高三年级第二学期浙江省名校协作体联考数学学科试题
高三数学试题与解析-浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学适应性考试数学试题
2023学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题高三年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2340M x x x =--<，(){}ln 1N x y x ==-，则M N = （）A.()1,4 B.[)1,4 C.()1,4- D.[)1,4-2.若()()12i 32i 2i z ---=+，则z =（）A.33i-+ B.33i-- C.33i + D.33i-3.已知直线0ax y +=是双曲线()222104x y a a -=>的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（）B. C. D.4.已知a ，b是两个不共线的单位向量，(),c a b λμλμ=+∈R ，则“0λ>且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()1ln f x a x x=+的图象不可能是（）A. B. C. D.6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A.36B.32C.28D.247.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2231x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为()0y kx k =>，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM 、直线BN 、直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（）A.1232k k k += B.1232k k k += C.1232k k k += D.123k k k +=8.已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，1AB BC ==，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则（）A.有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最小值B.有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最小值C.有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最大值D.有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最大值二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A 与D 相互独立B.A 与B 相互独立C.B 与D 相互独立D.A 与C 相互独立10.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=.若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则（）A.()f x 是奇函数B.()3,6是()g x 的对称中心C.2是()f x 的周期D.()221130k g k ==∑11.在平面直角坐标系中，将函数()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转()090αα<≤︒后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.那么（）A.存在90︒旋转函数B.80︒旋转函数一定是70︒旋转函数C.若()1g x ax x=+为45︒旋转函数，则1a =D.若()ex bx h x =为45︒旋转函数，则2e 0b -≤≤非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
2020学年第二学期浙江省名校协作体高三试题
2020学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}1,3,4,6B =，则集合UA B =（ ）A.{}3B.{}2,5C.{}1,4,6D.{}2,3,52.过点()1,0且倾斜角为30°的直线被圆()2221x y -+=所截的弦长为（ ）A.2B.1D.3.设实数x 、y 满足不等式组3603030x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则x y -的最大值为（ ）A.4-B.32-C.0D.6 4.已知平面α，l ，m 是两条不同的直线，且m α⊂（ ） A.若//l m ，则//l α B.若l m ⊥，则l α⊥ C.若//l α，则//l mD.若l α⊥，则l m ⊥5.设函数()331log 1x x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，则函数()f x 的图像可能为（ ） A. B.C. D.6.将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位所得图象的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()3661201911a a -+-=，()()3201520151201911a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A.20202020S =，20156a a <B.20202020S =，20156a a >C.20202020S =-，20156a a ≤D.20202020S =-，20156a a ≥8.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于点A ，双曲线C 上存在点B （异于点A ），使得2ABF π∠=.若4BAF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.1+B.1C.2+D.29.设函数()()f x x ∈R 满足()()f x f x -=，且当[)0,1x ∈时，()3f x x =，当1x ≥时，()()122f x f x =-，又函数()()sin g x x x π=，函数()()()h x g x f x =-在[]1,2-上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.710.在矩形ABCD 中，AB =3AD =，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且2AE BF ==，现将ABE △沿直线BE 折成1A BE △，使得点1A 在平面BCDE 上的射影在四边形CDEF 内（不含边界），设二面角1A BE C --的大小为θ，直线1A B 与平面BCDE 所成的角为α，直线1A E 与直线BC 所成角为β，则（ ）A.βαθ<<B.βθα<<C.αβθ<<D.αθβ<<第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积________3cm ；表面积是________2cm .12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e cos sin ix x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则e 1i π+=________；312⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭________.13.二项展开式()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0a =________；135a a a ++=________.14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若()1036P X ==，p =________；若12p =，则随机变量X 的期望()E X =________.15.有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法16.设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________. 17.不共线向量OA ，OB 满足1OA OB ==.若对于给定的实数μ∈R ，存在唯一的点P ，满足OP OA OB λμ=+（,λμ∈R ）且2OP =，则2μλ的最小值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知角α，β（0α<，βπ<）的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点12A ⎛ ⎝⎭，B 分别在角α，β的终边上.（Ⅰ）设函数()()2sin 2f x x α=-，3, 82x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若点C 在角β的终边上，且线段AC 的长度为3AOC △的面积.19.已知四边形ABCD ，90ABC CAD ∠=∠=︒，2AB BC AD ==，将ABC △沿AC 翻折至PAC △.（Ⅰ）若PA PD =，求证：AP CD ⊥； （Ⅱ）若二面角P AC D --的余弦值为14-，求PD 与面PAC 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=. （Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）21.已知椭圆1C ：2212x y +=和抛物线2C ：()220x py p =>，点Q 为第一象限中抛物线2C 上的动点，过Q 作抛物线2C 的切线l 分别交y 轴、x 轴于点A 、B ，F 为抛物线2C 的焦点.（Ⅰ）求证：FB 平分AFQ ∠；（Ⅱ）若直线l 与椭圆1C 相切于点P ，求APF △面积的最小值及此时p 的值. 22.已知函数()e ln xf x x a x =-，定义域为()0,+∞.（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()()min g a f x =，当()0,a ∈+∞，求()g a 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在0c >，d ∈R ，使得()()()2max f x g a c x d -≥-.若存在，求c 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
浙江省名校协作体2022-2023学年高三下学期开学联考适应性考试数学试题含解析
，B正确；
对于C，当 ， 时， ，
最小值不是 ，C错误；
对于D，设 ， ，
由 知： ，即 ，解得： （舍）或 ， ，
，
（当且仅当 时取等号）， ，D正确.
故选：ABD.
11.已知圆锥PO 轴截面PAB是等腰直角三角形， ，M是圆锥侧面上一点，若点M到圆锥底面的距离为1，则（）
综上：含 的项为 ，则含 项的系数为 ，即 .
故答案为： .
15.设 ， 是函数 （ ）的两个极值点，若 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据极值点定义可将问题转化为 与 有两个不同交点 ；化简得到 ，利用换元法令 ，则 ，构造函数 ，利用导数求出 ，将参数 分离出来，构造函数 ，即可得出.
