1.2.1任意角的三角函数

3 6
课堂
练习
1.已知是第三象限且cos 0 ，问 是第几象 2 2 限角？


2.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号
课堂
练习
3 .若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
o
x
三角函数在各象限内的符号：
第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
x 2 、余弦函数值 cos r x
2
解析： r 3 m
m 3 m
2
13 13
13m m 3
2 2
返回 划归的思想
1 m 4
2
练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=± 1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )
31 tan( ) 1 4
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆 的 交于点P.过点P作x轴 α 终边 P 的垂线,垂足为M.
y
A(1,0)
y P
α的 终边 A(1,0)
MO
x
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
O
M
x
【思考】为了去掉
上述等式中的绝对值 符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方 向,使它们的取值与点 P的坐标一致?
α的 终边 A(1,0)
MO
x
O
M
x
(Ⅱ )
y
(Ⅰ )
y
O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 α的 P 终边 线 (Ⅲ )
M
A(1,0)
O
M A(1,0) x P
x
(Ⅳ )
α的 终边
MP AT y tan AT OM OA x
α的 终边 P
y
A(1,0)
y P
T α的
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P
y
A(1,0)
MO T
x
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 (2) sin ; ⑴ sin ; 2 2 角的终边
例2 若
sin 0 { tan 0
？
成立，则角 为第几象限角角？
sin 0 三、四
tan 0
三
一
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
y
P( x, y)
1

o
x
M
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
3 2
2
1
0
3 2 3 3
0
1
0
0 1
0
1
3 不存在
例2、已知角 的终边经过点P0 (3,4)，求角 的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
r x y
2 2
3
2
(4) 5
2
y 4 于是，sin r 5 y 4 tan x 3
返回
O
x
(Ⅲ )
(Ⅳ )
α的 终边
当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0)
当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.
α的 终边 P
y P
cos 解：（1）
9 4 9
（2） tan(
4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
cos(

2 ) cos
11 ) 6 2

练习 求下列三角函数值
19 tan 3 3
x 3 cos r 5
合作 演练 变式1、已知角 的终边过点 P 12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
x 12 cos r 13
当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线
α的 终边 P
y
A(1,0)
y P
α的 终边 A(1,0)
MO
x
O
M
x
(Ⅱ )
y
(Ⅰ )
y
M
α的 P 终边ห้องสมุดไป่ตู้
A(1,0)
O
M A(1,0) x P
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号：
上正下负横为0
y 1 、正弦函数值 sin y r
y
第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
r

MP b tan OM a
b
o
a
﹒
M
x
思考2 以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
因OP r 1 ，故
P( x, y)
1
MP sin OP
x
y

o
M
OM cos OP
x y MP tan OM x
sin cos 250（2）tan( 672)（3） （ 1） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16
cos

5

sin(

3
)
tan(

8
)
例2 若
sin 0 { tan 0
？
成立，则角 为第几象限角角？
sin 0 三、四
y 1
P
-1
O -1
1 y 2
x
M1
5 [ 2k , 2k ] 6 6

(k Z )
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1 2 cos 2
-1
y
1
3
1 x 2
1
O
x
5 -1 2 k , 2 k k Z 3 3
交叉正负
y
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin 、 csc
cos、 sec
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ； （2）因为 tan(672) = tan(2 360 48) tan48 ， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
sin
R R
k ( k Z ) 2
思考四 升级兼容 2、任意角的三角函数第二定义： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r
x2 y2 0
y P (x,y)
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos O r y y ③ x 叫做 的正切，即 tan x 0 x
5 ，易知 AOB 3 1 3
理论 迁移
7 3 tan 6 3
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα tanα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1

0
1
0
不存在
5 3
1 变式： 写出满足条件 ≤cosα＜ 2
的集合.
2 3
3 的角α 2
y
1
6
1 x
-1
O -1
4 3
11 6
2 2 4 11 | 2 k 2 k ，或 (2k ,2k 6 ＜α≤ 2k 3 ,2k )k Z 4 11 6 3 3 6 2k 2 k ， k Z ≤α＜
1、任意角的三角函数第一定义
升级兼容
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )