2018年高中数学人教A版选修2-2第1章导数及其应用 1.5.1-1.5.2习题含解析
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
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第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
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第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-1~1-5-2 精品
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
(2)曲线 y＝2－x2 与直线 y＝－2 围成的图形的面积为
2 ∫1 (4 － x )dx.( 0
)
(3)曲线 y＝x3 与直线 y＝2－x，y＝0 围成的图形的面
3 2 ∫ 积为∫1 x d x ＋ 0 1(2－x)dx.(
)
解析：(1)错，作出曲线 y＝ x与直线 y＝x，可知，
2 所求面积为∫1 ( x － x )d x .(2) 对，作出曲线 y ＝ 2 － x 与直 0 2 线 y＝－2，可知，所求面积为∫1 (4 － x )dx.(3)对，作出曲 0 3 线 y＝x3 与直线 y＝2－x， y＝0， 可知， 所求面积为∫1 x 0 dx
类型 1 不分割型平面图形面积的求解(自主研析) [典例 1] 曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的 图形的面积是________．
x y ＝ e ， 解析：如图所示，由 －x y ＝ e
解得交点为(0，1)，
－x －x 1 x x 所以所求面积为 S＝∫1 (e － e )d x ＝ (e ＋ e )|0＝e＋ 0
图①
图②
图③
图①中，f(x)＞0，∫b af(x)dx＞0，因此面积 S＝
b ∫ af(x)dx _____________ ；
b | ∫ 图②中， f(x)＜0，∫b f ( x )d x ＜ 0 ，因此面积 S ＝ a a
b ∫ － af(x)dx ； f(x)dx|＝____________
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的 应用
[学习目标 ] 1.了解定积分的几何意义 (重点)． 2. 会用求定积分的方法求曲边梯形的面积(重点、难点)．
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1-1-2导数的概念 精品
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用
2x3－3x＋ x＋1 (1)y＝ ； x x
解 ∵y＝2 x －3 x ＋x ＋ x ，
－1
1 2 3 2 1 2
3 2
3 5 3 2 3 ∴y′＝3 x ＋ x －x－2－ x 2 . 2 2
解答
x2＋1 (2)y＝ 2 ； x ＋3
解 方法一
x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′ y′ ＝ x2＋32
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
和、差的导数
1 已知f(x)＝x，g(x)＝ . x
解答
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
1 sin 2 x ＋ x sin 2x＋2x 2 ＝ cos2x ＝ 2cos2x .
解答
类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)＝ x ＋2xf′(1)， 试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； 1－ln x 解 由题意得 f′(x)＝ x2 ＋2f′(1)， 1－ln 1 令 x＝1，得 f′(1)＝ 1 ＋2f′(1)，即 f′(1)＝－1. ln x ∴f(x)＝ x －2x. ln e 1 ∴f(e)＝ e －2e＝ e－2e，f(1)＝－2， 1 由 f(e)－f(1)＝e －2e＋2<0，得 f(e)<f(1).
2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用
1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答案 (1)曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积．解 (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，n n ]，简写作[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间[i －1n ，in ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－(i －1n )·(i －1n －1)为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积．(3)求和ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－(i －1n )(i －1n －1)·1n (i ＝1,2，…，n )．即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf (ξi )Δx＝∑i ＝1n[－(i －1n )(i －1n －1)]·1n＝－1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n 3·16n (n －1)(2n －1)＋1n 2·n (n －1)2＝－－n 2＋16n 2＝－16(1n 2－1)． (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞，此时－16(1n 2－1)趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞[－16(1n 2－1)]＝16. 所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)，y ＝4， 得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝2(i －1)n .(2)近似代替求和 S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n )． (3)取极限S ＝lim n →∞S n＝lim n →∞83(1－1n )(1－12n )＝83. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为[1＋i －1n ，1＋in ]．所以Δs i ＝v (1＋i －1n )·1n .s n ＝∑ni ＝1v (1＋i －1n )1n＝1n ∑ni ＝1[(1＋i －1n)2＋2] ＝1n ∑n i ＝1[(i －1)2n 2＋2(i －1)n＋3] ＝1n {3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]} ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n .s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞[3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ]＝133.所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为[1＋i －1n ，1＋in]． 所以Δs i ＝v (1＋i n )·1n .s n ＝∑ni ＝1v (1＋i n )1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n 2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n .s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞[3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ]＝133.所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)． 解 ①分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n －1)个分点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n ，把汽车在时间段[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2]上行驶的路程分别记为Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，则有s n ＝∑i ＝1nΔs i .②近似代替取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v (2i n )·Δt ＝[－(2i n )2＋5]·2n＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．