数(D)周期为4π的偶函数3.(2013·淄博模拟)已知cos(α-4π)=4,则sin2α= ( )(C)34(D)-344.(2013·济南模拟)若函数f(x)=asin x-bcos x 在x=3π处有最小值-2，则常数a,b 的值分别是( )5.(2013·太原模拟)若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos 2x-m 在[0,2π]上有零点,则实数m 的取值范围为( )(B)[-1,1]6.已知y=f(x)是奇函数,且图象关于x=3对称,f(1)=1,cosx-sinx=5, 则f(15sin 2xcos(x )4π+)= ( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题7.(能力挑战题)已知tan2θπ<2θ<2π,化简22cos sin 12)4θ-θ-πθ+= .8.(2013·温州模拟)函数y=(acosx+bsinx)cosx 有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为 . 9.函数y=cos x1sin x-的单调递增区间为 . 三、解答题10.(2013·潍坊模拟)已知函数()2f x sin (x)cos 2x 42π=+-. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.(2)函数f(x)的图象经过怎样的变换可以得到y=sin 2x 的图象？ 11.(2013·临沂模拟)已知函数f(x)=2sin(13x-6π),x ∈R.(1)求f(54π)的值. (2)设α,β∈[0,2π],f(3α+2π)=1013,f(3β+2π)=65,求cos(α+β)的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sin ωx ·sin(2π-φ)-sin(2π+ωx)sin(π+φ)是R 上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图象关于点M(34π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值.答案解析1.【解析】选D.原式=2sin 2cos 1cos 2sin -αα⋅+α-α222sin cos cos 2cos sin -ααα=⋅α-α=cos α2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asin ωx 的形式,即可得其相应性质.【解析】选∴最小正周期为2.42ππ= ∵f(-x)=-f(x),∴函数是奇函数.3.【解析】选D.方法一:由cos(α-4π,得2cos α+2sin α=4,即sin α+cos α=12,平方得1+2sin αcos α=14, 故sin2α=-34.方法二:由cos(α-4π)=cos(4π-α), 所以cos(2π-2α)=2cos 2(4π-α)-1=2〃(4)2-1=-34.∵cos(2π-2α)=sin2α,∴sin2α=-34.4.【解析】选D.∵f(x)=asin x-bcos x )=-ϕ,∴2,a b1.1b22⎧=-⇒==-=-5.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m =1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m4π)-m.∵0≤x≤2π,∴0≤2x≤π,∴-4π≤2x-4π≤34π, ∴-1≤4π)故当-1≤m,f(x)在[0,2π]上有零点. 6.【解析】选A.∵∴1-sin2x=1825.∴sin2x=725,4π∴cos(x+4π)=3.571515sin 2x257.3cos(x)45⨯∴==π+f(7)=f(-1)=-f(1)=-1.7.【解析】原式=cos sin1tan.cos sin1tanθ-θ-θ=θ+θ+θ∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(2π,π).而tan2θ=22tan1tanθ-θ2θ-tanθ即θ+1)(tanθ故tanθ=-2或tanθ舍去).∴11tan 1tan +-θ=+θ答案:8.【解析】y=acos 2x+bsinxcosx=1cos 2x ba 22+⋅+sin 2xφ)+a 2, a 2,2a 1,2=∴⎨⎪=-⎪⎩ ∴a=1,b 2=8,∴(ab)2=8. 答案:8【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点. 9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】222x xcos sin cos x 22y x x 1sin x (cos sin )22-==-- x x x cos sin 1tan222x x x cos sin 1tan222++==--=tan(x 2+4π).由k π-2π<x 2+4π<2π+k π,k ∈Z,知2k π-32π<x<2k π+2π,k ∈Z. 答案:(2k π-32π,2k π+2π),k ∈Z10.【解析】(1)f(x)=sin 2(4πcos 2x 1cos(2x)22π-+=11sin 2x 2221sin(2x ).23=+-π=+- 最小正周期T=π，单调递增区间为［5k ,k 1212ππ-π+π］,k ∈Z. (2)向左平移6π个单位，再向下平移12个单位.11.【解析】(1)f(54π)=2sin(512π-6π)=2sin 4π(2)f(3α+2π)=2sin α=10,13∴sin α=5.13又α∈[0, 2π],∴cos α=12,13f(3β+2π)=2sin(β+2π)=2cos β=6,5∴cos β=3.5又β∈[0, 2π],∴sin β=4,5∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=16.6512.【解析】由已知得f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ =sin(ωx+φ),∵f(x)是偶函数,∴φ=k π+2π,k ∈Z.又∵0≤φ≤π,∴φ=2π. ∴f(x)=sin(ωx+2π)=cos ωx.又f(x)关于(34π,0)对称, 故34πω=k π+2π,k ∈Z.即ω=4k 2,33+k ∈Z. 又ω>0,故k=0,1,2,…当k=0时,ω=23,f(x)=cos 23x 在[0, 2π]上是减函数. 当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x 在[0, 2π]上是减函数.当k=2时,ω=103,f(x)=cos 103x 在[0, 2π]上不是单调函数, 当k>2时,同理可得f(x)在[0, 2π]上不是单调函数,综上,ω=23或ω=2.关闭Word 文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》（人教A版数学理）课时提升作业第十一章第二节证明不等式的基本方法
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课时提升作业(七十四)一、选择题1.设a>b,a+b>0，则下列不等式中不一定成立的是( ) (A)a 2>ab>-a 2(B)2a b >2a-b(C)a 2>b 2(D)2b a>2b-a2.(2013·孝感模拟)已知a,b,m 是正实数，则不等式b m ba m a+<+ ( ) (A)当a>b 时成立 (B)当a0(B)13(a+b+c)(C)ab+bc+ac<0 (D)a 3+b 3+c 3>abc4.若x 2+xy+y 2=1,且x,y ∈R,则n=x 2+y 2的取值范围是( ) (A)0＜n ≤1 (B)2≤n ≤3 (C)n ≥2 (D)23≤n ≤25.已知a,b 为正实数，x y =则有( ) (A)xy6.已知a ＞0，b ＞0，m n p===则m ，n ，p 的大小顺序是 ( )(A)m ≥n ＞p (B)m ＞n ≥p (C)n ＞m ＞p (D)n ≥m ＞p 7.x y zP x 1y 1z 1=+++++(x>0,y>0,z>0)与3的大小关系是( ) (A)P ≥3 (B)P=3 (C)P<3(D)P>38.(2013·武汉模拟)设a,b,c 为正实数，且a+b+c=1，若111M (1)(1)(1)abc=---，则必有( )(A)0≤M<18(B)18≤M<1 (C)1≤M<8 (D)M ≥89.已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x 1)-f(x 2)|<ε成立的一个充分但不必要条件是( )(A)|x 1-x 2|<ε (B)|x 1-x 2|<2ε (C)|x 1-x 2|<4ε (D)|x 1-x 2|>4ε10.设a,b 是正实数，以下不等式: 2ab;a b>+②a>|a-b|-b;③a 2+b 2>4ab-3b 2; ④ab+2ab>2.其中恒成立的序号为( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 11.设a,b,c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+3)2＞2a 2+6a+11 (B)221a a +≥1a a+(C)|a-b|+1≥2-a b二、填空题12.设x=a2b2+5，y=2ab-a2-4a，若x>y，则实数a,b应满足的条件为________.13.若{a n}是各项都为正的等比数列，且公比q≠1,则a1+a4与a2+a3的大小关系是________.14.已知a,b,c为正实数，则111+++的大小关系是________.a b c15.已知α，β是实数，给出下列四个论断:①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>|β|>④|α+β|>5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.三、解答题16．(2013·荆州模拟)(1)设x是正实数，求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R，不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值.答案解析1.【解析】选B.由条件a>b,a+b>0可知，b 的符号不确定，故不等式2a b>2a-b不一定成立. 2.【解析】选B.≧b m b ,a m a +<+?b m b0,a m a+-<+ 即(a b)m0,a(a m)-<+≧a>0,b>0,m>0,a-b<0,即a<b,故选b.< p="">3.【解析】选 C.≧a+b+c=0,?(a+b+c)2=0, 即 a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0, ?ab+bc+ac=2221(a b c ).2-++≧abc ≠0,?a 2+b 2+c 2>0,?ab+bc+ac<0.【变式备选】已知x>y>z,且x+y+z=0，则下列不等式恒成立的是( ) (A)xy>yz (B)xz>yz (C)xy>xz (D)x|y|>z|y|【解析】选C.由x+y+z=0，且x>y>z 得x>0,z<0,而y>0,y=0，y<0均有可能.若y=0,A,D 错误.又x>y,z<0，所以xz<="" 错误，同理c="">4.【思路点拨】可利用22x y xy 2+≤建立关于n 的不等式,同时要注意隐含条件(x+y)2≥0.【解析】选D.≧x 2+y 2≥2xy, ?1=x 2+y 2+xy ≤223x y 2+()，即n ≥2.3又≧(x+y)2=x 2+y 2+2xy=n+2(1-n)≥0，n ≤2,?23≤n ≤2.5.【思路点拨】化简y 6-x 6，配方后判断符号得出答案.【解析】选A.≧y 6-x 6=66-=(a 2+b 2)3-(a 3+b 3)2 =a 6+3a 4b 2+3a 2b 4+b 6-a 6-2a 3b 3-b 6=3a 2b 2(a-b)2+4a 3b 3>0，6.【解析】选A.由已知，m n==得a=b ＞0时m=n ，可否定B ，C.比较A ，D 项，不必论证m,n 与p 的关系.取特值a=4，b=1，则19m 422=+=，n=2+1=3，?m ＞n ，可排除 D. 7.【解析】选C.≧x>0,y>0,z>0, ?x y z x 1y 1z 1P 3.x 1y 1z 1x 1y 1z 1+++=++<++=++++++故选C. 8.【解析】选D.由已知得a b c a b c a b c M (1)(1)(1)a b c ++++++=-?-?-=(b c)(a c)(a b)abc+++≥abc=8.【变式备选】已知a ，b ∈(0,+≦)，且a+b=1，求证:(1)111a bab ++≥8. (2)a 2+b 2≥1.2(3)2211a b+≥8.(4)2211(a )(b )a b +++≥25.2(5)11(a )(b )a b ++≥25.4【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab 或1ab ，因此只要利用a+b=1得出ab 及1ab的范围，就能够证出以上六个不等式. 【证明】由a b2a b1a,b(0,)+≥+=∈+∞，，12≤?ab≤141ab≥4.(1)≧111111(a b)()a b ab a b ab++=+++≥111a b ab++≥8.(2)≧a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥11 12,42-?=a2+b2≥1.2(3)≧2211a b+≥2ab≥8,?2211a b+≥8.(4)由(2)、(3)的结论，知2222221111(a)(b)a b4a b a b+++=++++≥12548,22++=2211(a)(b)a b+++≥25.2(5)方法一:欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证4(ab)2-33ab+8≥0，即证ab≤14或ab≥8. ≧a>0,b>0,a+b=1,?ab≥8不可能成立. ≧1=a+b≥?ab≤14，从而得证.方法二:≧a+b=1,a>0,b>0,?a+b≥?ab≤1,4221125a1b125(a)(b)a b4a b4++++-=?-=224a b33ab8(14ab)(8ab)4ab4ab-+--=≥0.11(a )(b )a b ++≥25.4方法三:≧a+b=1,a>0,b>0,?a+b≥?ab ≤1,41-ab ≥13144-=?(1-ab)2≥916225(1ab)1,1614,ab-+≥≥2(1ab)1ab -+≥25,4 即1 1(a )(b )a b ++≥25.4(6)方法一:≧x>0,y>0,?x+y≥2(x+y)≥(x+y)+2=由此得=方法二:≤即证28,≤即证2(a+b)+2+8, ≧a+b=1≤2, 2,只需证ab ≤1,4而a>0,b>0,1=a+b ≥ab ≤14显然成立，故原不等式成立.9.【解析】选C.由|f(x 1)-f(x 2)|=|(-2x 1+1)-(-2x 2+1)|=2|x 1-x 2|<ε知|x 1-x 2|<,2ε选项A 是必要但不充分条件，选项B 是充要条件，选项C 是充分但不必要条件，选项D 是既不充分也不必要条件.10.【解析】选D.≧a>0,b>0,?a+b ≥2aba b ≤=+故不等式①缺等号，不恒成立，因此排除选项A ，B ，又≧(a 2+b 2)-(4ab-3b 2)=a 2-4ab+4b 2=(a-2b)2≥0,故不等式③也缺等号，也不恒成立，因此又排除选项C ，故选D.11.【解析】选C.(a+3)2-(2a 2+6a+11)=-a 2-2＜0，故A 不成立;在B 项中不等式的两侧同时乘以a 2,得a 4+1≥a 3+a ?(a 4-a 3)+(1-a)≥0?a 3(a-1)-(a-1)≥0?(a-1)2(a 2+a+1)≥0，所以B 项中的不等式恒成立; 对C 项中的不等式，当a ＞b 时，恒成立，当a ＜b 时，不成立;,知D 项中的不等式恒成立.故选C.12.