南开中学2008级高二第八周学案(二面角,直线和圆)
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
高中数学《二面角练习课》教案导学案
二面角练习课教学目标1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角．教学设计过程重温二面角的平面角的定义．（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．教师：请同学们看下图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．教师：请同学们对以上特征进行剖析．学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．教师：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．（上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．）例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE 与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6）由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA ∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．教师：请大家研究下面的例题．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E 于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．（练习课的一个重要特征是概括．解题重要的不是统计做了多少题目，而是是否掌握了一类题的实质，即有无形成基本的解题模式，只有真正掌握了一类问题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的基本规律．当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训，获得有意义的练习成果）例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的．作业1．120°二面角α-l-β内有一点P，若P到两个面α，β的距离分别为3和1，求P到l的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。
【精品】高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
人教版高二数学二面角 教案
高二数学二面角教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2+b2-2b2cos=2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。
必修2第二章二面角导学案
2.3.2 二面角【学习目标】① 能理解“二面角”的定义；② 能理解 “二面角的平面角”，并能找出“二面角的平面角”；③ 会求一些简单的二面角的平面角。
【重点难点】重点：二面角的平面角；难点：如何求作二面角的平面角【使用说明及学法指导】阅读课本P67~P68，完成下列题目预习案一、知识梳理1、半平面：__________________________________________________________叫做半平面2、二面角：________________________________________________________叫做二面角，这条直线叫做____________，这两个半平面叫做___________________。
3、二面角三种表示：_____________，_______，________4、二面角的平面角：（1）_________________________________________________________________叫做二面角的平面角．我们用_______________来度量二面角的大小。
5、二面角的范围是_______________6、_________________________________________________________叫做直二面角，二、问题导学1、二面角和二面角的平面角有什么关系？2 、二面角的范围是什么？三、预习自测1 .二面角是指 （ ）A 两个相交平面构成的图形B 以一个平面内的直线分成的一个平面与这个平面构成的图形C 从一条直线出发的两个半平面构成的图形D 过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线构成的角2．在一个二面角的一个平面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数 .4、在30°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 、5B 、20C 、210D 、225 5、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若AB = 2 , AD = 1 , A 1A = 1，求二面角B 1-AC-B 的大小探究案【例1】.在正方体AC 1中，求二面角C 1–BD –C 的平面角大小【例2】.如图，在三棱锥V-ABC 中，V A=VB=AC=BC=5，VC=4，AB=6，求二面角V -AB -C 的大小.课堂检测1、两个平面α、β与另一平面所成的角相等，则( )A 、α∥βB 、α与β相交C 、α∥ β或α与β相交D 、以上都不对2. 已知二面角α-l -β的度数是60︒，面α内一点A 到棱l 的距离为23，则A 到面β的距离是 .3. 已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为2，A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小5、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， E 是AA 1的中点，求平面BD 1E 与平面AC 所成的二面角的大小．lB O Aβα。
高二数学选修2-1(B版)_《二面角及其度量》参考学案1
3.2.4二面角及其度量一、学习目标1.知识与技能目标：了解并掌握二面角的定义及其度量方式，会用定义法和向量法求二面角；2.过程与方法目标：培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力；3.情感态度价值观目标：培养主动获取知识的学习意识，激发学习兴趣和热情。
