《备战2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习4-3三角函数的图象与性质
2014届高三数学：三角函数的图像和性质
课时跟踪检测(二十) 三角函数的图像和性质1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数3．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 34．(2011·安徽高考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 5．(2012·聊城模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段相等．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线y ＝2 012相交于A ，B 两点，且|AB |＝3π，则f (π)＝( )A ．2＋ 3B ．－ 3C. 3D.3－ 26．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．9．(2012·安庆模拟)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．10．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．11．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．1．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]2．(2012·潍坊模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x 给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z)对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z)时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．答 案 课时跟踪检测(二十)A 级1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ， ∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，图像关于y 轴对称，为偶函数．3．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.4．选C 因为当x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 5．选B 设f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3与x 轴的两个交点为C 、D ，由“平行曲线”的性质可知|CD |＝3π，所以函数f (x )的最小正周期为3π，由πω＝3π可得ω＝13，则f (π)＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝tan 2π3＝－ 3. 6．选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.7．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π69．解析：由条件得最小正周期为T ＝πk ，故有1<πk <2，解得π2<k <π.又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或310．解：(1)∵f (x )＝2si n(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，则－32≤sin 2x ≤1.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 11．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 12．解：∵由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得 sin 2x cos φ＝0，由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . B 级1．选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图像可看作是由函数f (x )＝sin x 的图像先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的减区间是⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．解析：画出函数f (x )的图像．由图像可得函数的最小正周期为2π，故①错误；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )或x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，函数取得最小值，故②错误；结合图像可得③④正确．答案：③④3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2014届高考数学复习一轮课件第3单元-三角函数、解三角形-数学(文科)-人教A版-通用
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第三单元 三角函数、解三角形
第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第18讲 三角函数的图象与性质
固
基 础
(1) 已知 sin α ≥0 ，cosα ≥0 ，则 α 是第 一象限 角．( )
(2)角 α 终边上点 P 的坐标为－12， 23，那么 sinα ＝
23，cosα ＝－21；同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)， 那么 sinα ＝y0，cosα ＝x0.( )
础 一象限或第四象限，或 y 轴，或 x 轴的非负半轴上．故 α 终
边在第一象限，或 x 轴的非负半轴上，或 y 轴的非负半轴上．
(2)点 P－12， 23在单位圆上，所以 sinα ＝ 23，cosα ＝
－12；而 Q(x0，y0)不一定在单位圆上，所以 sinα ＝y0，cos
α ＝x0 不一定成立．
OA·MP＝21sinα .，扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α ，△OAT
的面积＝12OA·AT＝12tanα .∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即21sin
α <21α <12tanα ，∴sinα <α <tanα . (2)令 MP＝sinα ，OM＝cosα ， ∵MP＋OM＞OP＝1， ∴sinα ＋cosα >1.