【解析】若x>y,则x-y=a 2b 2+5-(2ab-a 2-4a) =a 2b 2-2ab+a 2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0, ?ab ≠1或a ≠-2. 答案:ab ≠1或a ≠-2 【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论. (2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时，常用作商比较法. (3)利用作商比较法时，要注意分母的符号. 13.【解析】(a 1+a 4)-(a 2+a 3) =a 1+a 1q 3-a 1q-a 1q 2=a 1(1+q)(1-q)2, ≧a n >0,?q>0,又q ≠1,a 1(1+q)(1-q)2>0,即a 1+a 4>a 2+a 3. 答案:a 1+a 4>a 2+a 314.【解析】因为11ab+≥11b c +≥11a c +≥ 三式相加可得111a b c+++ 答案: 111abc++15.【解析】①③成立时，|α+β|=|α|+|β|>?④成立.又由①，知αβ>0,?|α-β|≤|α+β|成立，即②成立，同理②③?①④.答案:①③?②④或②③?①④(写一个即可) 16．【解析】(1)因为x 是正数，由基本不等式知，x+1≥1+x 2≥2x,x 3+1≥故(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥2x ?=8x 3(当x=1时等号成立).(2)若x ∈R,不等式(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3仍然成立. 由(1)知，当x>0时，不等式成立;当x ≤0时，8x 3≤0. 而23(x 1)(x 1)(x 1)+++ =(x+1)2(x 2+1)(x 2-x+1)=(x+1)2(x 2+1)［213(x )24-+］≥0, 此时不等式仍然成立.【方法技巧】不等式证明的方法与技巧(1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式最基本的方法.①比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.②综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.(2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中提取.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.(3)证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论.关闭Word文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第二章 第十节变化率与导数、导数的计算
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课时提升作业(十三)一、选择题1.(2013·泰安模拟)已知函数f(x)=asin x且f′(π)=2，则a的值为( )(A)1 (B)2 (D)-22.(2013·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=( )(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2013·海口模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )(A)f(x)＝e x (B)f(x)＝x3(C)f(x)＝ln x (D)f(x)＝sin x4.(2013·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )(A)2 (B)-14(C)4 (D)-125.如图,其中有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为( )(A)2 (B)-13 (C)3 (D)-126.(2013·莱芜模拟)已知点P 在曲线x 4y e 1=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )(A)(0，4π) (B)(,42ππ)(C)(3,24ππ)(D)［3,4ππ)二、填空题7.如图，函数F(x)＝f(x)＋21x 5的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝_________.8.设a ＞0，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则点P 到曲线y ＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为___________.9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax 2+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题10.求下列各函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3)..(3)y ＝e -x sin 2x. 11.已知曲线y=314x 33,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程. (2)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(能力挑战题)已知函数f(x)＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g(x)＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0. (1)求a 的值.(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f(x)的切线，又是曲线y ＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．答案解析1.【解析】选D.因为f ′(x)=acos x ， 所以f ′(π)=acos π=-a=2, 所以a=-2，故选D.2.【解析】选B.y ′=2x,所以在点(a,a 2)处的切线方程为:y-a 2=2a(x-a),令x=0,得y=-a 2;令y=0,得x=12a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12〓|-a 2|〓|12a|=14|a 3|=16,解得a=〒4.3.【解析】选D.设切点的横坐标为x 1，x 2,则存在无数对互相垂直的切线，即f ′(x 1)·f ′(x 2)＝-1有无数对x 1，x 2使之成立,对于A 由于f ′(x)＝e x ＞0，所以不存在f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1成立； 对于B 由于f ′(x)＝3x 2≥0，所以也不存在f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1成立； 对于C 由于f(x)＝ln x 的定义域为(0，＋≦)， ≨f ′(x)＝1x＞0;对于D,由于f ′(x)＝cos x ，所以f ′(x 1)·f ′(x 2)＝cos x 1·cos x 2， 若x 1＝2m π，m ∈Z,x 2＝(2k ＋1)π，k ∈Z ， 则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1恒成立．4.【解析】选C.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以 g ′(1)=2.又f ′(x)=g ′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f ′(1)=g ′(1)+2=4. 5.【解析】选B.≧f ′(x)=x 2+2ax+(a 2-1), ≨导函数f ′(x)的图象开口向上. 又≧a ≠0,≨其图象必为(3).由图象特征知f ′(0)=0,且对称轴x=-a>0, ≨a=-1,故f(-1)=-13.6.【解析】选D.x xx 22x x 4e 4e y .(e 1)e 2e 1'=-=-+++设t=e x ∈(0,+≦),则24t 4y ,1t 2t 1(t )2t'=-=-++++≧1t 2t+≥,≨y ′∈［-1,0),α∈［3,4ππ). 7.【解析】F ′(x)＝f ′(x)＋25x ，由题意可知F ′(5)＝f ′(5)＋2＝－1， ≨f ′(5)＝－3.又点(5,3)在F(x)的图象上，≨f(5)＋5＝3， ≨f(5)＝－2，≨f(5)＋f ′(5)＝－5. 答案：－58.【解析】≧y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，≨0≤f ′(x 0)≤1，即0≤2ax 0＋b ≤1.又≧a ＞0,≨b 2a －≤x 0≤1b 2a－，≨0≤x 0＋b 2a ≤12a ，即点P 到曲线y ＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为［0，12a］．答案：［0，12a］9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a 的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+≦),且f ′(x)=2ax+1x.因为存在垂直于y 轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f ′(x)=2ax+1x存在零点的问题.方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax 与h(x)=1x存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-≦,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+1x=0在(0,+≦)内有解,显然可得a=212x-∈(-≦,0). 答案:(-≦,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x 2+3x+2)(x+3)=x 3+6x 2+11x+6, ≨y ′=3x 2+12x+11.方法二:y ′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x 2+12x+11. (2)≧21x＝－, ≨y ′=22221x 21x 1x 1x ''－（－）（）＝＝－（－）（－）. (3)y ′＝(－e －x )sin 2x ＋e －x (cos 2x)〓2 ＝e －x (2cos 2x －sin 2x)．11.【解析】(1)设曲线y=314x 33+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0，13x 03+43)，则切线的斜率k=02x x 0y |x ='=，≨切线方程为y-(3014x 33+)=x 02(x-x 0)，即y=x 02·x-23x 03+43.≧点P(2,4)在切线上，≨4=2300242x x 33-+，即x 03-3x 02+4=0，≨x 03+x 02-4x 02+4=0， ≨(x 0+1)(x 0-2)2=0, 解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. (2)设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k= x 02=4,x 0=〒2,所以切点为(2,4),(-2,-43), ≨切线方程为y-4=4(x-2)和y+43=4(x+2), 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0. 【变式备选】已知函数f(x)=x 3+x-16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ≧f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，≨在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13, ≨切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)≧切线与直线y=-14x+3垂直, ≨切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=3x 02+1=4, ≨x 0=〒1,≨0000x 1x 1y 14y 18.⎧⎧⎨⎨⎩⎩＝，＝－，或＝－＝－≨切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f ′(x)＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0，≨a ＝－2.(2)存在.≧直线m 恒过定点(0,9)，直线m 是曲线y ＝g(x)的切线，设切点为(x 0,3x 02＋6x 0＋12)， ≧g ′(x 0)＝6x 0＋6，≨切线方程为y －(3x 02＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0,9)代入，得 x 0＝〒1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由f ′(x)＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 即有x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝9. ≨公切线是y ＝9.又令f ′(x)＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， ≨x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －10， ≨公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.关闭Word文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第二章 第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用
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课时提升作业(十五)一、选择题1.(2013·日照模拟)已知某生产厂家年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为31y x 81x 234,3=-+-则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )(A)13万件 (B)11万件 (C)9万件 (D)7万件 2.若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( ) (A)(0,1] (B)(1,+∞) (C)(0,1) (D)[1,+∞)3.(2013·伊春模拟)在半径为R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )R 3 πR 3(C)3πR 3 (D)49πR 34.(2013·德州模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1)=0,当x ＞0时，有2xf (x)f (x)0x'-＞成立，则不等式f(x)＞0的解集是( ) (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(-1,0) (C)(1,+∞) (D)(-1,0)∪(1,+∞)5.函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)6.(2013·沈阳模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有()()2xf x f x x '－<0恒成立，则不等式x 2f(x)>0的解集是( )(A)(－2,0)∪(2，＋∞) (B)(－2,0)∪(0,2) (C)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (D)(－∞，－2)∪(0,2) 二、填空题7.已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(43π),f(54π－)的大小关系为 (用“<”连接).8.(2013·江西师大附中模拟)已知f(x)=x 3-3x+m ，在区间［0,2］上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则m 的取值范围是 .9．(能力挑战题)设函数()()222x e x 1e xf x ,g x x e+=＝,对任意x 1，x 2∈(0,＋∞)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________. 三、解答题10.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax 2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性.(2)设a ≤-2，证明：对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》《荷塘月色》等10首创新经典歌曲.该公司计划用x(百万元)请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y(百万元)与(3-x)x 2成正比的关系，当x=2时y=32.又有()x23x -∈(0,t ］，其中t 是常数，且t ∈(0,2］.(1)设y=f(x)，求其表达式及定义域(用t 表示). (2)求总利润y 的最大值及相应的x 的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=13x 3-x 2+ax-a(a ∈R). (1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.(2)若函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选C.因为y ′=-x 2+81，由y ′=0, 得x=9(-9舍去). 当x ∈(0,9)时，y ′＞0; 当x ∈(9,+≦)时，y ′＜0,所以当x=9时，y 有最大值，故选C.2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max ≤0.由f ′(x)=1x-p,知f(x)在(0,1p )上单调递增,在(1p,+≦)上单调递减.故f(x)max =f(1p)=-lnp,由-lnp ≤0得p ≥1.3.【解析】选A.设圆柱的高为h,,圆柱的体积为V=π(R 2-h 2)h=-πh 3+πR 2h(0<h<R),V ′=-3πh 2+πR 2V 有最大值为V=πR 3. 4.【解析】选D.令g(x)()f x x=, 当x ＞0时，有()()()2x f x f x g x 0x '-'=＞, 即当x ＞0时，()()f xg x x=是增函数. 又f(x)在R 上是奇函数，所以()()f xg x x=在(-≦,0)∪(0,+≦)上是偶函数.所以，当x ＜0时，()()f xg x x=是减函数.而f(1)=0，所以不等式f(x)＞0的解集是(-1，0)∪(1,+≦).5.【解析】选B.由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点.由f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-≦,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x3-3x2+1与直线y=-b有三个交点,则f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.6.【思路点拨】x2f(x)化为x3·()f xx,研究函数y＝()f xx的单调性，利用单调性结合图象求解.【解析】选D.当x>0时，有()()2xf x f xx'－＜0，则()f xx'［］<0，()f xx在x>0时单调递减，x2f(x)＞0,即为x3·()f xx>0⇒()f xx>0.f(2)＝0，画出y＝()f xx在x>0时的示意图，知0<x<2.同理，由f(x)是奇函数，则y＝()f xx是偶函数，如图，在x<0时y＝()f xx单调递增，x2f(x)>0，即为x3·()f xx>0⇒()f xx<0.f(－2)＝0，≨x<－2.综上所述，不等式的解集是(－≦，－2)∪(0,2).7.【解析】f ′(x)=sinx+xcosx,当x ∈[5443ππ，]时,sinx<0,cosx<0, ≨f ′(x)=sinx+xcosx<0,则函数f(x)在x ∈[5443ππ，]时为减函数,≨f(43π)<f(4)<f(54π),又函数f(x)为偶函数,≨f(43π)<f(-4)<f(-54π).答案:f(43π)<f(-4)<f(-54π)8.【思路点拨】关键是在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a), f(b),f(c)为边长的三角形，三个不同的数a,b,c,对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.【解析】f(x)=x 3-3x+m ，f ′(x)=3x 2-3，由f ′(x)=0得到x=1或x=-1，在［0,2］上，函数先减小后增加，计算两端及最小值f(0)=m ，f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在［0,2］上任取三个不同的数a,b,c ，均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，三个不同的数a,b,c 对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长. 由题意知，f(1)=-2+m ＞0 ① f(1)+f(1)＞f(0)，得到-4+2m ＞m ② f(1)+f(1)＞f(2)，得到-4+2m ＞2+m ③ 由①②③得到m ＞6，即为所求.答案:m ＞69.【解析】≧k 为正数， ≨对任意x 1，x 2∈(0,＋≦)，不等式()()12g x f x k k 1≤+恒成立⇒()()max min g x f x k k 1≤+［］［］ 由g ′(x)=()x 22xe 1x e +- =0，得x=1，x ∈(0,1)时,g ′(x)＞0,x ∈(1,+≦)时，g ′(x)＜0，≨()()max g x g 1e k k k==［］. 同理由f ′(x)=222e x 1x-=0，得x=1e ， x ∈(0, 1e )时,f ′(x)＜0，x ∈(1e,+≦)时，f ′(x)＞0，()min1f f x 2e e ,k 1k 1k 1==+++（）［］ ≨e 2e k k 1≤+,k ＞0⇒k ≥1. 答案：{k|k ≥1}【变式备选】已知两函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x 3+5x 2+4x,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (2)存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k 的取值范围. (3)对任意x 1,x 2∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x 3-3x 2-12x+k, 问题转化为x ∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立, 即h(x)min ≥0,x ∈[-3,3].令h ′(x)=6x 2-6x-12=0,得x=2或x=-1.≧h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20, h(3)=k-9,≨h(x)min =k-45≥0,得k ≥45. (2)据题意:存在x ∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3,3]上能成立, ≨h(x)max ≥0.≨h(x)max =k+7≥0,得k ≥-7. (3)据题意:f(x)max ≤g(x)min ,x ∈[-3,3], 易得f(x)max =f(3)=120-k,g(x)min =g(-3)=-21.≨120-k ≤-21,得k ≥141.10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+≦)，f ′(x)=2a 12ax a 12ax .x x++++= 当a ≥0时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0,+≦)上单调增加; 当a ≤-1时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0,+≦)上单调减少;当-1＜a ＜0时，令f ′(x)=0，得当x ∈时，f ′(x)＞0；当x ∈≦)时，f ′(x)＜0，故f(x)在上单调增加,在+≦)上单调减少.综上所述，a ≥0时，f(x)在(0,+≦)上单调增加；-1＜a ＜0时，f(x)在上单调增加，在≦)上单调减少; a ≤-1时，f(x)在(0,+≦)上单调减少.(2)不妨设x 1≤x 2.由于a ≤-2，故f(x)在(0,+≦)上单调减少.所以|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|等价于f(x 1)-f(x 2)≥4x 2-4x 1，即f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+ 4x 1.令g(x)=f(x)+4x ，则g ′(x)=2a 12ax 4x a 12ax 4x x++++++=. 令h(x)=2ax 2+4x+a+1,因为a ≤-2，Δ=42-8a(a+1)=-8(a-1)(a+2)≤0. 于是g ′(x)≤0.从而g(x)在(0，+≦)上单调减少，故g(x 1)≥g(x 2),即f(x 1)+4x 1≥f(x 2)+4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+≦)，|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|. 11.【解析】(1)y=k(3-x)x 2, 当x=2时，y=32,≨k=8, y=f(x)=24x 2-8x 3. ≧()x23x -∈(0,t ］,≨0＜x ≤6t2t 1+. ≨定义域为(0,6t2t 1+］. (2)令 y ′=-24x(x-2)=0, ≨x=0或x=2.讨论：若2≤6t2t 1+，即1≤t ≤2时, f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,6t2t 1+)上单调递减.所以y max =f(2)=32, 若2＞6t2t 1+，即0＜t ＜1时, f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，6t2t 1+)上为增函数.y max=f(6t2t1+)=()23864t2t1+.综上所述，当1≤t≤2，x=2时，y max=32；当0＜t＜1,x=6t2t1+时，y max=()23864t2t1+.12.【思路点拨】(1)求出导函数的零点,再判断零点两侧导数的符号.(2)三次函数的零点决定于函数的极值的符号,若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,则此时极大值与极小值同号.【解析】(1)当a=-3时,f(x)=13x3-x2-3x+3.f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.当x<-1时,f′(x)>0,则函数在(-≦,-1)上是增函数,当-1<x<3时,f′(x)<0,则函数在(-1,3)上是减函数,当x>3时,f′(x)>0,则函数在(3,+≦)上是增函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-13-1+3+3=143,当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=13×27-9-9+3=-6.(2)因为f′(x)=x2-2x+a,所以Δ=4-4a=4(1-a).①当a≥1时,则Δ≤0,≨f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增. f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.②a<1时,则Δ>0,≨f′(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x1<x2),≨x1+x2=2,x1·x2=a,当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -≧x 12-2x 1+a=0,≨a=-x 12+2x 1, ≨f(x 1)=32111x x 3-+ax 1-a=32111x x 3-+ax 1+21x -2x 1=311x 3+(a-2)x 1=13x 1[x 12+3(a-2)], 同理f(x 2)=13x 2[x 22+3(a-2)].≨f(x 1)·f(x 2)=19x 1x 2[x 12+3(a-2)][x 22+3(a-2)]=49a(a 2-3a+3).令f(x 1)·f(x 2)>0,解得a>0. 而当0<a<1时,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.故0<a<1时,函数f(x)的图象与x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是(0,+≦). 【方法技巧】巧解方程根的个数问题当函数的极值点很难求解时,可采用设而不求的思想.设出极值点后(设极大值为M,极小值为m),将M 与m 的符号问题转化为M 与m 乘积的符号问题,最后把M 与m 乘积转化为根与系数的关系解决.关闭Word 文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)单元评估检测(十)