由题意得 ， ，则 ，
则直线 所在直线方程为 ，即
设 ，表面积最大时球的半径为 ，
则 ，则点 到直线 的距离等于半径 ，
则有 ，
解得 或 ， ，
，此时 ，
则
故选： .
6.如图，设 ， 是双曲线 的左、右焦点，过点 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点 ，若 的面积为 ，离心率满足 ，则双曲线的方程为（）
【小问1详解】
因为 ，且 ，
所以 ，
即 ，
所以 或 ，
解得 或 或 .
【小问2详解】
因为 ， ，所以 ，
根据余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
【详解】 ， 是 的两个极值点，
是 的两根，又当 时，方程不成立，
即 ， 两式作比得到: = = ，
所以 ，令 ，所以
令 ，则
令 ，则
所以 在 上单调递减，所以
所以 上单调递减，
高考数学第二学期浙江省名校协作体试题
2015学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科（理科）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径.球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合2{|560}A x x x =-->，2{|80}B x x x =-<，则()U A B =ð( )A ．(0,3]B ．[1,8]-C ．(0,6]D ．[2,3]2．已知a ∈R ，那么“1>a ”是“12>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知βα,是两相异平面，n m ,是两相异直线，则下列错误．．的是（ ） A ．若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n B ．若⊥m βα⊥m ,，则α∥β C ．若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ D ．若m ∥,n ααβ=，则m ∥n4．对任意,R x y ∈，恒有s i n c o s 2s i n ()c o s ()2424x y x y x y ππ-++=+-，则713s i n c o s 2424ππ 等于（ ） A ．124+ B ．124- C ．324+ D ．324- 5．在等比数列{}n a 中，设12n n T a a a =，N n *∈，则 ( )。
2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题(解析版)
2020届浙江省名校协作体高三下学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{(){}|,|ln 1A x y B x y x ====-，则A B =I ( )A ．{|2}x x ≥B ．{|12}x x ≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x >【答案】A 【解析】根据二次根式的被开方数大于等于0，即可求出集合A ，根据对数函数的真数大于0，即可求出集合B ，再根据交集的运算即可求出A B I . 【详解】解：由题意得，{{}|2A x y x x ===≥，(){}{}|ln 11B x y x x x ==-=>，则{}2A B x x ⋂=≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算和函数的定义域，运用到二次根式的被开方数大于等于0和对数函数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题.2．椭圆22124x y +=的离心率是( )A ． BC ．2D 【答案】C【解析】根据椭圆的方程求得a 、c 的值，即可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】在椭圆22124x y +=中，2a =，b =c ==因此，椭圆22124x y +=的离心率为2c e a ==. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.3．若实数x，y满足约束条件203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是( )A．2 B．9 4C．134D．154【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值. 【详解】不等式组203101x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如下图阴影部分所示：目标函数2z x y=+，可整理为1122y x z=-+，与直线12y x=-平行.数形结合可知，目标函数当且仅当过点17,44A⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值.故17152444maxz=+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划问题的最值求解，注意数形结合即可，属基础题.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．35B ．40C ．402D ．48【答案】B【解析】由三视图还原出几何体的直观图，可知几何体为四棱柱，再利用棱柱的体积公式，结合题给数据，即可求出几何体的体积. 【详解】解：由题给的三视图可得，该几何体为如下图：即为直四棱柱ABFE DCGH -，4,1AB EF ==，4BF BC ==，则底面ABFE 的面积为：()144102S +⨯==，棱柱的高：4h BC ==，该几何体的体积为：10440V Sh ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，涉及棱柱的体积公式，画出几何体的直观图是解题的关键.5．若a ，b ∈R .则“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“a >|b |+1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根，由根的判别式得出24a b >，由于a ，b R ∈，可取0,1a b ==-，进行验算即可判断不能推出1a b >+，反之已知1a b >+，则444a b ->，利用()220a -≥，可得出24a b >，则>0∆，可知能推出方程20x ax b -+=有两个不等实数根，最后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得出答案. 【详解】解：由题可知，a ，b R ∈，若已知关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 则240a b ∆=->，即24a b >，取0,1a b ==-时满足24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 但此时1a b <+，故充分条件不成立；反之，若已知1a b >+，即1a b ->，则444a b ->， 由于()220a -≥，即244a a ≥-，所以24a b >，则有24a b >，即>0∆，则方程20x ax b -+=有两个不等实数根， 故必要条件成立；所以“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“1a b >+”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程根和判别式的关系是解题的关键. 6．函数()2x x xx e y eππ--+≤=…的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用定义法判断函数的奇偶性，得出()f x 为奇函数，排除C 和D ，由于()()()()222x x x x xx e e x e e f x ee---+--'=+，当3x =，求得()30f '<，得出原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确.【详解】解：由于函数()()2x x xf x ex e y ππ-=-≤=≤+， 则()()2xx x f xee f x -+--==-， 所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，排除C 和D ， 由于()()()()222x x x x x x e e x e e f x e e ---+--'=+，当3x =时，()()333333268222640xxx x e ex e e e e e e e e--+--=+-+=-+<， 即()30f '<，即原函数图象逼近π时，切线的斜率小于0， 所以原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，利用定义法判断奇偶性和利用导数法判断单调性进行排除.7．