人教版2020--2021学年度上学期高一年级数学期末测试题及答案(含两套题)
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷 (1)人教新课标A版
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算cos(−330∘)＝（）A. B. C. D.2. 已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x, x∈R}，则A∩B＝（）A.[−1, 1]B.[0, 1]C.[0, +∞)D.[1, +∞)3. 若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝(0.2)2021，则（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b4. 已知函数f(x)＝tan x−k sin x+2(k∈R)，若，则＝（）A.0B.1C.3D.55. 现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（）A. B.g(x)＝sin xC. D.6. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm （其中√32≈0.866）．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A.π3B.π4C.π2D.2π37. 已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是( )A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最大值为2C.f(π2−x)=f(x) D.f(x)=12在[0,π2]上有解8. 已知函数f(x)＝，则方程f（f(x)）−1＝0的根的个数是（）A.4B.5C.6D.7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．设a，b，c∈R，a<b，则下列不等式一定成立的是（）A.a+c<b+cB.e−a>e−bC.ac2<bc2D.给出下面四个结论，其中正确的是（）A.角是的必要不充分条件B.命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2−2x+1<0”C.方程log3x+x−3＝0在区间(2, 3)上有唯一一个零点D.若奇函数f(x)满足f(2+x)＝−f(x)，且当−1≤x≤0时，f(x)＝−x，则f(2021)＝1已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−mx+2=0的两个实根，则下列结论正确的是( )A.tanα+tanβ=−mB.m>2√2C.m+tanα≥4D.tan(α+β)=−m函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.f(0)＝1B.在区间上单调递增C.D.若f(a)＝f(b)＝1，则|a−b|的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知，则＝________．若函数f(x)＝ax+b，x∈[a−4, a]的图象关于原点对称，则a＝________；若m＝bx+，则x∈[1, 2]时，m的取值范围为________．写出一个最小正周期为2的偶函数f(x)＝________．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N∗)小时才可以驾车，则n的值为________．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）若幂函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P(m, n)(n>0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝-，求tanα的值．已知函数f(x)＝sin2x+cos x−a．（1）当a＝0时，求f(x)在上的值域；（2）当a>0时，已知g(x)＝a log2(x+3)−2，若∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，求a的取值范围．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)这个港口的水深与时间的关系可用函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0)近似描述，试求出这个函数解析式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用(1)中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能连续待多久？若函数f(x)对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f(−x)＝−f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部奇函数”；满足f(−x)＝f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部偶函数”．已知函数f(x)＝2x+k×2−x，其中k为常数．（1）若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，当x∈[−3, 3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f(x)在区间[−1, 1]上是“局部奇函数”，在区间[−3, −1)∪(1, 3]上是“局部偶函数”，．(ⅰ)求函数F(x)的值域；(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．【解答】cos(−330∘)＝cos(−360∘+30∘)＝cos30∘＝．2.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x≥0}，B＝{y|−1≤y≤1}，∴A∩B＝[0, 1]．3.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵a20210.2>a0＝1，b＝log0.22021<log0.21＝0，0<c＝(0.2)2021<0.20＝1，∴a>c>b．4.【答案】D【考点】函数的求值函数奇偶性的性质与判断求函数的值【解析】根据题意，求出f(−x)的表达式，则有f(x)+f(−x)＝4，据此分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝tan x−k sin x+2，则f(−x)＝tan(−x)−k sin(−x)+2＝−tan x+k sin x+2，则f(x)+f(−x)＝4，若，则＝4−(−1)＝5，5.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】现将函数的图象向右平移个单位，可得y＝sin(2x−）的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)＝sin(x−）的图象，6.【答案】A【考点】弧长公式【解析】设∠ABC＝2θ．可得sinθ=10.39226=0.866≈√32，可求θ的值，进而得出结论．【解答】∵AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中√32≈0.866）．设∠ABC＝2θ．∴则sinθ=10.39226=0.866≈√32，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈π3，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ＝π，∴α＝π−2π3=π3．7.【答案】C【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】把函数化为f(x)=√1+|sin2x|的形式，再求函数的周期和最值，从而判断命题的真假性．【解答】解：A，∀x∈R，f(x)=|sin x|+|cos x|=√1+|sin2x|≥1，所以f(x)的最小值是1，故选项A错误；B，∀x∈R，f(x)=|sin x|+|cos x|=√1+|sin2x|≤√2，所以f(x)的最大值是√2，故选项B错误；C，函数f(π2−x)=|sin(π2−x)|+|cos(π2−x)|=|cos x|+|sin x|=f(x)，故选项C正确；D，当x∈[0, π2]时，sin x>0，cos x>0，所以函数f(x)=|sin x|+|cos x|=sin x+cos x =√2sin(x+π4)，可知x+π4∈[π4, 3π4]，所以sin(x+π4)∈[√22, 1]，所以√2sin(x+π4)∈[1, √2]，所以f(x)=12在x∈[0, π2]上无解，故选项D错误．故选C.8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出函数的大致图像，令f(x)＝t，结合图像即可求解结论．【解答】函数f(x)＝的图像如图：令f(x)＝t，则方程f（f(x)）−1＝0即为f(t)＝1对应的t值，则t＝10或t＝−3或t＝−1，t＝10时对应的x有2个，t＝−3时对应的x有1个，t＝−1时对应的x有1个，故方程f（f(x)）−1＝0的根的个数是4个，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【答案】A,B【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．【解答】∵a<b，∴a+c<b+c，e−a>e−b，ac2≤bc2（c＝0时取等号），与的大小关系不确定．【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据求出α的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义可判断选项A；直接根据含量词命题的否定的定义可判断选项B；令f(x)＝log3x+x−3，判定f(2)、f(3)的符号，根据零点的存在性定理可判定选项C；先求出函数的周期，然后根据奇偶性可求出所求．【解答】命题“∀x∈R，x2−2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2−2x+1<0”，故选项B正确（1）令f(x)＝log3x+x−3，f(2)＝log32−1<0，f(3)＝1>0，所以f(x)的零点在(2, 3)上，而f(x)在定义域内单调递增，所以方程log3x+x−3＝0在区间(2, 3)上有唯一一个零点，故选项C正确（2）因为f(2+x)＝−f(x)，所以f(4+x)＝−f(x+2)＝f(x)，即y＝f(x)的周期为4，所以f(2021)＝f(4×505+1)＝f(1)，又因函数f(x)为奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，即f(1)＝−f(−1)＝−1，故选项D不正确．故选：BC．【答案】B,C,D【考点】两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意利用韦达定理，两角和的正切公式和基本不等式，得出结论．【解答】解：因为tanα，tanβ是方程x2−mx+2=0的两不等实根，所以tanα+tanβ=m，故A错误；tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=m1−2=−m，故D正确；因为0<a<β<π2，所以tanα>0，tanβ>0，所以m=tanα+tanβ≥2√tanα⋅tanβ=2√2，当且仅当tanα=tanβ时，等号成立，故B正确；m+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ时，等号成立，故C正确.故选BCD.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】先根据图象求出函数解析式，然后将0代入可判定选项A；利用正弦函数得单调性可判定选项B；将代入解析式化简可判定选项C；令f(x)＝2sin(2x+）＝1，求出所有满足条件的x，从而可判定选项D．【解答】当x∈时，2x+∈[−，]，函数y＝2sin x在[-，]上单调递增，所以f(x)在区间上单调递增，故选项B正确（1）＝−2sin[2（）+]＝2sin(2x+）＝f(x)，故选项C正确（2）令f(x)＝2sin(2x+）＝1，即sin(2x+）＝，所以2x+＝或(k∈Z)，即x＝或(k∈Z)，若f(a)＝f(b)＝1，则|a−b|的最小值为＝，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简所求即可得解．【解答】因为，则＝cos2（）1−2sin2（）＝1−2×（）2＝．【答案】2,[1, 2]【考点】函数与方程的综合运用【解析】利用奇函数的性质得到a−4+a＝0且f(0)＝0，从而求出a和b的值，再利用反比例函数的单调性求解m的范围即可．【解答】因为函数f(x)＝ax+b，x∈[a−4, a]的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，且a−4+a＝0，所以a＝2，且f(0)＝b＝0，此时m＝在x∈[1, 2]上单调递减，故m∈[1, 2]．【答案】cos(πx)（答案不唯一）【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，联想余弦函数的性质，分析可得答案．【解答】根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则f(x)＝cos(πx)，【答案】6【考点】分段函数的应用【解析】根据题中给出的散点图得到该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，由此列出不等关系，利用指数不等式的解法求解即可．【解答】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，所以，解得，解得n>2ln15≈2×2.71＝5.42，因为n∈N∗，所以n的值为6．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断m的值是否满足题意；（2）由f(x)在定义域R上是增函数，把不等式f(2−a)<f(a2−4)化为2−a<a2−4，求出解集即可．【解答】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．【答案】f(x)＝(1+cos2ωx)−[1−cos(2ωx−）]＝cos2ωx+（cos2ωx+ sin2ωx)＝cos2ωx+sin2ωx＝（cos2ωx+sin2ωx)＝sin(2ωx+），∵x0，x0+是函数的两个相邻的零点．∴＝x0+−x0＝，即＝，得ω＝1，即f(x)＝sin(2x+），则＝sin(2×+）＝sin ＝．由2kπ−≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ−≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ−≤x≤kπ+，k∈Z∵0≤x≤π时，∴当k＝0时，-≤x≤，此时0≤x≤，当k＝1时，≤x≤，此时≤x≤π，综上函数的递增区间为[0，]，[，π]．【考点】正弦函数的单调性两角和与差的三角函数【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合零点关系求出函数的周期即可．（2）根据函数的单调性进行求解即可．【解答】f(x)＝(1+cos2ωx)−[1−cos(2ωx−）]＝cos2ωx+（cos2ωx+ sin2ωx)＝cos2ωx+sin2ωx＝（cos2ωx+sin2ωx)＝sin(2ωx+），∵x0，x0+是函数的两个相邻的零点．∴＝x0+−x0＝，即＝，得ω＝1，即f(x)＝sin(2x+），则＝sin(2×+）＝sin＝．由2kπ−≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ−≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ−≤x≤kπ+，k∈Z∵0≤x≤π时，∴当k＝0时，-≤x≤，此时0≤x≤，当k＝1时，≤x≤，此时≤x≤π，综上函数的递增区间为[0，]，[，π]．【答案】∵β＝α+，若m＝，则cosα＝m＝，sinα＝，设Q(x, y)，则x＝cosβ＝−sinα＝，y＝sinβ＝cosα＝，即Q（，）．∵sinβ+cosβ＝-，∴sin(α+）+cos(α+）＝-，即cosα−sinα＝-，①，平方得1−2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝>0，∵sinα＝n>0，∴cosα>0，则sinα+cosα＝＝＝＝②，由①②得cosα＝，sinα＝，则tanα＝．【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】（1）根据三角函数的定义以及诱导公式进行求解即可．（2）根据同角关系式以及sinα+cosα，sinα−cosα以及sinαcosα之间的关系进行转化求解即可．【解答】∵β＝α+，若m＝，则cosα＝m＝，sinα＝，设Q(x, y)，则x＝cosβ＝−sinα＝，y＝sinβ＝cosα＝，即Q（，）．∵sinβ+cosβ＝-，∴sin(α+）+cos(α+）＝-，即cosα−sinα＝-，①，平方得1−2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝>0，∵sinα＝n>0，∴cosα>0，则sinα+cosα＝＝＝＝②，由①②得cosα＝，sinα＝，则tanα＝．