矩阵的相似对角化1.ppt
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矩阵的对角化1
相似是矩阵之间的一种关系。 这种关系具有如下性质： 1)自反性 对任意方阵A，都有A～A； ) 2)对称性 若A～B，则B～A； ) 3)传递性 若A～B，B～C，则A～C。 )
相似矩阵之间有如下性质： 性质1 相似矩阵的行列式的值相等。 性质 性质2 性质 相似矩阵或者都可逆，或者都不 可逆，且在可逆的情形，逆矩阵也相似。 性质3 性质 若A～B，则An～Bn，n为自然数。 性质3在求矩阵的正整数幂时非常有用。
其一般解写成向量形式为
x1 −( x2 + x3 ) −1 −1 x2 = x2 = x2 1 + x3 0 x 0 1 x3 3
由此得知，属于特征值 λ1 = −1 的全部特征向量为
− 1 − 1 k1 1 + k 2 0 0 1
其中 k1 , k 2 为不全为0的任意常数。
4 x1 − 2 x 2 − 2 x3 = 0 类似地，对于λ2 = 5 ，由 − 2 x1 + 4 x 2 − 2 x3 = 0 − 2 x − 2 x + 4 x = 0 1 2 3 x1 x3 1 得 x 2 = x3 = x3 1 x x 1 3 3
Aα 为A的属于 λ 的特征向量。 如何求A的特征值与特征向量呢？
由 Aα = λα ，得 λα − Aα = 0 即 所以
λIα − Aα = 0
(λI − A)α = 0
(λ I − A) x = 0
这说明 α 是齐次线性方程组 的非零解，从而必须
| λ I − A |= 0
α1 , α 2 ,..., α s ，并写成列向量 列向量的形式，则 列向量
矩阵可相似对角化的条件课件
通过归纳矩阵的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化。
要点二
详细描述
归纳法是一种基于数学归纳法的证明方法，通过归纳矩阵 的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化的性质。这种方法适 用于阶数较大的矩阵，但需要严谨的数学推导和证明。
05
矩阵可相似对角化的实例分析
二阶矩阵的实例分析存在 两个线性无关的特征向量。
三阶矩阵的实例分析
总结词
详细描述
实例
三阶矩阵可相似对角化的条件是存在 三个线性无关的特征向量。
对于三阶矩阵A，如果存在三个线性 无关的特征向量α、β和γ，使得 $Aalpha = lambda_1alpha$、 $Abeta = lambda_2beta$和 $Agamma = lambda_3gamma$， 其中$lambda_1$、$lambda_2$和 $lambda_3$是矩阵A的特征值，则 矩阵A可相似对角化。
反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出 矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩 阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的 情况，如行列式值为零或特征多项式无重根 等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳法
要点一
总结词
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相 似对角化可以将复杂的系统分解为若 干个简单子系统，有助于简化控制器 的设计过程。
04
矩阵可相似对角化的证明方法
构造法
总结词
通过构造具体的矩阵，证明矩阵可相似对角 化。
详细描述
构造法是一种基于具体实例的证明方法，通 过构造一个具体的矩阵，并证明该矩阵可以 相似对角化，从而证明任意矩阵可相似对角 化的可能性。这种方法直观易懂，但需要一 定的技巧和经验。
要点二
详细描述
归纳法是一种基于数学归纳法的证明方法，通过归纳矩阵 的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化的性质。这种方法适 用于阶数较大的矩阵，但需要严谨的数学推导和证明。
05
矩阵可相似对角化的实例分析
二阶矩阵的实例分析存在 两个线性无关的特征向量。
三阶矩阵的实例分析
总结词
详细描述
实例
三阶矩阵可相似对角化的条件是存在 三个线性无关的特征向量。
对于三阶矩阵A，如果存在三个线性 无关的特征向量α、β和γ，使得 $Aalpha = lambda_1alpha$、 $Abeta = lambda_2beta$和 $Agamma = lambda_3gamma$， 其中$lambda_1$、$lambda_2$和 $lambda_3$是矩阵A的特征值，则 矩阵A可相似对角化。
反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出 矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩 阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的 情况，如行列式值为零或特征多项式无重根 等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳法
要点一
总结词
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相 似对角化可以将复杂的系统分解为若 干个简单子系统，有助于简化控制器 的设计过程。