随机变量ζ的分布列如下表所示，若()13E ζ=-，则()31D ζ-=( ) ζ-1 0 1p12abA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由于()13E ζ=-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D ζ，再由()()319D D ζζ-=，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E ζ=-Q ，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()5319959D D ζζ-==⨯=， 所以()315D ζ-=. 故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，考查运算求解能力.8．已知函数()||f x x x a =-的图象与()31g x ax =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A ．1, 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．⎫∞⎪⎪⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．1(2 【答案】A【解析】当0a <时，根据函数的图象知()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，根据()f x 和()g x 相切时的图象即可得到a 的取值范围. 【详解】当0a <时，如图所示：()f x 和()g x 的图象不可能有三个不同的交点，故舍去.当0a >时，()f x 和()g x 相切时，如图所示：()31x x a ax -=-，即2410x ax -+=. 21640a ∆=-=，解得：12a =. 所以当12a >时，()f x 和()g x 的图象有三个不同的交点. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数，同时考查了分类讨论的思想，根据题意画出图象为解题的关键，属于中档题.9．已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，沿直线DE 将ADE V 翻折成PDE △，直线PB 与平面BCDE 所成角最大时，线段PB 长是( )A ．743 B ．543C ．742D ．542【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ，AF DE ⊥，进而有DE ⊥平面POF ，过点P 作PQ AF ⊥于点Q ，可证PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ，设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，根据条件可知,AO DE PO DE ⊥⊥，PQ ⊥平面BCDE ，,PBQ POQ αβ∠=∠=，通过边长关系求出OQ β=，PQ β=，AQ AO OQ β=+=，以及利用余弦定理求出)228BQ β=+，从而得出)()22222tan 8PQ BQ βαβ==+，根据同角三角函数关系和换元法令[]2cos 64,8t β+=∈，得出24tan 1328t tα=-++-，再根据基本不等式时得出当cos 3t β=⇒=时，2tan α取得最大值，从而可求出线段PB 长【详解】解：取CD 的中点F ，连接AF 交于DE 的中点O ， 在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为AB 中点， 所以四边形AEFD 为正方形，AF DE ⊥， 所以,,PO DE OF DE PO OF O ⊥⊥=I ，故DE ⊥平面POF ，在平面POF 内过点P 作PQ AF ⊥于点Q ， 则,DE PQ DE AF O ⊥=I ，所以PQ ⊥平面BCDE ，连接BQ ， 设直线PB 与平面BCDE 所成的角为α，即PBQ α∠= 设平面PDE 与平面BCDE 所成的角为β，,OF DE PO DE ⊥⊥，所以POQ β∠=，所以DE PO AO ===所以在Rt POQ △中，,PQ OQ ββ==，则AQ AO OQ β=+=，在ABQ △中，4,4AB BAQ π=∠=，则由余弦定理得出：()22822cos BQ β=++，则有()()222222sin tan 822cos PQBQ βαβ==++222sin 822cos 4cos βββ=+++22sin cos 2cos 5βββ=++ 221cos cos 2cos 5βββ-=++22cos 61cos 2cos 5βββ+=-+++，令[]2cos 64,8t β+=∈，则6cos 2t β-=， 即：24tan 1328t tα=-++-， 当直线PB 与平面BCDE 所成角α最大时，2tan α最大， 即24tan 1328t tα=-++-取得最大值时，当且仅当32t t=， 此时42cos 223t β=⇒=-， 所以，()()2222sin 822cos PB ββ=+++72124cos 822β=+==，即742PB =.故选：C.【点睛】本题考查线面角和二面角的定义，还运用余弦定理和利用基本不等式求最值，还涉及同角三角函数关系和换元法，考查转化思想和化简运算能力.10．数列{}n a 满足*31101,N ,n n n n a a a a n S +>=-∈+，表示数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，则下列选项中错误．．的是( ) A ．若1203a <<，则1n a < B ．若1213a <<，则{}n a 递减 C ．若112a =，则1142n n S a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭D ．若12a =，则200023S >【答案】D【解析】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈，利用导数求出()()0,1f x ∈即可；对于选项B，首先得到当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭，然后结合1213a <<和21a a <可得出{}n a 递减；对于选项C ，证明11114n n n a a a +⎛⎫>-⎪⎝⎭即可；对于选项D ，证明117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可. 【详解】对于选项A ，令()31f x x x =-+，()0,1x ∈则()231f x x '=-，所以()f x在0,3骣琪琪桫上单调递减，在3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 因为()()01,10,1139f f f ⎛⎫==->= ⎪⎪⎝⎭，所以()()0,1f x ∈ 所以当()120,0,13a ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭时1n a <，故A 正确 对于选项B ，()()3212111n n n n n n n a a a a a a a +=-+=-+--因为1213a <<，所以21110a a +->，所以21a a < 因为()31f x x x =-+在3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭()()11f f x f <<<=⎝⎭所以1231n a a a a >>>>>->L ，所以{}n a 递减，故B 正确 对于选项C ，令()391,05g x x x x =-+> 则()2935g x x '=-，易得()min 10525g x g ⎛==-> ⎝⎭所以39105n n a a -+>，所以3415n n n a a a -+>，即145n n a a +> 所以11114n n n a a a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭所以122132111111111111144++1114244n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++>-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L故C 正确对于选项D ，因为12a =，所以()32121210n n n n n n a a a a a a +=-=-+-+>所以()22114n nn n a a a a +>-≥≥令()381,4h x x x x =-+>，则()238h x x '=-易得()()40h x h >>，所以3810n n a a -+>，所以317n n n a a a -+>，即17n n a a +>所以117116n n n a a a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭所以2233411111711711711++22666n n n n a a a a a a a a S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 2111711171111226267263n n a a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+-<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故D 错误 故选：D 【点睛】本题考查的是数列的综合问题，解答的关键是结合导数的知识，构建合适的不等式，属于难题.