【答案】函数f(x)＝sin2x+cos x−a＝1−cos2x+cos x−a＝−cos2x+cos x+1−a，当a＝0时，f(x)＝−cos2x+cos x+1，当x∈时，−1≤cos x≤0，令t＝cos x，则t∈[−1, 0]，所以y＝−t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，所以y在[−1, 0]上单调递增，则−1≤y≤1，所以函数f(x)在上的值域为[−1, 1]；当时，−1≤cos x1≤0，所以−1−a≤f(x)≤1−a，故f(x1)的值域为[−1−a, 1−a]，当x2∈[1, 5]时，a>0，g(x2)＝a log2(x2+3)−2在[1, 5]上单调递增，所以g(1)≤g(x2)≤g(5)，即2a−2≤g(x2)≤3a−2，故g(x2)的值域为[2a−2, 3a−2]，因为∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，所以[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，则，解得，所以a的取值范围为．【考点】函数与方程的综合运用三角函数的最值【解析】（1）求出a＝0时的f(x)，然后利用换元法t＝cos x，得到y＝−t2+t+1，由二次函数的性质求解值域即可；（2）求出当时，f(x1)的值域，x2∈[1, 5]时，g(x2)的值域，将问题转化为[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，利用集合子集的定义列出不等式组，求解即可．【解答】函数f(x)＝sin2x+cos x−a＝1−cos2x+cos x−a＝−cos2x+cos x+1−a，当a＝0时，f(x)＝−cos2x+cos x+1，当x∈时，−1≤cos x≤0，令t＝cos x，则t∈[−1, 0]，所以y＝−t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，所以y在[−1, 0]上单调递增，则−1≤y≤1，所以函数f(x)在上的值域为[−1, 1]；当时，−1≤cos x1≤0，所以−1−a≤f(x)≤1−a，故f(x1)的值域为[−1−a, 1−a]，当x2∈[1, 5]时，a>0，g(x2)＝a log2(x2+3)−2在[1, 5]上单调递增，所以g(1)≤g(x2)≤g(5)，即2a−2≤g(x2)≤3a−2，故g(x2)的值域为[2a−2, 3a−2]，因为∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，所以[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，则，解得，所以a的取值范围为．【答案】解：(1)由表中的数据可得：A=2.5，b=5，观察可知3:00和15:00时刻水深相同，故T=12.因为ω>0,所以ω=2πT =π6.因为x=3时y取到最大值，所以3×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z,解得φ=2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y=2.5sinπ6x+5.(2)因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sinπ6x+5≥6.25,即sinπ6x≥12,所以π6+2mπ≤π6x≤5π6+2mπ ,m∈N,解得1+12m≤x≤5+12m ,m∈N,取m=0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17.故该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能连续待4个小时．【考点】在实际问题中建立三角函数模型由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数模型的应用【解析】根据表中的数据求出A，b，再求出周期T，由此求出ω的值，再利用最大值即可求出φ，进而可以求解；令5sinπ6x+5≥6.25,，解出x的范围，进而可以求解．【解答】解：(1)由表中的数据可得：A=2.5，b=5，观察可知3:00和15:00时刻水深相同，故T=12.因为ω>0,所以ω=2πT=π6.因为x=3时y取到最大值，所以3×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z,解得φ=2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y=2.5sinπ6x+5.(2)因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sinπ6x+5≥6.25,即sinπ6x≥12,所以π6+2mπ≤π6x≤5π6+2mπ ,m∈N,解得1+12m≤x≤5+12m ,m∈N,取m=0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17.故该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能连续待4个小时．【答案】若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，则f(−x)＝−f(x)，即2−x+k⋅2x＝−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)＝0，解得k＝−1，即f(x)＝2x−2−x，当x∈[−3, 3]时，不等式，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，可得2x>2，即x>1，则原不等式的解集为(1, 3]；(ⅰ)F(x)＝，令t＝2x，则y＝t−在[，2]递增，当x∈[−1, 1]时，F(x)∈[−，]；因为y＝t+在(2, 4]递增，所以x∈(1, 3]时，F(x)∈（，]；又因为f(x)在[−3, −1)∪(1, 3]为“局部偶函数”，可得x∈[−3, −1)∪(1, 3]时，F(x)∈（，]；综上可得，F(x)的值域为[-，]∪（，]；(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，可得2F(x)min+5>mF(x)max，即有2×(−）+5>m，解得m<，即m的取值范围是(−∞，）．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；(2)(ⅰ)由分段函数的形式写出F(x)的解析式，再由换元法和函数的单调性、基本不等式，可得所求值域；(ⅱ)由题意可得可得2F(x)min+5>mF(x)max，结合F(x)的值域，可得所求范围．【解答】若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，则f(−x)＝−f(x)，即2−x+k⋅2x＝−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)＝0，解得k＝−1，即f(x)＝2x−2−x，当x∈[−3, 3]时，不等式，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，可得2x>2，即x>1，则原不等式的解集为(1, 3]；(ⅰ)F(x)＝，令t＝2x，则y＝t−在[，2]递增，当x∈[−1, 1]时，F(x)∈[−，]；因为y＝t+在(2, 4]递增，所以x∈(1, 3]时，F(x)∈（，]；又因为f(x)在[−3, −1)∪(1, 3]为“局部偶函数”，可得x∈[−3, −1)∪(1, 3]时，F(x)∈（，]；综上可得，F(x)的值域为[-，]∪（，]；(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，可得2F(x)min+5>mF(x)max，即有2×(−）+5>m，解得m<，即m的取值范围是(−∞，）．。
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为() A ． B ． C ． D ．2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－155．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(),3-∞ D ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e8．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]9．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12x f x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－1212．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞ 二、填空题13．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．14．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．三、解答题21．已知函数()10()m f x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =（1）求函数()f x 的解析式（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；23．已知函数sin ωφf xA xB (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 32，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 24．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)26．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ．故答案为C 。
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(1)
2020-2021高一数学上期末试卷带答案(1)一、选择题1．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)2．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<3．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2784．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]5．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}6．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B．2C ．14，2 D ．14，4 7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．10939．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1110．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝x12．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 19．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.23．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点．（1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围．24．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由；(2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a mf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >. （1）求()1f ；（2）求证：()f x 在定义域内单调递增; （3）求解不等式12f<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题4．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.5．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．6．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 8．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.9．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.10．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.11．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．12．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．二、填空题13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2 【解析】 【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032ff a a =-=， 解得2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】 【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥=⎪⎝⎭， 所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】 Q ()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么19．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】 【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x xf x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.20．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围． 【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++，()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）g (x )＝22x －2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3. 【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+-换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化． 【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==；（3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．23．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11． 【解析】 【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求． 【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=， 解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠， 则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠， 所以△24(1)0b a b =-->恒成立， 即2440b ab a -+>恒成立， ∴216160a a ∆=-<，则01a <<， ∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解，令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤， 解可得，1011m <≤． 故m 的范围为(]10,11． 【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题． 24．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】 【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()221log log 117x mf x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x mx x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =.所以07m <<. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 25．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122xx λ<-，结合函数122xy x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x xm -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，350m ∴-+>，且35m -+为偶数. 又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122xx λ<-. 易知函数122xy x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭.∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.26．（1）0；（2）证明见解析；（3）()()1,02019,2020x ∈-U 【解析】 【分析】（1）取1x y ==，代入即可求得()1f ； （2）任取210x x >>，可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭，根据单调性定义得到结论； （3）利用12f=将所求不等式变为f f<，结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）取1x y ==，则()()()111f f f =+，解得：()10f = （2）任取210x x >> 则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-=⎪⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210x x >>Q 211x x ∴> 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，即()()210f x f x -> ()f x ∴在定义域内单调递增（3）()20201f ff=+=Q12f∴=12ff ∴<=由（2）知()f x 为增函数220190x x ⎧->⎪∴< 解得：()()1,02019,2020x ∈-U 【点睛】本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.。