则角α 的终边在( )
A．第一象限
2014版高考数学(文)一轮总复习第22讲三角函数的图象同步测控新人教A版
第22讲 三角函数的图象1.(2012·合肥八中)函数y ＝sin(2x ＋1)的图象由y ＝sin(2x －1)的图象怎样变化而得到？( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2.函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]的简图是( )3.(2012·湖北省部分重点中学)函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象如图所示，－π<φ<π，则φ的值为( )A ．－π3B ．－π6C ．－π3或－2π3D ．－π6或－5π64.(2012·浙江卷)把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )5.(2012·福建省四地六校)将函数y ＝sin(2x －π3)的图象先向左平移π6，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为____________．6.(2011·全国卷改编)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于______．7.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求ω，φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．1.(2012·天津卷)将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 2.(2012·荆州联考)一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h (米)，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A >0，ω>0，φ∈[0，2π))，则下列结论错误的是______．①A ＝8; ②ω＝π6；③φ＝π2； ④B ＝10.3.若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为π2.(1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈[0，π2]，求点A 的坐标．第22讲 巩固练习1．C 解析：y ＝sin(2x －1)＝sin[2(x －12)]――→向左平移1个单位y ＝sin(2x ＋1)＝sin2(x ＋12)． 2．A 解析：当x ＝－π2时，y ＝32>0，排除B 和D ，又当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．A 解析：f (x )＝2sin(2x ＋φ)过点(0，－3)⇒sin φ＝－32， 又－π<φ<π⇒φ＝－π3或－23π，又由函数f (x )过(512π，2)，代入可得φ＝－π3.4．B 解析：由题意T 2＝38π－π8＝π4⇒T ＝π2＝πω⇒ω＝2，即f (x )＝A tan(2x ＋φ)又过点(0,1)，(38π，0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＝A tan φ0＝A 34π＋φ|φ|<π2⇒⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4A ＝1，所以y ＝tan(2x＋π4)， 即f (π24)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.5．y ＝sin x解析：y ＝sin(2x －π3)错误!y ＝sin[2(x ＋错误!)－错误!]＝sin2x 错误!y ＝sin x .6．6解析：由题意得π3是f (x )的一个周期，故ω的最小值满足2πω＝π3⇒ω＝6.7．解析：(1)由T ＝π⇒ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)， 又图象的一条对称轴是直线x ＝π8，即f (0)＝f (π4)⇒2cos φ＝2cos(π2＋φ)，又－π<φ<0，所以φ＝－π4，即f (x )＝2cos(2x －π4)．(2)列表：描点连线成图如下：提升能力1．[0,3]解析：由题意x ＝2＋42＝3，x ＝4＋82＝6分别为y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，且T2＝6－3＝3⇒T ＝6，又0<b <A ，故x ＝3为最大值点，x ＝6为最小值点，如图所示， 故在[0,5]的单增区间为[0,3]． 2．③解析：由题意A ＝18－22＝8，T ＝12，ω＝2πT ＝π6，B ＝18＋22＝10，即h ＝8sin(π6t ＋φ)＋10从最低点开始计时，即t ＝0时h ＝2⇒2＝8sin φ＋10⇒sin φ＝－1，φ∈[0,2π)⇒φ＝32π.3．解析：(1)f (x )＝12(1－cos2ax )－12sin2ax＝－22sin(2ax ＋π4)＋12. 因为y ＝f (x )图象与y ＝m 相切，m 为最大值或最小值， 所以m ＝1＋22或m ＝1－22.(2)因为切点横坐标依次成等差数列，且公差为π2，T ＝π2，T ＝2π|2a |＝π2，a >0，所以a ＝2，即f (x )＝－22sin(4x ＋π4)＋12. 令sin(4x 0＋π4)＝0，得4x 0＋π4＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π4－π16(k ∈Z )，又x 0∈[0，π2]，所以0≤k π4－π16≤π2(k ∈Z )，得k ＝1,2. 所以对称中心A 为(316π，12)或(716π，12)．。
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)一．基础题组1.化简21sin352sin20-=oo（）A．12B．12-C．1- D．12.()tan600-o的值等于（）A.3- B.33-C.3D.33.已知函数xxxf cossin)(-=，且)(2)(xfxf='，则x2tan的值是（）A.34- B.34C.43- D.434.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A.1sin 2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.函数))(4sin()4sin(2)(R x x x x f ∈+-=ππ是（ ）.A.最小正周期为π2的奇函数B. 最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数6.在ABC ∆中，=23AB ，=2AC ，0=60C ，则BC =.7.在ABC ∆中，120,5,7,A AB BC ===o 则sin sin BC 的值为______________．【答案】35.【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos BCAB AC AB AC A=+-⋅⋅，即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=o，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（ ）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-u r，()1,q S =r满足//p qu r r，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =L，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==o.（1）求sin sin a bA B++的值； （2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-r u r，(1,0)c =-r（1）若,,6x a cπ=r r求向量的夹角;（2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31)2a =rcos ,||||a ca c a c <>=r rr r g r r g 3=0,a c π≤<>≤r rQ5,6a c π∴<>r r 的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=ρρ，函数ba x f ρρ•=)(.将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若ba ρρ⊥,求()y g x = 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f ρρ=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-r，()cos ,sin 2b x x =r，()f x a b =⋅r r .（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =r，()1,sin 2b x =r，函数()1f x a b =⋅-r r ，()21g x b =-r .（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； （2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<Q ，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+； （2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-r ，()cos ,sin 2b x x =r ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =r ，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅r r ，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义2.7函数图象