二、双空题11．已知复数z 满足()1234(i z i i -=+为虚数单位)，则复数z =________；|z |=________.【答案】12i -+【解析】根据复数的运算法则即可化简求得复数z ，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为()1234i z i -=+，故可得()()()()341234510121212125i i i iz i i i i +++-+====-+--+.又z ==故答案为：12i -+【点睛】本题考查复数的运算法则，以及复数模长的求解，属综合基础题.12．二项式3(n x-的展开式中，各项系数之和为64，则n =________；展开式中的常展开式中的常数项是________. (用数字作答) 【答案】6 135【解析】令1x =，求出展开式各项的系数和，建立关于n 的方程，进而求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出项数，即可得出结论. 【详解】对于二项式3(n x，令1x =， 得各项的系数和为264,6nn =∴=，二项式63(x的展开式中，通项为366621663()((1)3k k k k k k k k T C C x x---+==-⋅⋅，0,1,2,6k =L ，令360,42k k -==，所以展开式中常数项为2463135C ⋅=.故答案为：6，135. 【点睛】本题考查二项展开式定理以及性质，利用赋值法是解题的关键，熟记展开式的通项，属于基础题.13．已知椭圆2214x y +=.点E 为椭圆在第一象限内一点，点F 在椭圆上且与点E 关于原点对称，直线10x y +-=与椭圆交于A ，B 两点，则点E ，F 到直线x +y -1=0的距离之和的最大值是________；此时四边形AEBF 的面积是________. 【答案】10855【解析】根据题意，设出,E F 两点坐标，利用点到直线的距离公式，求得距离之和的表达式，结合E 点在椭圆上坐标满足椭圆方程，利用柯西不等式即可求得距离之和的最大值；联立椭圆方程和10x y +-=，求得,A B 两点坐标，即可求得AB ，则四边形的面积可得. 【详解】根据题意，作图如下：不妨设()00,E x y ，则()00,F x y --， 故,E F 到直线10x y +-=的距离之和0000112x y x y d +-+++=因为点E 是椭圆上位于第一象限的点，根据直线划分平面，以及点E 位于直线AB 的右上侧，故可得：0010x y +->，且0010x y ++>， 则)0000001122x y x y d x y +-+++==+.又因为点E 在椭圆上，故220044x y +=，由柯西不等式可得：()()222220001412x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()2005x y +≤，解得00x y +≤，当且仅当00x y ==时取得等号.故)00d x y =+≤=；联立椭圆方程2214x y +=与直线方程10x y +-=，可得2580x x -=，解得()830,1,,55A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得5AB ==.故四边形AEBF 的面积125S AB d =⨯=.. 【点睛】本题考查椭圆中四边形面积的求解，涉及椭圆中范围问题的求解，涉及柯西不等式的利用，属综合中档题.14．在锐角ABC ∆中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 56A B π+=，则b a的取值范围是________.若这个三角形中的A ，B 同时满足tanA =2tanB ，则()sin A B -=________.【答案】⎝⎭ 16 【解析】（1）利用正弦定理将b a转化为sin sin BA ，然后将B 转化为A ，利用A 的取值范围，求得ba的取值范围. （2）利用tan 2tan A B =以及56A B π+=，结合两角差的正切公式，求得tan A 的值，将()sin A B -转化为含tan A 的表达式的形式，由此求得()sin A B -的值. 【详解】（1）由正弦定理得51sin cossin1622sin sin sin2tanA A Ab Ba A A A Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+由于三角形ABC是锐角三角形，所以0,232 50,62AAB Aπππππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⇒<<⎨⎛⎫⎪=-∈⎪⎪⎝⎭⎩，所以)1tan,0,2tan6AA⎛∈+∞∈⎝⎭，所以1223tan2A⎛+⎝⎭.（2）由于5tan tan56tan2tan2tan2561tan tan6AA B AAπππ-⎛⎫==-=⨯⎪⎝⎭+⋅，化简得2tan20A A--=①，由于A为锐角，所以tan0A>，所以①解得tan A=由tan2tanA B=可得sin2sinsin cos2cos sincos cosA BA B A BA B=⇒=，所以()sin sin cos cos sinA B A B A B-=-5cos sin cos sin6A B A Aπ⎛⎫==-⎪⎝⎭211cos cos cos cos22A A A A A A⎛⎫==⎪⎪⎝⎭222211cos sin cos tan2222cos sin1tanA A A AA A A++==++，将tan A=得211221tan6AA+=+，即()1sin6A B-=.故答案为：（1）23⎛⎝⎭；（2）16.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变形，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.三、填空题15．设正数a ，b 满足， 11316a b a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a bb a +的最大值是________.【答案】18【解析】变形已知13(3)()16a b a b+++=，利用基本不等式构造a b b a+，由1316(3)()a b a b =+++≥化简可得解. 【详解】113()16a b a b +++=Q ，13(3)()16a b a b∴+++=1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.16．已知平面向量,,a b c r r r ，1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r ，若对于任意的向量d r均有||d c -r r|d a -r r ，则||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是________.【答案】⎡⎣【解析】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D，取1(1,0),(2a b ==r r，则点C 在直线2x =上，设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r ||CD d =≥，所以||22AD d =，设(,)D x y ，可得点D 的轨迹方程为2212x y +=，再根据椭圆的定义可得结果. 【详解】设向量,,,a b c d r rr r 的始点为原点O ，终点分别为,,,A B C D ，因为1||||1,,22a b a b a c ==⋅=⋅=u u r u u r r r r r，取13(1,0),(,)22a b ==rr，则由2a c ⋅=r r 可知点C 在直线2x =上， 设点D 到直线2x =的距离为d ，则||d c -r r||CD d =≥，根据题意得2||2||d a AD d -==rr，即||22AD d =， 设(,)D x y ，则22(1)22x y -+=， 化简得2212x y +=，所以动点D 的轨迹是以A (1,0)为焦点，直线2x =为准线的椭圆， 设另一个焦点为1A ，则1(1,0)A -， 易知点13(,)2B 在椭圆内， 如图所示：所以||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+11|||||DA DB A B =+≤+==D 为1BA 的延长线与椭圆的交点时取得等号，||||d a d b -+-u r r rr ||||DA DB =+1||||DA DB =+1||A B ≥=当D 为1A B 的延长线与椭圆的交点时取得等号，所以||||d a d b -+-u r r rr 的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣【点睛】本题是平面向量和椭圆的综合题，根据平面向量的几何意义得到动点D 的轨迹为椭圆是解题关键，考查了根据椭圆的定义求动点到定点的距离之和的最值，属于难题. 17．已知函数()||1ln x a f x xex -=--，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0，且对任意的1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式22cos ax m x ≥-恒成立，则实数m 的最大值是________. 