2020-2021高一数学上期末试卷含答案(6)
2020-2021 高一数学上期末试卷含答案 (6)6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 0.5% .已知在过滤过程中的污染物的残留数量 P (单位：毫克 /升)与过滤时间 tktP P 0 e kt ( k 为常数， P 0 为原污染物总量) .若前 480%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小子总数 N 约为 1080. 则下列各数中与 M最接近的是A ．abc B ． a c bC． c a bD ．bca3 a x 4a,x 14若 f x2 是, 的增函数 , a 的取值范围是 ( )x 2,x 12 22,A,3 B ． ,3C ． ,3D5555． 函数 f (x) 的反函数图像向右平移 1 个单位，得到函数图像 C ，函数g(x) 的图像与函数图像 C 关于 y x 成轴对称，那么 g(x) ( )A ．f(x 1) B ． f(x1)C ． f (x)1D ．f(x) 1 已知a) c163，则5blog 31 141． 、选择题2， 1, 0，1, 2} ，B x|(x 1)(x 2) 0 ,则AI B ( ) A ． 1,0B ． 0,1C ． 1,0,1D ． 0,1,22． 已知函数 f (x) log a ( x 11)(ax10且 a 1)的定义域和值域都是 [0， 1]， 则 a=( ) A ．B ．C ．D ．3． 时，则正整数 n 的最小值为(参考数据：取 log 5 2 0.43)A ．8B ． 9 7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 C ． 10 D ． 14M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原 单位：小时)之间的函数关系为 个小时废气中的污染物被过滤掉了N53B ．1093D ．108．函数 f(x)＝ax 2＋ bx ＋c(a ≠0的) 图象关于直线 x ＝－ 对称．据此可推测，对任意的非零实数 a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于 x 的方程 m[f(x)]2＋nf(x)＋p ＝0 的解集都不可能是 ( ) A ． {1,2} B ．{1,4} C ． {1,2,3,4}D ． {1,4,16,64}9． 定义在 7,7 上的奇函数 f x ，当 0 x 7 时， f x 2x(参考数据： lg3 ≈0.48 )33A ．10x 6 ，则不等式f x 0 的解集为A ． 2,7B ． 2,0 U 2,7C ． 2,0 U 2,D ． 7, 2 U2,7 10．函数 f x是周期为 4 的偶函数 ,当 x 0,2 时， f x x 1, 则不等式 xf x在 1,3上的解集是 ( )A ． 1,3B ． 1,1C ．1,0 U 1,3 D ． 1,0 U 0,111． 已知定义在 R 上的函数 f x 在 , 2 上是减函数， 若g2 是奇函数，且 g 20 ，则不等式 xf x 0的解集是 A ． ,2 2, B ． 4, 2 0, C ． ,42,D ． ,40,12． 若不等式 ax 1 0 对于一切 0,12 恒成立，则 a 的取值范围为A ． a0B ．a2 C ．D ．a、填空题13． 已知幂函数 (m 2)x m在(0,)上是减函数，则 14． 已知函数 fx1满足 2fx1 x 11 x ，其中 x xR 且 x 0，则函数 fx的解析式为 15． 若关于 x的方程 4x2xa有两个根，则 a 的取值范围是 16． 2 已知 f x x2,10x4的解，如果关于 n x i x 1 x 2 L i1，则 x 2 17． 已知函数 f任意的均有 x1 ， x2xx 18．函数f(x)min b x 2,x 0，其中 a 是方程 x x0 x的方程 f x x的所有解分别为 n x i1xk x1lg x x 1，4 的解，x 2，⋯ b 是方程 x n ，记log1x 3x1 aln xx x 21R ，若对R,x 2 ，均有 fx 1g x 2 ，则实数 k 的取值范围是2 x, x 2 ，其中 mina,ba,a b{b a ,,a ab b，若动直线 y m 与函数y f (x) 的图像有三个不同的交点，则实数 m的取值范围是19．若函数f x a2x4a x2（a 0，a 1）在区间1,1的最大值为 10，则 a .x 5, x 220．已知函数f x a x2a 2,x 2，其中a 0且a 1，若f x 的值域为3, ，则实数a 的取值范围是 ___ ．三、解答题21．节约资源和保护环境是中国的基本国策使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.某化工企业 ,积极响应国家要求 ,探索改良工艺.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m 3,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为 1.94mg/m 3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0 ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1 ,则第 n次改良后所排放的废气中的污染物数量r n ,可由函数模型r n rrr150.5n p（p R，n N*）给出,其中 n是指改良工艺的次数 . （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求 ,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m 3,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 . （参考数据 :取lg 2 0.3 ）x22．已知函数f（x） 2x k 2 x，g（x） log a f （x） 2x（a 0且a 1），且f （0） 4.（1）求 k 的值；（2）求关于 x 的不等式g（x） 0 的解集；（3）若f （ x）t x8 对x R 恒成立，求 t 的取值范围 .2xk 2x23．已知函数f x k 2x（x R ）12x（1）若函数 f （x）为奇函数，求实数k 的值；2（2）在（ 1）的条件下，若不等式f ax f x24 0 对x 1,2 恒成立，求实数a 的取值范围 .124．已知f （x） ax b是定义在{x R |x 0}上的奇函数 ,且f （1） 5.x（1）求 f（x）的解析式；1（2）判断 f（x）在, 上的单调性 ,并用定义加以证明 .22 2 225．已知全集U=R,集合A x x2 4x 0 , B x x2（2m 2）x m2 2m 0 . (Ⅰ)若m 3，求C U B和AUB；(Ⅱ)若 B A ，求实数 m 的取值范围 .2 26． 已知函数 f x ax 2 bx c a 0 ，满足 f 0 2， f x 1 f x(1)求函数 f x 的解析式； (2)求函数 f x 的单调区间；(3)当 x1,2 时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除2x 1.、选择题1．A 解析： A 【解析】 【分析】 【详解】 由已知得 Bx| 2 x 1 ，因为 A { 2， 1, 0，1, 2}，所以 A B 1,0 ，故选 A2．A解析：【解析】 【分析】 1由函数 f x log a ( )=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [0，1] ，可得 x1f(x) 为增函数，但 在[0 ，1] 上为减函数，得 0<a<1，把 x=1 代入即可求出 a的值． 【详解】 1由函数 f x log a ( )=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [0，1] ，可得x1函数， 但 在 [0 ， 1] 上为减函数，∴ 0<a<1， 1 当 x=1 时， f(1) log a ( )=-log a 2=1,111解得 a= ，2f(x) 为增故选 A ． 本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出 f (0)=0 ，这样避免了讨论．不然的话，需要 讨论函数的单调性 .3．C 解析： C 【解析】 【分析】首先将 b 表示为对数的形式，判断出 b 0 ，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性3比较 与 a, c 的大小，即可得到 a,b,c 的大小关系2【详解】大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较4．A解析： A 【解析】 【分析】利用函数 y f x 是 , 上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在2分界点 x 1处的函数值大小，即 3 a 1 4a 12，然后列不等式可解出实数 a 的取值 范围． 【详解】3 a x 4a,x 1 由于函数 f x 2 是 ,的增函数， x 2,x 1 则函数 y 3 a x 4a 在 ,1 上是增函数，所以， 3 a 0，即 a 3；22 且有 3 a 1 4a 1 ，即 3 5a 1 ，得 a ，5因为 5b114，所以b log1 5log 51又因为 log 31 14 3 log 34 log 3 3,log 33 3 ，所以1,2， 又因为 1631,83，所以32,2 ，所以 c b .故选： C.【点睛】 本题考查利用指、 对数函数的单调性比较大小， 难度一般 .利用指、对数函数的单调性比较41 80% P 0 P 0e 4k ，所以 0.2 e 4k，即 4k ln0.2ln5 ，所以 kln5则由 0.5%P 0 P 0e kt，得 ln 0.005 ln5t ，2因此，实数 a 的取值范围是 ,3 ，故选 A.5【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： (1)确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； (2)结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．5．D解析： D 解析】 分析】首先设出 y g(x) 图象上任意一点的坐标为 (x, y) ，求得其关于直线 y x 的对称点为 ( y, x) ，根据图象变换，得到函数 f(x) 的图象上的点为 (x,y 1) ，之后应用点在函数图象 上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果 .【详解】 设 y g(x)图象上任意一点的坐标为 (x,y) ， 则其关于直线 y x 的对称点为 (y,x)，再将点 (y,x) 向左平移一个单位，得到 (y 1,x) ， 其关于直线 y x 的对称点为 (x, y 1)，该点在函数 f (x) 的图象上，所以有 y 1 f (x)， 所以有 y f (x) 1，即 g(x)f(x) 1， 故选： D.【点睛】 该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求 法，两个会反函数的函数图象关于直线 y x 对称，属于简单题目 .6．C 解析： C 【解析】 【分析】1ln51根据已知条件得出 e4k 1，可得出 kln 5，然后解不等式ekt 1，解出t 的取值范 54200围，即可得出正整数 n 的最小值 .【详解】由题意，前 4个小时消除了 80%的污染物，因为 P P 0 e kt，所以对于形如 f g x0 的方程（常称为复合方程），通过的解法是令 t g x ，从而得所以 t 4ln 2004log 5200 4log 5 52 238 12log 52 13.16 ， ln5 故正整数 n 的最小值为 14 4 10.故选： C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题7．D 解析： D 【解析】8．D解析： D 【解析】 【分析】4 个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故 可得正确的选项 【详解】 设关于f 2x 的方程 mf 2x nf x p 0 有两根，即 f x t 1 或 f x t 2 . 而 f x ax 2 bx c 的图象关于 x b对称，因而 f x t 1 或 f x t 2 的两根也2a关于 x b 4 16 1 64对而选项 D 中 . 故选 D.2a 2 2点睛】试题分析：设 MN3613 361lg x lg 80 lg31080 1093，故选 【名师点睛】3361 13080，两边取对数，lg1080361 lg3 80 93.28 ，所以 x 1093.28，即 M最接近的运算关系， D. 本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数3361以及指数与对数运算的关系，难点是令行求解，对数运算公式包含 log a M log a N log a MN ，log a M log a N log a MN ，log a M nnlog a M .方程 mf2nf x p0 不同的解的个数可为 0,1,2,3,4. 若有 4 个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道f t 0到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征g x t取决于两个函数的图像特征 .9．B解析： B【解析】【分析】当0 x 7时， f (x)为单调增函数，且f (2) 0，则f(x) 0的解集为2,7 ，再结合 f (x) 为奇函数，所以不等式f (x) 0 的解集为( 2,0) (2,7] ．【详解】当0 x 7时，f(x) 2x x 6，所以 f (x)在(0,7] 上单调递增，因为2f(2) 222 6 0，所以当0 x 7时，f(x) 0等价于f(x) f (2)，即2x 7 ，因为 f (x)是定义在[ 7,7] 上的奇函数，所以7 x 0 时， f(x)在[ 7,0) 上单调递增，且f ( 2) f (2) 0，所以f (x) 0 等价于f(x) f( 2)，即2 x 0 ，所以不等式f (x) 0 的解集为( 2,0) (2,7]【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．10．C解析： C【解析】若x [ 2，0] ，则x [0，2]，此时(f x) x 1，Q (fx)是偶函数，（f x） x 1 (f x)，即(f x) x 1，x [ 2，0]，若x [2，4] ，则x4 [ 2，0]，∵函数的周期是 4，(f x) (f x 4) ( x 4) 1 3 x，x 1，2x0即(f x 1，0 x 2 ，作出函数(f x)在[ 1，3] 上图象如图，3x， 2 x 4若0<x 3，则不等式x(f x)>0 等价为(f x)>0 ，此时1<x<3，若1≤x≤ 0 ，则不等式x(f x)>0 等价为(f x)<0 ，此时1<x<0 ，综上不等式x(f x)>0 在[ 1，3] 上的解集为(1，3)( 1，0).【点睛】 本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档 题.12．C解析： C 【解析】 【分析】 【详解】即 a? -x- 1对于一切 x∈ (0, 1) 成立， x2故选 C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用 数形结合是解决本题的关键．11．C解析： C 【解析】是奇函数，可得 f x 的图像关于 2,0 中心对称，再由已知可得函 数 f x 的三个零点为 -4， -2， 0，画出 f x 的大致形状，数形结合得出答案 详解】由 g x f x 2 是把函数 f x 向右平移 2 个单位得到的，且2g 0 0 ，画出 f x 的大致形状2时， xf x 0 ，故选 C.x2 ax0 对于一切 x 0,1成立，2则等价为 a ?x 1对于一切 x∈(0, 1) 成立，x2设 y=-x- 1,则函数在区间 (0, 1〕上是增函数 x2x22故选 C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题： (1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若 f (x) 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 f (x)min 0，若 f (x) 0恒成立，转化为 f (x)max 0;(3)若 f (x) g(x) 恒成立，可转化为 f ( x min ) g(x)max . 