第7讲函数图象【2014年高考会这样考】1．利用函数图象的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数图象的草图．2．根据函数的解析式辨别函数图象．3．应用函数图象解决方程、不等式等问题．4．利用函数图象研究函数性质或求两函数图象的交点个数.对应学生28考点梳理1．函数图象的变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．Z_xx_k(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的1a倍，纵标标不变．(4)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．2．等价变换例如：作出函数y ＝1－x 2的图象，可对解析式等价变形y ＝1－x 2⇔⎩⎨⎧ y ≥0，1－x 2≥0，y 2＝1－x 2⇔⎩⎨⎧y ≥0，y 2＝1－x 2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．3．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．【助学·微博】一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质，描点作图．考点自测1．(人教A 版教材习题改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．答案 C2．(2013·太原一模)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．解析 函数y ＝|f (x )|＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A ，C ，D.答案 B3．(2011·陕西)函数y ＝x 13的图象是( )．解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y ＝x 比较即可．由(－x )13＝－x 13知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合．答案 B4．当a ≠0时，y ＝ax ＋b 与y ＝(b a )x 的图象大致是( )．解析 A 中，a >0，b ＝1，b a ＝1，很容易排除；B 中，a >0，b >1，故b a >1，函数y ＝(b a )x 单调递增，也可排除；C 、D 中，a <0，0<b <1，故b a >1，排除D.故选C.答案 C5．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示，由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需满足a －14<1<a ，∴1<a <54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54对应学生29考向一 作函数图象【例1】►作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1－1；(2)y ＝sin|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，如图②所示．(3)首先作出y ＝log 2x 的图象c 1，然后将c 1向左平移1个单位，得到y ＝log 2(x＋1)的图象c 2，再把c 2在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即为所求图象c 3：y ＝|log 2(x ＋1)|.如图③所示(实线部分)．(1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再利用图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，以简化作图过程．【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1. 解 (1)y ＝⎩⎨⎧ lg x ，x ≥1.－lg x ，0<x <1.图象如图①. (2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图③. (4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.考向二 函数图象的辨识【例2】►(2012·山东)函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图象大致为( )．[审题视点] 利用函数的奇偶性及函数值的变化规律求解．解析 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k 6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x >0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x 2x －2－x>0，排除B ；选D.答案D函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．【训练2】 如图所示，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N ，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )．解析 选B.在P 点由B 点向D 1点运动的过程中，考虑P 点的特殊位置，即考虑P 点为BD 1的中点时，此时，M ，N 分别为AA 1和CC 1的中点，MN 的值最大，故排除A ，C .取AA 1中点E 和CC 1中点F ，则BE ，BF 分别为点M ，N的运动轨迹，所以有tan ∠EBD 1＝12y x ，故y ＝2x ·tan ∠EBD 1，而∠EBD 1为定值，故f (x )的图象为线段．排除D.答案 B 考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．[审题视点] 利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．【训练3】 (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y＝kx－2恒过定点M(0，－2)，k MA＝0，k MB＝4.当k＝1时，直线y＝kx －2在x>1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．答案(0,1)∪(1,4)对应学生30热点突破7——函数图象的辨识【命题研究】从近三年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．预测2014年高考仍将以识图、用图为主要考向，重点考查函数的图象性质以及方程、不等式与图象的综合问题．【真题探究】►(2012·新课标全国)已知函数f(x)＝1ln(x＋1)－x，则y＝f(x)的图象大致为()．[教你审题] 观察函数f (x )及四个选项的特点，从函数的定义域、值域、单调性入手或用特殊点验证．[解法] 函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，排除D ；又f (1)＝1ln 2－1<0，排除A ；g ′(x )＝1x ＋1－1＝－1x ＋1. 当－1<x <0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )<g (0)＝0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减且小于0，排除C.故选B.