新人教版必修四高中数学121任意角的三角函数教案
【原创】人教A版高中数学必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数 教学设计
1.2.1 《任意角的三角函数》教学设计 课 题 1.2.1 任意角的三角函数 课 型 新授课 核心素养 培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力重点难点 三角函数的定义；任意角的三角函数在各象限的符号；教法学法 启发式教学，自主探究，合作交流教学过程一、导入课题问题提出：如果旋转轮的半径为r ,圆心O 到地面的高度为h ，主持人的右脚与圆心的交点记为A ，当OA 与水平线所成的角为α时，你能求出点A 到地面的高度吗？二、自主学习1、如图：在ABC Rt ∆中，A sin = A cos = A tan =2、前面我们学习了任意角，如果将A 与原点重合，AC 边与x 轴的非负半轴重合，B 的坐标为 ？设B 到原点的距离为r ，即______==r OB （用B 的坐标表示），你能用B 的坐标表示角A 的三角函数吗？_____tan _____,cos _____,sin ===A A A问题：在OB 上移动B 点，角A 的三角函数值会不会改变？3、如果将A 终边上的点B 特殊为让它到原点的距离为单位长度“1”，你能说出点B 的轨迹吗？三、新知点拨单位圆：以 圆心， 为半径的圆叫单位圆设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点中),(y x P ，那么：（1）y 叫做α的正弦，即αsin =y（2）x 叫做α的正弦，即αsin =x（3）x y 叫做α的正切，即αtan =xy 我们把 、 、 统称为三角函数。
四、互动探究 根据上面三角函数的定义，填出下表中三角函数的定义域及各三角函数在每个象限的符号：三角函数 定义域αsinαcosαtanαsin αcos αtan五、新知应用例1：求π35的正弦、余弦和正切值学以致用1：求π47的三角函数值。
例2：已知角α的终边经过点P (－3,-4)，求角α的正弦、余弦、正切值.一般地，α是一个任意角，）（y x P ,为α终边上的任意一个点，r 为点P 到原点的距离，则： αsin = αcos = αtan = 其中：r =学以致用2：已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＋cos α等于例3 求证：当下列不等式组成立时，角α为第三象限角。
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
高中数学人教A版必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数 第2课时 教案
4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。
高中数学必修4《任意角的三角函数》教案
高中数学必修4《任意角的三角函数》教案高中数学必修4《任意角的三角函数》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系;(2)能正确运用进行三角函数式的求值运算;(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧;(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
2、过程与方法回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
教学重难点重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中，你还发现了哪些关系?今天这节课，我们就来讨论这些问题。
【探究新知】在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：2.学生课堂练习教材P66练习1和P67练习2五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?六、布置作业教材P68习题中1—6课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
人教A版数学必修四教案：1.1.1任意角
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
高中数学 121三角函数的定义教案 新人教版必修4 教案
1.2.1 任意角的三角函数（1）一、课题：任意角的三角函数（1）二、知识与技能：1、掌握任意角的三角函数的定义；2、已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3、记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
三、过程与方法：1、理解并掌握任意角的三角函数的定义；2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3、通过对三角函数的定义域、三角函数值的符号、诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
四、情感、与价值观：学习转化的思想，培养学生严谨治学的态度和一丝不苟的科学精神。
五、教学重、难点：任意角的三角函数的定义，三角函数值的符号，根据定义求三角函数值。
六、突破重、难点的方法：先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角终边上的点的坐标表示锐角三角函数的结论，然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论。
在此基础上，再定义任意角的三角函数七、学情分析：学生已经掌握的内容及学生的学习能力：1、初中已经学习了锐角的三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识与求法；2、学生的运算能力欠缺；3、学生对数学学习具有较强的兴趣和积极性；4、学生的探究能力、合作交流意识等不够均衡。
八、教学过程：（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；④对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数教学案新人教A版必修4
1.2 任意角的三角函数第1课时 三角函数的定义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 11～P 15的内容，回答下列问题．如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离r ＝a2＋b2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？提示：sin_α＝MP OP ＝b r ，cos_α＝OM OP ＝a r ，tan_α＝MP OM ＝b a.(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：不会随P 点在终边上的位置的改变而改变．(3)若将点P 取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？提示：sin_α＝b ，cos_α＝a ，tan_α＝b a.(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？ 提示：上述结论仍然成立．(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tanα为何值？提示：sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝y x. 2．归纳总结，核心必记 (1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )定义 正弦 ；y ＝αsin 即，αsin 记作，的正弦α叫做y 余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；正切y x．≠0)x (y x ＝αtan 即，αtan 记作，的正切α叫做三角 函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.(2)三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α{α|α≠π2＋k π，k ∈Z }(3)三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (4)公式一①终边相同的角的同一三角函数的值相等． ②公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .[问题思考](1)三角函数值的大小与点P 在终边的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tanα与tan β之间有什么关系？提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β. (3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P 的坐标有怎样的关系？提示：由三角函数的定义知sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝y x，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P 的横坐标、纵坐标的正负确定．