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单元评估检测(十)第十章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.一个口袋内有大小、形状相同的6个白球和5个黑球，从中随机取出3个球，则至少取到2个白球的概率为( )()()()()9102019A B C D 111133332.将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )()()()()25293A B C D 363643.(1＋x)10(1＋1x)10(x ＞0)展开式中的常数项为( )(A)1 (B)()2110 C(C)120C (D)1020C4.(2013·桂林模拟)从甲袋中摸出1个红球的概率为13，从乙袋中摸出1个红球的概率为12，从两袋中各摸出一个球，则23等于( ) (A)2个球都不是红球的概率 (B)2个球都是红球的概率 (C)至少有1个红球的概率 (D)2个球中恰有1个红球的概率5.已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个(P ，Q 箱中所有的球除颜色外完全相同)．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于( )()()()()1913A B C D 510010056.在区间［22ππ-，］上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )()()()()1212A B C D 323π 7.将编号为1,2,3,4,5的5个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )(A)6 (B)10 (C)20 (D)308.(2013·广州模拟)在正态分布1N(0)9，中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )(A)0.097 (B)0.046 (C)0.03 (D)0.002 69.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a(13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) (A)1 (B)913(C)1113(D)271310.一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选正确得4分，不选或选错得0分，满分100分.小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( ) (A)60分 (B)70分 (C)80分 (D)90分11.(能力挑战题)在区间［0，π］上随机取一个数x ，则事件“sin x x≤1”发生的概率为( )()()()()1112A B C D 432312.设随机变量X 服从正态分布N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，则c 等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回地每次抽取1个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为_______.14.一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为_______，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为_______.15.(能力挑战题)为落实素质教育，某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为_______.16.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是_______．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(2013·安阳模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是91.103和 (1)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由.(2)求该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率.18.(12分)某人抛掷一枚硬币，出现正面、反面的概率均为12.构造数列{a n }，使得n 1 n a 1 n ⎧⎨-⎩＝当第次出现正面时，当第次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *).(1)求S 4＝2的概率.(2)若前两次均出现正面，求2≤S 6≤6的概率.19.(12分)(2012·江苏高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0).(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．20.(12分)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，从甲、乙两袋中各任取2个球.(1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率.，求n.(2)若取到4个球中至少有2个红球的概率为3421.(13分)(2013·绵阳模拟)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此事故的概率分别为11191011保险中：(1)获赔的概率.(2)获赔金额ξ的分布列与期望.22.(13分)(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望. (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)答案解析1.【解析】选D.P ＝213656311C C C 19C 33=＋. 2.【解析】选B.抛掷骰子两次，有36种等可能的结果，如表：所求概率P ＝305366＝. 3.【解析】选D.因为(1＋x)10(1＋1x)10＝［(1＋x)(1＋1x)］10＝(2＋1x x＋)10＝20(x>0)，所以T r ＋1＝20rr r r10r 2020C C x －－＝，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝1020C ，选D.4.【解析】选C.∵两个袋中都不是红球的概率为(1-13)×(1-12)= 13，∴至少有1个红球的概率为1-13=23.5.【解析】选B.可看作是两个独立事件A ：红球从P 箱移到Q 箱，B ：红球从Q箱返回P 箱同时发生，可知P(A)＝29310C 3C 10＝，对于B 发生时，Q 箱中有红球1个，白球9个，再从中取出2白1红，P(B)＝P(A)＝310，根据独立事件同时发生的概率计算公式，有P ＝P(A)〃P(B)＝9100，故选B. 6.【解析】选A.当－2π≤x ≤2π时，由cos x ∈［0，12］得- 2π≤x ≤- 3π或3π≤x ≤2π.根据几何概型概率公式求得P ＝2()1233()22ππ-=ππ--.7.【解析】选B.从编号为1,2,3,4,5的5个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有35C ＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．故选B.8.【解析】选D.∵μ＝0，σ＝13， ∴P(X<－1或X>1)＝1－P(－1≤X ≤1) ＝1－P(μ－3σ≤X ≤μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6.【误区警示】由于不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，那么随机变量ξ在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别约为0.683，0.954，0.997，应熟练掌握这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常遇到这类数值的计算问题.9.【解析】选D.P(ξ＝1)＝a 〃13，P(ξ＝2)＝a 〃(13)2，P(ξ＝3)＝a 〃(13)3，由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1， 即a 〃13＋a 〃(13)2＋a 〃(13)3＝1，所以a ＝2713. 10.【解析】选C.设小强做对题数为ξ，则ξ～B(25,0.8)，则他得分为4ξ，E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×25×0.8＝80.11.【解析】选C.由题意知，此概率符合几何概型，所有基本事件包含的区域长度为π，设A 表示取出的x 满足sin x≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋3π)≤12，即事件A 包含的区域长度为2π.∴P(A)＝122ππ＝.12.【解析】选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c 1c 122＋＋－＝，∴c ＝2. 【误区警示】 对正态分布N(μ，σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质.13.【解析】方法一：记第二次取到白球为事件B ， 则P(B)＝2142＝.方法二：第一次取到白球为事件A ，第二次取到白球为事件B ，则P(A)＝35，P(AB)＝()()()23253P AB A 3110P B |A .3A 10P A 25＝，＝＝＝答案：1214.【解析】该试验为独立重复试验，设遇到红灯次数为ξ，则P(ξ＝3)＝332551240C ()()332431242P(4)1P(5)1().3243ξ≤ξ＝，＝－＝＝－＝答案：40243 24224315.【解析】用直接法：k ＝111221353535C C C C C C ＋＋＝15＋30＋15＝60，x 4的系数为226C k ＝15×3 600＝54 000.答案：54 00016.【思路点拨】设长方体的高为h ，用h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积，再由几何概型的概率公式构造含有h 的方程，求出h 后再求解体积.【解析】设长方体的高为h ，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h ；由几何概型的概率公式知24h 1(22h)(12h)4＋＝，＋＋得h ＝3，所以长方体的体积是V ＝1×3＝3.答案：317.【解析】(1)设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B(2，910)，故E(X)=2×910=95， 则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95=3.6.设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B(3，13)，故E(Y)=3×13=1， 则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1=3. 所以该选手应该选择在A 区投篮.(2)设“该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“该选手在A 区投篮得4分且在B 区投篮得3分或0分”为事件D ，“该选手在A 区投篮得2分且在B 区投篮得0分”为事件E ，则事件C=D ∪E ，且事件D 与事件E 互斥. P(D)=81483()1009275⨯+=， ()()18843449P E P C P(D E)100277557575=⨯==⋃=+=，，故该选手在A 区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为4975. 18.【解析】(1)某人抛掷一枚硬币4次，共有24种可能.设S 4＝2为事件A ，则A 表示抛硬币4次，恰好三次正面向上，一次反面向上，包含4种可能， 所以P(A)＝44124＝. (2)抛6次，若前两次均出现正面，则可能结果有24种．设2≤S 6≤6为事件B ，S 6＝2表示4次中2次正面向上，2次正面向下，有6种可能；S 6＝4表示4次中恰好3次正面向上，1次反面向上，有4种可能；S 6＝6表示都是正面向上，有1种可能，则B 包含6＋4＋1＝11(种)可能，所以P(B)＝41111216＝. 19.【解析】(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C 对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C 834.C 6611⨯＝＝(2)若两条棱平行，则它们的距离为16对， 故P(＝21261C 11＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(＝1－416111111－＝， 所以随机变量ξ的分布列是因此E(ξ)＝46101111111⨯+⨯＋＝ 20.【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A.()22222245C C 111P A .C C 61060==⨯=(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件B 1，“取到的4个球全是白球”为事件B 2，由题意，得 P(B)=1-3144=.()()()112211222n 22n122224n 24n 2C C C C C C 2n P B C C C C 3n 2n 1++=+=++， P(B 2)=()()()222n 224n 2n n 1C C C C 6n 2n 1+-=++，所以P(B)=P(B 1)+P(B 2)=()()()()()2n n 12n 13n 2n 16n 2n 14-+=++++，化简，得7n 2－11n －6＝0，解得n ＝2，或n=37-(舍去)，故n ＝2. 【方法技巧】判断事件是否相互独立的方法 (1)利用定义:事件A ，B 相互独立⇔P(AB)=P(A)〃P(B). (2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立.(3)具体背景下:①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的；②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.21.【解析】设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k=1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P(A 1)=19，P(A 2)=110，P(A 3)=111. (1)该单位一年内获赔的概率为()()()123123891031P(A A A )1P A P A P A 1.9101111-=-=-⨯⨯=(2)ξ的所有可能取值为0，9 000，18 000，27 000.()()()12312389108P(0)P(A A A )P A P A P A ,9101111ξ====⨯⨯=P(ξ=9 000)=123123123P(A A A )P(A A A )P(A A A )++()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 191081108912421191011910119101199045=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， P(ξ=18 000)=123123123P(A A A )P(A A A )P(A A A )++()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 1110191811273,910119101191011990110=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ()()()1231231111P(27 000)P(A A A )P A P A P A .91011990ξ====⨯⨯=综上知，ξ的分布列为由ξ的分布列得E(ξ)=0×811+9 000×1145+18 000×3110+27 000×1990=29 90011≈2 718.18(元).22.【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得153303P(X 1)P(X 1.5)1002010010251201P(X 2)P(X 2.5)10041005101P(X 3).＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝X 的分布列为X 的数学期望为()33111E X 11.52 2.531.9.20104510⨯⨯⨯⨯⨯＝＋＋＋＋＝ (2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X 1＝1且X 2＝1)＋P(X 1＝1且X 2＝1.5)＋P(X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，所以P(A)＝P(X 1＝1)×P(X 2＝1)＋P(X 1＝1)×P(X 2＝1.5)＋P(X 1＝1.5)×P(X 2＝1)＝3333339.20202010102080⨯⨯⨯＋＋＝ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【变式备选】某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数.(2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格的人数，求X 的分布列及数学期望. (3)经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.【解析】(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为70.14＝50(人)． ∴第4，5，6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人). (2)X ＝0,1,2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025＝，∴X ～B(2，725). P(X ＝0)＝218324()25625＝， 122718252P(X 1)C 2525625749P(X 2)().25625⨯⨯＝＝＝，＝＝＝所求分布列为E(X)＝324252491401262562562525⨯⨯⨯＋＋＝. (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为8x 109.5y 10.5≤⎧⎨≤⎩＜，＜，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x>y ，如图所示. 由几何概型得P(A)＝11112221216⨯⨯⨯＝.关闭Word文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)单元评估检测(二)
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单元评估检测(二)第二章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数( )(A)(0,8] (B)(-2,8](C)(2,8] (D)[8,+∞)),则它的单调增区间是( ) 2.(2013·三亚模拟)幂函数的图象过点(2,14(A)(0,+∞) (B)[0,+∞)(C)(-∞,+∞) (D)(-∞,0))0,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为( )3.已知实数a=log45,b=(12(A)b<c<a (B)b<a<c(C)c<a<b (D)c<b<a4.(2013·烟台模拟)设函数()1f x x ln x=-(x＞0),则y=f(x)( )3,1)(1,e)内均有零点(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(B)在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(C)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点(D)在区间(1e5.(2013·芜湖模拟)函数f(x)=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )ππ) (B)(π,2π)(A)(3,22ππ) (D)(2π,3π)(C)(35,226.(2013·潍坊模拟)已知a＞0,函数f(x)=x3-ax在［1,+∞)是单调增函数，则a 的最大值是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)37.设f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98的值为( ) 8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，则ab(A)-2(B)-23(D)不存在(C)-2或-239.(2013·泰安模拟)已知对数函数f(x)=log a x是增函数，则函数f(|x|+1)的图象大致是( )10.函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,若f(0.5)=9,则f(8.5)等于( )(A)-9 (B)9 (C)-3 (D)011.(2013·枣庄模拟)定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于y轴对称，则( )(A)f(-1)＜f(3) (B)f(0)＞f(3)(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)12.(2013·长春模拟)若y=f(x)在x＞0上可导，且满足：xf′(x)-f(x)＞0恒成立，又常数a,b满足a＞b＞0,则下列不等式一定成立的是( )(A)bf(a)＞af(b) (B)af(a)＞bf(b)(C)bf(a)＜af(b) (D)af(a)＜bf(b)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.f(x)=3x+sinx+1(x∈R),若f(t)=2,则f(-t)的值为.14.(2013·东营模拟)设1a=⎰，对任意x∈R，不等式a(cos2x-m)+πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为__________.15.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为__________.16.(能力挑战题)已知函数f(x)=x21x0f x1x0-⎧-≤⎨-⎩，，（），＞，若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),14≤x≤4.(1)若t=log2x,求t的取值范围.(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.18.(12分)(2013·太原模拟)若g(x)=x+2ex(x>0),g(x)=m有零点,求m的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=25axlog 5x++(-1≤x ≤1)为奇函数，其中a 为不等于1的常数； (1)求a 的值.(2)若对任意的x ∈［-1,1］，f(x)＞m 恒成立，求m 的取值范围.20.(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益f(x)与投资额x 成正比,投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x 的算术平方根成正比(单位:万元).已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图):(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元? 21.(13分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=e x . (1)若函数φ(x)=f(x)-x 1x 1+-,求函数φ(x)的单调区间. (2)设直线l 为函数f(x)的图象上一点A(x 0,f(x 0))处的切线，证明：在区间(1, +∞)上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y=g(x)相切.22.(13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)＝ax n (1－x)＋b(x ＞0)，n 为整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x ＋y ＝1. (1)求a ，b 的值. (2)求函数f(x)的最大值.(3)证明：f(x)＜1ne.答案解析1.【解析】选B.由x20,1lg x20,+⎧⎨-+≥⎩＞（）⇒x2,x8,-⎧⎨≤⎩＞⇒-2<x≤8.2.【解析】选D.设幂函数f(x)=xα,由f(2)=14得2α=14,所以α=-2,故f(x)=x-2,因此f(x)=x-2的增区间是(-≦,0).3.【解析】选D.由题知,a=log45>1,b=(12)0=1,c=log30.4<0,故c<b<a.4.【解析】选D.f(e)=e3-1＜0,f(1)=13＞0,f(1e)=13e+1＞0,根据根的存在定理可知，选D.5.【解析】选B.f'(x)=(xcosx-sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函数递增,则f'(x)≥0,又各选项均为正实数区间,所以sinx≤0,故选B.6.【解析】选D.函数的导数f′(x)=3x2-a,要使函数在［1，+≦)是单调增函数，则有f′(x)=3x2-a≥0恒成立，即a≤3x2,又3x2≥3，所以a≤3,即a的最大值是3，选D.7.【解析】选 A.由f(x+4)=f(x)知函数f(x)的周期为4,故f(7)=f(7-2〓4)=f(-1)=-f(1)=-2.8.【解析】选A.由题知f′(x)=3x2+2ax+b，则()()2f132a b0,f11a b a7a10,'=++=⎧⎪⎨=++--=⎪⎩解得a2b1=-⎧⎨=⎩，，或a6b9=-⎧⎨=⎩，，经检验a6b9=-⎧⎨=⎩，满足题意，故a2b3=-，故选A.9.【解析】选B.因为函数是增函数，所以a ＞1，函数()()()f x 1,x 0,f x f 1x ,x 0.+⎧⎪=⎨-⎪⎩＞＜所以选B.10.【解析】选B.因为f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,所以函数f(x)是周期函数,周期T=4,所以f(8.5)=9.11.【解析】选A.函数f(x+2)的图象关于y 轴对称，则f(x)关于直线x=2对称，函数f(x)在(-≦,2)上是增函数，所以在(2，+≦)上是减函数，所以f(-1)=f(5)＜f(4)=f(0)＜f(3).故选A. 12.【思路点拨】令g(x)=()f x x,根据g(x)的单调性比较大小. 【解析】选A.令g(x)=()f x x ,则g ′(x)=()()2xf x f x x '-,由已知得,当x ＞0时, g ′(x)＞0.故函数g(x)在(0,+≦)上是增函数，又a ＞b ＞0,故g(a)＞g(b)，即bf(a)＞af(b).13.【解析】由f(t)=3t+sint+1=2得3t+sint=1,所以f(-t)=-3t-sint+1=-1+1=0. 答案:014.【解析】根据定积分的几何意义知a 4π=，所以不等式a(cos 2x-m)+πcos x ≥0可以化为4π (cos 2x-m)+πcos x ≥0, 即cos 2x-m+4cos x ≥0恒成立， 所以m ≤cos 2x+4cos x 恒成立，又因为cos 2x+4cos x=(cos x+2)2-4,-1≤cos x ≤1, 所以cos 2x+4cos x 的最小值为-3， 所以m 的取值范围为(-≦,-3］.答案:(-≦,-3］15.【解析】设f(x)=2x 3-6x 2+7,则f ′(x)=6x 2-12x=6x(x-2), 因为x ∈(0,2),所以有f ′(x)＜0,所以f(x)在(0，2)内单调递减， 又f(0)=7＞0,f(2)=-1＜0,所以在(0,2)内存在唯一的x 0,使f(x 0)=0, 因此，方程2x 3+7=6x 2在(0,2)内的实根个数为1. 答案：116.【解析】作出函数f(x)的图象如图,由图象可知当直线为y=x+1时,直线与函数f(x)只有一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线y=x+1向下平移,此时直线和函数f(x)恒有两个交点,所以a<1.答案:(-≦,1)17.【解析】(1)≧t=log 2x,14≤x ≤4,≨log 214≤t ≤log 24即-2≤t ≤2. (2)f(x)=(log 2x)2+3log 2x+2,≨令t=log 2x, 则y=t 2+3t+2=(t+32)2-14,当t=-32,即log 2x=-32,x=322 时,f(x)min =-14.当t=2,即x=4时,f(x)max =12.18.【解析】方法一:≧g(x)=x+2e x≥等号成立的条件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m ≥2e,则g(x)=m 就有零点.方法二:作出g(x)=x+2e x(x>0)的大致图象.如图,可知若使g(x)=m 有零点, 则只需m ≥2e.方法三:由g(x)=m 得x 2-mx+e 2=0. 此方程有大于零的根且e 2>0, 故根据根与系数的关系得m>0,故22m 0m 4e 0,>⎧⎨∆≥⎩，＝－等价于m 0m 2e m 2e >⎧⎨≥≤⎩，或－， 故m ≥2e.19.【解析】(1)≧f(x)=25axlog 5x++(-1≤x ≤1)为奇函数, ≨f(-x)=-f(x)⇒225ax 5axlog log 5x 5x-+=--+， ⇒5ax 5x5x 5ax-+=-+对x ∈［-1,1］恒成立， 所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)⇒a=〒1， 因为a 为不等于1的常数，所以a=-1. (2)≧f(x)=25xlog 5x-+(-1≤x ≤1), 设t=5x5x -+(-1≤x ≤1)，≨f(t)=log 2t, 因为t=5x 5x -+=-1+10x 5+在［-1,1］上递减,所以23t 32≤≤，又因为f(t)=log 2t 在［23,32］上是增函数， 所以f(t)min =22log 3.因为对任意的x ∈［-1,1］，f(x)＞m 恒成立， 所以f(x)min ＞m,所以m ＜22log 3.20.【解析】(1)设f(x)=k 1x,g(x)=k所以f(1)=18=k 1,g(1)=12=k 2, 即f(x)=18x(x ≥≥0). (2)设投资债券类产品a 万元,则股票类投资为(20-a)万元, 依题意得:y=f(a)+g(20-a)=a 8+≤a ≤20). 令≤t ≤则y=2220t 11t t 2828-+=--（）+3. 所以当t=2,即a=16万元时,收益最大,y max =3万元.综上,投资债券类产品16万元,股票类产品4万元,可获得最大收益,最大收益是3万元.21.【解析】(1)φ(x)=f(x)-x 1x 1+-=ln x-x 1x 1+-,φ′(x)=()()22212x 1x x 1x x 1++=-⋅-. ≧x ＞0且x ≠1,≨φ′(x)＞0,≨函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+≦). (2)≧f ′(x)=1x,≨f ′(x 0)=1x ,≨切线l 的方程为y-ln x 0=01x (x-x 0),即y=01x x+ln x 0-1. ① 设直线l 与曲线y=g(x)相切于点(x 1,1x e ), ≧g ′(x)=e x ,≨1x e =1x ,≨x 1=-ln x 0, ≨直线l 的方程也为y-01x =01x (x+ln x 0), 即y=01x x+00ln x x +01x . ② 由①②得ln x 0-1=000ln x 1x x +,≨000x 1ln x x 1+=-. 