[答案] B[反思] (1)对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究，抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征，作为判断图象的依据．(2)要掌握判断函数图象的一些基本方法，如：特殊点法(利用特殊点筛选淘汰)，导数法(借助导数判断单调性、凹凸性)，辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状况)，平移法，对称法等．【试一试】 (2011·山东)函数y ＝x 2－2sin x 的图象大致是( )．解析 y ′＝12－2cos x ．令y ′＝0，得cos x ＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y ＝x 2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．排除A ，B ，D ，故选C.答案 C对应学生237 A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．解析 因－π≤x ≤π，由y ′＝e sin x cos x >0，得－π2<x <π2.则函数y ＝e sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，排除A 、B 、C ，故选D. 答案 D2．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )． A ．2对 B ．5对 C ．6对 D ．无数对解析 显然f (x )＝4|x |＋2－1为偶函数．其图象如图所示． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2－1，x ≥0，－4x －2－1，x <0， 要使值域y ∈[0,1]，且a ，b ∈Z ，则a ＝－2，b ＝0,1,2；a ＝－1，b ＝2；a ＝0，b ＝2，∴共有5对． 答案 B 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )． A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0解析 分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，得到0<x 0<π2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B.答案 B4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图象关于直线x ＝2对称，则a 的值为________． 解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (2＋x )＝f (2－x )对于任意实数x 恒成立，即|x ＋4|＋|x ＋2－a |＝|x －4|＋|x －2＋a |对于任意实数x 恒成立，从而有⎩⎨⎧2－a ＝－4，a －2＝4，解得a ＝6. 答案 66．(2011·新课标全国)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8.答案 8三、解答题(共25分)7．(12分)讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根；当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根．8．(13分)已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数＝ln 1|2x －3|的大致图象为(如图所示) ( )．解析 y ＝－ln|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －ln (2x －3)，x >32，－ln (3－2x )，x <32，故当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数．答案 A2．(2012·江西)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为 ( )．解析 (1)当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI的面积S ＝FG ×GH ＋12FI × EF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12FI 2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D.(2)当12≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝22(1－x )，∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________． ] 解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎨⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．答案 (－1,0)4．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x <2的简图，方程f (x )＝k 有两个不同的实根，也就是函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同的交点，所以0<k <1.答案 (0,1)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎨⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． ](4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．6．(13分)设函数f (x )＝x ＋1x (x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点， ∴v ＝u ＋1u ①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎨⎧ u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎨⎧ u ＝4－x ，v ＝2－y ，代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ⇒y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.∴当b ＝0时得交点(3,0)；当b ＝4时得交点(5,4)．。
2014高考数学(理)名师指导提能专训4 三角函数的图象与性质
提能专训（四）三角函数的图象与性质一、选择题1．（2013·东北三校联考)已知函数y＝A sin（ωx＋φ)＋k（A＞0）的最大值为4,最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝错误!是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A．y＝4sin错误!B．y＝2sin错误!＋2C．y＝2sin错误!＋2 D．y＝2sin错误!＋2D 解题思路:由题意：错误!解得：错误!又函数y＝A sin(ωx＋φ）＋k最小正周期为错误!，∴ω＝错误!＝4，∴f（x）＝2sin(4x＋φ）＋2，又直线x＝错误!是f(x）图象的一条对称轴，∴4×错误!＋φ＝kπ＋错误!，∴φ＝kπ－错误!，k∈Z，故可得y＝2sin错误!＋2符合条件,故选D.2．（2013·乌鲁木齐第一次诊测）函数f（x）＝2sin(ωx＋φ）（ω＞0,0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A,B两点之间的距离为5，则f(x）的递增区间是（）A．［6k－1,6k＋2］（k∈Z）B．［6k－4,6k－1］(k∈Z)C．[3k－1,3k＋2](k∈Z）D．[3k－4,3k－1］（k∈Z）B 解题思路：|AB|＝5，|y A－y B｜＝4，所以|x A－x B｜＝3，即错误!＝3，所以T＝错误!＝6,ω＝错误!.由f(x）＝2sin错误!过点（2，－2)，即2sin错误!＝－2,0≤φ≤π,解得φ＝错误!，函数f(x)＝2sin错误!，由2kπ－错误!≤错误!x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得6k－4≤x≤6k－1,故函数的单调递增区间为［6k－4，6k－1］（k∈Z）．3．（2013·冀州一轮检测)当x＝错误!时，函数f(x）＝A sin（x＋φ)(A ＞0）取得最小值，则函数y＝f错误!是( ）A．奇函数且图象关于点错误!对称B．偶函数且图象关于点(π,0）对称C．奇函数且图象关于直线x＝错误!对称D．偶函数且图象关于点错误!对称C 解题思路：由已知可得f错误!＝A sin错误!＝－A,∴φ＝－错误!π＋2kπ（k∈Z）,∴f（x)＝A sin错误!，∴y＝f错误!＝A sin（－x）＝－A sin x，∴函数是奇函数，关于直线x＝错误!对称．4．（郑州一次质量预测）将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位,得到的函数的一个对称中心是（）A。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练：函数的图象、函数与方程、函数的应用