二、填空题13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出 m 再根据函数是减函数知故可求出 m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函 数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析： -3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出 m,再根据函数是减函数知 m 0 ，故可求出 m. 【详解】因为函数是幂函数所以 |m| 2 1，解得 m 3或 m 3. 当 m 3时， y x 3在 (0, )上是增函数； 当 m 3 时， y x 在 (0, ) 上是减函数， 所以 m 3 . 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题 . 14．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详 解】由题意用代换解析式中的可得 ⋯⋯(1)与已知方程 ⋯⋯(2)联立( 1)( 2 )的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函11解析： f x ( x 1)3 x 111- x- < - -2=解析】分析】联立（ 1） （ 2） 的方程组，可得 f x11 x ，x3x 11， 所以 f t1 1，令t,t 1， 则 x =x t-13 t1所以 f x1 1 (x1).3 x 1故答案为： f x 11 (x 1).3x 1【点睛】本题主要考查了函数解析式的解答中用x 代换 x ，联立方程1x 是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属3于中档试题 .15．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为 方程有两个根即有两个正根解得 :故答案为 :【点睛】本题考查复合函数所对应的 方程根的问题关键换元法的使用难度一般1解析： （ ,0）4【解析】 【分析】令 t 2x0,4x2xa ,可化为 t 2t a 0,进而求 t 2t a 0 有两个正根即可 . 【详解】令 t 2x0 ,则方程化为 :t 2t a 0Q 方程 4x 2x a 有两个根 ,即 t 2t a 0有两个正根 ,1 4a 01x 1 x 2 1 0 , 解得 :a 0.x1 1fx ，再结合换元法，即可求解 . x3【详解】由题意，用x1 x 代换解析式中的 x ，可得 2 f f x 11 x ，⋯⋯.（1）x x与已知方程x 1 x 12f f 1 x ，⋯⋯(2) xx用 x 代换 x ，可得 2 f 1 x ，联立方程组，求得xxx1x1 x1 x4x 1 x 2a 0故答案为 : ( 1,0) .4【点睛】 本题考查复合函数所对应的方程根的问题 ,关键换元法的使用 ,难度一般 . 16．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代 入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解 是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析： 1【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质 ,可求得 a ,b 的等量关系 ,代入解析式可得分段函数 f x分别解方程 f x x ,求得方程的解 ,即可得解 .【详解】a 是方程 x lg x 4的解,b 是方程 x 10x 4的解,则 a , b 分别为函数 y x 4 与函数 ylg x 和 y 10x 图像交点的横坐标因为 y lg x 和 y 10x互为反函数 ,所以函数 y lg x 和 y 10x 图像关于 y x 对称所以函数 yx 4 与函数 y lg x 和 y10x图像的两个交点也关于 y x 对称 4 与 y x 的交点满足 y x4 x2所以函yx ,解y2y x根据点坐标公式可得ab 4所以函数 f x 2 x 4x 2, x 02,x0当x 0时 , f x2x4x 2 ,关于 x 的方程 f x x ,即 x 2 4 x 2 x 解得x 2, x 1当x 0时, f x 2 ,关于x 的方程 f x x ,即 2 x 所以 n x i 2 1 2 1i1故答案为 : 1【点睛】本题考查了函数与方程的关系 ,互为反函数的两个函数的图像与性质 ,分段函数求自变量 ,属 于中档题 .17．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【 详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题解析：解析】分析】若对任意的均有 x 1 ， x 2 x x R, x 2 ，均有 f x 1 g x 2 ，只需满足f ( x )max g (x )min ，分别求出 f (x)max , g (x )min ，即可得出结论 .【详解】 21 2 1 当 2 x 1f xx 2 x k (x)2 k ， 24k 6 f ( x) 1k ，4当x 1, f x1 2 log 1 x 31 2，xgx a ln 2 2x 1设y x ， 当x 0,y 0，x 21x111x 0,y20 y，当x 211 2 2，xx当x 1时，等号成立同理当2x 0时， 1 y 0，2x1 1y2[, ］x 212 2若对任意的均有 x 1，x2x x R, x 2 ，均有fx 1 g x 2 ，只需f ( x)maxg ( x)min ，当x 2ln(x 2) R若 a 0,x 2, g (x) 若 a 0, x , g( x)x所以 a 0 ， g(x) ,g(x)1，x 2 12f (x)maxg (x)min 成立须， 1k 1,k 3424实数 k 的取值范围是 , 34.故答案为 ; , 3.4【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问8x+4≤ 0，解可得 4 2 3 x 4 2 3当 4 2 3 x 4 2 3时， 2 x x 2 ，此时 f （x ）＝ |x ﹣2| 当 x>4 2 3或0x<4 3 3时， 2 x < x 2，此时 f （x ）＝2 x题解决问题能力，属于中档题 .18．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个f （x ）＝ |x ﹣ 2|当或时此时 fx ）＝2∵f （4﹣2） 解析】分析】a,a 试题分析：由 min a,b {ab,,a abbb 可知 f （x ）2 是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2 x x 2 可得 x 2∵f（4﹣2 3）＝ 2 3 2其图象如图所示， 0<m<2 3 2时，y ＝m 与 y ＝f （x ）的图象有 3个交点考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题 的能力和数形结合思想的应用 .点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的 图象，从而数形结合可以轻松解题 .19．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而 求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为 :或2【点知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解1解析： 2 或12【解析】【分析】x2将函数化为f(x) a x 2 6,分0 a 1和a 1两种情况讨论 f(x) 在区间1,1上的最大值 ,进而求a .【详解】22 x x xx a2 x4a x2a 2 6,Q 1 x 1,0 a 1时,a a xa1,121f ( x) 最大值为f ( 1) a 1 2 6 10 ,解得a2a 1时,a1a x a,2f x 最大值为f (1) a 2 6 10 ,解得a 2,1故答案为 : 或 2.2【点睛】本题考查已知函数最值求参 ,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解. 20．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点1解析：,1 1,2【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a 1，0 a 1两种情况，即可得到所求 a 的范围．【详解】x 5, x 2f函数函数f x a x2a 2,x 2 ，当0 a 1时，x 2 时，f x 5 x 3，xx 2时，f x a 2a 2 递减，可得2a 2 f x a22a 2 ，f x 的值域为3, ，可得2a 2 3 ，整理得, 50.5n 0.51.92 0.06即50.5n 0.532,两边同时取常用对数 ,得 0.5n 0.5lg32 lg 整理得 n 25lg 21解得 a 1 ；2当 a 1时， x 2 时， f x 5 x 3 ，x x 2时， f x a x2a 2 递增，2 可得 f x a 22a 2 5 ，则 f x 的值域为 3, 成立， a 1恒成立．1综上可得 a ,1 1, ．2 1故答案为： ,1 1, ．2【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的 思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．三、解答题21． （1） r n 2 0.06 50.5n 0.5n N *（2）6次【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可 . 【详解】解: （ 1）由题意得 r 0 2, r 1 1.94, 所以当 n 1时,r 1 r 0 r 0 r 1 50.5 p,即1.94 2 （2 1.94） 50.5 p,解得 p 0.5,0.5n 0.5所以 r n 2 0.06 50.5n 0.5（n N*） ,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 2）由题意可得 ,r n 2 0.06 50.5n 0.50.08 ,2 0.06 50.5n 0.5n N5lg 2 30将lg 2 0.3代入 ,得 21 lg2 17 1 5.3,又因为 n N*,所以 n 6.综上 ,至少进行 6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 【点睛】 本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题 .22． (1) k 3；(2) 当a 1时， x ,log 2 3 ；当 0 a 1时， x log 2 3, (3) , 13 【解析】 【分析】(1) 由函数过点 0,4 ，待定系数求参数值； (2)求出 g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可 . (3)换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可 .【详解】(1)因为 f (x) 2xk 2 x且 f (0) 4，故： 1 k 4 ， 解得 k 3.x(2)因为 g(x) log a f(x) 2x，由( 1)，将 f x 代入得：xxg x log a (3n 2 x ?)，则 log a (3n 2 x ?) 0 ，等价于：当a 1时， 3n 2 x1 ，解得 x ,log23 当0 a 1时， 3n 2 x 1 ，解得 x log 2 3, (3)f (x) t 2x 8在 R 上恒成立，等价于：2x28n 2xt 3 0 恒成立；令2xm ，则m 0, ，则上式等价于： m 28m t 3 0 ，在区间 0, 恒成立 .即：t m28m3 ，在区间 0, 恒成立， 又m 2 8m 3 2m 4 13 ，故：(m 28m 3) 的最小值为： -13 ，故：只需 t 13即可 . 综上所述， t , 13 .【点睛】 本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.23． （ 1） k 1（2） 3 a 0 【解析】 【分析】（1）根据 f 0 0计算得到 k 1 ，再验证得到答案 .2（2）化简得到 f x 24 f ax 对 x 1,2 恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到 x 2ax 4 0对 x 1,2 恒成立，计算得到答案【详解】所以（ * ）可化为 x 24 ax 对 x 1,2 恒成立，即x 2ax 4 0 对 x 1,2 恒成立 .令 g x x 2ax 4 ，因为 g x 的图象是开口向上的抛物线， g 1 0, 1 a 4 0, 所以由 g x 0 有对 x 1,2 恒成立可得： 即g 2 0, 4 2a 4 0, 解得： 3 a0 ，所以实数 a 的取值范围是 3 a 0.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力1）因为 f x 为奇函数且定义域为 R ，则 f 00，即 k0 20，所以 k 1.201当k 1 时因为 fx 为奇函数， 2） 即f 因为x1 2xxx不等式 f ax 2x1 2x1f x2x 24 f ax 对f x 为奇函数，所以 在 R 上任取 x 1， x 2 ，且 x 1 则 f (x 1) f (x 2) 1 212x 1因为 x 2 x 1 ，所以 12x 1所以f x 1f x 2 x ，满足条件 f x 为奇函数 .0 对 x 1,2 恒成立 1,2 恒成立，x2 4ax 对 x 1,2 恒成立（ * ）x 2， 1 2x 21 2x 20，1 x 20，即 f x 1 2 2x2 2 x11 2x1 1 2x22 2， 2x 2 2x 2 x 1 0，f x 2 ，所以函数 f x 在区间 （ 1, ） 上单调递减；1124．(1) f (x) 4x (x 0) ( 2) f(x) 在 , 上单调递增 .见解析 x2【解析】 【分析】(1)利用奇函数的性质以及 f 1 5，列式求得 a,b 的值，进而求得函数解析式 1(2)利用单调性的定义，通过计算 f x 1f x 2 0，证得 f(x) 在 ,2 【详解】(1)∵ f(x) 为奇函数, ∴ f(- x)+ f(x)= 0,∴ b 0. 由 f (1) 5, 得 a 4,f (x) 4x 1(x 0) .x1(2) f(x ) 在,2 上单调递增 .证明如下 :1111 x 1 x 2,则 f x 1 f x2 4 x 1 x22x1 x24x 1x 2 1x1x2x1x 2∵14x 1x 2 1x1x 2,∴ x 1 x 2 0, 4x 1x 2 10,∴ x 1 x 21 20, 2x 1x 2∴fx1f x210, ∴ f (x) 在 , 上单调递增 .【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调 性，属于基础题 .25．(Ⅰ) A B {x 0 x 5}, C U B {x x 3或x 5}(Ⅱ) 0 m 2 解析】 分析】(Ⅰ)由 m 3时，求得集合 A {x0 x 4},B {x3 x 5}，再根据集合的并集、 补集的运算，即可求解；(Ⅱ)由题意，求得 A {x 0 x 4},B {x m x m 2}，根据 B A ，列出不等式 组，即可求解。
2020-2021高一数学上期末试卷及答案(4)
2020-2021高一数学上期末试卷及答案(4) 一、选择题1．已知函数()()2,2 11,2 2xax xf xx⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x1≠x2都有()()1212f x f xx x--＜0成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，2)B．13,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．(－∞，2]D．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，212[0,)()x x x∈+∞≠，有2121()()f x f xx x-<-，则（）．A．(3)(2)(1)f f f<-<B．(1)(2)(3)f f f<-<C．(2)(1)(3)f f f-<<D．(3)(1)(2)f f f<<-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f（x）由右表给出，则1102f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A．0B．1C．2D．34．已知函数2()2logxf x x=+，2()2logxg x x-=+，2()2log1xh x x=⋅-的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）．A．b a c<<B．c b a<<C．c a b<<D．a b c<<5．下列函数中，值域是()0,+∞的是（）A．2y x=B．211yx=+C．2xy=-D．()lg1(0)y x x=+>6．若函数y xa a-a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a485＝() A．1B．2C．3D．47．设()f x是R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有()()0f x f x--=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,68．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
人教版2020--2021学年度上学期高一年级数学期末测试题及答案(含三套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：120分 时间：100分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四个结论：①函数f (x )＝3x －6的零点是2；②函数f (x )＝x 2＋4x ＋4的零点是－2；③函数f (x )＝log 3(x －1)的零点是1；④函数f (x )＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为( )A ．∅B ．{1}C ．[0，＋∞)D ．{(0，1)}3．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数f (x )＝7＋ax －1(a >0且a ≠1)的图象恒过点P ，则P 点的坐标是( )A ．(1，8)B ．(1，7)C ．(0，8)D ．(8，0)6．设集合A ＝{x |－1<x －a <1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．0≤a ≤6B ．a ≤2，或a ≥4C ．a ≤0，或a ≥6D ．2≤a ≤47．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 8．函数y ＝x 2与函数y ＝|lg x |图象的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )10．函数f (x )＝log 2(1＋x )，g (x )＝log 2(1－x )，则f (x )－g (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．由下表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于________.12．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2，46，8}，B ＝{1，3，6}，则A *B ＝________．13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x ________．14．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3则另一个零点是________．15．给出下列四个判断：密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题①若f (x )＝x 2－2ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a ＝1；②函数f (x )＝2x －x 2只有两个零点； ③函数y ＝2|x |的最小值是1；④在同一坐标系中函数y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(1)计算：(2 79)12＋(lg 5)0＋(2764)－13；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.17．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元； (2)求y 与x 之间的函数关系式．18．函数f 1(x )＝lg(－x －1)的定义域与函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域的并集为集合A ，函数g (x )＝2x－a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 19．设函数f (x )在定义域R 上总有f (x )＝－f (x ＋2)，且当－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2.(1)当3<x ≤5时，求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(3，5]上的单调性，并予以证明． 20．设f (x )＝ax 2＋x －a ，g (x )＝2ax ＋5－3a . (1)若f (x )在[0，1]上的最大值为54，求a 的值．答 题(2)若对于任意x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1.解析：选C.当log 3(x －1)＝0时，x －1＝1，∴x ＝2，故③错，其余都对．2.解析：选B.由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1， ∵x ∈Z ，∴A ＝{－1，0，1}．当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2，1}，即B ＝{1，2}， ∴A ∩B ＝{1}．3.解析：选C.∵f (x )＝x 3＋x 是奇函数，∴图象关于坐标原点对称．4.解析：选B.由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3，故选B.5.解析：选A.过定点则与a 的取值没有关系，所以令x ＝1，此时f (1)＝8，所以P 点的坐标是(1，8)．故选A.6.解析：选C.由－1<x －a <1，得a －1<x <a ＋1. 如图，可知a ＋1≤1或a －1≥5.所以a ≤0，或a ≥7.解析：选B.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12·f (1)<0，∴函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1. 8.解析：选B.在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x 和y ＝|lg x |的图象，如图，可得交点个数为1.9.解析：选B.∵log a 2<0(a >0，且a ≠1)， ∴log a 2<log a 1.∴0<a <1.函数在定义域为减函数，将函数y ＝log a x 单位得log a (x ＋1)的图象，故答案为B.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.解析：选A.f (x )－g (x )的定义域为(－1，1)，记F (x )＝f (x )－g (x )＝log 21＋x 1－x ，则F (－x )＝log 21－x1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－F (x )，故f (x )－g (x )是奇函数． 二、填空题11.解析：f (f (1))＝f (4)＝2. 答案：212.解析：由A *B 的定义知：A *B 的元素就是属于集合A ，而不属于集合B 的元素，所以为{2，4，8}．答案：{2，4，8}13.解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.答案：414.解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点是原点， 则f (0)＝0，∴m ＋3＝0， ∴m ＝－3， 则f (x )＝x 2－3x ， 于是另一个零点是3. 答案：315.解析：若f (x )＝x 2－2ax 在[1，＋∞)上是增函数，其对称轴x ＝a ≤1，故①不正确；函数f (x )＝2x －x 2有三个零点，所以②不正确；③函数y ＝2|x |的最小值是1正确；④在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称正确．答案：③④三、解答题16.解：(1)原式＝(259)12＋(lg 5)0＋[(34)3]－13＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x－9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．17.解：(1)由题可知当0<x ≤100时，设函数的解析式y ＝kx ，又因过点(100，40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0<50<100，所以应交话费y ＝25×50＝20元．(2)当x >100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎪⎨⎪⎧40＝100k ＋b 60＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15b ＝20，所以解析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ，0<x ≤10015x ＋20，x >100.18.解：(1)由题意可知，函数f 1(x )＝lg(－x －1)的定义域为(－∞，－1)，函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域为(3，＋∞)，故A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，显然，B ≠∅，∴4－a <－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a >5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5＋∞)．19.解：(1)∵f (x )＝－f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x )＝f [(x －2)＋2]＝－f (x －2) ＝－f [(x －4)＋2]＝f (x －4)． ∵－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2， 且当3<x ≤5时，－1<x －4≤1， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2.∴当3<x ≤5时，f (x )＝(x －4)2＋2.(2)∵函数f (x )＝(x －4)2＋2的对称轴是x ＝4，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴函数f (x )＝(x －4)2＋2在(3，4]上单调递减，在[4，5]上单调递增．证明：任取x 1，x 2∈(3，4]，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝[(x 1－4)2＋2]－[(x 2－4)2＋2] ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)．∵3<x 1<x 2≤4，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－8<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 故函数y ＝f (x )在(3，4]上单调递减．同理可证函数在[4，5]上单调递增．20.解：(1)①当a ＝0时，不合题意． ②当a >0时，对称轴x ＝－12a <0，所以x ＝1时取得最大值1，不合题意． ③当a ≤－12时，0<－12a≤1，所以x ＝－12a 时取得最大值－a －14a ＝54.得：a ＝－1或a ＝－14(舍去)．④当－12<a <0时，－12a >1，所以x ＝1时取得最大值1，不合题意，综上所述，a ＝－1.(2)依题意a >0时，f (x )∈[－a ，1]，g (x )∈[5－3a ，5－a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ≤－a ，5－a ≥1，解得，a ∈[52，4]，a ＝0时不符题意舍去．a <0时，g (x )∈[5－a ，5－3a ]，f (x )开口向下，最小值为f (0)或f (1)，而f (0)＝－a <5－a ，f (1)＝1<5－a 不符题意舍去，所以a ∈[52)，4]．人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：120分 时间：100分钟）题号一二三总分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为( )A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．函数f(x)＝x2＋x－2的零点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．不确定3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝1xD．y＝x|x|4．函数f(x)＝ln x＋3x－11在以下哪个区间内一定有零点( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)5．若函数f(x)＝log2（x－1）2－x的定义域为A，g(x)＝ln（1－x）的定义域为B，则∁R(A∪B)＝( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(0，1]∪[2，＋∞) D．(0，1)∪(2，＋∞)6．已知a＝21.2，b＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12－0.2，c＝2log52，则a，b，c 的大小关系为( )A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a7．设集合A＝{x|－1<x－a<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．0≤a≤6 B．a≤2，或a≥4C．a≤0，或a≥6 D．2≤a≤48．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2，x<－1，0，|x|≤1，－x＋2，x>1，则f(x)( ) A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题9．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件( )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年10．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，x －4，x ≥0，则f (f (1))＝_______．12．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________．13．已知点⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，33在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的定义域为_______，奇偶性为________，单调减区间为________．14．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．15．给出下列四个判断：①若f (x )＝x 2－2ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a ＝1；②函数f (x )＝2x －x 2只有两个零点； ③函数y ＝2|x |的最小值是1；④在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＋log 222；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 1027－23－3π0＋3748.17．(本小题满分10分)设f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab的两个零点分别是－3，2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域为[0，1]时，求其值域．18．(本小题满分10分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？19．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．20．设f(x)＝ax2＋x－a，g(x)＝2ax＋5－3a.(1)若f(x)在[0，1]上的最大值为54，求a的值；(2)若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x0)成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题1.解析：选C.易知∁U A＝{0，4}，所以(∁U A)∪B＝{0，2，4}，故选C.2.解析：选C.方程x2＋x－2＝0的解的个数即为函数f(x)＝x2＋x－2零点的个数．∵Δ＝1－4×(－2)＝9>0，∴函数f(x)有两个零点3.解析：选D.对于AB，是偶函数，在区间(－∞，0]上是增函数，在区间(0∞)上是减函数；对于C，是奇函数，在区间(－∞，0)函数，在区间(0，＋∞)上是减函数；对于D又是增函数．4.解析：选D.因为f(x)且f(3)＝ln 3＋3×3－11＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4＋3×11＝ln 4＋1>0，所以f(3)·f(4)<0，故f(x)在区间(3，内一定有零点，选D.5.解析：选C.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x－1>0，2－x>0⇒1<x<2.∴A＝(1，2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，ln（1－x）≥0⇒x≤0.