下证：在区间(1,+≦)上x 0存在且唯一. 由(1)可知，φ(x)=x 1ln x x 1+--在区间(1,+≦)上递增. 又φ(e)=e 12ln e e 1e 1+--=--＜0,φ(e 2)=ln e 2-22e 1e 1+-=22e 3e 1--＞0,结合零点存在性定理，说明方程φ(x)=0必在区间(e,e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x 0,故结论成立.22.【思路点拨】本题(1)易解,(2)问中直接求导,根据零点讨论单调性求解; (3)要构造函数利用函数的单调性证明.【解析】(1)因为f(1)＝b ，由点(1，b)在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x)＝anx n －1－a(n ＋1)x n ，所以f ′(1)＝－a ，又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x n (1－x)＝x n －x n ＋1，f ′(x)＝(n ＋1)x n －1(nn 1＋－x).令 f ′(x)＝0，解得x ＝n n 1＋，即f ′(x)在(0，＋≦)上有唯一零点x 0＝nn 1＋.在(0，nn 1＋)上，f ′(x)>0，f(x)单调递增；而在(n n 1＋，＋≦)上，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 故f(x)在(0，＋≦)上的最大值为f(n n 1＋)＝(n n 1＋)n (1－n n 1＋)＝n n 1n (n 1)＋＋. (3)令φ(t)＝ln t －1＋1t (t ＞0)，则φ′(t)＝1t －21t ＝2t 1t －(t ＞0)．在(0,1)上，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减；在(1，＋≦)上，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增．故φ(t)在(0，＋≦)上的最小值为φ(1)＝0，所以φ(t)＞0(t ＞1)，即ln t ＞1－1t (t ＞1)．令t ＝1＋1n ，得n 11ln n n 1＋＞＋，即ln(n 1n＋)n ＋1＞ln e ， 所以(n 1n ＋)n ＋1＞e ，即n n 1n 1(n 1)ne＋＜＋. 由(2)知，f(x)≤n n 1n 1(n 1)ne＋＜＋，故所证不等式成立． 【变式备选】已知函数f(x)=e x -1-x.(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若存在x ∈[-1,ln 43],使a-e x +1+x<0成立,求a 的取值范围.(3)当x ≥0时,f(x)≥tx 2恒成立,求t 的取值范围.【解析】(1)f'(x)=e x -1,f(1)=e-2,f'(1)=e-1.≨f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1.(2)a<e x -1-x,即a<f(x).令f'(x)=e x -1=0,x=0.≧x>0时,f'(x)>0,x<0时,f'(x)<0,≨f(x)在(-≦,0)上单调递减,在(0,+≦)上单调递增.又x∈[-1,ln43],≨f(x)的最大值在区间端点处取到.f(-1)=e-1-1+1=1e ,f(ln43)=43-1-ln43,f(-1)-f(ln43)=1e-43+1+ln43=1e-13+ln43>0,≨f(-1)>f(ln43),≨f(x)在[-1,ln43]上的最大值为1e,故a的取值范围是a<1e.(3)由已知得x≥0时,e x-x-1-tx2≥0恒成立,设g(x)=e x-x-1-tx2,≨g'(x)=e x-1-2tx.由(2)知e x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故g'(x)≥x-2tx=(1-2t)x,从而当1-2t≥0,即t≤12时,g'(x)≥0(x≥0),≨g(x)为增函数,又g(0)=0,于是当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥tx2,≨t≤12时符合题意.由e x>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0),从而当t>12时,g'(x)<e x-1+2t(e-x-1)=e-x(e x-1)(e x-2t),故当x∈(0,ln 2t)时,g'(x)<0,≨g(x)为减函数,又g(0)=0,于是当x∈(0,ln 2t)时,g(x)<0,即f(x)≤tx2,故t>12,不符合题意.综上可得t的取值范围为(-≦,12].关闭Word文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第五章 第二节等差数列及其前n项和
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课时提升作业(三十一)一、选择题1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)242.等差数列{a n}满足a2+a9=a6,则前9项和S9=( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)23.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3a4-6,则S9等于( )(A)25 (B)27 (C)50 (D)544.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)355.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=42，则a10+a11+a12=( )(A)156 (B)102 (C)66 (D)486.已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d<0，S n是数列{a n}的前n项和，则( )(A)S5>S6(B)S5<S6(C)S6=0 (D)S5=S67.(2013·滨州模拟)等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{a n}的前n项和中也为常数的是( )(A)S 7(B)S 8(C)S 13(D)S 15二、填空题8.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8-S 3=10，则S 11的值为________. 9.若{a n }为等差数列，a 15=8，a 60=20，则a 75=_________.10.(2013·济南模拟)设关于x 的不等式x 2-x ＜2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n =________.11.(能力挑战题)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有n n S 2n 3T 4n 3--＝，则935784a ab b b b ++＋的值为___________. 三、解答题12.(2013·太原模拟)已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5. (1)求{a n }的通项a n .(2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.13.(2013·温州模拟)等差数列{a n }的首项为a 1,公差d=-1,前n 项和为S n . (1)若S 5＝-5，求a 1的值.(2)若S n ≤a n 对任意正整数n 均成立，求a 1的取值范围.14.(能力挑战题)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)·a n (n ＝1,2，…)，λ是常数.(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值.(2)数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式;若不可能，说明理由.答案解析1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解.【解析】选B.方法一：≧a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,≨a2+a10=a4+a8=16.方法二：由等差数列的性质a2+a10=a4+a8=16.2.【解析】选B.由a2+a9=a6得a5+a6=a6,由此得a5=0，故S9=9a5=0.3.【解析】选B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6，即a1=-4d+3,S9=9a1+36d=9(-4d+3)+36d=27.4.【解析】选C.在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=a4+a4，所以a4=4.根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28，故选C.5.【思路点拨】根据已知的特点，考虑使用等差数列的整体性质求解.【解析】选C.根据等差数列的特点，等差数列中a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12也成等差数列，记这个数列为{b n}，根据已知b1=12,b2=42-12=30，故这个数列的首项是12，公差是18，所以b4=12+3×18=66.6.【思路点拨】根据已知得到a3+a9=0，从而确定出a6=0，然后根据选项即可判断.【解析】选D.≧d<0，|a3|=|a9|，≨a3>0,a9<0，且a3+a9=0，≨a6=0，a5>0，a7<0,≨S5=S6.【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10,则S 19=( )(A)55 (B)95 (C)100 (D)不能确定【解析】选B.≧a 3+a 17=10，≨a 10=5,那么S 19=19a 10=95. 7.【解析】选C.设a 2+a 4+a 15=p(常数)， ≨3a 1+18d=p,解得a 7=13p ，≨S 13()113713a a 1313a p.23⨯+=== 8.【解析】()()1813838a a 3a a S S 101022++-=⇒-= ⇒5a 1+8a 8-3a 3=20⇒10a 1+50d=20⇒a 1+5d=2⇒a 6=2 ⇒()11111611a a S 11a 222+===. 答案:229.【思路点拨】直接解出首项和公差，从而求得a 75，或利用a 15,a 30,a 45,a 60,a 75成等差数列直接求得.【解析】方法一：{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1,那么1560a 8,a 20=⎧⎨=⎩，即11a 14d 8a 59d 20.+=⎧⎨+=⎩，解得：1644a d 1515==，. 所以751644a a 74d 74241515=+=+⨯=.方法二：因为{a n }为等差数列，所以a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列，设公差为d ，则a 60-a 15＝3d ，所以d=4，a 75=a 60+d=20+4=24.答案:2410.【解析】由x 2-x ＜2nx(n ∈N *)得0＜x ＜2n+1, 则a n =2n,所以S n =n 2+n. 答案:n 2+n(n ∈N *)11.【解析】≧{a n }，{b n }为等差数列， ≨93939366578466666a a a a a a 2a a.b b b b 2b 2b 2b 2b b +=+===++＋ ≧661111111111662a a S a a 21131919,T b b 2b 411341b 41+⨯-====∴=+⨯-. 答案:1941【方法技巧】巧解等差数列前n 项和的比值问题关于等差数列前n 项和的比值问题，一般可采用前n 项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时S n =na 中,也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{a n }与{b n }都是等差数列，且前n 项和分别是S n 与T n ，则m 2m 1m 2m 1a Sb T --=. 【变式备选】已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A 7n 45B n 3+=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【解析】选D.由等差数列的前n 项和及等差中项，可得12n 112n 1n n 12n 112n 111(a a )(2n 1)(a a )a 2211b (b b )(2n 1)(b b )22----+-+==+-+()()2n 12n 172n 145A14n 387n 19B 2n 132n 2n 1---+++====-+++ 127n 1=++ (n ∈N *),故n=1,2,3,5,11时，nna b 为整数.故选D. 12.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11a d 1,a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()221n n 1na d n 4n n 242-+=-=--. 所以n=2时，S n 取到最小值-4.【变式备选】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.【解析】(1)≧S 12>0,S 13<0,≨11112a 66d 0,13a 78d 0,a 2d 12.+>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩≨-247＜d<-3. (2)由()11313713a a S 13a 0,2+==<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0,又≧d ＜0,≨n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0, ≨S 6最大，即n=6.13.【解析】(1)由条件得，S 5=5a 1+542⨯d=-5, 解得a 1=1.(2)由S n ≤a n ,代入得()11n n 1na a 1n 2--≤+-, 整理，变量分离得：()2113n 1a n n 122-≤-+=12(n-1)(n-2), 当n=1时，上式成立.当n>1,n ∈N *时，a 1≤12(n-2), n=2时，12(n-2)取到最小值0， ≨a 1≤0.【变式备选】等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足2S 2=a 2(a 2+1)，且a 1=1.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)设n n 2S 13b n +=，求数列{b n }的最小值项. 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d. 由22222S a a =+，可得2(a 1+a 1+d)=(a 1+d)2+(a 1+d). 又a 1=1，可得d=1(d=-2舍去)， ≨a n =n. (2)根据(1)得()n n n 1S 2+=， ()n n n n 1132S 1313b n 1n n n+++===++.由于函数f(x)=x+13x(x>0)在上单调递减，在≦)上单调递增， 而，且f(3)=13228833312+==，f(4)=13298744412+==，所以当n=4时，b n 取得最小值， 且最小值为2933144+=， 即数列{b n }的最小值项是b 4=334. 14.【解析】(1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，理由如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾.所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列.关闭Word文档返回原板块。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)阶段滚动检测(一)