函数的图象、函数与方程、函数的应用(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2013·北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．解析 当a >1时，三个函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 均为增函数，则排除B ，C.又由直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a >1可得仅D 的图象正确，故应选D. 答案 D2．(2012·江西九校联考)函数f (x )＝x 3－16x 的某个零点所在的一个区间是 ( )．A ．(－2,0)B ．(－1,1)C ．(0,2)D ．(1,3) 解析 令f (x )＝0，解得x ＝0或±4.故选B.答案 B3．(2013·厦门质检)已知f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数是2，选B. 答案 B4．(2012·西安质检)设a 是方程1x －log 2x ＝0的实数根，则有 ( )．A ．a <0B ．1<a <2C ．0<a <1D ．a >2 解析 由题意可知，a 是函数y ＝1x 与y ＝log 2x交点的横坐标，作出图象即可得1<a <2.答案 B5．(2012·杭州高中月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是 ( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0，－a x ，x <0，又0<a <1，故选D. 答案 D6．(2012·台州期末)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是 ( )．A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④解析 本题应注意距离s 随时间t 的变化趋势，可通过平均变化率，即s ＝f (t )一次函数所在直线的斜率来判断，斜率越大，位移随时间的变化也越大，据此可得B选项是正确的．答案 B7．某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n年付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数为()．A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4解析第n年共有工人3n＋8位，其中有3位新工人，3n＋8－3＝3n＋5位老工人，老工人的工资总额为(3n＋5)(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工资为3×0.8＝2.4，故第n年付给工人的工资总数为(3n＋5)×1.2n＋2.4.答案 A8．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()．A．60件B．80件C．100件D．120件解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x，存储费用是x8，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8时取等号，即x＝80.答案 B9．(2012·杭州五校质检)设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是()．A．(－1，－log32) B．(0，log32)C．(log32,1) D．(1，log34)解析 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2x ∈(log 32,1)，故要使函数f (x )在(1,2)内存在零点，只要a ∈(log 32,1)即可．故选C.答案 C10．(2013·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上根的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 的图象可知，方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103时有3个根，要注意在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤3，103时方程无解． 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点为2，则g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析 由f (2)＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)．令g (x )＝0，得x ＝0或－12.答案 0，－1212．某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．解析 设生产第x 档次的产品，1≤x ≤10，则利润y ＝[60－3(x －1)][2(x －1)＋8]＝(63－3x )(2x ＋6)＝6(－x 2＋18x ＋63)＝6[－(x －9)2＋144]．当x ＝9时，y 取到最大值，故应生产第9档次的产品．答案 913．(2012·合肥三模)设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则函数y＝f(x)在区间[0,100]上至少有________个零点．解析∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，①∴f(x)＝－f(2－x)，f(x)＝－f(－2－x)，∴f(2－x)＝f(－2－x)，∴f(x)＝f(x－4)，∴f(x)是以4为周期的函数．令①中的x＝0，则f(1)＝0，f(－1)＝0，∴f(3)＝0，∴x∈[0,4]时f(x)至少有两个零点，∴x∈[0,100]时，f(x)至少有50个零点．答案5014．(2013·温州五校联考)对于任意实数x，[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋[lg 4]＋…＋[lg 2 013]＝________.解析原式＝([lg 1]＋[lg 2]＋…＋[lg 9])＋([lg 10]＋[lg 11]＋…＋[lg 99])＋([lg 100]＋[lg 101]＋…＋[lg 999])＋([lg 1 000]＋[lg 1 001]＋…＋[lg 2 013])＝9×0＋90×1＋900×2＋1 014×3＝4 932.答案 4 93215．(2012·山西四校联考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．解析依题意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．g(x)＝f(x)－kx－k在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝k(x＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14。
三角函数的图象与性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
D．函数 的一个单调递减区间为
7．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递减D．若 ，则 的值为
8．已知函数 的部分图象如图所示，下列结论正确的有（）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 为函数 的一条对称轴
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故 ＝4π，解得ω＝ .所以f(x)＝2sin .
把点 代入可得2sin ＝2，即sin ＝1，所以φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .所以f(x)＝2sin .
5.已知函数 ( )的部分图象如图所示，若 ，则 的最小值为。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
解得 .
8.函数 的最小正周期为。
【答案】
【解析】因为 ，所以最小正周期为 .