【答案】2【解析】根据题意，由()f x 的最小值为0分析可得1a =，再对不等式变形可得22cos x x m +≥，构造函数()22cos g x x x =+，求得最小值为()02g =，即可得到结论.【详解】由题意，()1ln ,1ln 1ln ,x a x aa x xe x x af x xex xe x x a ---⎧--≥=--=⎨--≤⎩，当1a ≤时，()1ln x af x xex -=--，此时()()11x a f x x e x-'=+-，当[)1,x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递增， 所以，()f x 的最小值为()1110af e-=-=，解得1a =.当1a >时，()1ln ,1ln ,x a a x xe x x af x xe x x a--⎧--≥=⎨--≤⎩，当x a ≥时，此时()1ln x af x xex -=--，()()110x a f x x e x-'=+-≥恒成立，所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a ae a -=--=，解得1a =（舍），当x a ≤时，此时()1ln a xf x xex -=--，()()110a x f x x e x-'=--≤恒成立， 所以，函数()f x 的最小值为()1ln 0a af a aea -=--=，解得1a =（舍）.综上，当[)1,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0时，此时1a =，所以，不等式22cos x m x ≥-对1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，即22cos x x m +≥， 令()22cos g x x x =+，则()()22sin 2sin g x x x x x '=-=-，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥恒成立，即()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以，当102x -≤<时，()0h x ≤，即()0g x '≤；当01x ≤≤时，()0h x ≥，即()0g x '≥.即()g x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]0,1上单调递增， 所以，()g x 在0x =处取得最小值，此时最小值为()02g =， 所以，2m ≤，即实数m 的最大值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，构造函数，考查不等式恒成立，属于中档题.四、解答题18．已知关于x 的函数()22sin cos ,f x x x x m m R =-++∈，其图象过点(,2)12π. （1）求实数m 的值； （2）设()0,απ∈，212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求cos α的值.【答案】（1（2.【解析】（1）根据题意化简函数()f x ，再由函数图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到m . （2）根据212f α⎛⎫=⎪⎝⎭，可得1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由()0,απ∈可得cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再将cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得到结论. 【详解】由题意，())22sin cos 1cos2sin 2f x x x x m x x m =-++=-++，即()2sin 23f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）因函数()f x 其图象过点,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即2sin 21263f m πππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m . （2）由12sin 232f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,απ∈，则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以，cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即11cos 24α=+=【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形90ADC ︒∠=，BC //A D ，1,2,CD BC AD PAB ===∆为正三角形，M 为PD 中点.（1）证明:CM //平面PAB ； （2）若二面角P -AB -C 的余弦值为33，求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）根据题意，取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，利用中点可得平面//PAB 平面MEC ，进而可得结论；（2）根据题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，计算可得PE EF ⊥，进而可得PE ⊥平面ABCD ，建立坐标系，利用空间向量计算即可. 【详解】（1）证明：取AD 的中点为E ，连接EM ，EC ，如图：由题意，ABCD 为直角梯形，1BC CD ==，2AD =，M 为PD 中点， ∴ME PA //，//EC AB ， 又PA AB A =I ，ME EC E =I ，∴平面//PAB 平面MEC ，而CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面PAB ， 故//CM 平面PAB .（2）由题意，取AB 的中点F ，连接PE ，BE ，EF ，如图：因ABE ∆为等腰直角三角形，PAB ∆为正三角形，则EF AB ⊥，PF AB ⊥，即AB ⊥平面PEF ，即PE AB ⊥即二面角P AB C --的平面角为PFE ∠，则3cos 3PFE ∠=，又2AB =，则62PF =，2EF ，由余弦定理可得1PE =，则222EF PE PF +=，即PE EF ⊥，而EF AB F =I ，所以，PE ⊥平面ABCD ，由ABCD 为直角梯形，所以，以,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，则()0,2,0AD =u u u r ，()0,1,1PD =-u u u r ，()1,0,1PB =-u u u r设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由00n PD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即00y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1z =，所以1x y ==，所以，平面PBD 的一个法向量为()1,1,1n =r， 所以3sin cos ,323n AD θ===⨯r u u u r， 即直线AD 与平面PBD 所成的正弦值为33. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．20．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足()11*N 1,2,n n n a a S S n n -=-∈=….（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n T 为{}1n n a S +的前n 项和n *∈N ，证明: ()31421n T n n ≥-++.【答案】（1）()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）可得()1211n n a S n n +=-+，即21321n n n T a S a S a S +=+++L ，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）当2n ≥时，由11n n n n n a S S S S --=-=-⋅，即1111n n n n n n S S S S S S ----=-⋅⋅， 所以，1111n n S S --=，又11111S a ==，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项与公差都为1的等差数列， 所以，1n n S =，即1n S n=，故()111n n n a S S n n -=-=--，而11a =， 故数列{}n a 的通项公式：()1,11,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩. （2）由（1）可得()1211n n a S n n +=-+，所以，()2132122211112231n n n T a S a S a S n n +=+++=---⨯⨯+L L 要证明()31421n T n n ≥-++，即证明()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L . 