∴B＝(－∞，0]，A∪B＝(－∞，0]∪(1，2)，∴∁R(A∪B)＝(0，1]∪[2，＋∞)．6.解析：选A.a＝21.2，b＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12－0.2＝20.2，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵21.2>20.2>1，∴a >b >1，c ＝2log 52＝log 54<1.∴c <b <a .7.解析：选C.由－1<x －a <1，得a －1<x <a ＋1.如图，可知a ＋1≤1或a －1≥5.所以a ≤0，或a ≥6.8.解析：选B.画出已知函数的图象如图，利用函数图象直观判断函数f (x )为偶函数．9.解析：选C.设经过x 年这种产品的产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x >12，即1.2x>6，∴x >lg 6lg 1.2≈9.8，取x ＝10，故选C.10.解析：选D.函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.二、填空题11.解析：由题f (f (1))＝f (－3)＝2－3＝18.答案：1812.解析：0<log 4x <1⇔log 41<log 4x <log 44⇔1<x <4， 即A ＝{x |1<x <4}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：{x |1＜x ≤2} 13.解析：设f (x )＝x α(α∈R )，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫33α＝33， 即3－α2＝332.∴－α2＝32，得α＝－3，∴f (x )＝x －3＝1x3， ∴定义域为{x |x ≠0}，为奇函数． 单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 奇函数 (－∞，0)和(0，＋∞)14.解析：设稿费为x 元，纳税为y 元． 由题意可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（0<x ≤800），（x －800）·14%（800<x ≤4 000），11.2%·x （x >4 000），∵此人纳税为420元，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800. 答案：3 80015.解析：若f (x )＝x 2－2ax 在[1，＋∞)上是增函数，其对称轴x ＝a ≤1，故①不正确；函数f (x )＝2x －x 2有三个零点，所以②不正确；③函数y ＝2|x |的最小值是1正确；④在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称正确．答案：③④ 三、解答题16.(1)原式＝lg （2×5）－lg 8lg 54＋log 2(2)－1＝lg54lg54－1＝0.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫25912＋102＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 17.解：(1)因为f (x )的两个零点分别是－3，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝0，f （2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧9a －3（b －8）－a －ab ＝0，4a ＋2（b －8）－a －ab ＝0，解得a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18的对称轴为x ＝－12，图象开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，f (x )值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.所以值域为[12，18]． 18解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5（x －14），x >15.(2)∵x ∈(0，15]时，0.1x ≤1.5， 又y ＝5.5>1.5，∴x >15，所以1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39. 所以老张的销售利润是39万元．19.解：(1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3；密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]． 20.解：(1)①当a ＝0时，不合题意．②当a >0时，对称轴x ＝－12a<0，所以x ＝1时取得最大值1，不合题意． ③当a ≤－12时，0<－12a≤1，所以x ＝－12a 时取得最大值－a －14a ＝54.得：a ＝－1或a ＝－14(舍去)．④当－12<a <0时，－12a>1，所以x ＝1时取得最大值1，不合题意，综上所述，a ＝－1.(2)依题意a >0时，f (x )∈[－a ，1]，g (x )∈[5－3a ，5－a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ≤－a ，5－a ≥1，解得，a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52，4， a ＝0时不符合题意舍去．a <0时，g (x )∈[5－a ，5－3a ]，f (x )开口向下，最小值为f (0)或f (1)，而f (0)＝－a <5－a ，f (1)＝1<5－a 不符合题意舍去，所以a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52，4. 人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：120分 时间：100分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若10a ＝5，10b ＝2，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．23．已知集合A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，若A ∩B ＝{1，3}，(∁U A )∩B ＝{5}，则集合B 等于( )A．{1，3} B．{3，5} C．{1，5} D．{1，3，5}4．函数f(x)＝4－xx－1＋log4(x＋1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，1)∪(1，4]C．(－1，4) D．(－1，1)∪(1，4]5．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的是() A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点6.设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是() A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2} D．{x|x<2}7．函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．38．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)图象大致是()9．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数10．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．计算2log525＋3log264－8log71＝________．12．函数y＝log12(2x＋2)在[1，3]上的值域为________密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题13．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．14．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，则a 的取值范围是________．15．下列说法： ①函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝－log 2x ；②若函数f (x )满足f (x ＋1)＝2x ，则f (x )＝2x ＋2； ③若函数f (x )的定义域是[－1，3]，则函数f (2x －1)的定义域是[0，2]；④不等式log 3(x ＋1)>log 3(2x －3)的解集是(－∞，4)． 正确的是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)函数f 1(x )＝lg(－x －1)的定义域与函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域的并集为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 17．(本小题满分10分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 在R 上满足f (x )＝f (－x )．(1)求a 的值；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －1|－x ＋1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)根据函数f (x )的图象回答下列问题： ①求函数f (x )的单调区间； ②求函数f (x )的值域；③求关于x 的方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数．(回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤)19．(本小题满分10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]密封线20．(本小题满分10分)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0≤x<1时，f(x)∈[0，1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明；(3)若a≥0且f(a＋1)≤39，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1.解析：选C.∵a＝lg 5，b＝lg 2，∴a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C.2.解析：选A.由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝14.3.解析：选D.画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1，3，5}．4.解析：选D.要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧4－x≥0，x－1≠0，x＋1>0，解得－1<x≤4且x≠1，即函数的定义域为(－1，1)∪(1，4]．5.解析：选D.因为f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x相交有多种可能．例如，所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点．6.解析：选C.阴影部分所表示集合是N∩(∁U M)，又∵∁U M＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁U M)＝{x|1<x≤2}．7.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解析：选B.令f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数．如图所示：由图可知有1个交点，故选B.8.解析：选B.∵log a 2<0(a >0，且a ≠1)，∴log a 2<log a 1.∴0<a <1.函数在定义域内为减函数，将函数y ＝log a x 向左平移一个单位得log a (x ＋1)的图象，故答案为B.9.解析：选C.A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错． B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错． C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错． 10.解析：选D.∵y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 由f (a )≤f (2)， 得f (|a |)≤f (2)．∴|a |≥2，得a ≤－2或a ≥2.二、填空题11.解析：原式＝2log 552＋3log 226－0＝4＋18＝22. 答案：2212.解析：∵x ∈[1，3]，∴2x ＋2∈[4，8]． ∴log 128≤log 12(2x ＋2)≤log 124，即－3≤log 12(2x ＋2)≤－2.答案：[－3，－2]13.解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|x －a |＝|x ＋a |，即(x －a )2＝(x ＋a )2， ∴x 2－2ax ＋a 2＝x 2＋2ax ＋a 2. ∴4ax ＝0.因为上式对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0. 答案：014.解析：∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴A ＝∅或A ≠∅.若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2，∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2. 答案：{a |a ≤1，或a ≥2} 15.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log 12x ＝－log 2x ，故①正确．令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝2x 得， f (t )＝2(t －1)＝2t －2，故②错．在③中，－1≤2x －1≤3，∴0≤x ≤2，故③正确． ④由不等式log 3(x ＋1)＞log 3(2x －3)得x＋1>2x －3>0. ∴32<x <4，故④错． 答案：①③ 三、解答题16.解：(1)由题意可知，函数f 1(x )＝lg(－x －1)的定义域为(－∞，－1)，函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域为(3，＋∞)，故A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x－a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }． (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，显然，B ≠∅，∴4－a <－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a >5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5∞)．17.解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )＝1a e x ＋a e x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1x 2>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－e x 1>0，1－e x 1＋x 2<0，所以f (f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．18.解：(1)当x －1≥0时，f (x )＝2(x －1)－x ＋1＝x 当x －1<0时，f (x )＝2(1－x )－x ＋1＝3－3x 示．(2)①函数f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)； 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)； ②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题③方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数为1.19.解：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20.解：(1)令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)． 因为f (－1)＝1，所以f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 设0≤x 1<x 2， 所以0≤x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)．当x ≥0时，f (x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0， f (x )不恒为零．