算法设计与分析-第6章分治
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计算机算法设计与分析基础(第六章变治法)
第 6 章 变治法
★ 变治策略
★ 预排序
★ 高斯消去法 ★ 平衡查找树（略）
★ 堆与优先队列（略）
★ 堆排序（略） ★ 霍纳法则和二进制幂 ★ 问题化简 ★ 本章习题
★ 变治策略
通用的算法设计方法，基于变换的思想
变：变换问题更容易求解 治：对变换后的问题求解
3 种主要类型
实例化简：问题求解变得更简单，如预排序
while ( i≤n-1 )
runlength←1，runvalue←A[i] // 行程长度 = 等值元素个数 while ( i+runlength≤n-1 and A[i+runlength] = runvalue )
runlength ++ // 与下一个元素相等则行程长度+1
if ( runlength > ModeFrequency ) ModeFrequency←runlength，modeValue←runvalue i←i+runlength // 跳过本行程，i 始终指向行程的第一个元素 return ( ModeValue, ModeFrequency )
需要与辅助列表中已加入的 k-1个元素比较，共 k-1 次。
最差效率：
T ( n) ( k 1) 1 ... n 1 (n2 )
k 1
n
变治法 —— 预排序（nlogn型），排序后 等值元素一定相邻 扫描统计：模式具有最多的相邻元素，需比较 n -1 次。 PresortMode_1(A[0...n-1]) // 行程算法 对数组A排序 // 排序结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 } i←0，ModeFrequency←0 // 最大频率，最大行程长度
★ 变治策略
★ 预排序
★ 高斯消去法 ★ 平衡查找树（略）
★ 堆与优先队列（略）
★ 堆排序（略） ★ 霍纳法则和二进制幂 ★ 问题化简 ★ 本章习题
★ 变治策略
通用的算法设计方法，基于变换的思想
变：变换问题更容易求解 治：对变换后的问题求解
3 种主要类型
实例化简：问题求解变得更简单，如预排序
while ( i≤n-1 )
runlength←1，runvalue←A[i] // 行程长度 = 等值元素个数 while ( i+runlength≤n-1 and A[i+runlength] = runvalue )
runlength ++ // 与下一个元素相等则行程长度+1
if ( runlength > ModeFrequency ) ModeFrequency←runlength，modeValue←runvalue i←i+runlength // 跳过本行程，i 始终指向行程的第一个元素 return ( ModeValue, ModeFrequency )
需要与辅助列表中已加入的 k-1个元素比较，共 k-1 次。
最差效率：
T ( n) ( k 1) 1 ... n 1 (n2 )
k 1
n
变治法 —— 预排序（nlogn型），排序后 等值元素一定相邻 扫描统计：模式具有最多的相邻元素，需比较 n -1 次。 PresortMode_1(A[0...n-1]) // 行程算法 对数组A排序 // 排序结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 } i←0，ModeFrequency←0 // 最大频率，最大行程长度
算法分析与设计概论
9
How to Study Algorithm？
“Sometimes we have experiences, and sometimes not. Therefore, the better way is to learn more."
10
1.1 算法与程序
算法：是满足下述性质的指令序列。
输 入：有零个或多个外部量作为算法的输入。 输 出：算法产生至少一个量作为输出。 确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。 有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行 每条指令的时间也有限。
1） 第一种解法：
输入：所购买的三种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[ ],m[ ],s[ ] 1. void chicken_question(int n,int &k,int g[ ],int m[ ],int s[ ]) 2. { int a,b,c; 4. k = 0; 5. for (a=0;a<=n;a++) 6. for (b=0;b<=n;b++) 7. for (c=0;c<=n;c++) { 8. if ((a+b+c==n)&&(5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. }}}
矩阵。
数组 T：表示售货员的路线，依次存放旅行路线中的城 市编号。
售货员的每一条路线，对应于城市编号的一个排列。
n 个城市共有 n! 个排列，采用穷举法逐一计算每一条路线的费 用，从中找出费用最小的路线，便可求出问题的解。
算法设计与分析讲义分治法
分治法具有以下特点
将问题分解为多个子问 题，并对子问题进行递 归求解；
以空间换时间，需要额 外的存储空间；
可以将问题化简为多个 相同或相似的子问题， 从而减少计算量。
分治法的重要性
1
分治法是一种非常重要的算法设计和分析方法 ，在很多算法中都有应用，如排序算法、搜索 算法、图算法等。
2
分治法可以将一个复杂的问题分解为多个简单 的子问题，从而降低问题的复杂度，提高算法 的效率。
06
分治法的扩展阅读和练习建议
相关文献和资源推荐
01
《算法导论》
本书是算法领域的经典参考书之 一，详细介绍了各种算法的原理 和应用，包括分治法。
02
《数据结构和算法 分析》
本书深入浅出地讲解了数据结构 和算法的基本原理，包括分治法 的设计和实现。
03
《算法之美》
本书以通俗易懂的语言和丰富的 实例，介绍了多种算法的设计思 路和应用，包括分治法。
3
分治法的核心思想是将问题分解为多个相同的 或相似的子问题，可以借助递归实现算法的优 化，使算法的时间复杂度更低。
分治法的历史与发展
01
分治法是一种非常古老的算法设计方法，可以追溯到中国古代 的“鸡兔同笼”问题。
02
分治法在算法领域得到了广泛的应用，其中最著名的就是快速
排序算法。
随着计算机科学的发展，分治法在大数据处理、机器学习等领
使用分治法的注意事项
在使用分治法时，需要考虑到数据的规模和性质 ，以及计算机的内存和计算速度等硬件因素。
在处理大规模数据时，可能需要采用并行计算或 分布式计算等高级技术来提高算法效率。
需要注意分割点选择的艺术性和科学性，以及在 递归过程中如何有效地利用缓存和减少重复计算 。
最新计算机算法设计与分析6第六章动态规划ppt课件
COST(6)7
P(1)1; P(k)12; for j2 to 4 do P(j)D(P(j1)) ;
COST(5)15 COST(4)18 COST(3)9
COST(2)7
D(11)12 D(10)12 D(9)12
D(8)10 D(7)10 D(6)10 D(5)8 D(4)8 D(3)6 D(2)7
COST 1 2
16 7
3 9
45 18 15
6 7
7 5
8 7