数学归纳法证明： 当1n =时，左边211122=-=-⨯，右边31142122=-+=-⨯⨯，不等式成立；假设当n k =时，()()2221111221233411k kk k -+---≥⨯⨯++L 成立， 那么当1n k =+时， 左边()()()2222111112231111k k k k =----⨯⨯++++L ()()()()()22231132421412212k k k k k k k k k ++-+-=-++≥++++()()()()()22213344212212k k k k k k k k k k ++-+=-++≥+++()()3142111k k =-+=+++右边.即当1n k =+时，不等式也成立；综上，当n *∈N 时，不等式()()2221111221233411n n n n -+---≥⨯⨯++L 成立， 故()31421n T n n ≥-++. 【点睛】本题考查了递推关系的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21．如图，已知椭圆C :2212x y +=过原点的直线与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点()0,0E x ，设直线BE 与椭圆的另一交点为P ，连接AP 得到直线l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N .（1）若01x =，求直线AP 的斜率；（2）记,,ABP OEP OMN ∆∆∆的面积分别为S 1，S 2，S 3，求1232S S S -的的最大值.【答案】（1）2-；（2）12. 【解析】（1）根据01x =，求出,,E A B 的坐标，再求出直线BE的方程，并与椭圆方程联立解得P 的坐标，最后用斜率公式可得直线AP 的斜率；（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，利用三角形的面积公式求出12002S S x y -=，根据斜率公式和椭圆方程可得PA 的斜率和直线PA 的方程，进而求出,M N 的坐标和3S ，最后用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为01x =，所以022y =， 所以(1,0)E ，2(1,)A ，2(1,)B --， 所以直线BE 的方程为：220(1)11y x ---=---，即221x y =+，联立2222112x y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得2104210y y +-=，所以122y =-，2210y =，所以72(,)510P ，所以222102715APk -==--.（2）设11(,)P x y ，00(,)A x y ，则00(,)B x y --，则1ABE APE S S S =+V V 000101()2x y y x x =+-， 因为11(,)P x y 在直线BE ：0002x x y x y =+上，所以011002x x y x y =+，所以0100010212x S x y y y y =+⨯0001x y x y =+，因为20112S x y =， 所以12000101002S S x y x y x y x y -=+-=，因为221101022101010o PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-2210221011111222x x x x -+-==--， 所以0011222PA PB x k y k y x =-=-=-⨯， 所以直线PA ：0000()x y y x x y -=--， 所以2000(,0)y M x x +，2000(0,)x N y y +， 所以2200300001()()2y x S x y x y =++2220000()2x y x y +=， 所以0012222003002()2x y S S x y S x y -=+2200222002()x y x y =+2200220024x y x y ≤12=， 当且仅当00x y=3=时，等号成立. 所以1232S S S -的的最大值为12. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点问题，考查了直线方程的点斜式和直线的斜率公式，考查了基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()ln xa f x a xe a e x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，a R ∈(其中e 为自然对数的底数).（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若不等式()ln f x a x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）1e a e -≥.【解析】（1）将1a =代入解析式，并求得()f x '，令()1xx g x e =-+并求得()g x '；由()g x '的符号可判断()g x 的单调性，进而求得()min 0g x >，即可由()f x '符号判断函数()f x 的单调性；（2）根据不等式及函数()f x 的解析式，代入后化简变形，并令xt a=，转化为关于t 的不等式，分离常数后构造函数()ln tt t e h t te--+=，求得()h t '后，再构造函数()1ln g t t t e =+--，求得()g t '；由()g t '的符号可判断()g t 的单调性，进而可知存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =，从而判断出()h t 的单调性与极值点，结合函数解析式求得()()10e h e h t e -==，即可由恒成立问题求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，函数()xf x xe e x -=-+，则()()211x xx xx e xe e f x x e e --++'==， 令()1x x g x e =-+，则()1xg x e '=-，令()0g x '=，解得0x =，所以当0x <时，()10xg x e =-<'，()1xx g x e =-+在0x <时单调递减，当0x >时，()10xg x e =-'>，()1xx g x e =-+在0x >时单调递增，即()()min 1200xg x g e x -+==>=，所以()10x xx e f x e '=+>-，即函数()f x 在R 上单调递增.（2）当0a >时，不等式()ln f x a x ≥恒成立，代入可得ln ln xa a xe a e x a x -⎛≥⎫+-+ ⎪⎝⎭， 因为0a >，化简可得ln ln xax xe a e x a -+-≥+，即ln 0x a x xxe a ae ---≥+，令,0xt t a=>，所以,x at =则不等式可化为ln 0t ate e t t --+≥-， 变形可得ln tt t e a te--+≥，令()ln tt t e h t te--+=，则()()()()()()2211ln 11ln t t t t t te t t e e te t t t e t h t t e te-----⎛⎫---+- ⎪-+--⎝⎭'==， 令()1ln g t t t e =+--，则()111t g t t t-'=-=， 令()0g t '=，解得1t =，当01t <<时，()0g t '<，则()g t 在01t <<内单调递减， 当1t <时，()0g t '>，则()g t 在1t <内单调递增， 而()111ln120g e e =+--=-<，221130g e e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，()0g e =，所以存在021,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g t =， 从而当()00,t t ∈时()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()00,t t ∈时单调递增；当()0,1t t ∈时，()0h t '<，则()ln t t t e h t te--+=在()0,1t t ∈时单调递减；当()1,t e ∈时，()0h t '>，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t e ∈时单调递增；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<，则()ln tt t e h t te--+=在()1,t ∈+∞时单调递减.则()ln tt t e h t te --+=在0x t =或x e =处取得最大值，而()11e e h e e e e--==⋅，()00000ln t t t e h t t e --+=⋅，因为()00g t =，即001ln 0t t e +--= 则()ln 11001000000000ln t t e e e t t t e t e e e h t e t t t t e -+-+---+⋅=====， 综上可知，a 的取值范围为1e a e -≥. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性的关系，函数单调性、极值、最值的综合应用，由导函数研究不等式恒成立问题，分离参数与构造函数法的综合应用，是高考的常考点，属于难题.。