(4)对于角α，若sin α<0，cos α>0，则α为第几象限角？ 提示：第四象限角．[课前反思](1)任意角的三角函数的定义： ；(2)三角函数的定义域： ；(3)三角函数值的符号： ；(4)公式一的内容： ．[思考1] 任意角α的正弦值sin α、余弦值cos α，正切值tan α都有意义吗？ 名师指津：当α的终边在y 轴上时，tan_α不存在．[思考2] 若α的终边与单位圆交于点(x 0，y 0)，且x 0≠0，则如何求sin α，cos α，tan α的值？ 名师指津：sin_α＝y 0，cos_α＝x 0，tan_α＝y0x0.[思考3] 若已知α终边上一点P (x 0，y 0)，且x 0≠0，如何求sin α，cos α，tan α的值？ 名师指津：先求r ＝x20＋y 20，然后求sin_α＝y0r ，cos_α＝x0r ，tan_α＝y0x0.[思考4] 若已知α终边所在的直线方程为y ＝kx ，则如何求sin α，cos α，tan α的值？ 名师指津：可在直线y ＝kx 上任取一点(x 0，y 0)，x 0≠0，然后利用sin_α＝y0x20＋y 20，cos_α＝x0x20＋y 20，tan_α＝y0x0求解．讲一讲1．(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [尝试解答] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋（－12）2＝13，则sin α＝y r ＝－1213， cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋（－3）2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－3.答案：(1)－1213513 －125求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x2＋y2；第三步，求值：由sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． 练一练1．(1)已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.12 B.32 C.22 D ．－22(2)已知角α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________.(3)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a )，且α为第二象限角，cos α＝－35，则sin α＝________.解析：(1)∵α的终边经过点P (1，－1)， ∴sin α＝－112＋（－1）2＝－22.(2)∵α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34.又∵y <0，∴y ＝－32.∴sin α＝－32，cos α＝－12，tan α＝3， sin αtan α＝－32×3＝－32. (3)∵(－3，a )为α终边上的一点，cos α＝－35， ∴－3（－3）2＋a2＝－35，∴a 2＝16.又∵α为第二象限角，∴a ＞0，即a ＝4.∴sin α＝45. 答案：(1)D (2)－32 (3)45讲一讲2．(1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (2)判断下列各式的符号：①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4. [尝试解答] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角， ∴tan 120°＜0.∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. ∴tan 120°·sin 269°＞0. ②∵π＜4＜3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos 4＜0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＞0.∴cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＜0. 答案：(1)C判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断． 练一练2．(1)若sin 2α＞0，且cos α＜0，则α终边在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解析：(1)因为sin 2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．所以α是第一或第三象限角．又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0.②∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.答案：(1)三讲一讲3．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－(a －b )2tan 765°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 25π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4. [尝试解答] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b )2tan (2×360°＋45°)－2ab ·cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b )2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－(a －b )2－2ab ＝0.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π6＋cos π3tan π4＝12＋12×1＝1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0，2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．练一练3．求下列各式的值： (1)cos25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.解：(1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos ()360°＋60°＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用，见讲1； (2)三角函数值符号的判断，见讲2； (3)公式一的应用，见讲3.3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲1的第(2)题．课下能力提升(三) [学业水平达标练]题组1 三角函数的定义及应用 1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12解析：选B sin α＝－121＝－12.2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)， ∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sin α＝－312＋（－3）2＝－32. 3．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________． 解析：由题意r ＝|OP |＝m2＋（－6）2＝m2＋36，故cos α＝m m2＋36＝－45，解得m ＝－8.答案：－84．已知点P (－4a ，3a )(a ≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值． 解：由题意得r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |.当a ＞0时，r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a5a＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.题组2 三角函数值的符号5．已知cos θ·tan θ＞0，那么角θ是( ) A ．第一、二象限角 B ．第二、三象限角 C ．第三、四象限角 D ．第一、四象限角解析：选A 由cos θ·tan θ＞0可知cos θ，tan θ同号，从而θ为第一、二象限角，选A. 6．已知角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角，又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第三象限角． 7．若α是第一象限角，则sin 2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________． 解析：由α是第一象限角，得2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α2＜π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2＞0，cos α2的正负不确定；4k π＜2α＜π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin 2α＞0.