③求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1n[－4i 2n 2·2n ＋10n ]＝－4×12n 2·2n －4×22n 2·2n －…－4×n 2n 2·2n ＋10＝－8n 3[12＋22＋…＋n 2]＋10＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10＝－8·13(1＋1n )(1＋12n )＋10.④取极限 s ＝lim n →∞s n＝223. 因此，行驶的路程为223km.1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32答案 B4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.5．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积．解 (1)分割将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]，每个小区间的长度为Δx ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n )2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)求和曲边梯形的面积为 S n ＝∑ni ＝1ΔS i ≈12∑n i ＝1 (i －1n )2·1n＝0·1n ＋12·(1n )2·1n ＋12·(2n )2·1n ＋…＋12·(n －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝16(1－1n )(1－12n )． (4)取极限 曲边梯形的面积为 S ＝lim n →∞16(1－1n )(1－12n )＝16.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi)·b －an . “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．课时作业一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in ]上的值，可以近似代替为( )A ．f (1n )B ．f (2n )C ．f (in ) D ．f (0)答案 C2．在求由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2 C.2n (n ＋2i ) D.1n ＋2i答案 A解析 每个区间的长度为2n ，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n，∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i.3．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130答案 A4．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( ) A.lim n →∞∑ni ＝1[11＋(i n )2·2n ]B.lim n →∞∑n i ＝1[11＋(2i n )2·2n ]C.lim n →∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n ) D.lim n →∞∑n i ＝1[11＋(i n )2·n ]答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n ，∴和式为∑n i ＝1[11＋(2i n)2·2n ]． 故选B.5．把区间[a ，b ](a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( ) A ．[i －1n ，i n]B ．[i －1n (b －a )，i n (b －a )]C ．[a ＋i －1n ，a ＋i n]D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in (b －a )]答案 D解析 区间[a ，b ](a <b )长度为(b －a )，n 等分之后， 每个小区间长度均为b －an，所以第i 个小区间是[a ＋i －1n (b －a )，a ＋in(b －a )](i ＝1,2，…，n )．6．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 只有④正确．7．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为[a (i －1)n ，ai n ](i ＝1,2，…，n )，此区间长为an，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni ＝1 (ai n)2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33(1＋1n )(1＋12n )近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞[a 33(1＋1n )(1＋12n )]＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3. 二、填空题8.∑n i ＝1i n＝________. 答案 n ＋12解析 ∑n i ＝1i n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 9．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10．当n 很大时，可以代替函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n]上的值有________个． ①f (1n )；②f (i n )；③f (i －1n )；④f (i n －12n)． 答案 3解析 因为当n 很大时，区间[i －1n ，i n ]上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉[i －1n ，i n ]，i －1n∈[i －1n ，i n ]，i n ∈[i －1n ，i n ]，i n －12n ∈[i －1n ，i n]，故能代替的有②③④. 11．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成曲边梯形，将区间[0,2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________.答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.三、解答题12．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝i ＝1n (24i 2n 3＋4n )＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4 ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8(1＋1n )(1＋12n)＋4. (4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞[8(1＋1n )(1＋12n )＋4]＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12km.13.如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．解 (1)分割如图，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间[3(i －1)n ，3i n](i ＝1,2，…，n )的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S .(3)求和S n ＝∑ni ＝1f (3(i －1)n )Δx ＝∑n i ＝1[－9(i －1)2n 2＋2×3(i －1)n ＋3]×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n 2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9 ＝－27n 3×16(n －1)n (2n －1)＋18n 2×n (n －1)2＋9 ＝－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1n)＋9. (4)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n →∞[－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1n )＋9] ＝9.即所求曲边梯形面积为9.。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
A．[0，e2] B．[0，2] C．[1，2] D．[0，1]
x y ＝ e ， x＝0， 解析：解方程组 可得 y＝1， y＝1，
所以积分区间为[0，2]． 答案：B
3．下列值等于 1 的是( A.∫1 0xdx C.∫1 01dx
11 B.∫0 dx
)
2
11 2 D.∫0 x dx
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
2 ∫ (1)∫2 f ( x )d x ＝ 1 1f(t)dt.(
) ) )
(2)∫b af(x)dx 的值一定是一个正数．(
3 b b 3 ∫ ∫ (3)∫b (ln x － x )d x ＝ ln x d x － a a ax dx.(
ξi＝xi＝
[变式训练]
利用定积分定义计算∫2 1(1＋x)dx.