04
矩阵可相似对角化的证明方法
构造法
总结词
通过构造具体的矩阵，证明矩阵可相似对角 化。
详细描述
构造法是一种基于具体实例的证明方法，通 过构造一个具体的矩阵，并证明该矩阵可以 相似对角化，从而证明任意矩阵可相似对角 化的可能性。这种方法直观易懂，但需要一 定的技巧和经验。
北京工业大学线性代数第五章第三节 矩阵的对角化.ppt
则
l1 l2 L lr 0,
从而 1,2 ,L ,s , 1, 2 ,L , r 线性无关．
8
对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到 定理3：设 1,2 ,L , m 是数域P上n 阶矩阵A 的 不同的特征值， j1, j2 ,L , jrj 是A的属于 j 的 线性无关的特征向量，j 1, 2,L , m, 则向量组
以上两式相减得
k1(1 2 )1 k2 (1 2 )2 L ks (1 2 )s ,
由于1 2，因此由上式得
k11 k22 L kss ,
7
由于 1,2 ,L ,s 线性无关，
则
k1 k2 L ks 0,
代入①式得
l11 l22 L lr r
由于 1, 2 ,L , s 线性无关，
解：Q A1 21 , A2 22 , 1 2, 2 2 是A的两个不同的特征值, 1 ,2 线性无关。令
P (1,2)
1 1
1 1
,
1
P 1
2 1
1 2 1
,
2 2
22
则
P 1 AP =
2 0
0 2
,
因此
A P
2 0
0 2
P 1
所以
A10 P
2 0
0 2
10
P 1
6
k1 A1 k2 A2 L ks As l1 A1 l2 A2 L lr Ar
从而有
k111 k212 L ks1s l121 l222 L lr2r ,
①式两边乘以 2 得
k121 k222 L ks2s l121 l222 L lr2r ,
12
例1 已知
A
3 5
l1 l2 L lr 0,
从而 1,2 ,L ,s , 1, 2 ,L , r 线性无关．
8
对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到 定理3：设 1,2 ,L , m 是数域P上n 阶矩阵A 的 不同的特征值， j1, j2 ,L , jrj 是A的属于 j 的 线性无关的特征向量，j 1, 2,L , m, 则向量组
以上两式相减得
k1(1 2 )1 k2 (1 2 )2 L ks (1 2 )s ,
由于1 2，因此由上式得
k11 k22 L kss ,
7
由于 1,2 ,L ,s 线性无关，
则
k1 k2 L ks 0,
代入①式得
l11 l22 L lr r
由于 1, 2 ,L , s 线性无关，
解：Q A1 21 , A2 22 , 1 2, 2 2 是A的两个不同的特征值, 1 ,2 线性无关。令
P (1,2)
1 1
1 1
,
1
P 1
2 1
1 2 1
,
2 2
22
则
P 1 AP =
2 0
0 2
,
因此
A P
2 0
0 2
P 1
所以
A10 P
2 0
0 2
10
P 1
6
k1 A1 k2 A2 L ks As l1 A1 l2 A2 L lr Ar
从而有
k111 k212 L ks1s l121 l222 L lr2r ,
①式两边乘以 2 得
k121 k222 L ks2s l121 l222 L lr2r ,
12
例1 已知
A
3 5
实对称矩阵的相似对角化
§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
线性代数-矩阵相似对角化
9
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
线性代数 矩阵相似对角化
0 2
k2X0
上述必须有两个线性无关的解向量，r(-I-A)=1
4 2 2 4 2 2
rk4
0 2
k2rk0
0 0
0k1
k0
(2)代入k=0, 1,2 1 时，线性无关的特征向量：
1 120 T ,2 102 T
（4）Ａ~Ｂ，则 RA=RB
（5）Ａ~Ｂ，则 A B
（6）Ａ~Ｂ，且Ａ可逆，则 A1~B1
定理
若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征 多项式，从而A与B有相同的特征值．
IAIB
QIBIP1A PP1IPP1A P
P1IAPIA
推论 若n阶矩阵A与对角矩阵
y1
x1
令Y
y2
P1
x2
,
y3
x3
Y
'
y1' y2'
P1
x1' x2'
,
y3'
x3'
故有
5 Y'00
0 3 0
003Yyyy231
推论 如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论 若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 t i 重特征值
i 对应 t i 个线性无关的特征向量．
注意 （1）P中的列向量 p1,p2, ,pn的排列顺序要与
1,2, ,n的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x0 的基础解系中的解向量，
的λ都是方阵Ａ的特征值．
(1)由 f()EA0求出A的所有特征值 1,2,L,n,
相似矩阵与矩阵对角化
1 2 2 1 2 2
2E
A
2 2
4 4
4 4
0 0
0 0
0 0
得
x1 2 x2 2 x3
2
2
得基础解系
X1
1 0
,
X2
0 1
.