故一定为正值的个数为2.答案：2题组3 公式一的应用 8．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6的值等于( ) A.12B ．－12C.32 D ．－32解析：选A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24π－5π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋5π6＝sin 5π6＝12.故选A. 9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos (2×360°＋30°)＝tan 45°－ sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：3210．化简下列各式：(1)a cos180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos3π2. 解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a ＋b ；(2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1， 所以原式＝p 2＋q 2－2pq ＝(p －q )2；(3)因为sin π2＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0， cos3π2＝0，原式＝a 2＋b 2. [能力提升综合练]1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＞0；∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0. 2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B ∵点P 在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴α为第二象限角． 3．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C 则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A D ．tan A 2与sin C 解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0； 又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.4．若tan x ＜0，且sin x －cos x ＜0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D ∵tan x ＜0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x ＜0， ∴角x 的终边在第四象限． 5．sin13π6＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：06．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|co s α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：07．求下列各三角函数值： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6；(2)tan 9π4；(3)sin 1 140°. 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32；(2)tan9π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝tan π4＝1； (3)sin 1 140°＝sin (3×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r＝m |OM|＝－451＝－45. 第2课时 三角函数及其应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 15～P 17的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 16的图1.27，有向线段MP ，OM ，AT 的方向是如何规定的？提示：当方向与x 轴或y 轴的方向一致时，则有向线段MP ，OM ，AT 的方向为正；当方向与x 轴或y 轴的方向相反时，则有向线段MP ，OM ，AT 的方向为负．(2)观察教材P 16的图1.27，你认为sin α，cos α，tan α与有向线段MP ，OM ，AT 有什么关系？ 提示：|sin_α|＝|MP |，|cos_α|＝|OM |，|tan_α|＝|AT |． 2．归纳总结，核心必记 (1)有向线段带有方向的线段，叫做有向线段． (2)三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x轴，有向线段MP 即为正弦线续表余弦线 有向线段OM 即为余弦线正切线过A (1，0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即为正切线[问题思考](1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值． (2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x 轴(或y 轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x 轴(或y 轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．[课前反思](1)有向线段的概念： ；(2)三角函数线的概念及作法： ．讲一讲1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [尝试解答] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P ，与x 轴正半轴的交点为A . (3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为M .(4)过点A 作x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T . (5)有向线段MP ，OM ，AT 即分别为角的正弦线，余弦线和正切线． 练一练 1．作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .讲一讲2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[尝试解答] (1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z .(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z .利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．练一练2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α＜－12；(2)cos α＞32. 解：(1)如图①，过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|7π6＋2kπ＜α＜⎭⎬⎫11π6＋2kπ，k∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|－π6＋2kπ＜α＜π6＋ }2kπ，k∈Z .讲一讲3．(1)下列关系式中正确的是( ) A ．sin 10°＜cos 10°＜sin 160° B ．sin 160°＜sin 10°＜cos 10° C ．sin 10°＜sin 160°＜cos 10° D ．sin 160°＜cos 10°＜sin 10° (2)设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小顺序排列为________． [尝试解答] (1)由三角函数线知，sin 160°＝sin 20°＞sin 10°，而cos 10°＞sin 20°，所以选C.(2)由如图的三角函数线知：M 1P 1＝MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP ＞OM ，所以cos2π7＜sin 2π7＜tan 2π7，所以b ＜a ＜c . 答案：(1)C (2)b ＜a ＜c(1)利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 练一练3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见讲1；(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2； (3)利用三角函数线比较大小，见讲3. 3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．课下能力提升(四) [学业水平达标练]题组1 作已知角的三角函数线 1．角π5和角6π5有相同的( ) A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线 D ．