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阶段滚动检测（一）第一、二章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若全集U=R ，集合A={x||2x+3|<5}，B=｛x|y=log 3(x+2)｝，则U ð(A ∩B)=( ) (A){x|x ≤-4或x ≥1} (B){x|x<-4或x>1} (C){x|x<-2或x>1} (D){x|x ≤-2或x ≥1}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y=13x (D)y=lg|x| 3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.(2013·长春模拟)已知函数()2xlog x,x 0,f x 3,x 0,>⎧=⎨≤⎩则f(f(14))的值是( )(A)9 (B)19 (C)-9 (D)-195.若a=log 20.9,11321b 3,c (),3-==则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b (D)b<c<a6.若函数y=3x 3-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ 7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是( )(A)a>1 (B)a ≤2 (C)1<a ≤2 (D)a ≤1或a>28.(2013·昆明模拟))120x dx ⎰的值是( )()()()()1A B 14341C D 1232ππ--ππ--9.函数f(x)=2lg xx 的大致图象为( )10.(2013·石家庄模拟)设集合A=[0,12),B=[12,1],函数()()1x ,x A,2f x 21x ,x B,⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若x 0∈A,且f(f(x 0))∈A,则x 0的取值范围是 ( )()()()()111113A (0,B (,C (,)D 0,442428］ ］ ［］ 11.(2013·沈阳模拟)函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)1012．(2013·太原模拟)已知y=f(x)为R 上的可导函数，当x ≠0时，()()f x f x 0x'+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点个数为( ) (A)1 (B)2 (C)0 (D)0或2二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2013·延吉模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14.已知p:12≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .15.对于函数y=f(x)，若存在区间［a,b ］，当x ∈［a,b ］时的值域为［ka,kb ］(k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=ln x+x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 .16.函数f(x)=ax 3-3x+1对于x ∈［-1,1］,总有f(x)≥0成立，则a= ．三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(2013·唐山模拟)已知集合A={x ∈R|log 2(6x+12)≥log 2(x 2+3x+2)},2x 3x B {x R |24}.-=∈<求A ∩(R B ð).18.(12分)已知函数()211x 1x f x x 11x 12x 3x 1.⎧>⎪⎪⎪≤≤⎨⎪<⎪⎪⎩＋，，＝＋，－，＋，－ (1)求f(1),f(f(f(-2)))的值. (2)求f(3x-1).(3)若f(a)=32,求a 的值.19.(12分)已知定义域为R 的函数()x x 12bf x 2a＋－＋＝＋是奇函数．(1)求a ，b 的值.(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 20.(12分)(2013·泉州模拟)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为()2x 2f x a 2a ,x 0,24x 13=-++∈+［］，其中a 是与气象有关的参数,且a ∈[0,12],若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a). (1)令t=2xx 1+,x ∈[0,24],求t 的取值范围. (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?21.(13分)(2013·银川模拟)已知函数f(x)的自变量取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x 2形如［n ，＋∞),n ∈R 的保值区间.(2)若g(x)＝x －ln(x ＋m)的保值区间是［2，＋∞)，求m 的取值．22.(13分)(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+ (1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥12x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.答案解析1.【解析】选D.因为A={x||2x+3|<5}={x|-4<x<1}, B={x|y=log 3(x+2)}={x|x+2>0}={x|x>-2},所以A ∩B={x|-2<x<1},所以U ð(A ∩B)={x|x ≤-2或x ≥1}.2.【解析】选C.由题可知A 不是单调函数,B 不是奇函数,D 是偶函数,只有C 满足.3.【解析】选D.A={0,1}的子集有4个,①错误;“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为“若a<b,则am 2<bm 2”在m=0时不成立,②错误;“命题p ∨q 为真”而“命题p ∧q 不一定为真”,“命题p ∧q 为真”则“命题p ∨q 为真”③正确;全称命题的否定是特称命题,命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得20x -3x 0-2<0”,④错误.四种说法中,错误的个数是3.4.【解析】选B.因为f(14)=log 214=-2,所以f(f(14))=f(-2)=3-2=19.5.【解析】选B.由对数函数的性质知log 20.9<0,而b,c 都大于0,故a 最小;又11133211b 3()()c 33-==>，所以a<c<b. 6.【解析】选D.因为y'=x 2-2x,又0<x<2,所以-1≤y'<0.故k=tan α∈[-1,0). 又因为α∈[0,π),则α∈[34π,π),所以α的最小值是34π. 7.【解析】选C.命题p:()()18a 0f 0f 1(1)(2a 2)0∆>⎧⎪⎨<⎪⎩＝＋，＝－－， 得a>1.命题q:2-a<0,得a>2, ≨﹁q:a ≤2,故由p 且﹁q 为真命题,得1<a ≤2,故选C.8.【解析】选A.)120x dx ⎰表示半圆（x-1)2+y 2=1(y ≥0)与抛物线y=x 2所围成的阴影部分的面积（如图）， 故)12x dx ⎰31221001x 11x dx |.44343ππ=π⨯-=-=-⎰9.【解析】选D.因为函数f(x)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除A,B.当0<x<1时,f(x)=2lgxx <0,所以选D. 10.【解析】选C.x 0∈[0,12)⇒x 0+12∈[12,1),f(x 0)=x 0+12,f(f(x 0))=f(x 0+12)=2(1-x 0-12)=(1-2x 0)∈[0,12)⇒x 0∈(14,12],x 0的取值范围是(14,12).11.【解析】选A.由f （x ＋1）＝－f （x ），可得f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝ f （x ），所以函数f （x ）的周期为2，求h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点，即求f （x ）＝g （x ）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f （x ）与g （x ）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.12.【思路点拨】函数g(x)=f(x)+1x的零点，即为方程xf(x)=-1的根，令h(x)=xf(x)，通过研究h(x)的值域来研究h(x)＝－1的零点问题. 【解析】选 C.()()()()()f x xf x f x xf x f x 000x x x'+''+>⇒>⇒>［］，即［xf(x)］′x>0.当x>0时，［xf(x)］′>0，xf(x)为增函数；当x<0时，［xf(x)］′<0，xf(x)为减函数.设h(x)=xf(x)⇒h(0)=0，即当x ≠0时，xf(x)>0.g(x)=f(x)+1x=0⇒xf(x)=-1，由上述可知xf(x)>0，所以xf(x)=-1无解，故函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为0.13.【解析】由题意得b 0,a 12a,=⎧⎨-=-⎩得1a 1a b .33b 0,⎧=⎪+=⎨⎪=⎩，故 答案:1314.【解析】q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a ≤x ≤a+1.由于p 是﹁q 的充分不必要条件,故a 111a 2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a ≤12.答案:[0,12]15.【思路点拨】f(x)=ln x+x 在［a,b ］上单调递增，得f(a)=ka 及f(b)=kb ，即f(x)=kx 存在两个不等实根，据此求出实数k 的取值范围. 【解析】因为f(x)=ln x+x 是k 倍值函数，f(x)在［a,b ］上单调递增，ln a a ka ln b b kb+=⎧⎨+=⎩，即ln x+x=kx 在(0,+≦)上有两根，设g(x)=ln x+(1-k)x ，则g(x)在（0，+≦)上有两个零点，即y=ln x 与y=(k-1)x 相交于两点，k-1>0，当k=1+1e时相切，所以1<k<1+1e. 答案:(1,1+1e )16.【思路点拨】分离参数，构造函数，转化为最值问题.【解析】若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0,即x ∈(0,1］时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为a ≥2331x x-，. 设g(x)=2331x x -，则g ′(x)=()4312x x-，所以g(x)在区间1(0,2］上单调递增，在区间［12,1］上单调递减，因此g(x)max =g(12)=4，从而a ≥4； 当x ＜0,即x ∈［-1,0)时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为a ≤2331x x-，g ′(x)= ()4312x x-＞0,g(x)在区间［-1，0）上单调递增，因此g(x)min =g(-1)=4，从而a ≤4，综上a ＝4. 答案:417.【解析】由log 2(6x+12)≥log 2(x 2+3x+2)得226x 120,x 3x 20,6x 12x 3x 2,+>⎧⎪++>⎨⎪+≥++⎩解得:-1<x ≤5.即A={x|-1<x ≤5}. B={x ∈R|2x 3x 24-<}={x ∈R|2x 32x 22-<}, 由2x 32x 222x 32x -<-<得，解得-1<x<3.即B={x ∈R|-1<x<3}, 则R B ð={x ∈R|x ≤-1或x ≥3}. 则A ∩(R B ð)={x ∈R|3≤x ≤5}. 18.【解析】(1)≧≨又≧f(-2)=-1, f(f(-2))=f(-1)=2,≨f(f(f(-2)))=f(2)=1+12=32. (2)若3x-1>1,即x>23, 则f(3x-1)=1+13x 1－ =3x3x 1－; 若-1≤3x-1≤1,即0≤x ≤23, 则f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x 2-6x+2; 若3x-1<-1,即x<0,则f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.≨f(3x-1)=23x 2,x 3x 1329x 6x 2,0x 36x 1,x 0.⎧>⎪⎪⎪≤≤⎨⎪<⎪⎪⎩，－－＋，＋ (3)≧f(a)=32,≨a>1或-1≤a ≤1. 当a>1时,有1+1a=32, ≨a=2;当-1≤a ≤1时,有a 2+1=32,≨a=〒2. ≨a=2. 19.【解析】(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(0)＝0，即1b2a－＋＋＝0， 解得b ＝1，从而有f(x)＝x x 121.2a＋－＋＋又由f(1)＝－f(－1)知，112124a 1a－＋－＋＝－，＋＋解得a ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x x 12122＋－＋＋x 11221＝－＋，＋由上式易知f(x)在(－≦，＋≦)上为减函数．由f(x)为奇函数，得不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(－2t 2＋k)， 又f(x)为减函数，由上式推得t 2－2t>－2t 2＋k ， 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k>0， 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<1.3－ 20.【解析】(1)当x=0时,t=0;当0<x ≤24时,x+1x≥2(当x=1时取等号),≨t=2x 11x 1x x=++∈(0,12], 即t 的取值范围是[0,12].(2)当a ∈[0,12]时,记g(t)=|t-a|+2a+23,则g(t)=2t 3a ,0t a,321t a ,a t .32⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪++<≤⎪⎩≧g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,12]上单调递增,且g(0)=3a+23,g(12)=a+76,g(0)-g(12)=2(a-14).故M(a)=()11g(),0a ,2411g 0,a 42⎧≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，即M(a)=71a ,0a ,642113a ,a .342⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪⎩≨当且仅当a ≤49时,M(a)≤2.