二、重难点1.重点：定义法和向量法计算二面角的大小2.难点：做出二面角的平面角三、学习指导阅读教材108页倒数第9行到109页第5行，回答以下问题：1.二面角的定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角叫做二面角的棱，叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作，如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作.2.二面角的度量：在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则叫做二面角α-l-β的平面角；问题：平面角与点O的位置有关吗？平面角是的二面角叫做直二面角，组成直二面角的两个平面互相3.二面角的范围：四、自学展示：1.已知在一个二面角的棱上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角2cm，的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=17求这个二面角的度数。
2.ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且V A=VB=VC=AB，求二面角A-VB-C的大小。
3.PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，求二面角A-PB-C的大小。
4.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ABD∆∆和折起使折起后的ABCACD∆成等边三角形，则二面角C-AB-D的余弦值等于五、课后反思。
天津市南开中学高二数学上学期第周围周练试题 理
天津南开中学高二第一学期数学周练4本周涉及知识点:平面概念,与平面有关的表示法,三个公理及其推论,空间直线位置关系,直线和平面平行判定和性质考试重点异面直线成角,直线和平面平行性质定理的应用难点几何体中截面的画法能力要求:明白得空间直线、平面位置关系的概念，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理.◆公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.◆定理：空间中若是一个角的两边与另一个角的两边别离平行，那么这两个角相等或互补明白得以下判定定理.◆若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.有关问题平面与平面图形是不是一样？如何证明三点共线或三线共点？两个平面的公共点可否只有一个？空间三条直线两两相交有几种情形，空间四条直线两两相交有几种情形？三个平面能够把空间分为几部份，最多能够把空间分为几部份？空间中同垂直于一条直线的两条直线必然平行吗？异面直线成角如何计算？直线在平面外有几种情形，若是线//面,能够推出线//面内所有直线吗?空间中//,////a b b c a c ⇒能够吗？//,////a b a b αα⇒能够吗？试题训练：应知应会：一、四条直线相交于一点，它们能确信的平面的个数为_________二、空间四点，没有三点共线，可确信平面的个数为_____________3、依照以下图，写出图中的元素应知足的条件 ____,____,_____,___,____A A αββγαγαβ=== 关于图（1），_______,_______,______,______PQ B C A ====关于图（2），4、证明：不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内五、如图，已知ABC 的各个极点都在平面α外，直线AB ，AC ，BC 别离交平面α于点P ，Q ，R ，求证：P ，Q ，R 三点共线六、三个平面两两相交，所得的三条交线____________________7、连结空间四边形各边中点取得的四边形是_________8、如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，那么在以下命题中，错误的为 A . AC BD ⊥ B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45 9、假设直线a 与平面α内的无数条直线平行，那么a 与α的位置关系为______________10、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与1AD 所成角为多少异面直线BC 与AA1的距离为___________________;异面直线BA1与CC1的距离为___________________1一、A 是△BCD 平面外的一点,E 、F 别离是BC 、AD 的中点，假设AC ⊥BD,AC=BD,求EF 与BD 所成的角 已知平面,//,//l a a αβαβ=，求证：//a lPQ M N A B CD能力提高：空间四边形ABCD 中，假设1AB BC CD DA BD =====，且AB C D ，，，不在同一平面内，那么AC 的取值范围是14、将无盖正方体各面展开，直线AB CD ，在原正方体的位置关系 是（ ）Ａ．平行 Ｂ．垂直Ｃ．异面 Ｄ．相交成6015、画出以下几何体中由MNP 确信的截面。
度重庆南开中学高级半期考试(文)
2007-2008学年度重庆南开中学高2008级半期考试数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．“x>1”是“x 2>x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量与，则)1,2(),2,1(=-=（ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 4．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ） A ．φB ．RC ．}21|{<<-x xD ．}12|{-<>x x x 或 5．函数)32sin(π+=x y 的图象（ ）A ．关于点)0,3(π对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点)0,4(π对称D ．关于直线x= 3π对称6．数列n a n ++++++ 211,,3211,211,1:}{的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（1，－2）B ．（3，－2）C ．（－3，－2）D ．（5，－2）8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥x y y x y x x ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，1]B ．),1[]1,(+∞⋃--∞C ．]31,1[-D ．),31[]1,(+∞⋃--∞9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（1）和（4） C ．（2）和（3） D ．（2）和（4） 10．已知正数x 、y 满足x+y=1，则yx 41+的最小值是 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 11．过点（2，1）与坐标轴围成的三角形面积为4的直线有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（2，4）二、填空题（每小题4分，共16分） 13．函数3422+-=x xy 的递增区间是14．已知圆的方程为122=+y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n =16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABCO的面积之比为 三、解答题（共74分） 17．（13分）已知关于x 的不等式：.113)1(<--+x x a（1）当a=1时，求该不等式的解集； （2）当a>0时，求该不等式的解集. 18．（13分）已知△ABC 中，3204||||≤⋅≤=⋅AC AB AC AB 且，设和的夹角θ. （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθ2sin 3sin 22-=y 的最大值与最小值.19．（12分）设集合}04832|{},082|{222<-+-+=>-+=k k kx x x B x x x A ，若φ≠⋂B A ，求k 的取值范围. 20．（12分）已知⊙O 和⊙C 的方程分别为.1)2()1(,42222=-+-=+y x y x（1）求⊙O 与⊙C 公切线的长； （2）求⊙O 与⊙C 公切线的方程. 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=s n +n （n+1）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值. 22．（12分）已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （1）若k=2，求方程0)(=x f 的解；（2）若关于x 的方程)2,0(0)(在=x f 上有两个解212111,x x k x x +和，求的取值范围.。
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南开中学2008级高二第八周学案
本周涉及知识点：
复习二面角的有关知识,复习直线的有关知识,圆的标准方程和一般方程
考试重点:
圆的标准方程
能力要求:
能够熟练利用已知条件算出直线方程、平行或垂直对应的条件、直线中的参数； 能够熟练利用已知条件算出圆的方程
有关问题：
1、 直线方程的各种表现形式各有什么局限性？哪种方程可以表示所有直线？哪种方程
是平常经常建立的？ 2、 截距是距离吗？
3、 直线与直线平行、垂直各要满足什么条件？直线和直线平行时还要注意什么？
4、 点到直线距离公式是什么？
5、 关于直线对称的问题通过什么方式解决？
6、 圆的一般方程如何化为标准方程，对应的圆心和半径都是什么？
应知应会：
1、 若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上，则y 的值是___________
2、 设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线
x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________
3、 直线5x+4y=2m+1与直线2x+3y=m 交于第四象限，则m ∈____________
4、 经过点(1
2)A ，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ） Ａ．1条
Ｂ．2条
Ｃ．3条
Ｄ．4条
5、直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值是（ ） Ａ．1
Ｂ．1
3
-
Ｃ．23
-
Ｄ．2-
6、两条平行直线1:3420l x y +-=，2:6850l x y +-=的距离等于（ ） Ａ．3
Ｂ．0.1
Ｃ．0.5
Ｄ．7
7、斜率为k 的直线，满足11k -≤≤，则直线的倾斜角的范围是
8、若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） Ａ．[3060] ，
Ｂ．(3090) ，
Ｃ．(6090) ，
Ｄ．[3090] ，
9、当a 取不同的实数时，直线(1)210a x y a --++=恒过一定点，则这个定点是（ ）
Ａ．(23)，
Ｂ．(23)-，
Ｃ．112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
Ｄ．(20)-，
10、已知直线3120ax y +-=与直线40x y b -+=互相垂直，且相交于(4)P m ，，则
b =
11、直线l 经过点(11)
-，，则当点(21)-，到直线l 的距离最大时，直线l 的方程 为
_____________
12、设圆M 的方程为22(3)(2)2x y -+-=，直线l 的方程为30x y +-=，点P 的坐
标为(21)，
，那么（ ） Ａ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上
Ｂ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上 Ｃ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上
Ｄ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上
13、圆心为(1
2)-，，半径为x 轴上截得的弦长为
14、点(5112
)a a +，在圆2
2
(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是
15、过点A （1,1-），B （1,1-）且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是____________
16、在y 轴上的截距为2和8，且半径为5的圆的方程为____________________________
能力提高
1、 已知直线l 过定点A （1，2），在x 轴上的截距在（－3，3）的范围内，求直线l 在y
轴上的截距的取值范围
2、 已知：ABC 顶点A （3,1-），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，
B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求直线B
C 的方程
3、 光线中A (1,3)-射入，经直线10x y ++=反射，若反射光线经点B （4,2-），则反
射光线所在的直线方程为_______________
4、 已知两点A （4,1），B （0,4），在直线:310l x y --=上找一点M ，使||||M
A M
B -
最大，求M 点的坐标
5、求函数y =的最小值
6、若直线l 将圆22240x y x y +--=平分且不通过第四象限，则l 的斜率取值范围是（ ） Ａ．[]02，
Ｂ．[]01，
Ｃ．102⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
Ｄ．102⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，。