15
当3 7时，齐次线性方程组为 7E A X
8
7E
A
2 2
2 5 42Biblioteka 4 510
0
0
1 0
1
2
1
0
x1
1 2
x3
x2 x3
5
即Ak ∽ B k (5) 设A ∽ B ，则存在可逆矩阵P，有
B P1 AP
即 E B E P1AP
= P1( E)P P1AP P1( E A)P
= P1 E A P = E A
相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值．
注1 虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一 特征值的特征向量不一定相同.
将 P 按列分快为 P X1 , X2 ,L , Xn .
7
由P 1 AP , 得 AP P
1
即
A X1, X2 ,L
,
Xn
X1 ,
X2 ,L
,
Xn
2
O
n
1 X1 ,2 X2 ,L ,n Xn
所以 A X1 , X2 ,L , Xn AX1 , AX2 ,L , AXn
13
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
(1)
A
2 2
2 4
4 2
2 1 2
(2)
A
5 1
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
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2
n
相似，则：1 , 2 ,
k k
, n 就是Ａ的ｎ个特征值．
1
A P P
可相似对角化的条件 思考:使得P 1 AP 的矩阵Ｐ如何求的呢？
定理： ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似
Ａ有ｎ个线性无关的特征向量．
2 1 1 特征值： 1 1, 2, 3 2 A 0 2 0 1 1 1 4 1 3 特征向量： 1 0 2 4 , 3 0 . 如： 0 4 1 1 1 0 特征值： 1 2 , 2,3 2 B 4 3 0 T T 0 0 1 特征向量： 1 2 1 1 0 2 1 2
应用示例1：
0 0 0 (1) A 0 0 0 , 化 矩阵A是 否可 对 角 化， 若 是， 写 出相 应 的 3 0 1 对 角矩阵 及P。
1 4 2 ( 2) A 3 4 0Байду номын сангаас , 化 矩 阵 A为 对 角 矩 阵 。 3 1 3
注： （1）Ｐ中的列向量 p1 , p2 ,
, pn 的排列顺序要与
1 , 2 , , n 的顺序一致．
（2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值， 推论：
则矩阵Ａ可相似对角化．
1
AP B.
例 3:
求 Am .
4 3 4 2 4 , 3
练习： 设
求 Am .
小结：
1. 相似与对角化的概念； 2. 可相似对角化的条件： （1）有ｎ个不同的特征值； （2） 有ｎ个线性无关的特征向量．
作业： P199 12 (4) 13
与B组题
1 1 1 2 2 4 2 , B 2 , A 例2: 设矩阵A与B相似，其中 b 3 3 a
求a,b的值，及可逆矩阵P，使 P
1 1 2 , 2 2 2 设A 2 1 3 1 A 0 0
3 1 课前 求矩阵A 的特征值和特征向量. 练习： 5 1
§4.2 矩阵的相似对角化
相似与对角化的概念
定义： 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使
P 1 AP B, 则称Ａ与Ｂ相似． 记作： Ａ∽Ｂ．
若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵相似，则称A能对角化， 定义： 简称为把方阵A对角化。
性质： （1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
定理： 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则： （1） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值．
（ 2） A B
（3） A PB P
k k
1
1 推论： 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 diag(1 , 2 , , n )