故当0≤a ≤49时不超标,当49<a ≤12时超标. 【方法技巧】解决函数应用题的基本步骤第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题转化成函数问题,即实际问题数学化.第二步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解. 第三步:将所得函数问题的解代入实际问题进行验证,看是否符合实际,并对实际问题作答.21.【思路点拨】（1）因为f(x)＝x 2在x=0时取最小值，故应分n<0与n ≥0讨论.（2）先由2在定义域内，得出m 的范围，再根据函数在［2，＋≦)上的最小值为2构造方程求出m 的值，求最小值时，应根据极值是否在区间［2，＋≦)内分类讨论.【解析】(1)若n<0，则n ＝f(0)＝0，矛盾． 若n ≥0，则n ＝f(n)＝n 2，解得n ＝0或1， 所以f(x)的保值区间为［0，＋≦)或［1，＋≦)． (2)因为g(x)＝x －ln(x ＋m)的保值区间是［2，＋≦)， 所以2＋m>0，即m>－2. 令g ′(x)＝11x m－＋>0，得x>1－m ， 所以g(x)在(1－m ，＋≦)上为增函数， 同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m ，即m ≤－1时，g(x)在［2,1－m)上为减函数,在(1－m ，＋≦)上为增函数，则当x=1－m 时，函数有极小值，也是最小值，由g(1－m)＝2得m ＝ －1满足题意．若m>－1时，则函数在［2，＋≦)上为增函数，故g(x)min＝g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.22.【思路点拨】（1）求导函数f′(x),然后根据已知条件求得f(x)的解析式，最后求单调区间.（2）f(x)≥12x2+ax+b⇒f(x)- 12x2-ax-b≥0,令h(x)=f(x)-12x2-ax-b，通过研究h(x)的性质，求得(a+1)b的最大值，注意分类讨论.【解析】(1)≧f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+12x2,≨f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,≨f(x)=f′(1)e x-1-x+12x2,≨f(0)=f′(1)e-1=1,≨f′(1)=e得：f(x)=e x-x+12x2.设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,≨y=g(x)在x∈R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，≨f(x)的解析式为f(x)=e x-x+12x2且单调递增区间为（0，+≦),单调递减区间为（-≦,0).(2)由f(x)≥12x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h ′(x)>0⇒y=h(x)在x ∈R 上单调递增. x →-≦时，h(x)→-≦与h(x)≥0矛盾. ②当a+1>0时，由h ′(x)>0得x>ln(a+1), 由h ′(x)<0得x<ln(a+1)得当x=ln(a+1)时，h(x)min =(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b ≥0. （a+1)b ≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+1>0). 令F(x)=x 2-x 2ln x(x>0)， 则F ′(x)=x （1-2ln x), 由F ′(x)>0得由F ′(x)<0得当F （x)max =e 2,≨当（a+1)b 的最大值为e 2.【变式备选】已知函数f(x)=ln x ，g(x)= 12x 2-2x ．（1）设h(x)=f(x+1)-g ′(x)（其中g ′(x)是g(x)的导函数），求h(x)的最大值.（2）证明:当0<b<a 时，求证： f(a+b)-f(2a)<b a2a-. （3）设k ∈Z,当x>1时,不等式k(x-1)<xf(x)+3g ′(x)+4恒成立,求k 的最大值． 【解析】（1）h(x)=f(x+1)-g ′(x)=ln(x+1)-x+2,x>-1, 所以h ′(x)=1x1x 1x 1--=++． 当-1<x<0时，h ′(x)>0；当x>0时，h ′(x)<0．因此，h(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+≦)上单调递减．因此，当x=0时，h(x)取得最大值h(0)=2. （2）当0<b<a 时，-1<b a2a-<0． 由（1）知：当-1<x<0时，h(x)<2，即ln(1+x)<x ． 因此，有f(a+b)-f(2a)a b b a b alnln(1)2a 2a 2a+--==+<． （3）不等式k(x-1)<xf(x)+ 3g ′(x)+4化为k<xln x xx 1+-+2, 所以k<xln x xx 1+-+2对任意x>1恒成立． 令m(x)=xln x x x 1+-+2，则m ′(x)=()2x ln x 2x 1---， 令n(x)=x-ln x-2(x>1)，则n ′(x)=1x 11xx--=>0， 所以函数n(x)在(1,+≦)上单调递增． 因为n(3)=1-ln 3<0，n(4)=2-2ln 2>0,所以方程n(x)=0在(1,+≦)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x<x 0时，n(x)<0, 即m ′(x)<0，当x>x 0时，n(x)>0,即m ′(x)>0，所以函数m(x)=x xln x2x 1++-在(1,x 0)上单调递减，在(x 0,+≦)上单调递增． 所以m(x)min =m(x 0)()()000000x 1ln x 2x 1x 1x 22x 1+=+-+-=+-=x 0+2∈(5,6)．所以k<m(x)min=x0+2∈(5,6)．故整数k的最大值是5．关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(六十七)
一、选择题
1.(2013·梅州模拟)掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a 为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确的是( )
(A)A与B为互斥事件
(B)A与B为对立事件
(C)A与C为对立事件
(D)A与C为互斥事件
2.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A={点落在x轴上}与事件B={点落在y轴上}的概率关系为( )
(A)P(A)＞P(B)
(B)P(A)＜P(B)
(C)P(A)=P(B)
(D)P(A)，P(B)大小不确定
3.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( )
(A)1
2(B)2
3
(C)5
6
(D)1
3
4.在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽
车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路公共汽车、6路公共汽车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )
(A)0.12 (B)0.20 (C)0.60 (D)0.80
5.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科类的书(包括数学、物理、化学书)的概率为( )
(A)1
5(B)2
5
(C)3
5
(D)4
5
6.同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、两枚反面的概率为( )
(A)1
4 (B)1
3
(C)3
8
(D)1
2
7.(2013·孝感模拟)下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；
③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；
④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件.
其中错误命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
8.(2012·汕头模拟)给出以下三个命题：
①将一枚硬币抛掷两次，记事件A：两次都出现正面，事件B：两次都出现反面，则事件A与事件B是对立事件；②在命题①中，事件A与事件B是互斥事件；
③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：所取3件中最多有2件是次品，事件B：所取3件中至少有2件是次品，则事件A与事件B是互斥事件.其中真命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
9.甲、乙两人下棋，和棋的概率为1
2，乙获胜的概率为1
3
，则下列说法正确的是
( )
(A)甲获胜的概率是1
6
(B)甲不输的概率是1
2
(C)乙输了的概率是2
3
(D)乙不输的概率是1
2
10.一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为( )
(A)29
32(B)63
64
(C)31
32
(D)61
64
二、填空题
11.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是__________.
12.(2012·宁波模拟)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是1
7
，从中取出2粒都是白子的概率是
12
35
，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是__________.
13.甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为
__________．
14.(能力挑战题)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组
分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示. 现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是______,他属于不超过2个
小组的概率是___________.
三、解答题
15.(能力挑战题)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值.
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值.
答案解析
1.【解析】选A.依题意可知：事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件；显然A与C不是互斥事件，更不是对立事件.
2.【解析】选C.横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的，故P(A)=P(B).
3.【解析】选B.由古典概型的概率公式得
∵P(A)=1
6,P(B)=3
6
=1
2
,
事件A与B为互斥事件，
由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)=P(A)+P(B)=1
6+1
2
=2
3
.
4.【解析】选D.“能上车”记为事件A,则3路或6路公共汽车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.
5.【解析】选C.记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科类的书(包括数学、物理、化学书)为事件B，D，E的并事件.
∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝1
5+1
5
+1
5
=3
5
.
6.【解析】选C.共23＝8种情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种，∴P＝3
8
.
7.【解析】选D.由对立事件及互斥事件的概念可知①正确；当A，B两个事件互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，所以②错误；③错误；当A，B是互斥事件时，若P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，④错误.
8.【解析】选B.命题①是假命题，命题②是真命题，命题③是假命题.
对于①，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于③，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件.
9.【解析】选A.“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”
的概率是P＝1－1
2－1
3
＝1
6
；设事件A为“甲不输”，则A是“甲获胜”和“和
棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝1
6＋1
2
＝2
3
；乙输了即甲胜了，所以
乙输了的概率为1
6；乙不输的概率为1－1
6
＝5
6
.
10.【解析】选D.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),
(8,8)，则两球编号之和不小于15的概率为3
64
.因此，两个球的编号和小于15的概率为1-364=6164
. 11.【解析】 一次随机抽取两个数共有1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，一个数是另一个数的2倍的有2种，故所求概率为13
. 答案:13
12.【思路点拨】2粒恰好是同一色有两种情况：全是白子或全是黑子. 【解析】从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为11217.7
35
35
＋＝ 答案：
1735
13.【解析】由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95. 答案：0.95
14.【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
1110783
P 67881010115
+++=
=++++++.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”. 故他属于不超过2个小组的概率是
813
P 1678810101115=-
=++++++.
答案:35 13
15
【方法技巧】方程思想在概率方面的应用
利用互斥事件中的基本事件的概率之间的计算公式，通过方程思想反求基本事件的概率，这体现了知识与方法上的纵横交汇.
15.【解析】(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得
0.1+0.16+x=0.56，
∴x=0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得
0.96+z=1，∴z=0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得
y+0.2+0.04=0.44,
∴y=0.44-0.2-0.04=0.2.
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