解：(1)分割：因为 f(x)＝1＋x 在区间[1，2]上连续， 1 将区间[1，2]分成 n 等份，则每个区间长度为Δxi＝ . n
i － 1 i (2)近似替代：在[xi－1，xi]＝1＋ ，1＋ 上取 n n
b 之间的各部分面的性质
b b ∫ k af(x)dx (1)∫akf(x)dx＝__________
(k 为常数)；
b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a 1 af2(x)dx ； (2)∫a[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________ c b b ∫ ∫ f ( x )d x ＋ ∫ (3) af(x)dx＝_________________ a c f(x)dx ，其中 a＜c＜b.
n ＝ ＝
2 1 ＝n·n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n－1 1 n（n－1） ＝2＋ 2· ＝2＋ ， n 2 2n
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
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1.5定积分的概念
1.5.1曲边梯形的面积
1.5.2汽车行驶的路程
课时过关·能力提升
基础巩固
1把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为()
A. B.
C. D.
解析区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.
答案B
2在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上的近似值()
A.只能是左端点的函数值f(x i)
B.只能是右端点的函数值f(x i+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])
D.只能是区间中点处的函数值
答案C
3和式(y i+1)可表示为()
A.(y1+1)+(y5+1)
B.y1+y2+y3+y4+y5+1
C.y1+y2+y3+y4+y5+5
D.(y1+1)(y2+1)·…·(y5+1)
解析由求和符号“”的意义,知(y i+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.故选C.
答案C
4把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i(i=1,2,3,…,n)个小区间是()
A.
-
B.-
--
C.
-
D.-
--
解析区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为-
,第i个小区间是
-
--(i=1,2,…,n).
答案D
5已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为.
解析若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)=2i-10=2×-10=100.
答案100
6在区间[0,8]上插入9个等分点之后,所分的小区间长度为,第5个小区间是.
答案
7若汽车以v=(2t+1)m/s的速度做变速直线运动,则在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.
答案4 m
8汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
分析按分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求解.
解(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间,…,
-,…,-,
每个小区间的长度为Δt=-
.
(2)近似代替
在区间-上,汽车近似地看作以时刻-
处的速度v
--
做匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路程
为-
.
(3)求和
在所有小区间上,汽车行驶的路程和为s n=02·+…+
-
=[12+22+…+(n-1)2]
=
----.
(4)取极限
汽车行驶的路程
s=s n=--.
所以汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程为.
能力提升
1在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)>0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入(n-1)个点,分别过这些点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中,下列说法正确的个数是() ①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和小于S;③n个小曲边梯形的面积和大于S;④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①正确,其余都不正确.
答案A
2当n的值很大时,函数f(x)=x2在区间
-上的值,可以用下列函数值近似代替的是()
A.f
B.f
C.f
D.f(0)
解析根据求曲边梯形面积的步骤知,f(x)=x2在区间
-上的值,可以用此区间上任意一点的函数值代替,故应选C.
答案C
★3在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()
A. B.
-
C. D.
解析每个小区间长度为,第i个小区间为-,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS
i
≈.
答案A
4已知物体自由下落时的运动速度v=gt,求在时间段[0,t]内物体下落的距离.分析可转化为求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.
解(1)分割
把时间区间[0,t ]等分成n 个小区间,其中第i 个小区间为
- (i=1,2,…,n ),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt= t-
- t= .在各个小区间内物体下落的距离,记作Δs i . (2)近似代替
在 -
(i=1,2,…,n )上取左端点的函数值近似代替第i 个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i ≈g · - t · (i=1,2,…,n ).
(3)求和
s n = Δs i = g · - t · [0+1+2+…+(n-1)]= gt 2 - . (4)取极限
s= gt 2 - gt 2.
所以在时间段[0,t ]内物体下落的距离为 gt 2.
★5已知火箭发射后t (单位:s)的速度为v (t )(单位:m/s),假定0≤t ≤10,对函数v (t ),将区间[0,10]等分成n 个小区间,每个小区间长度为Δt ,在每个小区间上任取一点,依次为t 1,t 2,t 3,…,t i ,…,t n ,按v (t 1)Δt+v (t 2)Δt+…+v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义?
分析可根据求曲边梯形的面积以及汽车行驶的路程的思想方法进行思考回答.
解虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度,这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时段内运动的路程.
从而s n =v (t 1)·Δt+…+v (t i )·Δt+…+v (t n )·Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程).这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)·Δt+v (t 2)·Δt+…+v (t n )·Δt 式所作的和的实际意义.
当分割无限变细(Δt 无限趋近于0)时,s n 就无限趋近于火箭在10 s 内运行的总路程.。