浙江省名校协作体高三下学期3月联考数学(理)答案.docx
2015学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分．9．13，1 10．6π，1211．403，28+ 12．23，4513．15 14．8-或28- 15．2019三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，已知tan cos cos a A c B b C -=．（I ）求角A 的大小；（II ）设AD 是BC 边上的高，若12AD a =，求b c的值． （I ）由正弦定理知：sin tan sin cos sin cos sin A A C B B C A =+=……3分又sin 0A ≠，故tan 1,4A A π==…………………………………………7分（II ）ABC ∆的面积111sin 222S a a bc A =⋅=，故2a =，…………………………………………………………10分又2222cos a b c bc A =+-故220b c +-=，……………………………………………12分求得1b c=…………………………………………………………14分 17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，090ADC BCD ∠=∠=，2BC =，CD =4PD =，60PDA ∠=o ，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AD PB ⊥；（II ）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为300，若存在，求PM PA的值；若不存在，请说明理由．【解析】（I ）过B 作BO//CD ，交AD 于O ，连PO ，则AD ⊥BO ，-----------------2分在△PDO 中，PD ＝4，DO ＝2，∠PDA ＝600，则PO ⊥AD ，-----------------4分则AD ⊥面POB ，所以AD ⊥PB-----------------6分（II ）由（1）可建立如图坐标系，若存在满足条件的点(,0,)M m n -------------------7分(),(2,0,0)0,1---------100,0,1--------12cos(,1----------------------141-------15MB m n BC MBC n ABCD n PM PO PA PO μνμν=--=-====∴=-∴===u u u r u u u r u u u r r u r r 平面的一个法向量（，分又平面的一个法向量（）分）分分法二：假设存在点M ，过M 作AD 平行线交PO 于N ，连BN ，则∠NBO 就为二面角M －BC －D 的平面角，------------------9分133tan 23cos =⇒==∠⇒=∠ON OBNO NBO NBO ------------------12分 PN ＝PO －NO ＝132－，所以63132132-=-＝＝PO PN PA PM ------------------15分 18.（本小题满分15分）已知R a ∈，函数2()||2f x x x a x a =--+．（I ）若2a >，解关于x 的方程2()2f x a a =-；（II ）若]4,2[-∈a ，求函数()f x 在闭区间[]3,3-上的最小值． 【解析】（I ）由题得：22||22x x a x a a a --+=-， 即||2()x x a x a -=-，显然x a =是方程的解。
2018学年第二学期浙江省名校协作体联考高三年级数学学科试题(2月G12联考)
2018学年第二学期浙江省名校协作体联考高三年级数学学科试题(2月G12联考)浙江省名校协作体2019届高三第二学期联考数学2019.2一、 选择题（本大题共 10 小题， 每小题 4 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1.设集合 A = {x | -2 ≤ x < 3}， N 是自然数集， 则 A ∩N =( ▲ )A 、{-2，-1，0，1， 2}B 、{0，1， 2，3}C 、{0，1，2}D 、{1，2}2.二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ( ▲ )A 、-15B 、15C 、-20D 、203.设α，β，γ 是三个互不重合的平面， m ， n 是两条不重合的直线， 则下列命题中正确的是 ( ▲ )A 、若α ⊥ β ，β ⊥ γ ，则α ⊥ γB 、若α ⊥ β ， m ⊥ α ，则 m / /βC 、若α / /β， m ⊄ β， m / /α ，则 m / /βD 、若 m / /α，n / /β，α ⊥ β 则 m ⊥ n4.将函数 y = sin 2x 图像沿 x 轴向左平移ϕ (ϕ > 0)个单位得到函数 sin （2x ＋3π）的图像， 则ϕ 的最小值为 ( ▲ ) A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π 5.函数 f (x ) = (x 2 - 2)ln ｜x ｜的图像为 ( ▲ )6.非零实数 x ， y 满足｜x + y ｜+｜xy ｜=｜x + y - xy ｜的充要条件是 ( ▲ ) A 、x + y = 0 B 、xy < 0 C 、(x + y )xy > 0 D 、(x + y )xy ≤ 07.不等式组040(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是9， 则 m 的值是 ( ▲ )A 、8B 、6C 、4D 、18.连续掷一枚质地均匀的骰子3次， 各次互不影响， 记ξ出现6点的次数．则D （ξ） = ( ▲ )A ．16B ．12 C ．156 D ．5129.若平面向量a ，b ，e 满足｜a ｜= 2，｜b ｜= 3，｜e ｜=1，且 a ⋅b - e ⋅(a + b )+1= 0， 则｜a -b ｜的最小值是 ( ▲ ) A 、1 B 、1343- C 、1243- D 、710.在三棱锥 S - ABC 中， ∠SCA = θ，∠ACB = π -θ ， SB 与AC 所成的角为α ，下列判断一定正确的是 ( ▲ ) A 、θ≥α B 、θ≤αC ．θ +α ≥2π D ．θ +α ≤2π 二、 填空题（本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分， 共 36 分， 把答案填在题中横线上） 11.若复数121iz i i-=-+，则 z 的虚部为 ▲ ，｜z ｜= ▲ ． 12.已知直线 l 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线， F 1，F 2 是双曲线 C 的左、 右焦点， 点 F 1关于直线 l 的对称点在双曲线 C 的另一条渐近线上， 则双曲线 C 的渐近线的斜率为 ▲ ， 离心率 e 的值为 ▲ ．13.某几何体的三视图如右图所示，（数量单位是 cm ） ， 则它的体积是 ▲ cm 3， 表面积是 ▲ cm 2 ．第14题14.四面体 S - ABC 中， SA ⊥面 ABC ， H 是 ∆SBC 的垂心，且 AH ⊥面 SBC ，则三对对棱 SA 与 BC ， SB 与 AC ，SC 与 AB 中互相垂直的有 ▲ 对； 若 H 也是 ∆SBC 的重心，则二面角 S - BC - A 的正弦值为 ▲ ．15.某校高一（16） 班有 5位同学报名参加数学、 物理、 化学三科兴趣小组， 若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加， 则共有 ▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．16.若 P (x 0， y 0 )是抛物线C 1 : y 2 = 4x 上的点， 过点 P 作射线 PAB ，交圆C 2 :(x + 4)2 + y 2 =1于 A ， B 两点， 且｜PA ｜= 2｜AB ｜，则 x 0 的取值范围是 ▲ ．17.若正数 a ，b ，c 满足 a 2 +b 2 + c 2 - ab -bc = 1， 则 c的最大值是 ▲ ．三、解答题（本大题共 5 小题， 共 74 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 18.三角形 ABC 中， 角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 sin 2 B +sin 2 C - 2 sin B sin C = sin 2 A ． （1） 求角 A 的大小；（2） 若 ∆ABC 的面积 S =1， 求 a 的最小值．19.四棱锥 P - ABCD 的底面为菱形， AB = 4，∠ABC = 60°， M 为 PB 的中点， N 为BD 上一点， 且BN =13ND ．若 PA = PC = 5，PB =21。
2103名校协作体高三数学答案
18.【解析】解析：（Ⅰ）由 过点 A(1 , 3 ) 知 cos 1 ,sin 3 ， 2 分
22
2
2
=
，
f
(x)
2sin(2x
)
.