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4-3三角函数的图象与性质【基础巩固强化】1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B. 2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z .当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0得x ＝π12，故选A. [点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( )A ．(π6，2π3)B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A[解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A. (理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C. 4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析]∵T4＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝2πT＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C.(理)函数y＝xsin x，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C. 6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( )A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称[答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称．(理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形．其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心．综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案] 2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3. (理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________． [答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. (理)(2011·天津南开中学月考)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin(2x －π3)， 所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z .故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1].【能力拓展提升】11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin x|(0<x <π)的图象大致是( )[答案] B [解析] y ＝sin x ·|cos xsin x| ＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝()A ．2＋ 3B. 3[答案] B[解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4)＝A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)， ∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.12．(文)为了使函数y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972π C ．99π D ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真．14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析](1)由⎩⎨⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎨⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2.(2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2β＋π4)． ∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β，∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)，∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析](1)由m∥n得，b cos C＝(2a－c)cos B，∴b cos C＋c cos B＝2a cos B.由正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos B，即sin(B＋C)＝2sin A cos B.又B＋C＝π－A，∴sin A＝2sin A cos B.又sin A≠0，∴cos B＝12.又B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)由题知f(x)＝cos(ωx－π6)＋sinωx＝32cosωx＋32sinωx＝3sin(ωx＋π6)，由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋π6)，当x∈[0，π2]时，(2x＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值 3.当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－32.16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sin x cos x＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．[解析]f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )，(1)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)， 又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.(理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6，因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4， 所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3. 【备选】1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2kπ－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( )A ．1B ．2 C.112 D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )， 又∵ω>0，∴ωmin ＝233. 3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)．由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8，令k ＝1得x ＝7π8，故选B. 5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：[键入文字]2014年高三数学一轮复习（新课标）①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1；③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22. 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确．8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．[解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3)＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。