因为0≤x <1时，f (x )∈[0，1)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝[f (3)]3.所以9＝[f (3)]3， 所以f (3)＝39， 因为f (a ＋1)≤39，所以a＋1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2.。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合A＝{x|x−1≤0}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（）A.(−1, 2)B.(−2, 1]C.[1, 2)D.[−2, 3)2. sin454∘+cos176∘的值为（）A.sin4∘B.cos4∘C.0D.2sin4∘3. 函数f(x)＝ln x−的零点所在的大致区间是（）A.（，1)B.(1, e)C.(e, e2)D.(e2, e3)4. 设p：实数a，b满足a>1且b>1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771<lg3<0.4772，则下列各数中与最接近的是（）A.1033B.1053C.1073D.10936. 把函数的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为（）A. B. C.或 D.或7. 已知，则＝（）A. B. C. D.8. 已知函数，若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（）A.(−∞，2−1)B.C. D.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）如果角α与角γ+45∘的终边相同，角β与γ−45∘的终边相同，那么α−β的可能值为（）A.90∘B.360∘C.450∘D.2330∘下列函数中，既是偶函数又是区间(1, +∞)上的增函数有（）A.y＝3|x|+1B.y＝ln(x+1)+ln(x−1)C.y＝x2+2D.已知f(x)＝cos(sin x)，g(x)＝sin(cos x)，则下列说法正确的是（）A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1, 1]B.f(x)为偶函数且g(x)也为偶函数C.f(x)的值域为[cos1, 1]，g(x)的值域为[−sin1, sin1]D.f(x)与g(x)最小正周期为2π高斯(Gauss)是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−2.3]＝−3，[15.31]＝15．已知函数，G(x)＝[f(x)]，则下列说法正确的有（）A.G(x)是偶函数B.G(x)的值域是{−1, 0}C.f(x)是奇函数D.f(x)在R上是增函数三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为________．已知实数a，b满足log4(a+9b)＝log2，则a+b的最小值是________．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)=2f(1x)√x−1，则f(x)=________．已知函数f(x)＝A sin(2x+φ)−(A>0，0<φ<），g(x)＝，f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，则实数m的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2−2ax+(a2−1)<0}．（1）当a＝2时，求(∁U A)∩(∁U B)；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=sin(5π2−ωx)(ω>0)，且其图象上相邻最高点、最低点的距离为√4+π2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若已知sinα+f(α)=23，求2sinαcosα−2sin2α1+tanα的值．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)元与用电量x（度）间的函数关系；(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？已知函数f(x)=2sinωx，其中常数ω>0．（1）若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心．已知连续不断函数，．（1）求证：函数f(x)在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数g(x)在上有且只有一个零点（不必证明），记f(x)和g(x)在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．已知f(x)＝log2(4x+1)−kx(k∈R)．（1）设g(x)＝f(x)−a+1，k＝2，若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；（2）若f(x)是偶函数，设ℎ(x)＝log2(b⋅2x−43b)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】由A＝{x|x−1≤0}＝{x|x≤5}，B＝{x|x2−x−6<2}＝{x|−2<x<3}，则A∩B＝{x|−4<x≤1}，2.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用诱导公式，化简可得结果．【解答】sin454∘+cos176∘＝sin94∘−cos4∘＝cos4∘−cos6∘＝0，3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．【解答】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)＝−1<4>0，且函数在区间( 3, e)上单调递增的零点所在的区间为( 1．故选：B．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当a>1且b>1时，ab>8，即充分性成立，反之当a＝4，b＝1时但a>1且b>2不成立，即p是q的充分不必要条件，5.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】根据条件可得M≈3361，N≈1080，由对数性质有3＝10lg3≈100.477，从而得到M≈3361≈10172.2，由此能求出结果．【解答】∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．∴M≈3361，N≈1080，根据对数性质有8＝10lg3≈100.477，∴M≈3361≈(100.477)361≈10172.2，∴≈＝1092.2≈1093，6.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】把函数的图象向左平移φ(7<φ<π)个单位，可以得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−）的图象，若g(x)是偶函数，则2φ−＝，k∈Z，∴分别令k＝0、k＝1，或φ＝，7.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式化简即可计算求解．【解答】因为，所以sin（+θ)＝-，则＝cos[+θ)]＝sin（．8.【答案】A 【考点】函数恒成立问题【解析】利用函数奇偶性的判定方法判定奇偶性，然后根据复合函数的单调性判定单调性，化简不等式，然后将m分离，利用基本不等式求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．【解答】因为f(−x)+f(x)＝−2x+ln（）+2x+ln（，所以函数f(x)是奇函数，由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，所以不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−2)<0对任意x∈R均成立等价于f(3x−6x)<−f(m⋅3x−3)＝f(2−m⋅3x)，即3x−3x<3−m⋅3x，即m<对任意x∈R均成立，因为≥，所以m<．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【答案】A,C【考点】终边相同的角【解析】由已知，表示出α，β，再结合选项考虑．【解答】如果角α与γ+45∘终边相同，则α＝2mπ+γ+45∘角β与γ−45∘终边相同，则β＝2nπ+γ−45∘，∴α−β＝4mπ+γ+45∘−2nπ−γ+45∘＝2(m−n)π+90∘，(k＝m−n+6)，即α−β与90∘角的终边相同，观察选项，【答案】A,C,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f(−x)＝5|−x|+1＝3|x|+7＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在区间(1, +∞)上|x|+1＝y＝5x+1，为增函数，符合题意，对于B，y＝ln(x+1)+ln(x−3)，有，即函数的定义域为(1，不是偶函数，对于C，y＝x7+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，+∞)上的增函数，对于D，y＝x2+，其定义域为R2+＝x2+＝f(x)，可令t＝x2，可得t＝x8在(1, +∞)递增在(5，则函数y＝x2+为增函数，【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A根据正弦和余弦函数性质判断；B根据奇偶函数定义判断；C根据复合函数值域判断；D根据周期函数定义判断．【解答】对于A，f(x)与g(x)的定义域都是R；对于B，因为f(−x)＝f(x)，f(x)和g(x)都是偶函数，所以B对；对于C，因为sin x∈[−1，），所以f(x)的值域为[cos1，因为cos x∈[−1, 7]⊂(−，），）内单调递增，所以g(x)的值域为[−sin1, sin2]；对于D，f(x)＝cos(sin x)＝cos|sin x|，所以D错．【答案】B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的值域及其求法【解析】根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合可得答案．【解答】根据题意，对于A，G(1)＝[f(1)]＝0，G(1)≠G(−1)，A错误，对于B，＝-，由1+2x>5，则-，则有G(x)的值域是{−1，B正确，对于C，，其定义域位R-＝-，则f(−x)+f(x)＝6，C正确，对于D，＝-，设t＝1+4x，则y＝-，t＝2x+1在R上是增函数，y＝-，+∞)也是增函数，则f(x)在R上是增函数，D正确，故选：BCD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）【答案】9【考点】扇形面积公式【解析】先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．【解答】半径r＝＝＝4，根据扇形面积公式S＝|α|r3＝×8×32＝3，【答案】16【考点】基本不等式及其应用对数的运算性质【解析】由对数的运算法则知a+9b＝ab，从而有a+b＝(a+b)⋅（），展开后，再利用基本不等式，得解．【解答】∵log4(a+9b)＝log7＝log4（）2，∴a+4b＝ab，即＝7，∴a+b＝(a+b)⋅（）＝4+9++＝16，当且仅当＝，即a＝3b＝12时，∴a+b的最小值是16．【答案】2 3√x+13【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据f(x)=2f(1x )√x−1，考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，用1x代替x代入f(x)=2f(1x )√x−1，解关于入f(x)与f(1x)的方程组，即可求得f(x)．【解答】解：考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，故可考虑利用换元法进行求解．在f(x)=2f(1x )√x−1，用1x代替x，得f(1x )=√x1，将f(1x)=√x−1代入f(x)=2f(1x)√x−1中，可求得f(x)=23√x+13．故答案为：23√x+13【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．可得f(0)＝A sinφ−＝1，sin(2×+φ)＝±1．根据A>0，0<φ<，可得φ，A．利用三角函数的单调性可得f(x)min．g(x)＝＝−m，利用函数的单调性可得g(x)min．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，可得g(x1)min≥f(x2)min，即可得出．【解答】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝．∴f(0)＝A sinφ−＝1+φ)＝±1．又A>4，0<φ<，A＝．∴f(x)＝sin(7x+，x ∈[0，]，∴(8x+）∈，∴sin(2x+）∈，∴f(x)∈．∴f(x)min＝1．g(x)＝＝−m，∵x∈[−1, 3]min＝−m．若对于任意的x6∈[−1, 2]6∈[0，]，使得g(x4)≥f(x2)，则g(x1)min≥f(x3)min，∴−m≥7．∴实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．【解答】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【答案】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】（1）设最高点为(x1, 1)，最低点为(x2, −1)，结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为√4+π2列式，求出周期，代入周期公式求得ω，则函数解析式可求；（2）有题意可得sinα+cosα=23，两边平方可解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【答案】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）分0≤x≤30、x>30两种情况讨论即可；（2）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论；（3）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论．【解答】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【答案】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象【解析】（1）由条件利用正弦函数的单调性求得ω的范围．（2）利用y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，可得g(x)的图象的对称中心，从而求得g(x)的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【答案】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】（1）通过判断f(0)与的正负，结合函数的单调性，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用零点的定义可得，将其变形为＝0，通过g(x)有且只有一个零点x2，即可得到x1，x2的关系，即可求解．【解答】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【答案】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x>1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解，转化为利用函数的单调性求出a的范围；（2）先根据偶函数的性质求出k的值，再根据函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)＝ℎ(x)有且只有一个实根，化简可得方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根令t＝2x>0，则转化才方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，讨论b＝1，以及△＝0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数b的取值范围．【解答】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x >1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．。