9 10 11 12 4 2 50
D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 7 6 8 8 10 10 10 12 12 12
P1 2 3 4 5
1 2 7 10 12
COST(1)16 D(1)2
24
算法6.1 时间复杂度和空间复杂度
D(2, 4)8 D(3, 8)10
D(2, 5)8
最小成本的路径为：127 10 12
21
为了算法描述的简单，对结点进行编号，从V1开始 s 编为1 号，然后V2中的结点依次编为2,3,4,5号，按此规则编下去， 有了编号可以将COST, D中表示段数的第一个下标i省略掉。
➢ 多段图的向前处理算法
OPT {rk, jkk, jk } rkk
1jkpk
于是相应于S0的最优决策序列为：r1,,rk1, rk ,k
13
多段图的递推分析
向前处理法(forward approach) 从最后阶段开始，以逐步向前递推的方式，列出求 解前一阶段决策值的递推关系式，即根据xi1, , xn 的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的,6)min{c(6,9)COST(4,9) ,
c(6,10)COST(4,10)}
最新计算机算法设计与分析6第六章动态规划ppt课件
决这个子④问其题余就决是策找相出对一于③条由v2到t的最短路径。 这条最短路径显然是v2,v3,,vk1,t。 如果不是，设v2,q3,,qk1,t由v2到t的更短路径，则这
条路径肯定比v2,v3,,vk1,t路径短，这与假设矛盾， 因此最优性原理成立。
9
0/1背包问题
背包问题中的xj限定只能取0或1值，用KNAP(l, j, X) 来表示这个问题。
2
7
1
7
4 11
11
8
5
8
6 5
4 3
5 6
V4
V5
9 4
t
10 2 12
5 11
18
多段图向前处理的计算过程
7
例：多段图问题(multistage graph problem)
V1
9 7
s1 3
2
V2
V3
24 6
26 5
3
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t
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5
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8
多段图问题的最优性原理证明
假设s,v2,v3,,vk1,t是一条由s到t的最短路径。 再假设从证源明点满s开足最始优，性已原作理出: 了到结点v2的决策，因 此如v果2就把是v2初看①②③始成设确初决是最定始优初决策原决始策所问策状所产题序态产生的列和生的一的初的状个形始状式决态态子策。问题的初始状态，解
向后处理法(backward approach) 从初始阶段开始，以逐步向后递推的方式，列出求 解后一阶段决策值的递推关系式，即根据x1, , xi1 的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。
条路径肯定比v2,v3,,vk1,t路径短，这与假设矛盾， 因此最优性原理成立。
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0/1背包问题
背包问题中的xj限定只能取0或1值，用KNAP(l, j, X) 来表示这个问题。
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多段图向前处理的计算过程
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例：多段图问题(multistage graph problem)
V1
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多段图问题的最优性原理证明
假设s,v2,v3,,vk1,t是一条由s到t的最短路径。 再假设从证源明点满s开足最始优，性已原作理出: 了到结点v2的决策，因 此如v果2就把是v2初看①②③始成设确初决是最定始优初决策原决始策所问策状所产题序态产生的列和生的一的初的状个形始状式决态态子策。问题的初始状态，解
向后处理法(backward approach) 从初始阶段开始，以逐步向后递推的方式，列出求 解后一阶段决策值的递推关系式，即根据x1, , xi1 的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。
《算法设计与分析》课件
常见的贪心算法包括最小生成树算法 、Prim算法、Dijkstra算法和拓扑排 序等。
贪心算法的时间复杂度和空间复杂度 通常都比较优秀，但在某些情况下可 能需要额外的空间来保存状态。
动态规划
常见的动态规划算法包括斐波那契数列、背包 问题、最长公共子序列和矩阵链乘法等。
动态规划的时间复杂度和空间复杂度通常较高，但通 过优化状态转移方程和状态空间可以显著提高效率。
动态规划算法的时间和空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。
04 经典问题与算法实现
排序问题
冒泡排序
通过重复地遍历待排序序列，比较相邻元素的大小，交换 位置，使得较大的元素逐渐往后移动，最终达到排序的目 的。
快速排序
采用分治策略，选取一个基准元素，将比基准元素小的元 素移到其左边，比基准元素大的元素移到其右边，然后对 左右两边的子序列递归进行此操作。
动态规划是一种通过将原问题分解为若干个子 问题，并从子问题的最优解推导出原问题的最 优解的算法设计方法。
动态规划的关键在于状态转移方程的建立和状态 空间的优化，以减少不必要的重复计算。
回溯算法
01
回溯算法是一种通过穷举所有可能情况来求解问题的算法设计方法。
02
常见的回溯算法包括排列组合、八皇后问题和图的着色问题等。
空间换时间 分治策略 贪心算法 动态规划
通过增加存储空间来减少计算时间，例如使用哈希表解决查找 问题。
将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，最终合并子 问题的解以得到原问题的解。
在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的 选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，避 免重复计算，提高算法效率。
《算法设计与分析》(全)
巢湖学院计算机科学与技术系
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
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第1章 算法引论
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
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渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
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第1章 算法引论
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。