宿州2015-2016高一上期末数学

2015-2016学年安徽省宿州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=﹣x2C．y=（）x D．y=log2x4．cos215°﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．5．下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．=（1，2），=（0，0）B．=（1，2），=（﹣2，﹣4）C．=（1，2），=（3，6）D．=（1，2），=（2，2）6．已知AD是△ABC中BC边上的中线，若=，=，则=（）A．（﹣）B．﹣（﹣） C．（+）D．﹣（+）7．为了得到函数y=cos（2x﹣），x∈R的图象，只要把函数y=cos2x，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．已知a=cos3，b=2，c=（）2，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b9．函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）A．（10，100）B．（，10）C．（1，）D．（0，1）10．设函数f（x）=sinωx﹣cosωx的图象的一条对称轴是x=，则ω的取值可以是（）A．4 B．3 C．2 D．111．下列函数是奇函数的是（）A．y=xsinx B．y=x2cosx C．y=D．y=12．若α为锐角且cos（）=，则sin（）=（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个扇形的半径为2cm，中心角为60°，则该扇形的弧长为cm．14．sin=．15．函数y=sin（x﹣）的最小正周期为．16．给定两个向量，，它们的夹角为120°，||=1，||=2，若=2+，则||=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知角α终边上有一点P（﹣1，2），求下列各式的值．（1）tanα；（2）．18．已知二次函数y=f（x）最小值为0，且有f（0）=f（2）=1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）在[0，m]上的值域是[0，1]，求m的取值范围．19．化简与计算：（Ⅰ）2﹣log8；（Ⅱ）．20．设向量=（2，1），=（﹣1，3）．（Ⅰ）若（3+2）∥（﹣+λ），求实数λ的值；（Ⅱ）若（2﹣）⊥（k+），求实数k的值．21．已知=（，cos2x），=（sin2x，2），f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求y=f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，﹣＜φ＜，相邻两对称轴间的距离为π，若将y=f（x）的图象向右平移个单位，所得的函数y=g（x）为奇函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程2[g（x）]2﹣m[g（x）]+1=0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．2015-2016学年安徽省宿州市高一（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数值的符号进行判断即可．【解答】解：∵sinα＜0，∴α是第三或第四象限或y轴的非正半轴，∵cosα＞0，∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴，综上α是第四象限的角．故选：D．【点评】本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号关系是解决本题的关键．3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=﹣x2C．y=（）x D．y=log2x【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】可根据指数函数、对数函数、反比例函数、二次函数的单调性逐项进行检验，排除错误选项即可【解答】解：A：根据反比例函数的性质可知该函数为单调递减函数，故A错误B：根据幂函数的性质可知该函数在（0，+∞）为单调递减函数，故B错误，C：根据指数函数的性质可知该函数为单调递减函数，故C错误D：根据对数函数的单调性可知该函数为单调递增函数，故D正确，故选D．【点评】本题主要考查了常见函数的单调性的判断，还要注意排除法在做选择题中的应用，属于基础试题4．cos215°﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos215°﹣sin215°=cos2×15°=cos30°=．故选C【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键．5．下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．=（1，2），=（0，0）B．=（1，2），=（﹣2，﹣4）C．=（1，2），=（3，6）D．=（1，2），=（2，2）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用．【分析】只需判断所给向量是否共线即可．【解答】解：选项A中，为零向量，故A错误；选项B中，=﹣2，即共线，故B错误；选项C中，=3，即共线，故C错误；选项D中，1×2﹣2×2=﹣2≠0，不共线，能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，基底向量的条件．属于基础题．6．已知AD是△ABC中BC边上的中线，若=，=，则=（）A．（﹣）B．﹣（﹣） C．（+）D．﹣（+）【考点】向量的三角形法则．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：==，故选：C．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．为了得到函数y=cos（2x﹣），x∈R的图象，只要把函数y=cos2x，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：为了得到函数y=cos（2x﹣），x∈R的图象，只要把函数y=cos2x，x∈R的图象向右平移个单位即可，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．已知a=cos3，b=2，c=（）2，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】别判断a，b，c的取值范围，然后确定a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a=cos3＜0，b=2＞1，0＜c=（）2＜1，∴a＜c＜b，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，三角函数的性质确定取值范围是解决本题的关键，比较基础．9．函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）A．（10，100）B．（，10）C．（1，）D．（0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（）f（10）＜0，再由二分法进行判断．【解答】解：由于f（）f（10）=（﹣）（1﹣）＜0，根据二分法，得函数在区间（，10]内存在零点．故选：B．【点评】本题考查函数的零点问题，解题时要注意二分法的合理运用．10．设函数f（x）=sinωx﹣cosωx的图象的一条对称轴是x=，则ω的取值可以是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx﹣），由对称性可得ω的方程，解方程结合选项可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得：f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），∵图象的一条对称轴是x=，∴ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=3k+2，k∈Z，结合选项可得只有C符合题意，故选：C【点评】本题考查三角函数图象和对称性，属基础题．11．下列函数是奇函数的是（）A．y=xsinx B．y=x2cosx C．y=D．y=【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A，y=xsinx为偶函数，不满足条件．B．函数y=x2cosx为偶函数，不满足条件．C．y=为偶函数，不满足条件．D．