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密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：150分 时间：120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）A B C D2、下面各组函数中为相同函数的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 4 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ） A B C D 不能确定 5.化简的结果是（ ）A.B.C.D.6、下列判断正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、 7、若集合A={y|y=log x ，x>2}，B={y|y=()x，x>1}，则A ∩B=（ ）A 、{y|0<y<}B 、{y|0<y<1}C 、{y|<y<1}D 、φ8．已知α为锐角，则2α为( )A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第一或第二象限角D 、小于1800的角9、则θ在 ( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限 10． 已知,则的大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．{}{}|02,|12A x x B x x =<<=≤<A B ⋃={}|0x x ≤{}|2x x ≥{}02x ≤≤{}|02x x <<x x g x x f ==)(,)(2x x g x x f ==)(,)(3322)(,)()(xx g x x f ==x x g xx x f ==)(,)(2()833-+=x x f x ()2,10833∈=-+x x x 在()()(),025.1,05.1,01<><f f f (1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,2)1352-sin πcos35π-cos35π±cos35π52cosπ-35.27.17.1>328.08.0<22ππ<3.03.09.07.1>2212121,0sin tan >θθf(x)=|lgx|11()()(2)43f f f 、、)41()31()2(f f f >>)2()31()41(f f f >>)31()41()2(f f f >>)2()41()31(f f f >>内 不 得11． 幂函数的图象过点，则的解析式是 __ ．12、 ；若 。
13． 函数的值域为________________________．14．＝．其中三、解答题（共80分）15、计算(每小题4分，共12分)：（1） (2) log 2(46×25)+lg+2log 510+log 50.25（3）sin +cos+tan(-)16、（共12分） 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？ 17、计算（共14分）：(1) 求值(6分)(2) 已知，α在第三象限，求的值. (8分)18、 (共14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值19、（共14分）设函数．○1 求它的定义域（3分）；○2 求证：（4分）；○3判断它在（1，+∞）并证明．（7分）20．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝log a (1＋x)，g(x)log a (1－x)，其中(a>0且a ≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求函数h(x)的定义域（4分）；(2)判断h(x)性，并说明理由；（4分）(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x 的集合．（6参考答案一、选择题（每小题5分共50分）二、填空题（每小题5分，共20分） 11、 12、0、 13、（0 ，+∞） 14三、解答题：（共80分）15、（每小题4分共12分） 解：（1） (2) log 2(46×25)+lg+2log 510+log 5 原式=1－4＋lg100=-3＋2=-1 原式=log 2(212×25)+lg10-2+log 5100+log 5 =log 2217+(-2)+log 5(100×0.25)=17-2+2=17()f x ()f x 24,2(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤==⎨>⎩已知函数则00()8,f x x ==则3log (31)x y =+)23,(ππθ∈2lg 225lg 5.01.120++--1001π625π323π4214050501122sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒3tan =αsin cos αα-2()21f x x ax a =-++-[]0,12a 2211)(x x x f -+=)()1(x f xf -=21)(x x f =432或-2sin θ2lg 225lg 5.01.120++--1001密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（3）sin +cos+tan(-)原式=sin(4π+)+cos(6π+)-tan(5π+)=sin +cos()-tan =sin -cos-tan =+-1=0(0≤x ≤50)当时，取得最大值，所以应定价为元答：当此商品售价为70元时，获得最大利润。
（2）18、解：对称轴，当是的递减区间，；当是的递增区间，；当时与矛盾；所以或(2)∵对任意的x ∈(－1,1)，－x ∈(－1,1)，(3)由f(3)＝2，得a ＝2.此时h(x)＝log 2(1＋x)－log 2(1－x)，π625π323π4216ππ354π6ππ354π6π32π4π2121240500x x =-++20x =y 70在第三象限αα,3tan =x a =[]0,0,1a <()f x max ()(0)121f x f a a ==-=⇒=-[]1,0,1a >()f x max ()(1)22f x f a a ===⇒=01a ≤≤2max 15()()12,f x f a a a a ±==-+==01a ≤≤1a =-2.1)()()(,0)()(0)1(,0)1(,0)(,0)(1,)1)(1())((2)1)(1()(2)1)(1()1)(1()1)(1(1111)()(1,13)(1111)1(1)1(1)1()2(}1|{(,1,01)1(1921212221212121212221212122212221222121222221222221212121212222222上为增函数在所以即则且则有且设证明上为增函数它在由证明的定义域为所以函数得由解）（x f x f x f x f x f x x x x x x ）（，x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x ：f ）（，x x x x ：）（）（x f x x x x xx x f ：x x x ）f x x ：、∞+<<-<-<-<->+∴∞+∈<---+=---=---+--+=-+--+=-∞+∈<∞+-=-+-=-+=-+=±≠±≠≠-答 题人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：120分 时间：100分钟）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若10a＝5，10b＝2，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．23．已知集合A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，若A ∩B ＝{1，3}，(∁U A )∩B ＝{5}，则集合B 等于( )A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{1，5}D ．{1，3，5}4．函数f (x )＝4－xx －1＋log 4(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，1)∪(1，4]C ．(－1，4)D ．(－1，1)∪(1，4]5．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点6.设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x <2}7．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题8．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )9．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数10．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ≥－2C ．－2≤a ≤2D ．a ≤－2或a ≥2二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．计算2log 525＋3log 264－8log 71＝________． 12．函数y ＝log 12(2x ＋2)在[1，3]上的值域为________．13．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．14．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，则a 的取值范围是________．15．下列说法：①函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝－log 2x ；②若函数f (x )满足f (x ＋1)＝2x ，则f (x )＝2x ＋2； ③若函数f (x )的定义域是[－1，3]，则函数f (2x －1)的定义域是[0，2]；④不等式log 3(x ＋1)>log 3(2x －3)的解集是(－∞，4)． 正确的是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)函数f 1(x )＝lg(－x －1)的定义域与函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域的并集为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 17．(本小题满分10分)设a >0，f (x )＝e x a ＋aex 在R 上满足f (x )＝f (－x )．(1)求a 的值；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －1|－x ＋1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (2)根据函数f (x )的图象回答下列问题： ①求函数f (x )的单调区间； ②求函数f (x )的值域；③求关于x 的方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数．(回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤)19．(本小题满分10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]20．(本小题满分10分)已知函数f (x )对任意实数x ，y 有f (xy )＝f (x )f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0≤x <1时，f (x )∈[0，1)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1.解析：选C.∵a ＝lg 5，b ＝lg 2，∴a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C. 2.解析：选A.由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，f [f (－1)]＝f ＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.3.解析：选D.画出满足题意的Venn 图，由图可知B ＝{1，3，5}．4.解析：选D.要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，x ＋1>0，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解得－1<x ≤4且x ≠1，即函数的定义域为(－1，1)∪(1，4]．5.解析：选D.因为f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点．6.解析：选C.阴影部分所表示集合是N ∩(∁U M )， 又∵∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴N ∩(∁U M )＝{x |1<x ≤2}．7.解析：选B.令f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数．如图所示：由图可知有1个交点，故选B.8.解析：选B.∵log a 2<0(a >0，且a ≠1)， ∴log a 2<log a 1.∴0<a <1.函数在定义域内为减函数，将函数y ＝log a x 向左平移一个单位得log a (x ＋1)的图象，故答案为B.9.解析：选C.A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错． 10.解析：选D.∵y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 由f (a )≤f (2)， 得f (|a |)≤f (2)．∴|a |≥2，得a ≤－2或a ≥2. 二、填空题11.解析：原式＝2log 552＋3log 226－0＝4＋18＝22. 答案：2212.解析：∵x ∈[1，3]，∴2x ＋2∈[4，8]． ∴log 128≤log 12(2x ＋2)≤log 124，即－3≤log 12(2x ＋2)≤－2.答案：[－3，－2]13.解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|x －a |＝|x ＋a |，即(x －a )2＝(x ＋a )2， ∴x 2－2ax ＋a 2＝x 2＋2ax ＋a 2. ∴4ax ＝0.因为上式对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0. 答案：014.解析：∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴A ＝∅或A ≠∅.若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2. 若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2，∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.答案：{a |a ≤1，或a ≥2} 15.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log 12x ＝－log 2x ①正确．令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入f (x ＋1)＝2x 得， f (t )＝2(t －1)＝2t －2，故②错．在③中，－1≤2x －1≤3，∴0≤x ≤2，故③正确． ④由不等式log 3(x ＋1)＞log 3(2x －3)得x ＋1>2x －3>0. ∴32<x <4，故④错． 答案：①③ 三、解答题16.解：(1)由题意可知，函数f 1(x )＝lg(－x －1)(－∞，－1)，函数f 2(x )＝lg(x －3)的定义域为(3，＋∞)＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a <y ≤4－a }． (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，显然，B ≠∅，∴4－a <－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a >5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题17.解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋aex＝1a e x ＋a e x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－e x 1>0，1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．18.解：(1)当x －1≥0时，f (x )＝2(x －1)－x ＋1＝x －1， 当x －1<0时，f (x )＝2(1－x )－x ＋1＝3－3x ，图象如图所示．(2)①函数f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)；函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)； ②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数为1. 19.解：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20.解：(1)令y ＝－1， 则f (－x )＝f (x )·f (－1)． 因为f (－1)＝1，所以f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 设0≤x 1<x 2， 所以0≤x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)．当x ≥0时，f (x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0， f (x )不恒为零．因为0≤x <1时，f (x )∈[0，1)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝[f (3)]3.所以9＝[f (3)]3， 所以f (3)＝39， 因为f (a ＋1)≤39， 所以f (a ＋1)≤f (3)，所以a ＋1≤3，即a ≤2， 又a ≥0，故0≤a ≤2.。