不能确定解析：选 C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：1题组2 利用三角函数线解简单不等式4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4. 5．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________．解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 6．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2kπ＋π3≤x＜2kπ＋3π4，k∈Z . 题组3 利用三角函数线比较大小7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴于M 点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.8．若－3π4＜α＜－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( ) A ．sin α＜tan α＜cos α B ．tan α＜sin α＜cos α C ．cos α＜sin α＜tan α D ．sin α＜cos α＜tan α 解析：选D 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α. 9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5 B ．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2 C ．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1 D ．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5解析：选 C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜π2，|MA |＜|NB |＜|QC |，且同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜π2时，sin α＜α＜tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥ x 轴交OP 于T ，则sin α＝MP ，α＝AP ︵l，tan α＝AT ，由S扇形OAP＜S △OAT ，即12OA ·AP ︵l ＜12OA ·AT ，所以AP ︵l＜AT .又MP ＜PA ＜AP ︵l ，因此MP ＜AP ︵l ＜AT .即sin α＜α＜tan α.[能力提升综合练]1．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( ) A ．MP ＜OM ＜0 B ．OM ＞0＞MP C ．OM ＜MP ＜0 D ．MP ＞0＞OM解析：选D 如图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，结合图象，可知：MP ＞0，OM ＜0，故OM ＜0＜MP .2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x ，或y ＝－x 上解析：选D 由题意可知，如图，|AT |＝1，∴AT ＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y ＝±x 上，故选D.3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b解析：选 C 如图作出角α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM ＞0，c ＝tan(－1)＜a ＝sin(－1)＜0，即c ＜a ＜b .4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于原点对称解析：选A 利用单位圆中的余弦线解题易知A 正确． 5．若0＜α＜2π，且sin α＜32，cos α＞12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 的区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 6．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin3π4＝22，sin 3π2＝－1，－1＜sin θ＜22，即sin θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22 7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ＞－12，且cos x ＞12； (2)tan x ≥－1.解：(1)由图①知，当sin x ＞－12，且cos x ＞12时，角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－π6＋2kπ＜x ＜π3＋2kπ，k∈Z .(2)由图②知，当tan x ≥－1时，角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2kπ－π4≤x＜2kπ＋π2，k∈Z ∪⎩⎨⎧x|2kπ＋3π4≤x＜⎭⎬⎫2kπ＋3π2，k∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|kπ－π4≤x＜kπ＋π2，k∈Z .8．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示 ，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α，S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ， ∴12sin α＋12cos α＜π4， 即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.第3课时 同角三角函数的基本关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 18～P 20的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？ 提示：正弦线是MP ，余弦线为OM ．(2)若P 点坐标为(x ，y )，则sin α，cos α各为何值？sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin_α＝y ，cos_α＝x ，sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝1．(3)若α≠π2＋k π，k ∈Z ，能否用sin α和cos α来表示tan α？如果能，试写出它们的关系式． 提示：能．tan_α＝si n αcos α． 2．归纳总结，核心必记 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠kπ＋π2（k∈Z）. [问题思考](1)对任意α，都有sin 2α＋cos 2α＝1成立吗？ 提示：是．(2)对任意α，都有tan α＝sin αcos α成立吗？ 提示：只有当α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan_α＝sin αcos α才成立． (3)对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？ 提示：成立．(4)当2α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan 2α＝sin 2αcos 2α是否成立？提示：成立．[课前反思](1)同角三角函数的平方关系： ；(2)同角三角函数的商数关系：；(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件：.讲一讲1．(1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝3，求下列各式的值．①4sin α－cos α3sin α＋5cos α；②sin2α－2sin α·cos α－cos2α4cos2α－3sin2α；③34sin2a＋12cos2α.[尝试解答] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－452＝⎝⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45＜0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)①原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；②原式＝tan2α－2tan α－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223；③原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)已知tan α＝m ，可以求asin α＋bcos αcsin α＋dcos α或asin2α＋bsin αcos α＋ccos2αdsin2α＋esin αcos α＋fcos2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(4)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．练一练1．(1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．(3)已知tan α＝2，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：(1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②。