3分
3
3
x (3 , ) 2x ( 5 , 2 ) f (x) ( 3, 2] .
82
3 12 3
f (x)max 2
6分
（ II ） 由 过 点 B( 2 6, 2 6) 知 sin 2 6 ,cos 2 6 ，
bn3n=n2bb211n+n2n21bn 21,nn121b02232,n0n,,23nb+nn14n15.
1 n2 n2
21 2 2
2
02,nn
12
b1 b2 b3 bn 1 2 1 2 2 2 n 1 13 分
n2 n 1 2020, n 45.
4
n 1 n 1 3n +1 1, (n 2) n 3 +1n 1 3n +1n 1 n2 0 3n = 1+2n 1 2n, 3n +1 n 1 n2 n2 2 0, n 2
，
OB
的
1
夹 角 ） . 因 为 P 点 唯 一 ， 所 以 关 于 的 方 程 2 2 cos 2 4 0 有 唯 一 解 ， 于 是
4 2 cos2 4
2 4
0 2
4 sin2
.又
u cos
，所以消去
得2
4
2
，进而
2
2 4
4 ，等号当且仅当
2 时等号成立.
44
44
2x 0
1 4
y
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1
高三年级第二学期浙江省名校协作体联考
数学学科试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.设集合|23Axx，N是自然数集，则AN( ▲ )
A．2,1,0,1,2 B．0,1,2,3 C．0,1,2 D．1,2
2.二项式61xx的展开式中的常数项是 ( ▲ )
A．15 B．15 C．20 D．20
3.设,,是三个互不重合的平面，,mn是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 ( ▲ )
A．若,，则 B．若,m，则//m
C．若//,,//mm，则//m D．若//,//,mn，则mn
4.将函数sin2yx图像沿x轴向左平移0个单位得到函数sin23yx的图像，
则的最小值为 ( ▲ )
A．6 B．3 C．56 D．23
2
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
5.函数22lnfxxx的图像为 ( ▲ )
6.非零实数,xy满足xyxyxyxy的充要条件是 ( ▲ )
A．0xy B．0xy C．0xyxy D．0xyxy
7.不等式组0400xyxymxm表示的平面区域的面积是9，则m的值是 ( ▲ )
A．8 B．6 C．4 D．1
8.连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记为出现6点的次数．则D ( ▲ )
A．16 B．12 C．156 D．512
9.若平面向量,,abe满足2,3,1abe，且10abeab，则ab的最小值
是 ( ▲ )
A．1 B．1343 C．1243 D．7
10.在三棱锥SABC中，,SCAACB，SB与AC所成的角为，下列判断一定
正确的是 ( ▲ )
A． B． C．2 D．2
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横
2
44
3
第16题
图
A
C
S
B
H
第14题
线上）
11.若复数121izii，则z的虚部为 ▲ ，z ▲ ．
12.已知直线l为双曲线2222:10,0xyCabab的一条
渐近线，12,FF是双曲线C的左、右焦点，点1F关于直线l的
对称点在双曲线C的另一条渐近线上，则双曲线C的渐近线的
斜率为 ▲ ，离心率e的值为 ▲ ．
13.某几何体的三视图如右图所示，数量单位是cm，
则它的体积是 ▲ 3cm，表面积是 ▲ 2cm．
14.四面体SABC中，SA面ABC，H是SBC的垂心，
且AH面SBC，则三对对棱SA与BC，SB与AC，SC
与AB中互相垂直的有 ▲ 对；若H也是SBC的重心，
则二面角SBCA的正弦值为 ▲ ．
15.某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加
一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有 ▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．
16.若00,Pxy是抛物线21:4Cyx上的点，过点P作射线PAB，
交圆222:41Cxy于,AB两点，且2PAAB，
则0x的取值范围是 ▲ ．
17.若正数,,abc满足2221abcabbc，则c的最大值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
4
第19题图
18.三角形ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且222sinsin2sinsinsinBCBCA．
（1）求角A的大小；
（2）若ABC的面积1S，求a的最小值．
19.四棱锥PABCD的底面为菱形，4,60ABABC，M为PB的中点，N为BD上
一点，且13BNND．
（1）求证：//MN平面PAC；
（2）求证：PN平面ABCD；
（3）若5,21PAPCPB，求直线PN与平面PCD所成角的正弦值．
5
第21题图
20.已知nS是数列na的前n项和，12a,0na且21122nnnSaS，其中nN．
（1）求数列na的通项公式；
（2）若数列nb满足23nnba，nT是数列nb的前n项和．求证：54nT．
21.已知椭圆2222:10xyCabab的离心率33e，焦距为2，直线l与椭圆C交于,AB
两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过椭圆的右焦点F，且2AFFB，求直线l方程；
（3）设O为坐标原点，直线,OAOB的斜率分别为12,kk,若1223kk，求AOB面积S的值．
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22.已知函数lnafxxx．
（1）若函数fx有极值，求实数a的取值范围；
（2）当1a时，若fx在1212,xxxxx处导数相等，证明：1212ln2fxfx；
（3）若函数fx在0,上有两个零点1212,xxxx，证明：122xxe．
命题： 金华一中 衢州二中（审校） 审核：长兴中学