y=为奇函数，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性，比较基础．12．若α为锐角且cos（）=，则sin（）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由已知直接结合诱导公式求得sin（）的值．【解答】解：∵cos（）=，∴sin（）=sin[]=cos（）=．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是对诱导公式的记忆，是基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个扇形的半径为2cm，中心角为60°，则该扇形的弧长为cm．【考点】弧长公式．【专题】转化思想；三角函数的求值．【分析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：弧长l=αr==cm，故答案为：．【点评】本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．sin=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin=sin=sin=，故答案为：．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．15．函数y=sin（x﹣）的最小正周期为2π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数y=sin（x﹣）的最小正周期为=2π，故答案为：2π．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．16．给定两个向量，，它们的夹角为120°，||=1，||=2，若=2+，则||=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量模的计算和向量的数量积公式即可求出答案．【解答】解：∵=2+，||=1，||=2，∴||2=（2+）2=42+2+4=4||2+||2+4||•||cos120°=4+4﹣4=4，∴||=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量模的计算和向量的数量积的运算，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知角α终边上有一点P（﹣1，2），求下列各式的值．（1）tanα；（2）．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵角α终边上有一点P（﹣1，2），∴x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴tanα==﹣2，∴（1）tanα=﹣2；（2）===﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．18．已知二次函数y=f（x）最小值为0，且有f（0）=f（2）=1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）在[0，m]上的值域是[0，1]，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，结合顶点在x轴上，设出函数的表达式，从而求出即可；（Ⅱ）结合函数的图象求出m的范围即可．【解答】解：已知二次函数y=f（x）最小值为0，且有f（0）=f（2）=1．（Ⅰ）由已知得：函数的对称轴是x=1，顶点在x轴上，故设函数的表达式是：f（x）=a（x﹣1）2，将（0，1）代入上式得：a=1，∴f（x）=x2﹣2x+1；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图示：若函数y=f（x）在[0，m]上的值域是[0，1]，由图象得：1≤m≤2．【点评】本题考察了二次函数的性质，求函数的表达式问题，考察数形结合思想，是一道基础题．19．化简与计算：（Ⅰ）2﹣log8；（Ⅱ）．【考点】三角函数的化简求值；对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由条件利用对数的运算性质，求得所给的式子．（Ⅱ）由条件利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：（Ⅰ）2﹣log8=5﹣（﹣3）=8．（Ⅱ）==1．【点评】本题主要考查对数的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．20．设向量=（2，1），=（﹣1，3）．（Ⅰ）若（3+2）∥（﹣+λ），求实数λ的值；（Ⅱ）若（2﹣）⊥（k+），求实数k的值．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出λ的值；（Ⅱ）根据平面向量的坐标运算与互相垂直的数量积为0，列出方程求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2，1），=（﹣1，3），∴3+2=（4，9），﹣+λ=（﹣2﹣λ，3λ﹣1），又（3+2）∥（﹣+λ），∴4（3λ﹣1）﹣9（﹣2﹣λ）=0，解得λ=﹣；（Ⅱ）∵2﹣=（5，﹣1），k+=（2k﹣1，k+3），且（2﹣）⊥（k+），∴5（2k﹣1）﹣（k+3）=0，解得k=．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量的共线和垂直的应用问题，是基础题目．21．已知=（，cos2x），=（sin2x，2），f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求y=f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据向量的坐标的运算法则和二倍角公式以及角的和差公式化简得到f（x）=2sin（2x+），再根据正弦函数的图象和性质即可求出单调减区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）在[，]单调递减，在[﹣，）上单调递增，即可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）=（，cos2x），=（sin2x，2），∴f（x）=•﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y=f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k=0时，∵f（）=2，f（﹣）=2sin（﹣）=﹣1，f（）=2sin（π+）=﹣2，∴y=f（x）在区间[﹣，]上的最大值为2，最小值为﹣2．【点评】本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的化简，以及正弦函数的图象和性质，属于基础题．22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，﹣＜φ＜，相邻两对称轴间的距离为π，若将y=f（x）的图象向右平移个单位，所得的函数y=g（x）为奇函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程2[g（x）]2﹣m[g（x）]+1=0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得f（x）的解析式．（Ⅱ）令t=g（x），则方程2t2﹣mt+1=0有2个[0，1]内的实数根，显然t≠0，故函数y=2t+的图象和直线y=m在t∈（0，1]内有2个交点，数形结合求得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，﹣＜φ＜，相邻两对称轴间的距离为π，故=2π，∴ω=1，f（x）=sin（x+φ），将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=sin（x﹣+φ），再根据所得函数为奇函数，可得﹣+φ=kπ，k∈Z，∴φ=，∴g（x）=sinx，∴f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）若关于x的方程2[g（x）]2﹣m[g（x）]+1=0在区间[0，]上有两个不相等的实根，令t=g（x）=sinx，则方程2t2﹣mt+1=0有两个[0，1]内的实数根，显然t=0时，方程不成立，故t≠0．故有函数y=2t+的图象和直线y=m在t∈（0，1]内有2个交点．由y=2t+，t∈（0，1]，函数y在（0，）上单调递减，在[，1]上单调递增，当t趋于0时，y趋于正无穷大；当t趋于1时，y趋于3，当t=时，y=2，画出y=2t+，t∈（0，1]的图象（如图红色部分），如图所示：故有2＜m≤3．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．2016年2月29日。