高中数学人教必修4：1.2 任意角的三角函数 教案3
教与学过程设计第一课时 任意角的三角函数（一）（一）新课引入 提问：锐角O 的正弦、余弦、正切、余切怎样表示？ 答：根据图形，手势比划。
如果现在要求 225sin 显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没有什么对边、邻边和斜边。
那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？（二）新课1．任意角的三角函数的定义在上述三角形上画上直角坐标系。
此时，∠POM 的对边，邻边分别是什么？斜边呢？ 将P 点改写成坐标形式，P 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是=+=22(y x r r022>+y x ），然后写出三个三角函数的定义。
我们定义：（1）比值r y 叫做α的正弦，记做sin α 即 sin α=r y ； （2）比值r x 叫做α的余弦，记做cos α 即 cos α=rx ； （3）比值x y 叫做α的正切，记做tan α 即 tan α=x y . 说明：这样定义以后，（1）当α是锐角时，此定义与初中定义相同。
（指出对边，邻边，斜边所在）（2）当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，就必然可以在终边上取点P （x ，y ），从而就必然能够算出P 到原点的距离r ，最终就可算出三角函数。
(用第三象限角示范，可能避免寻找对边的误区)所以现在大家可以完全抛开对边、邻边、斜边的概念，用我们现在新的坐标定义来研究三角函数。
（3）注意，三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，（可在锐角的情形下任取两点P 和P /，由三角形的相似形知各类比值不变）。
追问：那三角函数的值与什么有关？答：仅与角的大小有关。
（可考察30度角和45度角的三角函数值）所以，三角函数是角的函数，又因为角与实数成一一对应，故三角函数也是实数的函数。
例1 已知角α的终边经过点P （2，-3）（如图），问角α为第几象限角？并求α的三个三角函数值。
注意：体会三角函数的符号（问为什么会出现负号？）并说明三角函数值不一定是正的。
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1 / 81.2.1任意角的三角函数一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.2 / 8难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角?的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在?的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab???.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP 的长度为b.则sin MPbOPr???; cos OMaOPr???; tan MPbOMa???.思考：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r?的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：yP（a，b）r ?O M a的终边P(x,yOxy3 / 8sin MPbOP???; cos OMaOP???; tan MPbOMa???. 思考：上述锐角?的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】1.探究:结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么: (1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?,即sin y??；（2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,即cos x??；（3）yx叫做?的正切(tangent),记做tan?,即tan(0)yxx???.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy??,那么22sin yxy???,22cos xxy???,tan yx??.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4 / 84.例题讲评例1.求53?的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角?的终边过点0(3,4)P??，求角?的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,xy????则22(3)(4)5r?????.于是4sin5yr????,3cos5xr????,4tan3yx???. 5.巩固练习17P第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制sin?cos?tan?7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组sin0{tan0????成立时，角?为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k?????cos(2)cos k????? (其中kZ?) tan(2)tan k?????9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos250?; (2)sin()4??; (3)tan(672)??; (4)tan3?5 / 8例5.求下列三角函数值:(1)'sin148010?; (2)9cos4?; (3)11tan()6??利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2?(或0?到360?)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.10.巩固练习11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.6 / 8【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角?为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)Pxy，过点P作PMx?轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|MPy???；|||||cos|OMx???随着?在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角?的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角?的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM 与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OMx???同理,当角?的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP 与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有OxyPTM A7 / 8sin MPy???4.像MPOM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角?的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与?的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有tan yATx???我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角?的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当?的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42?????，试比较,tan,sin,cos????的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习8 / 89学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角?的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1)sin15?、tan15?（2）'cos15018?、cos121?（3）5?、tan5? 2．练习三角函数线的作图.。